2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 等差数列的前n项和

2020版高中数学 第二章 数列同步精选测试 等差数列的前n项和

同步精选测试 　等差数列的前n项和 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　)‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25‎ ‎【解析】　S5＝＝＝＝15.‎ ‎【答案】　B ‎2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)‎ A.1 B.－‎1 C.2 D. ‎【解析】　＝ ‎＝＝×＝1.‎ ‎【答案】　A ‎3.在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　) ‎ ‎【导学号：18082088】‎ A.37 B‎.36 C.20 D.19‎ ‎【解析】　∵{an}是等差数列，a1＝0，由am＝a1＋a2＋…＋a9得0＋(m－1)d＝‎9a5＝36d.又d≠0，∴m＝37.‎ ‎【答案】　A ‎4.已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C.10 D.12‎ ‎【解析】　∵公差为1，‎ ‎∴S8＝‎8a1＋×1＝‎8a1＋28，S4＝‎4a1＋6.‎ ‎∵S8＝4S4，∴‎8a1＋28＝4(‎4a1＋6)，解得a1＝，‎ ‎∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.‎ 5‎ ‎【答案】　B ‎5.在等差数列{an}和{bn}中，a1＋b100＝100，b1＋a100＝100，则数列{an＋bn}的前100项和为(　　)‎ A.0 B‎.100 C.1 000 D.10 000‎ ‎【解析】　{an＋bn}的前100项的和为＋＝50(a1＋a100＋b1＋b100)＝50×200＝10 000.‎ ‎【答案】　D 二、填空题 ‎6.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________. ‎ ‎【导学号：18082089】‎ ‎【解析】　a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①‎ S5＝‎5a1＋×5×(5－1)d＝10，②‎ 由①②联立解得a1＝1，d＝.‎ ‎【答案】　 ‎7.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S‎2m－1＝38，则m＝________.‎ ‎【解析】　因为am－1＋am＋1＝2am，‎ 所以2am－a＝0，‎ 所以am＝0或am＝2.‎ 因为S‎2m－1＝＝(‎2m－1)am＝38，‎ 所以am＝2，所以(‎2m－1)×2＝38，‎ 解得m＝10.‎ ‎【答案】　10‎ ‎8.若数列的前n项和为Sn，且Sn＝，则n＝________.‎ ‎【解析】　∵＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.‎ 由已知得＝，解得n＝19.‎ ‎【答案】　19‎ 5‎ 三、解答题 ‎9.等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若Sn＝242，求n.‎ ‎【解】　(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 则解得 ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.‎ ‎(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，‎ 得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.‎ ‎10.在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图223所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则： ‎ ‎【导学号：18082090】‎ 图223‎ ‎(1)第9圈共有多少块石板？‎ ‎(2)前9圈一共有多少块石板？‎ ‎【解】　(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.‎ 由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：‎ a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块).‎ ‎(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：‎ S9＝‎9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块).‎ 答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.如图224所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于(　　)‎ 5‎ 图224‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，‎ 所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝ ‎＝.‎ ‎【答案】　C ‎2.已知命题：“在等差数列{an}中，若‎4a2＋a10＋a(　)＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为(　　)‎ A.15 B.24‎ C.18 D.28‎ ‎【解析】　设括号内的数为n，则‎4a2＋a10＋a(n)＝24，‎ ‎∴‎6a1＋(n＋12)d＝24.‎ 又S11＝‎11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，‎ 所以a1＋5d为定值.‎ 所以＝5，n＝18.‎ ‎【答案】　C ‎3.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则使得为整数的n的个数是________.‎ ‎【解析】　由等差数列的性质，知＝＝＝＝∈Z，则n－2只能取－1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个.‎ ‎【答案】　5‎ ‎4.已知等差数列的前三项依次为a,4,‎3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎【解】　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝‎3a，‎ 5‎ 由已知有a＋‎3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，‎ 故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ 5‎