陕西省渭南市富平县富平中学2020届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题

陕西省渭南市富平县富平中学2020届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题

富平县2020届高三摸底考试 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算即可.‎ ‎【详解】由已知可得，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由复数的运算得到；‎ 故答案为A．‎ ‎3.已知向量，，则（ ）‎ A. -1 B. ‎-2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据平面向量的数量积的坐标运算即可求解.‎ ‎【详解】由已知可得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，属基础题.‎ ‎4.名学生在一次数学考试中的成绩分别为如，，，…，，要研究这名学生成绩的平均波动情况，则最能说明问题的是（ ）‎ A. 频率 B. 平均数 C. 独立性检验 D. 方差 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：直接根据频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义判断即可.‎ 详解：因为频率表示可能性大小，错；平均数表示平均水平的高低，错；独立性检验主要指两个变量相关的可能性大小，错；方差表示分散与集中程度以及波动性的大小， 对，故选D.‎ 点睛：本题主要考查频率、平均数、独立性检验、方差的基本定义，属于简单题.‎ ‎5.在中，角,,的对边分别为,,，若，则　‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理化简即可求解．‎ ‎【详解】解：，‎ 由正弦定理可得：，‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎6.对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则是的（ ）倍 A. 10 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据声强级与声强之间的关系式，将两个声强级作差，结合对数的运算律可得出的值，可得出答案．‎ ‎【详解】由题意可得，即，两式相减得，所以，，‎ 因此，是的倍，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算律，考查对数在实际问题的应用，熟练应用对数的运算性质是解本题的关键，其次就是要弄清题目的意思，考查理解能力与运算能力，属于中等题．‎ ‎7.已知，则下列不等式不成立的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.‎ ‎【详解】依题意，由于为定义域上减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎8.若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为，则目标受损但未被击毁的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．‎ ‎【详解】由于一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为，目标未受损的概率为；‎ 所以目标受损的概率为：；‎ 目标受损分为击毁和未被击毁，它们是对立事件；‎ 所以目标受损的概率目标受损被击毁的概率目标受损未被击毁的概率；‎ 故目标受损但未被击毁的概率目标受损的概率目标受损被击毁的概率，即目标受损但未被击毁的概率；‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题．‎ ‎9.已知，若命题：；命题：，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题进行化简得，再根据集合间的关系判断充分条件与必要条件.‎ ‎【详解】当命题为真时：，‎ 因为集合是集合的真子集，‎ 所以是的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查全称命题、简易逻辑中的充分条件与必要条件，考查逻辑推理能力，求解时要注意利用集合间的真子集关系进行求解.‎ ‎10.已知函数，则曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导数的几何意义直接计算即可.‎ ‎【详解】因为，所以，此时，又，所以切点为，切线的斜率为，切线的方程为：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属常规考题.‎ ‎11.已知和是平面内两条不同的直线，是－个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，与所成角相等，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，两直线可能相交；对B，两平面可能相交；对D，两直线也可能相交.‎ ‎【详解】如图，在长方体中，‎ 对A，平面为面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，显然两直线相交，故A错误；‎ 对B，平面为平面，平面为面，，分别为棱的中点，直线为直线，直线为直线，均与平面平行，但两平面相交，故B错误；‎ 对C，由面面垂直的判定定理可得C正确；‎ 对D，取的中点，显然与所成的角相等，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查空间中线面、面面位置关系，考查空间想象能力，求解时要会借助正方体进行判定，能使求解过程更直观.‎ ‎12.已知双曲线：右焦点为，为坐标原点，为的中点，若以为直径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得圆的圆心和半径，以及双曲线的渐近线方程，由直线和圆相切的条件：，化简可得，的关系，即可得到所求离心率．‎ ‎【详解】右焦点为，为坐标原点，为的中点，‎ 可得，以为直径的圆的圆心为，半径为，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 由题意可得，‎ 化为，即有，‎ 即为，则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式将式子转化关于变形，得到的齐次式，再利用同角三角函数的基本关系，转化成关于的表达式，进而求得答案.‎ ‎【详解】原式.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒变换中的倍角公式、同角三角函数的关系，考查基本运算求解能力，求解时注意1的代换，可减少运算量.‎ ‎14.已知是奇函数，当时，，则当时，__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，，，即.‎ ‎【详解】因为已知是奇函数，当时，，所以当时，，，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质求函数的解析式，属常规考题.‎ ‎15.过抛物线：的焦点作一条倾斜角为的直线，直线与抛物线交于、两点，则__________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出焦点坐标和直线方程，结合过焦点直线方程，利用设而不求的思想进行求解即可．‎ ‎【详解】抛物线的焦点坐标为，，过焦点的直线的斜率，‎ 则直线方程为，代入得，‎ 整理得，‎ 设，的坐标分别为，‎ 则，‎ 则，‎ 故答案为：16.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和抛物线的应用，联立方程组，利用设而不求思想，结合抛物线的弦长公式进行计算是解决本题的关键．‎ ‎16.《九章算术》是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”‎ 其意为：今有－圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长－尺.问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为__________立方寸.（结果保留整数）‎ 注：l丈＝10尺＝100寸，，.‎ ‎【答案】633‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案．‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎（寸，则（寸，（寸，‎ 设圆的半径为（寸，则（寸，‎ 在中，由勾股定理可得：，解得：（寸．‎ ‎，即，则．‎ 则弓形的面积（平方寸）．‎ 则算该木材镶嵌在墙中的体积约为（立方寸）．‎ 故答案为：633.‎ ‎【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23‎ 题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.如图，在四棱柱中，底面是菱形，平面，、分别是棱、的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，，，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先证明即可证明平面；（Ⅱ）由等积法即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：∵、分别是棱、的中点，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）∵为的中点，，，，‎ ‎∴点到平面的距离，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定及利用等积法求三棱锥的体积问题，属常规考题.‎ ‎18.已知是公差为3的等差数列，数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入即可求得；由等差数列通项公式可求得结果；（2）将代入，可证得数列为等比数列；由等比数列前项和公式求得结果.‎ ‎【详解】（1）由已知，，得：‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎（2）由（1）知：，即：‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列 记的前项和为，则 ‎【点睛】本题考查等差数列通项、等比数列前项和的求解问题，关键是能够准确求解出等差和等比数列的基本量，属于基础题.‎ ‎19.第届冬奥会将于年在中国北京和张家口举行，为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；‎ ‎（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从、这两个分数段中抽取 人，求从这两个分数段中应分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）中抽取的人中随机抽取人到某社区开展冬奥会宜传活动，求抽取的人成绩均在中的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）分（Ⅱ）人和人 （Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图求均值的公式计算即可；（Ⅱ）利用分层抽样的概念直接计算即可；（Ⅲ）根据古典概型的概念，先求出基本事件的总数，再求出事件：抽取的人成绩均在中所包含基本事件的个数即可求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）这名学生的平均成绩（分）.‎ ‎（Ⅱ）从成绩在的学生中抽取人，‎ 从成绩在的学生中抽取人.‎ ‎（Ⅲ）设成绩在的人为，，成绩在的人为，‎ 从中抽取人，共有种情况，分别是，，，‎ 其中抽取的人成绩均在中，有种情况，‎ ‎∴抽取的人成绩均在中的概率.‎ ‎【点睛】本题主要考查根据频率分布直方图求均值、分层抽样、古典概型等问题，知识面广，综合性强，属常规考题.‎ ‎20.已知某椭圆C，它的中心在坐标原点，左焦点为F（﹣，0），且过点D（2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若已知点A（1，），当点P在椭圆C上变动时，求出线段PA中点M的轨迹方程．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意椭圆焦点在x轴上，a=2且c=，从而b=1，得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．‎ 解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F（﹣，0），‎ ‎∴a=2，c=，可得b=1‎ 因此，椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），‎ 由根据中点坐标公式，可得，‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆上，‎ ‎∴可得，化简整理得，‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是．‎ 点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值为0，无极小值.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，解导数不等式得到极值点，进而求得函数的极值；‎ ‎（2）根据不等式恒成立，转化成恒成立，再利用参变分离、构造新函数，将问题进一步转化成恒成立，利用导数求函数的最大值，即可得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，，‎ 则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴的极大值为，无极小值.‎ ‎（2）不等式恒成立，即恒成立，‎ 又，∴恒成立，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎∴，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.‎ ‎（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P ‎（1）当时，求及的极坐标方程 ‎（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P的轨迹的极坐标方程 ‎【答案】（1），极坐标方程为（2）点轨迹的极坐标方程为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，直角坐标系坐标为，计算直线方程为化为极坐标方程为 ‎（2）点的轨迹为以为直径的圆，坐标方程为，再计算定义域得到答案.‎ ‎【详解】(1)当时，，‎ 以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，，，则直线的斜率由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；‎ ‎(2)∵∴，则点的轨迹为以为直径的圆 此时圆的直角坐标方程为 化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，‎ ‎∴点轨迹的极坐标方程为）.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的极坐标方程，轨迹方程，忽略掉定义域是容易发生的错误.‎ ‎23.已知的最小值为t.‎ ‎（1）求t的值；‎ ‎（2）若实数a，b满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）9.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由绝对值定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数，再根据分段函数性质求得最小值．‎ ‎（2）由基本不等式可得最小值．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（﹣1）＝2，∴t＝2；‎ ‎（2）由（1）可知‎2a2+2b2＝2，则a2+b2＝1，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 故的最小值为9．‎ ‎【点睛】本题考查绝对值函数的性质，考查基本不等式求最值．对绝对值函数可根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后再研究分段函数的性质即可．‎