专题33+空间向量及其运算(题型专练)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

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专题33+空间向量及其运算(题型专练)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍

专题33 空间向量及其运算 ‎1.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是(  )‎ A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b ‎【答案】C ‎【解析】若c、a+b、a-b共面,‎ 则c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,‎ 则a、b、c为共面向量,此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾,故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底。 ‎ ‎2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:‎ ‎①(-)-; ②(+)-;‎ ‎③(-)-2; ④(+)+。‎ 其中能够化简为向量的是(  )‎ A.①②   B.②③   C.③④   D.①④‎ ‎【答案】A ‎3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.-2或 D.2或- ‎【答案】C ‎【解析】由已知得==,‎ ‎∴8=3(6-λ),解得λ=-2或λ=。 ‎ ‎4.平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,若′=x+2y-3z′,则x+y+z=(  )‎ A.1 B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】=+=++=++=x+2y-3z,故x=1,y=,z=-,∴x+y+z=1+-=。 ‎ ‎5.已知直线AB、CD是异面直线,AC⊥CD,BD⊥CD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD夹角的大小为(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.75°‎ ‎【答案】C ‎6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在上且=,N为B1B的中点,则||为(  )‎ A.a B.a C.a D.a ‎【答案】A ‎【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,‎ 则A(a,0,0),C1(0,a,a),‎ N。设M(x,y,z)。‎ ‎∵点M在上且=,‎ ‎∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),‎ ‎∴x=a,y=,z=,得M,‎ ‎∴||= ‎=a。 ‎ ‎7.在空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(  )‎ A.垂直     B.平行 C.异面 D.相交但不垂直 ‎【答案】B ‎ ‎8.如图766,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=(  )‎ 图766‎ A.(-a+b+c)‎ B.(a+b-c)‎ C.(a-b+c)‎ D.(-a-b+c)‎ ‎【答案】B ‎ ‎【解析】=+=(-)+=-+(-)=+-=(a+b-c).‎ ‎9.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为(  )‎ A.(3,0,0) B.(0,3,0)‎ C.(0,0,3) D.(0,0,-3)‎ ‎【答案】C ‎ ‎10.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为(  ) ‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ ‎【解析】∵a·b=x+2=3,∴x=1,‎ ‎∴b=(1,1,2).‎ ‎∴cos〈a,b〉===.‎ ‎∴a与b的夹角为,故选D. ‎ ‎11.如图767,在大小为 45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是(  )‎ 图767‎ A. B. C.1 D. ‎【答案】D ‎ ‎【解析】∵=++,‎ ‎∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.‎ ‎12.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC中点,则△AMD是(  )‎ A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 ‎【答案】C ‎ ‎13.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=,=,=.则VA与平面PMN的位置关系是________. ‎ ‎【答案】平行 ‎ ‎【解析】如图,设=a,=b,=c,则=a+c-b,由题意知=b-c,=-=a-b+c.‎ 因此=+,‎ ‎∴,,共面.‎ 又∵VA⊄平面PMN,∴VA∥平面PMN.‎ ‎14.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=________.‎ ‎【答案】-9 ‎ ‎【解析】由题意知c=xa+yb,‎ 即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),‎ ‎∴解得λ=-9.‎ ‎15.如图768,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点M在线段PC上,点N在线段PD上,且PM=2MC,PN=ND,若=x+y+z,则x+y+z=________.‎ 图768‎ ‎【答案】- ‎ ‎16.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则c=________.‎ ‎【答案】(3,-2,2) ‎ ‎【解析】因为a∥b,所以==,‎ 解得x=2,y=-4,‎ 此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),‎ 又因为b⊥c,所以b·c=0,‎ 即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2). ‎ ‎17.如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ(+),则λ=__________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】如图所示,取AC的中点G,‎ 连接EG、GF,‎ 则=+=(+)‎ ‎∴λ=。 ‎ ‎18.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·最小时,点Q的坐标是________。‎ ‎【答案】 ‎19.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面给出四个命题:‎ ‎①(++)2=3()2;‎ ‎②·(-)=0;‎ ‎③与的夹角为60°;‎ ‎④此正方体的体积为|··|。‎ 则正确命题的序号是__________(填写所有正确命题的序号)。‎ ‎【答案】①②‎ ‎【解析】①∵|++|=||=||,‎ ‎∴正确;‎ ‎②∵·(-)=·-·;‎ ‎∵(,)=(,),||=||‎ ‎∴·-·=0.∴正确;‎ ‎③AD1与A1B两异面直线的夹角为60°,但与的夹角为120°,=,注意方向,‎ ‎④·=0,正确的应是||·||·||。 ‎ ‎20.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M、N、P分别是AA1‎ ‎、BC、C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:‎ ‎(1);(2);(3)+。‎ ‎=+=c+a,‎ ‎∴+=+ ‎=a+b+c。‎ ‎21.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:‎ ‎(1)a,b,c;‎ ‎(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值。‎ ‎22.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,,0),点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°。‎ ‎(1)求的坐标;‎ ‎(2)设和的夹角为θ,求cosθ的值。‎ ‎【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E。在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=。‎ ‎∴DE=CDsin30°=。‎ OE=OB-BDcos60°=1-=。‎ ‎==-。‎ ‎∴cosθ=-。 ‎ ‎23.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.‎ ‎(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. ‎ ‎【解析】解 (1)∵c∥,=(-3,0,4)-(-1,1,2)‎ ‎=(-2,-1,2),‎ ‎∴c=m=m(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m),‎ ‎∴|c|==3|m|=3,‎ ‎∴m=±1.‎ ‎∴c=(-2,-1,2)或(2,1,-2).‎ ‎(2)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2).‎ ‎∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1.‎ 又∵|a|==,‎ ‎|b|==,‎ ‎∴cos〈a,b〉===-,‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为-.‎ ‎24.已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).‎ ‎(1)求|2a+b|;‎ ‎(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)‎ .‎ ‎25.如图769,在直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.‎ 图769‎ ‎(1)求证:CE⊥A′D;‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.‎ ‎【解析】解 (1)证明:设=a,=b,=c,‎ 根据题意得,|a|=|b|=|c|,‎ 且a·b=b·c=c·a=0,‎ ‎∴=b+c,=-c+b-a. ‎ ‎∴·=-c2+b2=0.‎ ‎ ‎
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