安徽省芜湖市第一中学2020届高三上学期基础检测数学试题

安徽省芜湖市第一中学2020届高三上学期基础检测数学试题

芜湖一中2020届新高三基础检测 数学试卷 第I卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】先由补集的定义求出，然后根据交集的定义可得，故选C．‎ 考点：集合交集、并集和补集.‎ ‎2.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数的虚部.‎ ‎【详解】，因此，该复数的虚部为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的虚部，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 详解】由题意可得，又，‎ 所以,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查两个常见变形公式和.‎ ‎4.已知直线与平行，则等于( )‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意可知 且，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎5.已知函数的最小正周期为，刚该函数的图象（ ）．‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意得，，故．‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴该函数的图象关于直线对称，不关于点和对称，也不关于直线对称．‎ 故选．‎ ‎6.已知是以，为焦点的椭圆上一点，若且，则椭圆的离心率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵点是以，为焦点的椭圆上一点，‎ ‎，，‎ ‎∴，设，则．‎ 由椭圆定义可知，∴，‎ ‎∴，则．‎ 由勾股定理知，即，‎ 计算得出，∴．‎ 故选．‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎7.，，且，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.‎ ‎【详解】构造形式，则，时导函数，单调递增；时导函数，单调递减．又 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.‎ ‎8.的三个内角、、所对的边分别为、、，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理边角互化思想以及同角三角函数的基本关系得出，进而求出的值.‎ ‎【详解】，‎ 由正弦定理边角互化思想得，‎ 即，，则有，因此，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎9.已知向量与的夹角为,且,,若,且,则实数的值为（ ）‎ A. B. 13 C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由向量与的夹角为,且,,可得,又,所以=,所以,故选D.‎ 考点：平面向量的线性运算及数量积.‎ ‎10.在平面直角坐标系中，，，点满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两点间的距离公式以及条件，可得出，即，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.‎ ‎【详解】，，化简得，则，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了两点间距离公式的应用，在利用基本不等式求最值时，要结合题中条件得出定值条件，并对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， ‎ 因为选项C正确，故选C．‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎12.已知函数，若a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】画出函数图象，由已知和图象可知:，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴的取值范围是，故选B.‎ 考点：1.函数图象；2.图象的交点问题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知正实数满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：,只需求的最大值即可，令，则，表示的是斜率为-2，截距为的平行直线系，当过点时，截距最大，的最大值为2=2=4‎ ‎.‎ 考点：直线斜率，基本不等式 ‎14.曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵，∴‎ ‎，所以切线方程为：，‎ ‎∴三角形面积为.‎ 考点：1.利用导数求切线方程；2.三角形的面积公式.‎ ‎15.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造一个各棱长为a正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，而此四面体的外接球即为正方体的外接球．由此能求出该椎体的表面积．‎ ‎【详解】构造一个各棱长为a的正方体，连接各面的对角线可作出一个正四面体，‎ 而此四面体的外接球即为正方体的外接球．‎ 此球的直径为正方体的体对角线，即，‎ 由勾股定理得到,三棱锥的边长即为正方体的面对角线长为：，‎ 所以该锥体表面积.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎16.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为，则点的纵坐标的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式得出，求出线段的中点的坐标，并设点的坐标为，可得出，代入等式得出，再利用基本不等式可得出点纵坐标的最小值.‎ ‎【详解】设直线的方程为，设点、，‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，得，‎ 由韦达定理得，，‎ 由弦长公式得，，①‎ 由于点在直线上，所以，，则点，‎ 设点坐标为，得，得.‎ 代入①式得，‎ 可得，‎ 由基本不等式得，‎ 当且仅当时，等号成立，因此，点的纵坐标的最小值为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了韦达定理设而不求法在直线与抛物线综合问题的求解，解题的关键在于利用弦长公式，结合中点坐标公式求出弦的中点的轨迹方程，计算量大，综合性较强，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知．‎ ‎（1）求的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，增区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角恒等变换思想将函数解析式化为，利用周期公式可求出函数的最小正周期，由，可得出函数的单调递增区间；‎ ‎（2）由求出的取值范围，由正弦函数的性质得出函数的值域，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 所以，函数的最小正周期为.‎ 由，解得.‎ 因此，函数的单调递增区间是；‎ ‎（2）由可得，则实数的取值范围是函数在上的值域.‎ ‎，，则，.‎ 所以，函数在上的值域为，因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的基本性质，同时也考查了函数的零点问题，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎18.已知数列的前项和，为正整数.‎ ‎（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于题目已知给出和的关系，可令，求出，然后当时，利用 ‎，得出和的关系，由于，可知：，说明数列是等差数列，再求数列的通项公式，得出的通项公式；（2）由得出，符合使用错位相减法求和，于是采用错位相减法，求出数列的前项和即可.‎ ‎【详解】（1）在中，令，‎ 可得，即，‎ 当时，，‎ 即，‎ 因为，则，‎ 即当时，，‎ 又数列是首项和公差均为1的等差数列．‎ 于是，‎ 则：．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 所以，‎ ‎，‎ 由 ‎,则.‎ 考点：1．数列前项和与通项的关系；2．转化思想；3．错位相减法；‎ ‎19.在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题意得出平面平面，由旋转的性质得出，由平面与平面垂直的性质定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理得出平面平面；‎ ‎（2）计算出，由（1）可知，平面，于是得出直线与平面所成的角为，可得出，得知当时，最小，由此可求出直线与平面所成角的正弦的最大值.‎ ‎【详解】（1）为直角三角形，且斜边为，.‎ 将以直线为轴旋转得到，则，即.‎ 二面角是直二面角，即平面平面.‎ 又平面平面，平面，平面.‎ 平面，因此，平面平面；‎ ‎（2）在中，，斜边，且.‎ 由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.‎ 在中，，，，‎ ‎，‎ 当时，取最小值，此时取最大值，且.‎ 因此，，‎ 即直线与平面所成角的正弦的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，同时也考查了直线与平面所成角的计算，解题时要充分利用题中垂直关系构造直线与平面所成的角，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二（非毕业年级）与高三（毕业年级）共三个年级学生中按照的比例分层抽样，收集位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（已知高一年级共有名学生）‎ ‎（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数；‎ ‎（2）规定每周平均体育运动时间不少于小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有位高三学生的每周平均体育运动时间不少于小时，请完成下列列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与毕业年级有关”？‎ 非毕业年级 毕业年级 合计 优秀 非优秀 合计 附：.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）该校学生每周平均体育运动时间为小时，高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数人；‎ ‎（2）填表见解析，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与毕业年级有关”.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值与每个矩形的面积相乘，再将所有乘积相加可得出该校学生每周平均体育运动的时间，将前两个矩形面积相加，并将结果乘以可得出高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数；‎ ‎（2）根据题意求出样本中非毕业年级和毕业年级的学生人数，并根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，将所得结果与进行大小比较，由此可判断出是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与毕业年级有关”.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，该校学生每周平均体育运动时间为（小时），‎ 高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数为人；‎ ‎（2）由题意知，样本中毕业年级（高三年级）的学生人数为 人，非毕业年级的学生人数为人，‎ 样本中每周平均体育运动时间不足小时的学生人数为，列联表如下表所示：‎ 非毕业年级 毕业年级 合计 优秀 非优秀 合计 ‎，‎ 因此，有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与毕业年级有关”.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查数据处理能力和应用能力，属于中等题.‎ ‎21.椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当的面积为时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线方程为：或。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知条件椭圆过点，将代入方程，得到一个方程，再由，可得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当 的面积为时，求直线的方程，椭圆右焦点． 当直线的斜率不存在时，验证不符合条件，故直线的斜率存在，设直线方程，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，由，由根与系数关系即可求出斜率，从而可得直线的方程。‎ 也可设设直线的方程为，代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，由根与系数关系即可求出斜率，从而可得直线的方程。‎ 试题解析：（1）因为椭圆过点，所以①，又因为离心率为，所以，所以②，解①②得 所以椭圆的方程为：（4分）‎ ‎（2）①当直线的倾斜角为时，‎ ‎，不适合题意。 6分 ‎②当直线的倾斜角不为时，设直线方程，‎ 代入得：7分 设，则 ‎，‎ 所以直线方程为：或（13分）‎ 考点：椭圆方程，直线方程。‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）求函数在上的值域；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，确定函数在上单调性和最值，即可求出函数在上的值域；‎ ‎（2）通过构造函数，将问题转化为在区间上问题，求导函数，通过分类讨论确定实数的取值范围．‎ ‎【详解】解：（1）易知，‎ 在上单调递减，， ‎ 时，， ‎ 在上的值域为． ‎ ‎（2）令，‎ 则， ‎ ‎①若，则由（1）可知，，在上单调递增，‎ ‎，与题设矛盾，不符合要求； ‎ ‎②若，则由（1）可知，，在上单调递减，‎ ‎，符合要求； ‎ ‎③若，则，使得，‎ 且在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎， ，‎ ‎．‎ 由题：，即，，‎ 即． ‎ 且由（1）可知在上单调递减，‎ ‎． ‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎