2019届二轮复习特殊与一般思想学案（全国通用）

2019届二轮复习特殊与一般思想学案（全国通用）

特殊到一般的思想运用 人类的认识活动，人们对于某类事物的认知，总是先对具体的个别事物，通过观察、实验、分析、综合，归纳出其甄选，再通过理性分析、逻辑推理加以证明，从特殊推及一般。‎ ‎ 德国数学家希尔伯特说：在讨论数学问题时，特殊化比一般化起着更为重要的作用。‎ 例1已知点Ｐ是椭圆上任一点，Ｆ为椭圆的焦点，求证：以ＰＦ为直径的圆总与某一定圆相切。‎ 分析：设Ｆ为椭圆的右顶点，当Ｐ分别为椭圆的左、右顶点Ａ、Ｂ和上、下顶点Ｃ、Ｄ时，分别以ＡＦ、ＢＦ、ＣＦ、ＤＦ为直径的同时内切于以原点为圆心半径为a的圆，由此可猜想以ＰＦ为直径的圆总与圆x2+y2＝a2相切。‎ 验证：设ＰＦ的中点为Ｍ，椭圆的另一焦点为Ｆ1，易由三角形中位线定理和椭圆的定义可得，所以圆Ｍ恒与圆Ｏ内切。‎ 故以ＰＦ为直径的圆总与圆x2+y2＝a2相切。‎ 注：由特殊情形归纳猜想结论，再验证一般情形下结论的正确性。 ‎ 例2若数列的各项均为正数，（为常数），且 .(1)求的值; (2)求证：数列为等差数列.‎ 分析（1）令，则有 ① 令，则有 ②‎ ‎①②可得： ‎ ‎（2）所给的递推公式中含有，而且原递推公式也很难变形，所以考虑再写一个式子两式相减，构造新的递推公式，仿照（1）进行变形. ‎ 解： ③ ④‎ ‎③④可得：‎ ‎，‎ 从而 ‎ ，‎ ‎ 数列为等差数列 注：特殊情形的研究不只是为了归纳猜想得结论，更是能帮助发现研究问题的方法。‎ 例3 设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，是否存在实数a，使得对于任意的x∈[-1,1],都有f(x) ≥0成立？若存在，试求出满足条件的实数a取值集，若不存在，说明理由.（2008年江苏高考题）‎ 分析：想法一、假设存在a，使得f(x) ≥0成立。当x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x＞0 即x∈（0,1]时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为，，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ 当x＜0 即x∈时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为，此时有，所以 在区间上单调递增，因此g(x)min=g(-1)=4，从而≤4，综上所述，有＝4，即a取值集合为{4}.‎ 想法二、特殊到一般：若存在满足条件的实数a，则由于对任意的x∈[-1,1],都有f(x) ≥0成立，故当x取-1、0、1、时f(x) ≥0成立，而由f(-1)=-a+3+1 ≥0，可得a≦4,由 ，可得a≥4，由此可得a可能的取值仅有４。而当a=4时，f(x)=４x3-3x+1,　此时，，由＝０可得 ，易有，而，所以a=4时，f(x) ≥0恒成立。综上a取值集合为{4}。‎ 注：由特殊到一般和由一般到特殊的相互转化是相辅相成的。‎ 练习１、方程 (1+m)x+(1‎-2m)y+1+‎4m=0(m为任意实数)表示的直线有什么特点？（必修2 P95（苏教版））‎ 分析：想法一、方程即为(x-2y+4)m+(x+y+1)=0，由该方程对任意实数m均成立，故有x-2y+4=0且x+y+1=0，由此有x=-2,y=1，即(-2,1)总是方程的解，故直线恒过定点(-2,1).‎ 想法二、由方程表示直线，当m=0时表示直线l1: x+y+1=0，当m=1时表示直线l2: 2x-y+5=0，易求直线l1与直线l2交于点P(-2,1). 而当x=-2,y=1时，(1+m)×(-2)+(1‎-2m)×1+1+‎4m=0，即对任意的实数m，直线l: (1+m)x+(1‎-2m)y+1+‎4m=0恒过定点(-2,1).‎ B M P O A ‎２.如图， OM//AB，点P在由射线OM,线段OB、以及AB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且,则①x∈ _；②当x=－时，y的取值范围___ __.‎ 分析 想法一、直接法：可用平行四边形法则进行判断，但过程相当繁琐.　‎ M B A O P 想法二、特值法：由题意可以判断无论A、B的位置如何，结论都应该是确定的.从而可以取直角坐标系中的单位向量(1,0)(0,1)为向量，这样(x,y)恰为如图所示的区域中的点P的坐标，由此容易得到出结论. ①（-∞,0）；②‎ ‎ 点评：判定结论是确定的，故可以选取特殊位置，由此获得结论.‎ ‎３. 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则=　　　　　　　.‎ 分析　想法一、直接法：利用三角形中正、余弦定理进行变形化简 ‎，‎ 由正弦定理，得：上式=‎ 过程较为复杂！‎ 想法二、特值法：由题意该三角形不确定，但结论应为定值！故可选取特殊模型——等腰三角形。‎ 取Ａ＝Ｂ，由条件可得，由此可得从而 ‎，由此可求tanC=,tanA=tanB=这样不难得到结论。‎ 也可以这样求解：，，= 4。‎ 点评：由于可以断定结论确定，故可取特殊模型轻松获解。但特殊模型的选择应以满足题设为前提，如本题不可选择正三角形.‎