2018-2019学年湖南省邵东县第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

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2018-2019学年湖南省邵东县第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

‎2018-2019学年湖南省邵东县第一中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由A与B,求出两集合的交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵集合A={2,3,4},集合B={2,5},‎ ‎∴A∩B={2}.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎2.下列命题正确的是().‎ A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直 B.两条异面直线不能同时平行于一个平面 C.直线的倾斜角α的范围是0°<α≤180°‎ D.两条异面直线所成的角α的取值范围是:0°<α≤90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用直线与平面垂直的定义;直线倾斜角α的取值范围;二条异面直线所成的角的取值范围;线面平行的判定与性质.选出答案.‎ ‎【详解】‎ 一条直线与平面中的任意直线垂直,则直线与平面垂直故选项A错,‎ 在空间选取一点O(不在两异面直线上),将两异面直线平移到过O,则可以确定一个平面,且由线面平行的判定定理,易证两异面直线均平行于这个平面,故选项B错,‎ 直线的倾斜角的范围是0°≤α≤180°故选项C错,‎ 二条异面直线所成的角的取值范围是0°<α≤90°故选项D正确.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的定义、直线倾斜角α的取值范围、二条异面直线所成的角的取值范围、线面平行的判定,属于基础题.‎ ‎3.已知幂函数y=f(x)的图像经过点(4,2),则这个函数的解析式是()‎ A.y=x2 B. C. D.y=2x ‎【答案】C ‎【解析】根据幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),求得幂函数的解析式即可.‎ ‎【详解】‎ 设幂函数y=f(x)=xα ‎∵幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),‎ ‎∴2=4α ‎∴α,‎ ‎∴幂函数f(x)=xα,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数解析式的求解,考查求函数值,解题的关键是认清幂函数的表达式.‎ ‎4.在正方体中,二面角的大小是()‎ A.30° B.45° C.60° D.90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为C′C⊥底面ABCD,故可由三垂线定理法作出二面角的平面角,即∠C′BC,直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为C′C⊥底面ABCD,C′B⊥AB,所以∠C′BC即为二面角C′﹣AB﹣C的平面角,因为∠C′BC=45°,所以二面角C′﹣AB﹣C的大小是45°.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二面角的作法和求解,考查正方体中线面关系,空间想象能力和运算能力.‎ ‎5.直线3x+4y-3=0与圆的位置关系是:()‎ A.相离; B.相交; C.相切; D.无法判定.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,发现d>r,故直线与圆相离.‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程得到:圆心坐标为(2,3),半径r=1,‎ 所以圆心到直线3x+4y﹣3=0的距离d3>r,‎ 则直线与圆的位置关系为相离.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系,以及点到直线的距离公式.其中直线与圆的位置关系的判定方法为:当0≤d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切;当d>r时,直线与圆相离.‎ ‎6.下列运算中正确的是()‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别利用根式与指数幂的互化,对数的运算及性质进行判断.‎ ‎【详解】‎ 对于A,所以,故A错,‎ 对于B,,故B正确,‎ 对于C,,故C错,‎ 对于D,,故D错,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指对的运算及性质的应用,熟练掌握指对运算法则及性质是解题的关键.‎ ‎7.已知0<a<1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数y=ax与y=logax互为反函数, y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称, 以及函数的单调性即可得出.‎ ‎【详解】‎ 函数y=ax与y=logax互为反函数,其图象关于直线y=x对称, ‎ y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称, ‎ 又0<a<1,根据函数的单调性即可得出. ‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了互为反函数的图象的对称性、轴对称的性质,属于基础题.‎ ‎8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是边长为2的等边三角形,俯视图是半圆,则该几何体的体积是()‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥,再根据三视图的数据易得圆锥的底面直径及母线,可得高,代入圆锥体积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由三视图知几何体的直观图是半个圆锥,‎ 又∵正视图是边长为2的等边三角形,‎ ‎∴r=1,h∴vπ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量(底面半径,高等)的大小是解答的关键.‎ ‎9.已知球的半径为10cm,一个截面圆的面积是cm2,则球心到截面圆圆心的距离是()‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出截面圆的半径,利用勾股定理求解球心与截面圆周的圆心的距离即可.‎ ‎【详解】‎ 球的半径为10cm,若它的一个截面圆的面积是36πcm2,‎ 可得截面圆的半径为:6cm,‎ 则球心与截面圆周的圆心的距离是:8cm.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球与截面圆的位置关系,点线面距离的求法,考查计算能力.‎ ‎10.若函数,则f(f(10)=‎ A.lg101 B.2 C.1 D.0‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 因为,所以.‎ 所以,故选B.‎ ‎【点评】‎ 对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.‎ 二、填空题 ‎11.函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为函数f(x)=2x+x3-2的导数为f′(x)=2xln2+3x2≥0,所以函数f(x)单调递增,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以根据根的存在定理可知在区间(0,1)内函数的零点个数为1个.‎ ‎12.在空间直角坐标系O-xyz中,点(1,2,3)关于原点的对称点坐标为__________.‎ ‎【答案】(-1,-2,-3)‎ ‎【解析】直接根据空间点的对称得到结果.‎ ‎【详解】‎ 点(1,2,3)关于原点的对称点坐标为(-1,-2,-3),‎ 故答案为:(-1,-2,-3)‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间坐标的概念及对称问题,属于基础题.‎ ‎13.过点且与直线l:平行的直线方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与直线2x-y-7=0平行的直线方程为 2x-y +m=0,把点(-4,2)代入直线方程,求出m值即得直线l的方程.‎ ‎【详解】‎ 设与直线2x-y-7=0平行的直线方程为 2x-y +m=0,‎ 把点(-4,2)代入直线方程得,‎ ‎-8﹣2+m=0,m=10,‎ 故所求的直线方程为2x-y+10=0,‎ 故答案为:2x-y+10=0.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设与已知平行的直线方程的方法是解题的关键.‎ ‎14.已知圆C经过两点,圆心在轴上,则C的方程为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由圆的几何性质得,圆心在的垂直平分线上,结合题意知,求出的垂直平分线方程,令,可得圆心坐标,从而可得圆的半径,进而可得圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由圆的几何性质得,圆心在的垂直平分线上,结合题意知,的垂直平分线为,令,得,故圆心坐标为,所以圆的半径,故圆的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题.‎ ‎15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是_________.‎ ‎【答案】(0,1)‎ ‎【解析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题,作出函数的图象得到m的范围.‎ ‎【详解】‎ 令g(x)=f(x)﹣m=0,‎ 得m=f(x)‎ 作出y=f(x)与y=m的图象,‎ 要使函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点,‎ 则y=f(x)与y=m的图象有3个不同的交点,‎ 所以0<m<1,‎ 故答案为:(0,1).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等价转化的能力、利用数形结合思想解题的思想方法是重点,要重视.‎ 三、解答题 ‎16.已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|x<-1或x>5}‎ ‎(1)若a=0,求A∩B.‎ ‎(2)若A∪B=B,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)化简集合A,由此能求出A∩B,.‎ ‎(2)推导出A⊆B,从而a+2<﹣1或a>5,由此能求出实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当a=0时,集合A={x|0≤x≤2},B={x|x<﹣1或x>5}.‎ ‎∴A∩B=.‎ ‎(2)∵集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|x<﹣1或x>5},A∪B=B,‎ ‎∴A⊆B,‎ ‎∴a+2<﹣1或a>5,‎ 解得a<﹣3或a>5.‎ ‎∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(5,+∞).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查交集的求法,考查并集的性质的应用及集合间的关系,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎17.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,点E、F分别是AB和PC的中点.‎ ‎(1)求证:AB⊥平面PAD;‎ ‎(2)求证:EF//平面PAD.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 ‎【解析】(1)证明PA⊥AB,AD⊥AB,证得AB⊥平面PAD.‎ ‎(2)取CD的中点G,由FG是三角形CPD的中位线,可得 FG∥PD,再由矩形的性质得 EG∥AD,证明平面EFG∥平面PAD,从而证得EF∥平面PAD.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵侧棱PA垂直于底面,∴PA⊥AB.又底面ABCD是矩形,∴AD⊥AB,‎ 这样,AB垂直于平面PAD内的两条相交直线,∴AB⊥平面PAD.‎ ‎(2)取CD的中点G,∵E、F分别是AB、PC的中点,∴FG是三角形CPD的中位线,‎ ‎∴FG∥PD,FG∥面PAD.∵底面ABCD是矩形,∴EG∥AD,EG∥平面PAD. ‎ 故平面EFG∥平面PAD,∴EF∥平面PAD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面垂直、线面平行、面面平行的判定定理,考查了推理能力与空间想象能力,属于中档题.‎ ‎18.函数是定义在上的奇函数。‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎ (2)用单调性的定义证明函数在上是增函数。‎ ‎【答案】(1) (2) 见解析 ‎【解析】试题分析:(1)根据奇函数定义得,解得(2)先根据定义作差,通分提取公因式,再根据自变量范围确定各因子符号,确定差的符号,由增函数定义得证 试题解析:‎ ‎19.已知圆,直线.‎ ‎(1)当直线与圆相切,求的值;‎ ‎(2)当直线与圆相交于 两点,且时,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】试题分析:(1)把一般方程配成圆的标准方程,求出圆心和半径,利用圆心到直线的距离为半径得到关于的方程,解出即可.(2)先利用几何性质由弦长得到圆心距为,再利用点到直线距离公式得到关于的方程,解出即可.‎ 解析:圆化成标准方程为,则此圆的圆心为,半径为.‎ ‎(1)当直线与圆相切,则有 ,解得 ‎(2)过圆心作于,则根据题意和圆的性质, ,,解得或,故所求直线方程为或. ‎ ‎20.已知函数f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x4-2x2.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)判断函数f(x)的奇偶性;‎ ‎(3)求函数f(x)的值域.‎ ‎【答案】(1)(-1,1)(2)f(x)是偶函数(3)(-∞,0]‎ ‎【解析】(1)由得-1
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