2020届二轮复习函数的图象学案（全国通用）

2020届二轮复习函数的图象学案（全国通用）

‎2020届二轮复习 函数的图象 学案（全国通用）‎ 函数的图象 函数的图象是研究函数性质的重要工具，为培养数形结合思想提供有力的支持，其主要内容包含：利用函数图象研究函数的性质、函数的图象变换等知识.‎ 函数的图象变换 通过对函数图象的平移、对称、翻折等变换，得到与函数 相关的其他函数图象的方法．主要包括： ‎ · 函数图象的平移 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象； 将函数图象向右平移 个单位，得到函数 的图象； 将函数图象向上平移 个单位，得到函数 的图象； 将函数图象向下平移 个单位，得到函数 的图象．‎ · 函数图象的对称 将函数图象关于直线 对称，得到函数 的图象； 将函数图象关于点 对称，得到函数 的图象； 如果函数 存在反函数，则将函数图象关于直线 对称，得到函数 的图象．‎ · 函数图象的翻折 函数 的图象是将函数 的图象在 轴下方的部分翻折到上方后得到的结果； 函数 的图象是将 在 轴左侧的图象删去，然后再将 轴右侧的图象关于 轴对称复制到左边后得到的结果．‎ 精选例题 函数的图象 ‎ 1. 已知函数 ，若直线 与函数 的图象有三个不同的交点，则实数 的取值范围  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】     的图象如下图所示：‎ 要使直线 与函数 的图象有三个不同的交点，．‎ ‎ 2. 已知函数 的部分图象如图所示，若不等式 的解集为 ，则实数 的值为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    不等式 ，由图象可得 ，解出 ．‎ 所以 解出 ．‎ ‎ 3. 把函数 的图象先向左、再向下分别平移 个单位，得到函数 的图象，则原函数  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    将 的图象先向上、再向右分别平移 个单位即得到原函数 的图象．‎ ‎ 4. 已知 是奇函数，定义域为 ，又 在 上是增函数，且 ，则不等式 的解集为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 5. 如果是函数 的图象的一部分，若图象的最高点的坐标为 ，则  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 6. 将函数 的图象上所有点的纵坐标向上平移 个单位，得到函数  的图象．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    依题意，易知应填 ．‎ ‎ 7. 在平面直角坐标系 中，将函数 的图象沿着 轴的正方向平移 个单位长度，再作关于 轴的对称变换，得到函数 的图象，则函数 的解析式为 ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 8. 直线 与曲线 的交点个数是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎ 9. 的图象如下图，则 的值域为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎10. 定义在 上的函数 满足条件：存在常数 ，使得 对一切实数 恒成立，则称函数 为“ 型函数”．现给出以下函数，其中是“ 型函数”的是  ．‎ ‎① ，② ，③ 是定义域为 的奇函数，且对任意 ， 都有 的成立．‎ ‎【答案】    ①②③‎ ‎11. 已知函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    要使得函数 恰有 个零点，即需使方程 有三个不同的根，分别画出 和 的图象，使两函数图象的交点个数为 即可．‎ 如下图所示：‎ 从图象可以看出（a ) 的取值范围是 ．‎ ‎12. 某工厂 年来某产品总产量 与时间 （年）的函数关系如图，则：‎ ‎ 前 年总产量增长速度越来越快；‎ ‎ 前 年总产量增长速度越来越慢；‎ ‎ 第 年后，这种产品停止生产；‎ ‎ 第 年后，这种产品年产量保持不变．‎ 以上说法中正确的是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    从图象来看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产．‎ ‎13. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．‎ 若函数 的图象与 的图象关于  对称，则函数  ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）‎ ‎【答案】     轴； ‎ ‎【分析】    答案不唯一，如还可以是： 轴； 等．‎ ‎14. 将二次函数 的顶点移到 后，得到的函数的解析式为  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎15. 将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将此图象沿 轴方向向左平移 个单位，所得图象对应的函数为  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎16. 将函数 的图象绕原点顺时针方向旋转角 得到曲线 ．若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 的取值范围是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎17. 设函数 ，给出下列 个命题 ‎① 当 时， 只有一个实数根；‎ ‎② 当 时， 是偶函数；‎ ‎③ 函数 的图像关于点 对称；‎ ‎④ 当 时，方程 有两个实数根．‎ 上述命题中，所有正确命题的个数是  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎【分析】    当 ， 时， 只有一个实根 ，所以①正确；因为 是奇函数，它的图像关于原点对称，所以 关于点 对称，所以②错误，③正确；当 ， 时，方程 不一定有两个实数根，所以④错误．综上，正确命题的个数是 个．‎ ‎18. 给出下列五个命题：‎ ‎①函数 的图象与直线 可能有两个不同的交点；‎ ‎②函数 与函数 是相等函数；‎ ‎③对于指数函数 与幂函数 ，总存在 ，当 时，有 成立；‎ ‎④对于函数 ，若有 ，则 在 内有零点．‎ ‎⑤已知 是方程 的根， 是方程 的根，则 ．‎ 其中正确的序号是  ．‎ ‎【答案】    ③ ⑤‎ ‎19. 若函数 在区间 上是单调增函数，则使方程 有整数解的实数 的个数是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    令 ，则 或 ．‎ 由 在 上是单调增函数知 ，从而 ．‎ 由 得 ，‎ 令 ，则 在 上单调递增，且与 轴交于点 ，在同一直角坐标系中作出函数 与 的大致图象（如图所示）．‎ 经试算，有 ，，，所以 的整数解只可能是 、 、 、 ，共 个．而 ， 为增函数，所以相应地， 的值也只有 个．‎ ‎20. 当且仅当 （其中 ）时，函数 的图象在 图象的下方，则 的取值范围为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    由于函数 ，，‎ 如图所示：‎ 由题意可得，，即 ．‎ 由 求得 ；‎ 由 求得 ；由 求得 ，‎ 所以 ，‎ 即 的范围是 ．‎ ‎21. 根据如图所示的函数 的图象，写出函数的解析式．‎ ‎【解】        当 时，函数 的图象是一条线段（右端点除外），‎ ‎    设 ，将点 ， 代入，可得 ；‎ ‎    当 时，同理可设 ，‎ ‎    将点 ， 代入，可得 ；‎ ‎    当 时，．‎ ‎    所以 ‎ ‎22. 画出函数 的示意图．‎ ‎【分析】        函数 的示意图比较有用，‎ ‎    但如果每次都采用图象平移的做法就过于烦琐了，‎ ‎    这里我们介绍一种比较简便易行的方法：‎ ‎    我们来研究函数 的图象，‎ ‎    如图，容易发现此函数的对称中心是 ，‎ ‎    作出直线 与 （即图中的虚线），‎ ‎    由反比例函数的性质知道这两条直线即为函数 图象的渐近线，‎ ‎    然后将 代人算出函数值 ，‎ ‎    这样就可以确定图象在由直线 与 所分四个区域中的右上及左下两个区域，‎ ‎    再参照渐近线就可以作出函数 的示意图了．‎ ‎    ‎ ‎    一般来讲，画函数 的示意图分为两个步骤：‎ ‎    第一步：找到函数的对称中心 ，‎ ‎    同时可得到图象的渐近线为 和 ；‎ ‎    第二步：将 代人算出函数值为 ，‎ ‎    由点 判断函数图象在渐近线所分区域的哪两个区域，‎ ‎    并参照渐近线画出函数的示意图．‎ ‎【解】        由 ，‎ ‎    可知此函数的图象是将函数 的图象先向左平移 个单位，‎ ‎    再向下平移 个单位而得，如图所示．‎ ‎    ‎ ‎23. 画出函数 的图象．‎ ‎【解】        由 ，‎ ‎    可知此函数的图象是将函数 图象先向左平移 个单位，再向下平移 个单位而得，如图所示．‎ ‎    ‎ ‎24. 根据函数 的图象，画出下列函数的草图．‎ ‎    (1)；‎ ‎【解】        ‎ ‎    (2)；‎ ‎【解】        ‎ ‎    (3)．‎ ‎【解】        ‎ ‎25. 已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图象．求函数 的最大值．‎ ‎【解】        因为函数 ，将 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 ．‎ ‎    所以 ．‎ ‎    因为 ．‎ ‎    所以 的最大值为 ‎ ‎26. 已知二次函数 图象的顶点坐标为 且图象经过原点．‎ ‎    (1)求 的解析式．‎ ‎【解】        设 ，因为图象经过原点，所以将 点坐标代入，解得 ，所以 ．‎ ‎    (2)作出函数 的图象．‎ ‎【解】        先作 的图象，根据绝对值定义，保留 轴及 轴上方的图象，把 轴下方的图象翻折到 轴上方，即得函数 的图象，如图．‎ ‎    ‎ ‎    (3)根据图象分别指出 为何值时，关于 的方程 有 个实根？ 个实根？ 个实根？‎ ‎【解】        把关于 的方程 的实根个数转化为函数 与 的图象的公共点的个数，根据图象观察可得：当 或 时，方程有 个实根；当 时，方程有 个实根；当 时，方程有 个实根．‎ ‎27. 作出函数 的图象，并根据图象写出定义域、值域、单调区间．‎ ‎【解】        如图，‎ ‎    ‎ ‎    定义域 ；‎ ‎    值域 ；‎ ‎    单调减区间 ．‎ ‎28. 作出下列函数的图象：‎ ‎    (1) ‎ ‎【解】        ‎ ‎    (2) ．‎ ‎【解】        ‎ ‎29. 试利用函数 和 的图象，研究方程 的实数根个数．‎ ‎【解】        根据图象平移知识，在同一坐标系内画出函数 和 的图象，如图，‎ ‎    ‎ ‎    由图象观察可知两条函数曲线有 个交点，故方程有 个实根．‎ ‎30. 已知 ，．‎ ‎    (1)， 为何值时，两个函数图象重合？‎ ‎【解】        由题意知 ，‎ ‎    所以 ‎ ‎    所以当 ， 时，两函数图象重合．‎ ‎    (2)， 为何值时，两个函数图象相交于点 ？‎ ‎【解】        因为两函数的图象相交于点 ，所以点 既在直线 ，又在直线 上，‎ ‎    所以 ，‎ ‎    解得 ，‎ ‎    所以当 ， 时，两条直线相交于点 ．‎ ‎31. 已知函数 是定义域为 的奇函数，且它的图象关于直线 对称．‎ ‎    (1)求 的值；‎ ‎【解】         为 上的奇函数， 对任意 ，都有 ，‎ ‎    令 ，则 ， ．‎ ‎    (2)证明：函数 是周期函数；‎ ‎【解】         为 上的奇函数， 对任意 ，都有 ， 的图象关于直线 对称，‎ ‎     对任意 都有 ， 用 代 得，，‎ ‎     ．‎ ‎    即 ． 是周期函数， 是其周期．‎ ‎    (3)若 ，求当 时，函数 的解析式，并画出满足条件的函数 至少一个周期的图象．‎ ‎【解】        当 时，，‎ ‎    当 时，，；‎ ‎    当 时，，．‎ ‎     图象如下：‎ ‎32. 对于任意实数 ，函数 恒为正值，求 的取值范围．‎ ‎【解】        显然 ，即 ，则 ‎    得 ‎ ．‎ ‎33. 作出函数 的图象，并求其值域．‎ ‎【解】        当 时， 的图象是反比例函数图象的一部分；‎ ‎    当 时，图象为直线 图象的一部分，如图所示．‎ ‎    ‎ ‎    由图可知，函数的值域为 ．‎ ‎34. 已知二次函数 的图象过 ，，．‎ ‎    (1)求 的解析式；‎ ‎【解】        由已知条件设二次函数的解析式为 ，把点 的坐标代入可得 ，所以解析式为 ．‎ ‎    (2)求不等式 的解集．‎ ‎【解】        由题知，，‎ ‎    解得 ，‎ ‎    所以 的解集为 ．‎ ‎    (3)将 的图象向右平移 个单位，求所得图象的函数 的解析式．‎ ‎【解】        由题知，函数解析式为 ．‎ ‎35. 求函数 的定义域，并画出它的图象，再求其值域．‎ ‎【解】        由题意，该函数的定义域为 ， ‎ ‎    其图象如图所示：‎ ‎    ‎ ‎    由图象知，该函数的值域为 ．‎ ‎36. 若点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，问当 为何值时，‎ ‎    (1) ；‎ ‎【解】        由题意令 ，由图象过点 ，‎ ‎    得 ， 解得 ．‎ ‎    ∴ ．‎ ‎    同理可得 ．‎ ‎    画出图象(如图)，‎ ‎    ‎ ‎    可得：‎ ‎    当 或 时， ；‎ ‎    (2) ；‎ ‎【解】        当 时， ；‎ ‎    (3) ．‎ ‎【解】        当 时， ．‎ ‎37. 直线 与曲线 有四个交点，求 的取值范围．‎ ‎【解】        当 时，函数 ，所以函数的最小值为 ．‎ ‎    当函数的图象向上平移 个单位时，函数图象与直线 有 个交点；‎ ‎    当函数的图象向上平移 个单位时，与直线 有 个交点．‎ ‎    所以若直线 与函数的图象有 个交点时，则向上平移单位的范围应为 ．‎ ‎    故 的取值范围为 ．‎ ‎38. 画出函数 的图象，并根据图象回答下列问题：‎ ‎    (1)比较 、 、 的大小；‎ ‎【解】        因为函数 的定义域为 ，列表：‎ ‎ 连线，描点，得函数图象如图：‎ ‎    ‎ ‎    根据图象，容易发现 ，‎ ‎    (2)若 ，比较 与 的大小；‎ ‎【解】        根据图象，容易发现当 时，有 ．‎ ‎    (3)求函数 的值域．‎ ‎【解】        根据图象，可以看出函数的图象是以 为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为 ．‎ ‎39. 已知 ，函数 ‎ ‎    (1)当 时，写出函数 的单调递增区间；‎ ‎【解】        当 时，，‎ ‎    所以 ，‎ ‎    所以 ，由 ，得 或 ，‎ ‎    所以单调增区间为 ，．‎ ‎    (2)当 时，求 在区间 上的最值；‎ ‎【解】        因为 ，‎ ‎    所以 ，‎ ‎    由 ，得 ，‎ ‎     在区间 上的最值为：‎ ‎     ，．‎ ‎    (3) 函数 在 上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）．‎ ‎【解】        ，‎ ‎    ①当 时，图象如图1所示．‎ ‎    ‎ ‎    由 得 ．‎ ‎    所以 ，．‎ ‎    ②当 时，图象如图2所示．‎ ‎    ‎ ‎    由 得 ．‎ ‎    所以 ，．‎ ‎40. 试求函数 的定义域、值域，并讨论其单调性．‎ ‎【解】        定义域为 ，值域为 ，单调增区间为 ，单调减区间为 ．‎ 函数的图象变换 ‎ 1. 将函数 的图象沿向量 平移后，得到函数 的图象，则函数  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎ 2. 若函数 的图象与 的图象关于   对称，则函数  ．（填上你认为可以成为真命题的一种情形即可）‎ ‎【答案】     轴；（答案不唯一）‎ ‎【分析】    如： 轴； 或直线 ； 等．‎ ‎ 3. 为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象  ．‎ ‎【答案】    向上平移 个单位 ‎ 4. 若函数 的图象与 轴有公共点，则 的取值范围是  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎ 5. 若函数 的图象过点 ，则函数 的反函数的图象过点  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 的图象过点 ，所以 的图象过点 ，所以 的反函数的图象过点 ．‎ ‎ 6. 若函数 的图象与函数 的图象关于原点对称，则  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎【分析】    设点 在函数 上，则点 在函数 上，，所以 ．‎ ‎ 7. 已知函数 则使函数 的图象位于直线 上方的 的取值范围是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    当 时，，‎ 所以 ；‎ 当 时，，‎ 所以 ．‎ 综上所述， 的取值范围为 或 ．‎ ‎ 8. 若把函数 的图象按向量 平移，得到函数 的图象，则向量 的坐标为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    本题考查函数的图象变换．‎ ‎【解】    将函数 的图象向左平移三个单位，再向下平移四个单位即得函数 的图象，故所求向量为 ．‎ ‎ 9. 已知 是定义在 上的减函数，那么函数 的单调减区间是  ；函数 的单调减区间是  ．‎ ‎【答案】     ； ‎ ‎10. 已知 的图象关于直线 对称，则实数 的值为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎11. 下列命题：‎ ‎① 函数 是奇函数；② 函数 在 上是增函数；‎ ‎③ 将函数 的图象向左平移 个单位可得到 的图象；‎ ‎④ 若 ，则 ；则上述正确命题的序号是  ．（将正确命题的序号都填上）‎ ‎【答案】    ①③④‎ ‎【分析】    对于①，函数的定义域是 ，当 时，，显然是奇函数，故①正确；函数 在 上是增函数，在 上是减函数，故②错；根据“左加右减”的原则，可知③正确；画出函数 与 的草图，从图中可以看出 ，故④正确．‎ ‎12. 已知函数 的图象恒过定点 的坐标为  ，将 的图象向下平移 个单位，再向  平移  个单位，即可得到函数 的图象．‎ ‎【答案】    ，左，‎ ‎13. 已知 的图象如图所示，今考虑 ，则方程 ：‎ ‎① 有三个实根；‎ ‎② 当 时，恰有一实根（有一实根且仅有一实根）；‎ ‎③ 当 时，恰有一实根；‎ ‎④ 当 时，恰有一实根；‎ ‎⑤ 当 时，恰有一实根．‎ 则正确结论的编号为  ．‎ ‎【答案】    ①②‎ ‎14. 函数 的图象的对称中心的坐标是  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    提示：反比例函数 向左平移 个单位，再向上平移 个单位可得到函数 的图象．‎ ‎15. 若曲线 与直线 无交点，则 的取值范围为  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎16. 把下面的命题补充完整，并使之成为真命题：‎ ‎（1）若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则函数  ．‎ ‎（2）若函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则函数  ．‎ ‎（3）若函数 的图象与 的图象关于原点对称，则函数  ．‎ ‎（4）若函数 的图象与 的图象关于 对称，则函数  ．‎ ‎【答案】     ；；； ‎ ‎【分析】    （1）函数 的图象与 的图象关于 轴对称，只需用 去代换原来的 ，即可由 求出 的解析式．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎（2）函数 的图象与 的图象关于 轴对称，只需用 去代换原来的 即可．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎（3）函数 的图象与 的图象关于原点对称，只需用 去代换原来的 即可．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎（4）函数 的图象与 的图象关于 对称，只需用 去代换原来的 即可．‎ ‎ ，．‎ ‎17. 将 的图象向右平移 个单位后得曲线 ，将函数 的图象向下平移 个单位后得曲线 ， 与 关于 轴对称．若 的最小值为 且 ，则实数 的取值范围为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    首先应求出 的表达式，曲线 对应的函数式为 ，曲线 与 关于 轴对称，因此 的函数解析式为 ， 向上平移 个单位，就是函数 的图象，则 ．‎ ‎ ，其最小值大于 ，说明函数 的最小值大于 ．‎ 下面观察函数 ，若 ，则当 时，， 无最小值，同理当 时， 时 ，， 无最小值，因此 ，，，当且仅当 时等号成立，即 最小值为 ，从而 ，解得 ．‎ ‎18. 函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是  ．‎ ‎【答案】     ‎ ‎【分析】    由于函数 在 内单调递减，在 内单调递增，而函数在区间 内不单调，所以有 ，解得 ．‎ ‎19. 若函数 （其中 ， 为常数）的图象如图所示，‎ 则函数 的大致图象是  ．（填序号）‎ ‎【答案】    ④‎ ‎【分析】    提示：由 的图象可得 ，，所以 为减函数，再向上平移 个单位得函数 的图象．‎ ‎20. 设偶函数 在 上单调递增，则 与 的大小关系为  ．‎ ‎【答案】    ‎ ‎【分析】    因为 为偶函数，‎ 所以 ，即 ，‎ 则 ，解得 ，‎ 则 ，‎ 设 ，则当 时，函数为增函数，‎ 若 在 上单调递增，‎ 则 上单调递增，即 ，‎ 则 ，‎ ‎ ，‎ 即 ．‎ ‎21. 设 为实数，函数 ，‎ ‎    (1)讨论 的奇偶性；‎ ‎【解】        当 时，，此时 为奇函数．‎ ‎    当 时，，，‎ ‎    由 且 ，此时 既不是奇函数又不是偶函数．‎ ‎    (2)当 时，求 的最大值．‎ ‎【解】        当 时，‎ ‎    因为 时， 为增函数，所以 时，．‎ ‎    当 时，因为 ，所以 ，其图象如图所示：‎ ‎    ‎ ‎    ① 当 ，即 时，；‎ ‎    ② 当 ，即 时，；‎ ‎    ③ 当 ，即 时，．‎ ‎    综上：当 时，；当 时，；当 时，；‎ ‎22. 已知 ，且 有且仅有两个不同的实根 和 （）．‎ ‎    (1)求实数 的取值范围；‎ ‎【解】        根据 图象在 轴以下部分向上翻后， 对应的顶点值为 ，得 ．‎ ‎    (2)若 、 且 ，求证：；‎ ‎【解】        由韦达定理知 ，不妨设 ．‎ ‎    方法一：由于 、 ，故 ， ‎ ‎    即 ‎ ‎     ‎ ‎     ，‎ ‎    方法二： 、 ，且 ，由其对应的函数图象开口朝上，‎ ‎    故 ，两式相加得：‎ ‎     ，再由 ，‎ ‎    得 成立．‎ ‎    (3)设 ，对于任意 、 上恒有 成立，‎ ‎    求 的取值范围．‎ ‎【解】        ，所以 ‎ ‎    任取 、 ， < ，则 ‎ ‎    所以 在区间 上是增函数，故 等价于 ‎     ‎ ‎    又因为 ‎ ‎    所以 ．‎ ‎     由 在 时奇函数且递增，所以 ．‎ ‎    所以 ，‎ ‎    所以 ．‎ 课后练习 ‎ 1. 如图所示，函数 的图象由两条射线和三条线段组成．‎ 若对 ，都有 ，其中 ，，则 的最小值为  ．‎ ‎ 2. 已知二次函数 的最小值为 ， 且 在区间 上单调，则 的取值范围是  ．‎ ‎ 3. 函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得的图象与曲线 关于 轴对称，则  ．‎ ‎ 4. 已知图象变换： 关于 轴对称； 关于 轴对称； 右移 个单位； 左移 个单位； 右移 个单位； 左移 个单位； 横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变； 横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变．由 的图象经过上述某些变换可得 的图象，这些变换可以依次是  （请填上变换的序号）．‎ ‎ 5. 的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数 的取值范围是  ．‎ ‎ 6. 函数 的最小值为  ；图象的对称轴方程为  ．‎ ‎ 7. 函数 的图象如图所示．那么， 的定义域是  ；值域是  ．‎ 其中只与 的一个值对应的 值的范围是  ．‎ ‎ 8. 在以下三个函数：，，与 中，能使其定义域内任意两个相异的自变量值 ，，均有 成立的函数为  ．‎ ‎ 9. 已知函数 ，，其中 ．若 与 的图象有两个不同的交点，则 的取值范围是  ．‎ ‎10. 函数 的对称轴为  ．‎ ‎11. 把函数 的图象按 平移得到 ，则 的函数解析式是  ．‎ ‎12. 将函数 的图象先向左平移 个单位，再关于 轴对称得到 的图象，则  ．‎ ‎13. 函数 的图象 按向量 平移到 ，则 的函数解析式为  ．‎ ‎14. 将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得函数的解析式为  ．‎ ‎15. 对于实数 和 ，定义运算" "： 设 ，且关于 的方程 恰有三个互不相等的实数根 ，，，则 的取值范围是  ．‎ ‎16. 若把函数 的图象按 平移，得到函数 的图象，则 的坐标为  ．‎ ‎17. 已知函数 （其中 ）的图象为，则函数 的图象一定不过第  象限．‎ ‎18. 如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经 分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量， 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则 与下落时间 （分）的函数关系表示的图象只可能是  ．‎ ‎19. 将函数 的图象上所有点的横坐标向右平移 个单位，得到函数  的图象．‎ ‎20. 函数 的单调递减区间为  ．‎ ‎21. 函数 （ 且 ）恒过定点  ．‎ ‎22. 把函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得图象对应的函数的解析式是  ．‎ ‎23. 已知解关于 的方程 有两个解，求 的取值范围  ．‎ ‎24. 定义在 上的函数 满足 ，又 ，，给出下列命题：‎ ‎① 的图象关于直线 对称， 的图象与 的图象关于直线 对称；‎ ‎② 的图象关于直线 对称， 的图象与 的图象关于直线 对称；‎ ‎③ 的图象关于直线 对称， 的图象关于直线 对称；‎ ‎④ 的图象关于直线 对称， 的图象关于直线 对称．‎ 其中正确的命题是  （填入正确命题的序号）．‎ ‎25. 已知函数 （，且 ）恒过定点 ，那么点 的坐标为  ．‎ ‎26. 函数 的图象一定不经过第过第  象限；若函数 的图象不经过第一象限，则实数 的取值范围是   ‎ ‎27. 已知函数 若存在实数 ，，， 满足 ，且 ，则 的取值范围是  ．‎ ‎28. 已知函数 ，函数 ，若方程 的两根为， 、 （），则 、 、 、 之间的关系是  ．‎ ‎29. 若函数 在区间 上是增函数，则函数 的单调递增区间是  ．‎ ‎30. 已知函数 ，若存在实数 ，当 时， 恒成立，则实数 的最大值为  ．‎ ‎31. 把一个函数的图象按向量 平移，得到的图象的解析式为 ，则原来的函数的解析式为  ．‎ ‎32. 若函数 的图像与 轴有公共点，则 的取值范围是  ．‎ ‎33. 给出下列命题：‎ ‎①变量 与 之间的相关系数 ，查表到相关系数的临界值为 ，则变量 与 之间具有线性关系；‎ ‎② ， 则不等式 恒成立；‎ ‎③ 对于函数 ，若 ，，则函数在 内至多有一个零点；‎ ‎④ 与 的图象关于 对称．‎ 其中所有正确命题的序号是  ．‎ ‎34. 函数 的图象不经过第二象限，则 的取值范围是  ．‎ ‎35. 函数 的图象可由函数 的图象向   平移   个单位得到；根据函数图象可知函数 的奇偶性为  ．‎ ‎36. 函数 的单调递增区间是  ．‎ ‎37. 若 是定义在 上周期为 的周期函数，且 是偶函数，当 时，，则函数 的零点个数为  ．‎ ‎38. 若函数 满足 ，且 时， ，则函数 的图象与函数 的图象的交点的个数是  ．‎ ‎39. 关于函数 有下列命题：‎ ‎①函数 的值域为 ；‎ ‎②直线 与函数 的图象有唯一交点；‎ ‎③函数 有两个零点；‎ ‎④函数定义域为 ，则任意的 ，．‎ 其中所有叙述正确的命题序号是  ．‎ ‎40. 对于函数 ，给出下列命题：‎ ‎（1）在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称；‎ ‎（2）若 ，则函数 的图象关于直线 对称；‎ ‎（3）若 ，则函数 是周期函数；‎ ‎（4）若 ，则函数 的图象关于点 对称．‎ 其中所有正确命题的序号是  ．‎ ‎41. 如图所示，函数的图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．‎ ‎42. 利用函数 的图象，作出下列各函数的图象：‎ ‎    (1) ；‎ ‎    (2) ；‎ ‎    (3) ．‎ ‎43. 已知二次函数 ．‎ ‎    (1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象．‎ ‎    (2)求此函数图象与 轴、 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．‎ ‎    (3)当 分别为何值时，有 ，， ？‎ ‎44. 已知函数 ．‎ ‎    (1)求出 的零点；‎ ‎    (2)作出 的图象，并写出它的单调区间．‎ ‎45. 已知函数 （ 且 ）．‎ ‎    (1)若函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，求 的值；‎ ‎    (2)将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求 的取值范围．‎ ‎46. 设 ．‎ ‎    (1)解不等式 ；‎ ‎    (2)若存在实数 满足 ，试求实数 的取值范围．‎ ‎47. 图中给出了奇函数 的部分图象，已知 的定义域为 ，试补全其图象，并比较 与 的大小．‎ ‎48. 求函数 的单调区间．‎ ‎49. 画出下列函数的图象并求值域：‎ ‎    (1)‎ ‎    (2)．‎ ‎50. 已知函数 ．‎ ‎    (1)用分段函数的形式表示该函数；‎ ‎    (2)画出该函数的草图；‎ ‎    (3)利用图象写出该函数的值域、单调递减区间．‎ ‎51. 已知 ‎ ‎    (1)若 ，画出函数的简图，并指出函数的单调区间．‎ ‎    (2)若函数 的图象与直线 （）有两个不同的交点，求 的取值范围．‎ ‎52. 设函数 ．‎ ‎    (1)画出函数 在区间 上的图象；‎ ‎    (2)设集合 ，，试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；‎ ‎    (3)当 时，求证：在区间 上，函数 的图象位于函数 的图象的上方．‎ ‎53. 已知函数 （），且 ．‎ ‎    (1)作出函数 的图象；‎ ‎    (2)根据图象指出函数 的单调递减区间；‎ ‎    (3)求当 时函数 的值域．‎ ‎54. 已知函数 为奇函数；‎ ‎    (1)求 以及 的值；‎ ‎    (2)在给出的直角坐标系中画出 的图象，并写出单调区间；‎ ‎    (3)就 的取值范围，讨论函数 的零点个数．‎ ‎55. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，．‎ ‎    (1)求函数 的解析式；‎ ‎    (2)①证明函数 在 上是单调递减函数；②判断函数 在 上的单调性（不要证明）；‎ ‎    (3)根据你对该函数的理解，作出函数 的图象．（不需要说明理由，但要有关键特征，标出关键点）（本题可能使用到的公式：）‎ ‎    ‎ ‎56. 已知函数 ‎ ‎    (1)画出函数 的简图（要求标出关键的点、线）；‎ ‎    (2)结合图象，直接写出函数 的单调增区间；‎ ‎    (3)观察图象，若关于 的方程 有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围．‎ ‎57. 已知函数 ，将 的图象向右平移两个单位，得到 的图象．‎ ‎    (1)求函数 的解析式；‎ ‎    (2)若函数 的图象与直线 有公共点，求公共点的坐标．‎ ‎58. 已知一次函数 ．‎ ‎    (1) 为何值时， 随 的增大而减小？‎ ‎    (2) 满足什么条件时，函数图象与 轴的交点在 轴下方？‎ ‎    (3) 分别取何值时，函数图象经过原点？‎ ‎    (4) 满足什么条件时，函数图象不经过第二象限？‎ ‎59. 试根据图形写出 ，， 所满足的不等关系．‎ ‎60. 如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为 ，渠深为 ，斜坡的倾斜角是 ．（临界状态不考虑）‎ ‎    (1)试将横断面中水的面积 表示成水深 的函数；‎ ‎    (2)确定函数的定义域和值域；‎ ‎    (3)画出函数的图象．‎ 函数的图象-出门考 姓名                                                                 成绩                                  ‎ ‎ 1. 一水池有 个进水口， 个出水口，进出水速度如下图甲、乙所示．某天 点到 点，该水池的蓄水量如下图丙所示．（至少打开一个水口）‎ 给出以下 个论断：‎ ‎① 点到 点只进水不出水；‎ ‎② 点到 点不进水只出水；‎ ‎③ 点到 点不进水不出水；‎ 则一定能确定正确的论断序号是  ．‎ ‎ 2. 已知函数 ，，对于满足 的任意 、 ，给出下列结论：‎ ‎① ；‎ ‎② ；‎ ‎③ ；‎ ‎④ ．‎ 其中正确结论的序号是  ．‎ ‎ 3. 若函数 的图象不经过第二象限，则 的取值范围是  ．‎ ‎ 4. 函数 ，若方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是  ．‎ ‎ 5. 水滴进玻璃容器，如图所示（设单位时间内进水量相同），那么水的高度是如何随时间变化的，请填上匹配的图象与容器．  ；  ；  ；  ．‎ ‎ 6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的图象所对应的函数的解析式为  ．‎ ‎ 7. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的取值范围是  ．‎ ‎ 8. 函数 的图象是由函数 的图象沿 轴向  平移  个单位，再沿 轴向  平移  个单位得到的．‎ ‎ 9. 在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图象只有一个交点，则 的值为  ．‎ ‎10. （1）将函数 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数   的图象；将 的图象向下平移一个单位长度即可得到函数   的图象；（2）函数 的图象与 的图象关于   对称；（3）函数 的图象与 的图象关于   对称；（4）函数 的图象与函数 的图象关于   对称．‎ ‎11. 将 的图象向左，向下分别平移 个单位，得到 的图象，则  ．‎ ‎12. 将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象 ，再将 向上平移一个单位得到图象 ，作出 关于直线 对称的图象 ，则 的解析式为  ．‎ ‎13. 设函数 ，则方程 根的个数为  ．‎ ‎14. 已知函数 的定义域是 （， 为整数），值域是 ，则满足条件的整数数对 共有   个．‎ ‎15. 对于函数 定义域中任意 有如下结论：‎ ‎① ‎ ‎② ‎ ‎③ ‎ ‎④ 其中正确结论的序号是  ．‎ ‎16. 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象向  平移  个单位长度得到．‎ ‎17. 已知函数 是偶函数， 是奇函数，它们的定义域是 ，且它们在 上的图象如图所示，则不等式 的解集是  ．‎ ‎18. 函数 的单调减区间是  ．‎ ‎19. 己知函数 ，若 的图像是 ，它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 则 对应的函数解析式是  ．‎ ‎20. 设函数 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，又 ，则满足 的 的取值范围  ．‎ ‎21. 若函数 的零点个数为 ，则  ．‎ ‎22. 已知函数 ，若 的最小值是 ，则  ‎ ‎23. 若函数 的图象与 轴有公共点，则实数 的取值范围是  ．‎ ‎24. 已知函数 ，若方程 有且只有一个解，则实数 的取值范围是  ．‎ ‎25. 若函数 在 上单调递减，则 的取值范围是  ．‎ ‎26. 给出下列四个命题：‎ ‎①函数 为奇函数的充要条件是 ‎ ‎②函数 的反函数是 ‎ ‎③若函数 的值域是 ，则 或 ‎ ‎④若函数 是偶函数，则函数 的图象关于直线 对称．‎ 其中所有正确的命题的序号是  ．‎ ‎27. 若 是 上的奇函数，则函数 的图象必过定点  ．‎ ‎28. 画出函数 的图象，并指出函数的单调区间．‎ ‎29. 设函数 ，且函数 与 互为反函数．‎ ‎    (1)求 的表达式；‎ ‎    (2)将函数 的图象经过怎样的平移后，可以得到函数 的图象？‎ ‎30. 当 （）时，不等式 恒成立，求 的取值范围．‎ ‎31. 甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 ， 及任意 ，当甲公司投入 万元宣传费时，若乙公司投入的宣传费小于 万元，则乙公司有失败的风险，否则无风险；当乙公司投入 万元宣传费时，若甲公司投入的宣传费小于 万元，则甲公司有失败的风险，否则无风险．‎ ‎    (1)请解释 ， 的实际意义；‎ ‎    (2)设直线 与 的图象交于点 ，请解释 的实际意义．‎ ‎32. 已知函数 ‎ ‎    (1)作出函数 图象的简图，请根据图象写出函数 的单调减区间；‎ ‎    (2)求方程 的解．‎ ‎33. 已知 ，用图象法表示函数 ．‎ ‎34. 已知 ，函数 ．‎ ‎    (1)当 时，将函数 写成分段函数的形式，并作出函数的简图，写出函数 的单调递增区间；‎ ‎    (2)当 时，求函数 在区间 上的最小值．‎ ‎35. 设二次函数 ，其图象过点 ，且与直线 有交点．‎ ‎    (1)求证：；‎ ‎    (2)若直线 与函数 的图象从左到右依次交于 ，，， 四点，若线段 ，， 能构成钝角三角形，求 的取值范围．‎ ‎36. 已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时，．‎ ‎    (1)求函数 的解析式；‎ ‎    (2)画出函数 的大致图象，并求出函数的值域．‎ ‎37. 已知函数 ‎ ‎    (1)求 ，；‎ ‎    (2)画出 的图象；‎ ‎    (3)若 ，求 的值．‎ ‎38. 已知函数 ．‎ ‎    (1)画出函数 的图象；‎ ‎    (2)求函数 在区间 上的最大值和最小值；‎ ‎    (3)当实数 为何值时，方程 有三个解？‎ ‎39. 已知函数 （ 为实常数）．‎ ‎    (1)若 ，作函数 的图象并写出函数的单调区间；‎ ‎    (2)当 时，设 在区间 上的最小值为 ，求 的表达式；‎ ‎    (3)设 ，若函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．‎ ‎    (1)已知 是奇函数，求常数 的值；‎ ‎    (2)画出函数 的图象，并利用图象回答： 为何值时，方程 无解？有一解？有两解？‎ ‎41. 已知函数 ．‎ ‎    (1)当 时，判断 在 的单调性，并用定义证明；‎ ‎    (2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；‎ ‎    (3)讨论 零点的个数．‎ ‎42. 已知函数 ，．‎ ‎    (1)当 时，求 的最小正周期；‎ ‎    (2)当 时，作出函数 的简图，借助图象判断 的最小正周期．‎ ‎43. 已知函数 ，，且 ．‎ ‎    (1)求实数 的值．‎ ‎    (2)作出函数 的图象，并根据图象写出 的单调区间；‎ ‎    (3)若方程 有三个实数解，求实数 的取值范围．‎ ‎44. 已知函数 ．‎ ‎    (1)用分段函数的形式表示该函数；‎ ‎    (2)画出该函数的图象；‎ ‎    (3)写出该函数的值域．‎ ‎45. 设函数 ，‎ ‎ ，其中 ，记函数 的最大值与最小值的差为 ．‎ ‎    (1)求函数 的解析式；‎ ‎    (2)画出函数 的图象并指出 的最小值．‎ ‎46. 已知二次函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，得到二次函数 的图象，求该二次函数的解析式．‎ ‎47. 设 ， 为函数 （，）两个不同零点．‎ ‎    (1)若 ，且对任意 ，都有 ，求 ；‎ ‎    (2)若 ，则关于 的方程 是否存在负实根？若存在，求出该负根的取值范围，若不存在，请说明理由；‎ ‎    (3)若 ，，且当 时， 的最大值为 ，求 的最小值．‎