2018届高三数学一轮复习： 第8章 第2节 两条直线的位置关系

2018届高三数学一轮复习： 第8章 第2节 两条直线的位置关系

第二节　两条直线的位置关系 ‎ [考纲传真]　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．‎ ‎1．两条直线平行与垂直的判定 ‎(1)两条直线平行 ‎①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎(2)两条直线垂直 ‎①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎2．两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎3．距离 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|‎ d＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)‎ ‎(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)‎ ‎(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A‎1A2＋B1B2＝0.(　　)‎ ‎(5)若点P，Q分别是两条平行线l1，l2上的任意一点，则P，Q两点的最小距离就是两条平行线的距离．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√‎ ‎2．(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于 ‎(　　)‎ A.　　　 B.2－ C.－1 D.＋1‎ C　[由题意得＝1，即|a＋1|＝，‎ 又a>0，∴a＝－1.]‎ ‎3．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．‎ ‎(2，－2)　[直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，‎ 由解得x＝2，y＝－2，‎ 所以直线l恒过定点(2，－2)．]‎ ‎4．已知直线l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．‎ ‎2　[由＝－2，得a＝2.]‎ ‎5．(2017·唐山调研)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋‎2a＝0平行，则l1与l2间的距离为________．‎ 　[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3，‎ ‎∴a＝3或a＝－1.‎ 但a＝3时，l1与l2重合，舍去，‎ ‎∴a＝－1，则l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0.‎ 故l1与l2间的距离d＝＝.]‎ 两条直线的平行与垂直 ‎　(1)设a∈R，则“a＝‎1”‎是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行 B.垂直 C．重合 D.相交但不垂直 ‎(1)A　(2)B　[(1)当a＝1时，显然l1∥l2，‎ 若l1∥l2，则a(a＋1)－2×1＝0，‎ 所以a＝1或a＝－2.‎ 所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理＝，‎ 得·＝1.‎ 又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－，‎ bx－ysin B＋sin C＝0的斜率k2＝，‎ 因此k1·k2＝·＝－1，两条直线垂直．]‎ ‎[规律方法]　‎ ‎1.判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A2B‎2C2≠0时，比例式与，的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便．‎ ‎[变式训练1]　已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)‎ A．－10　　 B.－2‎ C.0　　 D.8‎ A　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8.‎ 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1，‎ 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.]‎ 两直线的交点与距离问题 ‎　(1)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为________．‎ ‎(2)过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. ‎ ‎【导学号：01772289】‎ ‎(1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB中点时，AB的中点为(－1,4)，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]‎ ‎(2)设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，则直线l与l2的交点B(6－x0，－y0)，2分 由题意知解得6分 即A，从而直线l的斜率k＝＝8，10分 直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.12分 ‎[规律方法]　1.求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．‎ ‎2．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ ‎[变式训练2]　若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．‎ ‎[解]　①过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.‎ 解方程组求得B点坐标为(1,4)，‎ 此时|AB|＝5，即直线l的方程为x＝1.4分 ‎②设过点A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，‎ 解方程组 得x＝且y＝(k≠－2，否则l与l1平行)．‎ 则B点坐标为.8分 又A(1，－1)，且|AB|＝5，‎ 所以2＋2＝52，解得k＝－.10分 因此y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.‎ 综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.12分 对称问题 ‎　(1)平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．‎ ‎(2)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，则BC所在的直线方程是________．‎ ‎(1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直线l上任取一点P′(x，y)，其关于点(1,1)的对称点P(2－x,2－y)必在直线y＝2x＋1上，‎ ‎∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0.‎ 因此，直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法二：由题意，l与直线y＝2x＋1平行，设l的方程为2x－y＋c＝0(c≠1)，则点(1,1)到两平行线的距离相等，‎ ‎∴＝，解得c＝－3.‎ 因此所求直线l的方程为y＝2x－3.‎ 法三：在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1)，B关于点(1,1)对称的点N(1，－1)．由两点式求出对称直线MN的方程为＝，即y＝2x－3.‎ ‎(2)作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，‎ 则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．‎ 由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.‎ 故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.]‎ ‎[迁移探究1]　在题(1)中“将结论”改为“求点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点”，则结果如何？‎ ‎[解]　设点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为A′(a，b)，2分 则AA′的中点为，4分 所以解得10分 故点A(1,1)关于直线y＝2x＋1的对称点为.12分 ‎[迁移探究2]　在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线x－y＝0对称”，则结果如何？‎ ‎[解]　在直线y＝2x＋1上任取两个点A(0,1)，B(1,3)，则点A关于直线x－y＝0的对称点为M(1,0)，点B关于直线x－y＝0的对称点为N(3,1)，6分 ‎∴根据两点式，得所求直线的方程为＝，即x－2y－1＝0.12分 ‎[规律方法]　1.第(1)题求解的关键是利用中点坐标公式，将直线关于点的中心对称转化为点关于点的对称．‎ ‎2．解决轴对称问题，一般是转化为求对称点问题，关键是要抓住两点，一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上．‎ ‎[变式训练3]　(2017·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于直线x＋y－2＝0对称的直线方程是(　　)‎ A．x＋2y－1＝0　　　 B.2x－y－1＝0‎ C．2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝0‎ B　[由题意得直线x－2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0的交点坐标为(1,1)．‎ 在直线x－2y＋1＝0上取点A(－1,0)，‎ 设A点关于直线x＋y－2＝0的对称点为B(m，n)，‎ 则解得 故所求直线的方程为＝，即2x－y－1＝0.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1，l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意．‎ ‎2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，点与线的对称，利用坐标转移法．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2．(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式；‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎