【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案
命题及其关系、充分条件与必要条件
【考点梳理】
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(3)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
4．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
【考点突破】
考点一、四种命题的关系及其真假判断
【例1】(1) 命题“若，则”的逆否命题是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
(2) 给出下列命题：
①“∃x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；
②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；
③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] (1)C (2)C
[解析] (1)命题“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：，p：，所以该命题的逆否命题是“若，则”.
(2) ①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3
b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若a≤b，则a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，则a≤b
C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c
[答案] A
[解析] 将条件、结论都否定.命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
2. 原命题：设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
[答案] C
[解析] 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
考点二、充分条件与必要条件的判断
【例2】(1) 已知函数f(x)＝则“x＝0”是“f(x)＝1”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(2) 设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] (1)B (2)B
[解析] (1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.
(2)由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
【类题通法】
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
【对点训练】
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．
2．已知a，b都是实数，那么“>”是“ln a>ln b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.
当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.
考点三、充分条件、必要条件的应用
【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[解析] 由x2－8x－20≤0得
－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P，
∴∴0≤m≤3.
综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.
【变式1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
[解析] 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【变式2】本例条件不变，若P是S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
[解析] 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵P是S的必要不充分条件，
∴P是S的充分不必要条件，
∴P⇒S且S P.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
【类题通法】
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
【对点训练】
已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
[答案] [9，＋∞)
[解析] 法一：由≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴q对应的集合为{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
∵p是q的必要不充分条件，
∴BA，∴或解得m≥9，
∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
法二：∵p是q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即p是q的充分不必要条件，
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分不必要条件知，NM，
∴或解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
