专题07+圆锥曲线-备战2018高考高三数学（文）全国各地优质模拟试卷分项精品

专题07+圆锥曲线-备战2018高考高三数学（文）全国各地优质模拟试卷分项精品

一、选择题 ‎1．【2018衡水金卷高三联考】抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线y‎2‎‎=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M‎3,1‎射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为（ ）‎ A. B. ‎-‎‎4‎‎3‎ C. ‎±‎‎4‎‎3‎ D. ‎‎-‎‎16‎‎9‎ ‎【答案】B ‎ 2．【2018衡水金卷高三联考】已知双曲线C：x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎16‎=1‎a>0‎的一个焦点为‎5,0‎，则双曲线C的渐近线方程为（ ）‎ A. ‎4x±3y=0‎ B. ‎‎16x±9y=0‎ C. ‎4x±‎41‎y=0‎ D. ‎‎4x±3y=12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，c=5‎，则a‎2‎‎=c‎2‎-16=9‎，即a=3‎.‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y=±‎4‎‎3‎x，即‎4x±3y=0‎.‎ 故选A.‎ ‎3．【2018湖南永州一模】双曲线x‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎的离心率e=‎‎5‎，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. y=±‎1‎‎2‎x B. y=±‎1‎‎5‎x C. y=±2x D. ‎y=±5x ‎【答案】C ‎【解析】在双曲线x‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1‎中，a=1‎，由e=ca=‎‎5‎，得c=‎‎5‎，故b=c‎2‎‎-‎a‎2‎=2‎，故双曲线的渐近线方程为y=±2x，故选C. ‎ ‎4．【2018河南中原名校质检二】直线‎3x+4y-7=0‎与椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a>b>0‎）相交于两点A，B，线段AB的中点为M‎1,1‎，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. ‎7‎‎2‎ B. ‎2‎‎2‎ C. ‎3‎‎2‎ D. ‎【答案】A ‎ 5．【2018江西赣州红色七校联考】已知圆C：x‎2‎‎+y‎2‎-2ax-2by+a‎2‎+b‎2‎-1=0‎（a<0）的圆心在直线‎3‎x-y+‎3‎=0‎ 上，且圆C上的点到直线‎3‎x+y=0‎的距离的最大值为‎1+‎‎3‎，则a‎2‎‎+‎b‎2‎的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆的方程为‎(x-a)‎‎2‎‎+‎(x-b)‎‎2‎=1‎ ，圆心为‎(a,b),‎3‎a-b+‎3‎=0,‎①‎⇒b=‎3‎(a+1)‎ ， ‎ 圆C上的点到直线‎3‎x+y=0‎的距离的最大值为d=1+‎|‎3a+b|‎‎2‎=‎3‎+1,⇒|‎3a+b|=2‎‎3‎② ‎ 由①②得　‎|2a+1|=2‎ ，a<0，故得a=-‎‎3‎‎2‎ ，a‎2‎‎+‎b‎2‎ ‎=a‎2‎+3‎‎(a+1)‎‎2‎ =3．‎ 点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用.‎ ‎6．【2018吉林百校联盟九月联考】已知双曲线： 的左、右焦点分别为， ，直线过点且与双曲线的一条渐进线垂直，直线与两条渐进线分别交于， 两点，若，则双曲线的渐进线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴为的中点，又∵，∴，‎ 又∵，∴，∴双曲线的渐进线的斜率为=，‎ 即双曲线的渐进线方程为.‎ 故选：B ‎7．【2018广东珠海市高三摸底】双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎ 8．【2018超级全能王全国联考】已知是双曲线的右焦点， 是轴正半轴上一点，以为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点（为坐标原点）.若点三点共线，且的面积是的面积的倍，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得， , 即，选D. ‎ ‎9．【2018吉林长春市一模】已知O为坐标原点，设F‎1‎‎,‎F‎2‎分别是双曲线x‎2‎‎-y‎2‎=1‎的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点，自点F‎1‎作‎∠F‎1‎PF‎2‎的平分线的垂线，垂足为H，则‎|OH|=‎（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. ‎【答案】A ‎ 10．【2018吉林长春市一模】已知圆x‎2‎‎+y‎2‎-4x+6y=0‎的圆心坐标为a,b，则a‎2‎‎+b‎2‎=‎（ ）‎ A. 8 B. 16 C. 12 D. 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】由圆的标准方程可知圆心为‎(2,-3)‎，即a‎2‎‎+b‎2‎=13‎. 故选D.‎ ‎11．【2018广东广州海珠区一模】已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】∵双曲线 (a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0，‎ 依题意,直线bx±ay=0与圆相切，‎ 设圆心(0,3)到直线bx±ay=0的距离为d，‎ 则d==1,所以8 ‎∴双曲线离心率e==3.‎ 故选：D.‎ ‎12．【2018安徽合肥是高三调研】下列双曲线中，渐近线方程不是的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 二、填空题 ‎13．【2018河南中原名校质检二】直线与抛物线y‎2‎‎=4x交于两不同点A，B.其中Ax‎1‎‎,‎y‎1‎，Bx‎2‎‎,‎y‎2‎，若y‎1‎y‎2‎‎=-36‎，则直线恒过点的坐标是__________．‎ ‎【答案】‎‎9,0‎ ‎【解析】设直线为x=my+n,‎则x=my+ny‎2‎‎=4x得y‎2‎‎-4my-4n=0‎,‎∴‎y‎1‎‎+y‎2‎=4my‎1‎y‎2‎‎=-4n,‎y‎1‎y‎2‎‎=-36‎ ‎∴-4n=-36,∴n=9,‎直线为x=my+9‎，恒过‎9,0‎ 故答案为‎9,0‎ 点睛：直线与抛物线联立，要考虑直线的斜率存在与不存在，如果斜率不存在满足题意，直线可设成横截式x=my+n.‎ ‎14．【2018湖南两市九月调研】已知圆，抛物线与相交于两点， ，则抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得，圆与抛物线的其中一个交点为原点， 设 ， ， ，即点的坐标为， 点在抛物线上，即抛物线方程为，故答案为.‎ ‎15．【2018辽宁沈阳育才学校一模】已知方程表示双曲线，则的取值范围是______________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】表示双曲线 或.‎ ‎16．【2018超级全能生全国联考】已知直线与圆相交于两点， 为坐标原点，若，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ 17．【2018广东广州市海珠区一模】已知抛物线的焦点与双曲线 的右焦点重合，若为抛物线上一点，且，则直线的斜率等于__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】双曲线的右焦点为(2,0),∴抛物线方程为=8x，p=4.‎ ‎∵|AF|=3,∴+2=3,∴=1‎ 代入抛物线方程可得 ‎∵点A在x轴上方,∴A(1, )，‎ ‎∴直线AF斜率等于=−2 故答案为：−2 ‎18．【2018百校联盟高三摸底】已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试问： 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2） 圆的方程为，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得为方程，的两个根，由韦达定理可知： ，由在椭圆上即可求得.‎ ‎（2）因为直线与圆相切，∴ 整理得： ，‎ 同理可得： ，‎ 所以， 为方程的两个根 ‎∴，又∵在椭圆上，∴ ‎∴，故是定值为 ‎【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.‎ ‎19．【2018衡水金卷高三大联考】已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎过点‎-‎2‎,1‎，离心率为‎2‎‎2‎，直线：kx-y+2=0‎与椭圆C交于A ，  B两点.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数k，使得OA‎+‎OB‎=‎OA‎-‎OB（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎；（2）k=±‎‎2‎.‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎8k‎1+2‎k‎2‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎4‎‎1+2‎k‎2‎.‎ 由OA‎+‎OB‎=‎OA‎-‎OB，‎ 得OA‎⋅OB=0‎.‎ ‎∴x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎.‎ ‎∴x‎1‎x‎2‎‎+kx‎1‎+2‎kx‎2‎+2‎=0‎.‎ 即‎1+‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎+2kx‎1‎‎+‎x‎2‎+4=0‎.‎ ‎∴‎4‎‎1+‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎‎-‎16‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎+4=0‎.‎ 即‎8-4‎k‎2‎‎1+2‎k‎2‎‎=0‎.‎ 即k‎2‎‎=2‎，即k=±‎‎2‎.‎ 故存在实数k=±‎‎2‎，使得OA‎+‎OB‎=‎OA‎-‎OB成立. ‎ ‎20．【2018湖南永州市一模】已知动圆M与圆N:‎(x+‎2‎)‎‎2‎+y‎2‎=12‎相切，且经过点P(‎2‎,0)‎.‎ ‎（1）求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知点A(0,3)‎，若B,C为曲线E上的两点，且AB‎=‎‎2‎‎3‎AC，求直线BC的方程.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎；（2）‎y=±‎5‎‎6‎‎6‎+3‎ ‎ Cx‎2‎‎  ,  ‎y‎2‎，则x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎=1‎y=kx+3‎‎⇒‎1+3‎k‎2‎x‎2‎+18kx+24=0‎，Δ=‎18k‎2‎-4⋅‎3k‎2‎+1‎⋅24>0‎，得k‎2‎‎>‎‎8‎‎3‎， x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎18k‎1+3‎k‎2‎ ①，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎24‎‎1+3‎k‎2‎ ② 又由AB‎=‎‎2‎‎3‎AC，得x‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎x‎2‎③联立①②③得k‎2‎‎=‎‎25‎‎6‎，k=±‎‎5‎‎6‎‎6‎（满足k‎2‎‎>‎‎8‎‎3‎）所以直线BC的方程为y=±‎5‎‎6‎‎6‎x+3‎ ‎21．【2018河南中原名校质检二】已知椭圆D：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎（a>b>0‎）的短轴长为2，离心率是‎3‎‎2‎.‎ ‎（1）求椭圆D的方程；‎ ‎（2）点E‎0,2‎，轨迹D上的点A，B满足EA‎=λEB，求实数λ的取值范围.‎ ‎【答案】（1）x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎（2）‎‎1‎‎3‎‎,3‎ 则Δ≥0,‎‎1‎x‎1‎‎+x‎2‎=‎-16k‎1+4‎k‎2‎,‎‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎12‎‎1+4‎k‎2‎,‎‎3‎x‎1‎‎=λx‎2‎,‎‎4‎ 由（2）（4）解得x‎1‎，x‎2‎代入（3）式得λ‎1+λ‎2‎‎⋅‎-16k‎1+4‎k‎2‎‎2‎=‎‎12‎‎1+4‎k‎2‎ 化简得λ‎1+λ‎2‎‎=‎‎3‎‎64‎‎1‎k‎2‎‎+4‎ 由（1）Δ≥0‎解得k‎2‎‎≥‎‎3‎‎4‎代入上式右端得 ‎3‎‎16‎‎<λ‎1+λ‎2‎≤‎‎1‎‎4‎ 解得‎1‎‎3‎‎<λ<3‎ 综上实数λ的取值范围是‎1‎‎3‎‎,3‎.‎ 点睛:解析中出现EA‎=λEB属于λ问题，由EA‎=λEB得出x‎1‎‎=λx‎2‎，结合韦达定理找到λ与k 的关系，再利用Δ≥0‎建立不等关系即得解.‎ ‎22．【2018江西赣州红色七校联考】已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2‎ ‎（1）求曲线C的方程 ‎（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：x‎2‎‎+‎(y-1)‎‎2‎=1‎于M、N两点（A、M两点相邻）若BF‎=‎ λ BA，当λ ‎∈[‎1‎‎2‎,‎2‎‎3‎]‎时，求K的取值范围 ‎【答案】(1) x2=4y,(2) k的取值范围是[﹣‎2‎‎4‎，‎2‎‎4‎].‎ ‎ ‎ ‎ 23．【2018湖南两市九月调研】已知椭圆经过，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ‎ ‎，求出 、 、，即可得结果；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得： ，根据韦达定理及三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.‎ ‎ ‎ ‎24．【2018广西省联考】已知椭圆： 的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，线段的中点为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值．‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为．（2）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为，依题意知，‎ 又，解得， ， ，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入，得，‎ 设， ，‎ 则， ，‎ ‎∴，‎ 因为为线段的中点，‎ 故点的坐标为，‎ 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，‎ 令，得，由点的坐标为，‎ 则，解得．‎ ‎25．【2018吉林百校联盟九月联考】已知椭圆： 过点，点， 是椭圆上异于长轴端点的两个点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若且，求中点的轨迹方程．‎ ‎【答案】(1) ;(2) 点的轨迹方程为（）.‎ ‎ 26．【2018广东珠海市高三摸底】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和 的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是， ， ， ． ‎ ‎（1）求， 的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的标准方程为 ； 的标准方程为 ；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设抛物线，则有，据此验证四个点即可 ‎（Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 直线l交椭圆于点 ，不满足题意 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 并设 由，消去y得， ，‎ 于是 ①，‎ 由得 ②‎ 将①代入②式，得，解得 所以存在直线l满足条件，且l的方程为或 ‎27．【2018超级全能生全国联考】已知椭圆过点，其离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎（2）把代入的方程得，‎ 设，则，‎ ，‎ 设的中点为，则 ‎ ‎