2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第二章第一讲 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第一讲 函数及其表示
1.下列说法中正确的个数是( )
(1)f (x)=1x - 4+3 - x是一个函数.
(2)已知f (x)=m(x∈R),则f (m3)=m3.
(3)y=ln x2与y=2ln x表示同一函数.
(4)f (x)=x2+1, - 1≤x≤1,x+3,x>1或x< - 1,则f ( - x)=x2+1, - 1≤x≤1, - x+3,x>1或x< - 1.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.[2020湖南师大附中模拟]已知函数f (x)的图象如图2 - 1 - 1所示,则函数f (x)的解析式可能是( )
A.f (x)=(4x+4 - x)|x|
B.f (x)=(4x - 4 - x)log4|x|
C.f (x)=(4x+4 - x)log14|x|
D.f (x)=(4x+4 - x)log4|x|
3.[2016全国卷Ⅱ,10,5分][文]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=1x
4.[2020成都市高三测试]已知函数f (x)=sin(πx+π6),x≤0,2x+1,x>0,则f ( - 2)+f (1)=( )
A.6+32 B.6 - 32 C.72 D.52
5.[2019江苏,4,5分]函数y=7+6x - x2的定义域是 .
6.[2015福建,14,4分]若函数f (x)= - x+6,x≤2,3+logax,x>2(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是 .
考法1 求函数的定义域
命题角度1 求具体函数的定义域
1(1)函数y=1log12(2 - x)+12x - 3的定义域为 .
(2)函数y=1loga(x - 1)(a>0且a≠1)的定义域为 .
(1)要使函数有意义,则log12(2 - x)>0,2x - 3≠0⇒0<2 - x<1,x≠32⇒1
1时,由loga(x - 1)>0,得x - 1>1,所以x>2;
当00,得01时,函数的定义域为(2,+∞);当01),则实数b的值为 .
考法4 分段函数的应用
7(1)[2015新课标全国Ⅱ,5,5分]设函数f (x)=1+log2(2 - x),x<1,2x - 1,x≥1,则f ( - 2)+f (log212)=
A.3 B.6 C.9 D.12
(2)[2017 山东,9, 5分][文]设f (x)=x,01,f (a)=a,f (a+1)=2(a+1 - 1)=2a,因为f (a)=f (a+1),所以a=2a,解得a=14或a=0(舍去).所以f (1a)=f (4)=2×(4 - 1)=6.当a>1时,a+1>2,所以f (a)=2(a - 1),f (a+1)=2(a+1 - 1)=2a,
所以2(a - 1)=2a,无解.当a=1时,a+1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f (1a)=6.故选C.
(3)当x≥0时,2x - 1≤3,所以2x≤4=22,所以0≤x≤2.
当x<0时,x2 - 2x≤3,所以x2 - 2x - 3≤0,所以 - 1≤x<0.
综上可得x的取值范围是[ - 1,2].
3.(1)[2018全国卷Ⅰ,12,5分][文]设函数f (x)=2 - x,x≤0,1,x>0,则满足f (x+1)a.
①若a=0,则f (x)的最大值为 ;
②若f (x)无最大值,则实数a的取值范围是 .
数学探究 与函数有关的新定义问题
8在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点,则称函数f (x)为n阶整点函数.给出下列函数:
①f (x)=sin 2x ; ②g(x)=x3; ③h(x)=(13)x; ④φ(x)=ln x.
其中是一阶整点函数的是
A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④
给什么
得什么
(1)新定义——n阶整点函数,即其图象恰好经过n个整点(其横、纵坐标为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n个整点.
(2)4个具体的函数.
求什么
想什么
判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数.
差什么
找什么
分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.
对于函数f (x)=sin 2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D;
对于函数g(x)=x3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A …………………………….….(只要找到两个整点,即可判断函数不是一阶整点函数)
对于函数h(x)=(13)x,它的图象(图略)经过整点(0,1),( - 1,3), … ,所以它不是一阶整点函数,排除B.选C.
C
4.[2017山东,10,5分][文]若函数exf (x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增,则称函数f (x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是( )
A.f (x)=2 - x
B.f (x)=x2
C.f (x)=3 - x
D.f (x)=cos x
思想方法 分类与整合思想在函数中的应用
9 [2015山东,10,5分]设函数f (x)=3x - 1,x<1,2x,x≥1.则满足 f (f (a))=2f (a)的a的取值范围是
A.[23,1] B.[0,1] C.[23,+∞) D.[1,+∞)
由f (f (a))=2f (a),得f (a)≥1.若a<1,则3a - 1≥1,解得23≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥1.综上,a的取值范围是[23,+∞).
C
5.函数y=f (x)的图象是如图2 - 1 - 2所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,0),函数g(x)=x·f (x), 那么函数g(x)的值域为( )
A.[0,2] B.[0,94]
C.[0,32] D.[0,4]
1.B 对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f(x)是常数函数,所以f(m3)=m,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B.
2.D 对于A,f(x)大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B,当x< - 1时,f(x)<0,与图象不符,排除;对于C,当x>1时,f(x)<0,与图象不符,排除.选D.
3.D 解法一 函数y=10lg x的定义域为(0,+∞),当x>0时,y=10lg x=x,故函数的值域为(0,+∞).只有选项D符合.
解法二 易知函数y=10lg x中x>0,排除选项A,C;因为10lg x必为正值,所以排除选项B.选D.
4.C f( - 2)+f(1)=sin( - 2π+π6)+(21+1)=sin π6+3=12+3=72,故选C.
5.[ - 1,7] 要使函数有意义,则7+6x - x2≥0,解得 - 1≤x≤7,则函数的定义域是[ - 1,7].
6.(1,2] 因为f(x)= - x+6,x≤2,3+logax,x>2,所以当x≤2时, f(x)≥4.又函数f(x)的值域是[4,+∞),所以a>1,3+loga2≥4,解得10的解集为(2,+∞),由2a·x - 1>0可得x>12a,∴12a=2,∴a= - 1.
(2)3 f(x)=12(x - 1)2+1,x∈[1,b]且b>1,f(1)=1, f(b)=12(b - 1)2+1,
函数图象的对称轴为直线x=1,且f(x)在[1,b]上单调递增.
∴函数的值域为[1,12(b - 1)2+1].
由已知得12(b - 1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍).
3.(1)D 当x≤0时,函数f(x)=2 - x是减函数,则f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如图D 2 - 1 - 1所示,结合图象可知,要使f(x+1)0.当x>0时, - 2x<0;当x≤0时,f ' (x)=3x2 - 3=3(x+1)(x - 1),令f ' (x)>0,得x< - 1,令f ' (x)<0,得 - 1a无最大值,由图象可知 - 2a>2,解得a< - 1.所以实数a的取值范围是( - ∞, - 1).
图D 2 - 1 - 2
4.A 对于选项A,f(x)=2 - x=(12)x, 则exf(x)=ex·(12)x=(e2)x,∵e2>1,∴exf(x)在R上单调递增,∴f(x)=2 - x具有M性质.对于选项B,f(x)=x2,exf(x)=exx2,
[exf(x)] ' =ex(x2+2x),令ex(x2+2x)>0,得x>0或x< - 2;令ex(x2+2x)<0,得 - 2
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