【数学】2021届一轮复习人教A版模拟方法__概率的应用作业

【数学】2021届一轮复习人教A版模拟方法__概率的应用作业

‎3　模拟方法——概率的应用 课时跟踪检测 一、选择题 ‎1．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a≤13的概率是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 解析：P(a≤13)＝＝.‎ 答案：C ‎2．在正方形ABCD内任取一点P，则使∠APB＞90°的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：如图，由题意知点P落在以AB为直径的半圆内时∠APB＞90°，设正方形边长为2，则S正方形＝4，S半圆＝，‎ ‎∴P(A)＝＝.‎ 答案：A ‎3．已知△ABC的三个顶点坐标为A(3,0)，B(0,4)，C(0,0)，D点的坐标为(2,0)，向△ABC内部投一点P，那么点P落在△ABD内的概率为(　　)‎ A．　　B．　　C．　　D． 解析：由题知△ABC的面积为S＝×3×4＝6，△ABD的面积为S△ABC－S△BCD＝6－×2×4＝2，所以点P落在△ABD内的概率为＝.‎ 答案：A ‎4．平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． 解析：由题知硬币的中心只能在距离两平行线1 cm的位置运动，所以不相碰的概率为.‎ 答案：B ‎5.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A． B． C． D． 解析：设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为.根据几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝.‎ 答案：B ‎6.如图，在矩形区域ABCD的A、C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)‎ A．1－ B．－1 ‎ C．2－ D． 解析：由题意知，两个四分之一圆补成一个半圆，其面积为×π×12＝，矩形的面积为2，所以所求的概率为P＝＝1－.‎ 答案：A 二、填空题 ‎7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率是________．‎ 解析：如图，圆周上三点A，M，N把圆周三等分，‎ ‎∵圆的周长为3，‎ ‎∴劣弧，，的长均为1，‎ ‎∴当点B在劣弧或上时，有劣弧的长度小于1.故所求的概率为P＝.‎ 答案： ‎8．以半径为1的圆内任一点为中点作弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为________．‎ 解析：记事件A“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图：作△BCD的内切圆，当过小圆上任一点作弦时弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长的条件是弦的中点在小圆内．小圆半径为，∴P(A)＝＝.‎ 答案： ‎9．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．‎ 解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎10．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．‎ 解：记F＝{作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD、OE，使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使∠AOC和∠BOC都不小于30°，‎ 则P(F)＝＝.‎ ‎11．任意一个三角形ABC的面积为S，D为△ABC内任取的一个点，求△DBC的面积和△ADC 的面积都大于的概率．‎ 解：如图，‎ 当D在过重心与BC平行的直线EF上移动时，S△DBC＝，即D在△AEF中，满足S△DBC≥，同理D在△BGH中满足S△ADC≥，要使两个条件同时成立，D应落在△DEG中，由几何概型公式P＝＝.‎ ‎12．已知单位正方形ABCD，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：‎ ‎(1)△AMB面积大于或等于的概率；‎ ‎(2)AM的长度不小于1的概率．‎ 解：(1)如图，取AD，BC的中点E，F，连接EF，当点M在矩形CDEF内运动时，△ABM的面积大于或等于，由几何概型知，概率P＝＝.‎ ‎(2)如图，以AB为半径作圆弧，当点M在阴影部分时，AM的长度不小于1，由几何概型知，‎ 概率P＝＝1－×π×12＝1－.‎ ‎13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ 解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为Δ＝4a2－4b2≥0，即a≥b.‎ ‎(1)基本事件共有12个：‎ ‎(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，‎ ‎(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．‎ 其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 P(A)＝＝.‎ ‎(2)试验的全部结果所构成的区域为 ‎{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．‎ 构成事件A的区域为 ‎{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．如图，‎ 所以所求的概率为P(A)＝＝.‎