【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 不等式和绝对值不等式 课时作业 ‎ 1、已知．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设、、为正实数，且，求证：．‎ ‎2、已知函数．‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围．‎ ‎3、已知函数.‎ ‎（1）若正数，，满足，求的最小值；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎4、设，且，记的最小值为.‎ ‎（1）求的值，并写出此时，的值；‎ ‎（2）解关于的不等式：.‎ ‎5、已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对，，有，，求证：.‎ ‎6、已知函数．‎ ‎（1）当时，解关于x的不等式；‎ ‎（2）当时，若对任意实数，都成立，求实数的取值范围．‎ ‎7、已知函数．‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎8、设函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ），证明：.‎ ‎9、已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.‎ ‎10、已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式有解，求的取值范围．‎ ‎11、已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)设实数为(Ⅰ)中的最大值，若实数满足，求的最小值．‎ ‎12、已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当，时，存在，使得，求实数的取值范围。‎ ‎13、已知．‎ ‎（Ⅰ）若的解集为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎14、已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式能成立，求实数的取值范围．‎ ‎15、己知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若有解，求实数的取值范围.‎ ‎16、已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意的实数和任意非零实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎17、已知函数.‎ ‎（1）解不等式：；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎18、已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）设函数的最小值为，实数，满足，，，求证：．‎ ‎19、已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．‎ ‎（Ⅰ）求集合A；‎ ‎（Ⅱ）设x，y∈A，对任意a∈R，求证：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2.‎ ‎20、己知实数满足，求证：．‎ 参考答案 ‎1、答案：(1)(2)见证明 试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）先求得，结合，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）①时，，‎ 由，∴，∴，即，‎ ‎②时，，由，∴，∴，即，‎ ‎③时，，由，∴，∴，可知无解，‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，且为正实数 ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又为正实数，∴可以解得．‎ 名师点评：‎ 绝对值不等式的常见解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）根据零点分区间法去绝对值，将写成分段函数，然后分别求出每段小于等于的解集，再取并集.（2）对 分段表示，然后利用参变分离处理恒成立问题，求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）利用零点分区间法，对去绝对值得 当时，由，得，所以 当时，成立，所以 当时，由，得，所以 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意，可知，由（1）得 当时，恒成立，即恒成立，‎ 因为，所以时，不等式恒成立.‎ 当时，恒成立，所以时不等式恒成立.‎ 当时，恒成立，即恒成立，‎ 而，所以时不等式恒成立.‎ 当时，恒成立，即恒成立，而.‎ 所以不等式恒成立.‎ 综上，满足要求的的取值范围为 名师点评：‎ 本题考查零点分区间法去绝对值，解绝对值不等式，参变分离解决函数恒成立问题，属于中档题. 3、答案：（1）8（2）‎ 试题分析：（1）由题意得,所以.所以的最小值为8.(2)利用零点分类讨论法解绝对值不等式得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得.所以 ‎.‎ 当且仅当，时等号成立.所以的最小值为8.‎ ‎（2）因为.‎ ‎①当时，，由，解得；‎ ‎②当时，，由，即，解得，又，所以；‎ ‎③当时，不满足，此时不等式无解；‎ 综上，不等式的解集为.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查基本不等式求最值，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4、答案：（1）答案见解析；（2）‎ 试题分析：(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；‎ ‎(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 根据均值不等式有，‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ 所以M的值为 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 当时，原不等式等价于，‎ 解得；‎ 综上所述原不等式解集为．‎ 名师点评：‎ 绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5、答案：（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 试题分析：（Ⅰ）由条件|2x﹣1|＜|x|+1，分类讨论，求得x的范围．‎ ‎（Ⅱ）由条件利用绝对值三角不等式证得不等式成立．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为，所以，‎ 即，或，或，‎ 解得，或，或.‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为,,‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 6、答案：（1）（2）‎ 试题分析：（1）当时，利用含有一个绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.（2）对分成和两类，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，求得的最小值，进而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ 由得 由得 解：，得 ‎∴当时，关于的不等式的解集为 ‎（2）①当时，，‎ 所以在上是减函数，在是增函数，所以，‎ 由题设得，解得.②当时，同理求得.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ 名师点评：‎ 本小题主要考查含有一个绝对值不等式的求法，考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，属于中档题. 7、答案：(1)见证明；(2)‎ 试题分析：（1）利用基本不等式证明；（2）即解不等式，再利用分类讨论法解不等式得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）证明：若，则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 从而 ‎（2）由，得，‎ 当时，，即恒成立，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则或，‎ 综上，的取值范围为 名师点评：‎ 本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8、答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）去绝对值号，转化为分段函数，解不等式即可（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数，且恒成立，求得，故，由不等式传递性可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为 根据题意，或或 解之得，‎ 故解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.‎ 所以当时，函数.‎ 由题知，即，‎ ‎∵，‎ 则，所以.‎ ‎∴，∴，‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了含绝对值不等式的求解，不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题. 9、答案：(1)(2)见证明 试题分析：（1）根据绝对值的几何意义，求出解集；‎ ‎（2）求出函数的最小值，求出，利用立方差公式，结合重要不等式，最后证出。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：，，‎ 由绝对值得几何意义可得和上述不等式中的等号成立，‎ 不等式的解集为；‎ ‎（2）由绝对值得几何意义易得的最小值为3，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值的几何意义、利用立方差公式，结合重要不等式证明不等式问题。 10、答案：（1）；（2）.‎ 试题分析：（1）分3段去绝对值解不等式，在相并可得；‎ ‎（2）不等式f（x）＜g（x）有解？a＞2|x+1|+|2x+1|有解，令h（x）＝2|x+1|+|2x﹣1|，则a＞h（x）min，再把h（x）变成分段函数，根据单调性求出最小值可得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）f（x）＜5？|x+1|+|2x﹣1|＜5？或或，‎ 解得：﹣＜x＜，‎ 故不等式f（x）＜5的解集为（﹣，）‎ ‎（2）不等式f（x）＜g（x）有解？a＞2|x+1|+|2x+1|有解，‎ 令h（x）＝2|x+1|+|2x﹣1|，则a＞h（x）min，‎ ‎∵h（x）＝，∴x∈[﹣1，]时，h（x）min＝3，‎ 故a＞3.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． ‎ ‎11、答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ 试题分析：（1）由绝对值的三角不等式可得：，可解出的范围。‎ ‎（2）由（1）可知，进而得到，利用柯西不等式，可求得结果。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）因为，所以，解得.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，，即.根据柯西不等式 等号在即时取得.‎ 所以的最小值为.‎ 名师点评：‎ 本题考查不等式选讲中的三角不等式，属于常考题型，学生需灵活运用，便可进行求解。熟悉柯西不等式是解题的关键，本题属于中档题。 12、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）利用零点分段的方式进行讨论，得到在不同范围上的不等式，解不等式求得结果；（2）求解出所处的范围，从而可得的范围，得到的范围；利用得到关于的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，且，得：‎ 得：或或 解得：或或 综上所述：‎ ‎（2）由，得：‎ ‎，，则：‎ 由得：‎ 实数的取值范围是 名师点评：‎ 本题考查含绝对值不等式的求解、不等式中的能成立问题的求解问题，关键是能够通过分类讨论的方式去掉绝对值符号，属于常规题型. 13、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出的值；（2）利用绝对值不等式求出的最小值，把不等式化为只含有的不等式，求出不等式解集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式，即 两边平方整理得 由题意知和是方程的两个实数根 即，解得 ‎（2）因为 所以要使不等式恒成立，只需 当时，，解得，即；‎ 当时，，解得，即；‎ 综上所述，的取值范围是 名师点评：‎ 本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题． 14、答案：(1)(2)或.‎ 试题分析：（1）运用绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；‎ ‎（2）求得|t﹣1|+|2t+3|的最小值，原不等式等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，由绝对值不等式的性质，以及绝对值不等式的解法，可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 解：解：（1）由题意可得|x﹣1|+|2x+3|＞4，‎ 当x≥1时，x﹣1+2x+3＞4，解得x≥1；‎ 当x＜1时，1﹣x+2x+3＞4，解得0＜x＜1；‎ 当x时，1﹣x﹣2x﹣3＞4，解得x＜﹣2.‎ 可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；‎ ‎（2）由（1）可得|t﹣1|+|2t+3|‎ ‎，‎ 可得t时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值，‎ 关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，‎ 等价为|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，‎ 由|x+l|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|，‎ 解得m或m．‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，求最值，考查化简变形能力，以及运算能力，属于基础题． 15、答案：（1）；（2）或 试题分析：(1)由函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；‎ ‎(2)结合(1)的结论首先确定函数的最小值，然后求解绝对值不等式即可确定实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎①当时，.解得：.‎ ‎②当时，恒成立，即，‎ ‎③当时，.解得：.‎ 综合①②③得不等式的解集为：.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ 所以不等式有解等价于 解得：或 名师点评：‎ 绝对值不等式的解法：‎ 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 16、答案：（1）；（2）‎ 试题分析：（1）利用零点分段讨论法，去掉绝对值化为分段函数求解；‎ ‎（2）先化简，再转化为最值问题求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，.‎ 若,则.所以 令.则 所以的解集为，‎ 即不等式的解集为 ‎（2）由题，，‎ 即，则 名师点评：‎ 本题主要考查含有绝对值不等式的解法和参数求解问题，含有多个绝对值的不等式的求解，一般是利用零点分段讨论法求解. 17、答案：（1）；（2）详见解析.‎ 试题分析：（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）不等式化为.‎ 当时，原不等式等价于，即；‎ 当时，原不等式等价于，即；‎ 当时，原不等式等价于，即.‎ 综上，原不等式的解集为.‎ ‎（2）由题意得 ‎，‎ 所以成立.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题． 18、答案：（1）；（2）见解析 试题分析：（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1.通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；‎ ‎（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2.令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴？；‎ ‎②当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ ‎③当时，不等式可化为，．‎ 又∵，∴．‎ 综上所得，．‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）证明：由绝对值不等式性质得，，‎ ‎∴，即．‎ 令，，则，，，，‎ ‎，‎ 原不等式得证．‎ 名师点评：‎ 本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 19、答案：（Ⅰ）A={x|0＜x＜2}（Ⅱ）见解析 试题分析：（Ⅰ）利用零点分类法，进行求解不等式；‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质和基本不等式进行证明。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）当x＜时，不等式变形为1-2x+2-2x＜x+3，解得0＜x＜；‎ 当时，不等式变形为2x-1+2-2x＜x+3，解得；‎ 当x＞1时，不等式变形为2x-1+2x-2＜x+3，解得1＜x＜2；‎ 综上得A={x|0＜x＜2}．‎ ‎（Ⅱ）∵x，y∈A，∴0＜x，y＜2，‎ ‎∵||x+a|-|y+a||≤|（x+a）-（y+a）|=|x-y|，‎ ‎∵0＜x，y＜2，∴-2＜x-y＜2，∴|x-y|＜2，∴||x+a|-|y+a||＜2，‎ ‎∵+≥2=2，∴||x+a|-|y+a||＜+，即xy（|x+a|-|y+a|）＜x2+y2.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质、基本不等式。 20、答案：试题分析：对进行转化，转化为含有形式，然后通过不等关系得证.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以 ‎,得证.‎ 名师点评：‎ 本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力. ‎