2020届江苏省高三上学期八校联考数学（文）试题

2020届江苏省高三上学期八校联考数学（文）试题

江苏省 2019—2020 学年高三上学期八校联考 数学文试卷 2019．10 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合 A＝{1}，B＝{1，5}，则 A B＝ ． 答案：{1，5} 2．i 是虚数单位，复数 ＝ ． 答案： 3．如图伪代码的输出结果为 ． 答案：11 4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率 分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为 100，则 n 的值为 ． 答案：1000 5．某校有 A，B 两个学生食堂，若 a，b，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个 食堂用餐的概率为 ． 答案： 6．已知 是第二象限角，其终边上一点 P(x， )，且 ，则 x 的值为 ． 答案：﹣2 7．将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左 平移 个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案： 8．已知函数 ，满足 ，则 ． 答案：7  1 5i 1 i − − 2i 3− + 1 4 α 5 2cos 3 α = − sin( )3y x π= − 3 π 1sin( )2 6y x π= − 2 3 log ( 1) 3 ( ) 2 1 3x x x f x x− + >=  + ≤ ， ， ( ) 3f a = a = S←1 For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S 9．已知实数 a，b 满足 ，则 a＋b 最大值为 ． 答案： 10．已知 [0， ]，且 ，则 ． 答案： 11．直角△ABC 中，点 D 为斜边 BC 中点，AB＝ ，AC＝6， ，则 ＝ ． 答案：14 12．已知奇函数 满足 ，若当 x (﹣1，1)时， 且 (0＜ a＜1)，则实数 ． 答案： 13．已知 a≠0，函数 ， (e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线 和 均相切，则 最大值是 ． 答案：e 14 ． 若 关 于 的 方 程 有 且 仅 有 3 个 不 同 实 数 解 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 ． 答案： 或 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 已知集合 A＝ ，B＝ ． （1）求集合 A； （2）若 p： A，q： B，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围． 解：（1）集合 即为函数 定义域，即需 ----2 分，即 即 ---5 分，得 -------7 分 （2）由 ，------9 分 则 ----10 分 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 是 的真子集------11 分 2 24 5 4 9a ab b− + = 2 3 θ ∈ 4 π 1cos4 3 θ = − 4 4sin ( ) sin ( )4 4 π πθ θ+ − − = 6 3 6 3 1AE ED2 =  AE EB⋅  B A C D E ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ∈ 1( ) lg1 xf x x += − (2019 ) 1f a− = − a = 2 11 ( ) xf x ae= ( ) lng x ea x b= + ( )y f x= ( )y g x= b a x 22 2 ( 2)x xa x ae x e−− − = − a 0a < 1a = { }2 2log ( 4 15 9)x y x x x R= − + − ∈， { }1x x m x R− ≥ ∈， x ∈ x ∈ A 2 2log ( 4 15 9)y x x= − + − 24 15 9 0x x− + − > 24 15 9 0,x x− + < ( 3)(4 3) 0x x− − < 3( ,3)4A = 1 1 1, 1 1x m x m x m x m x m− ≥ ⇔ − ≥ − ≤ − ≥ + ≤ −或 即 或 [ 1, ) ( , 1]B m m= + ∞ ∪ −∞ − A B 即需 得 -------13 分 所以实数 m 的取值范围是 ------14 分 16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝90°， 且 AB＝2AD＝2DC＝2PD，E 为 PA 的中点． （1）证明：DE∥平面 PBC； （2）证明：DE⊥平面 PAB． 证明：（1）设 PB 的中点为 F，连结 EF、CF，EF∥AB ， DC∥AB，所以 EF∥DC，------2 分 ， 且 EF＝DC＝ ． 故四边形 CDEF 为平行四边形，-----4 分 可得 ED∥CF------5 分 又 ED 平面 PBC，CF 平面 PBC，-------6 分 故 DE∥平面 PBC--------------7 分 注：（证面面平行也同样给分） （2）因 为 PD⊥底面 ABCD，AB 平面 ABCD，所以 AB⊥PD 又因为 AB⊥AD，PD AD＝D，AD 平面 PAD，PD 平面 PAD， 所以 AB⊥平面 PAD----11 分 ED 平面 PAD，故 ED⊥AB．-------12 分 又 PD＝AD，E 为 PA 的中点，故 ED⊥PA；---------13 分 PA AB＝A，PA 平面 PAB，AB 平面 PAB，所以 ED⊥平面 PAB----------14 分 17．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c．已知 cosC＝ ． （1）若 ，求△ABC 的面积； （2）设向量 ＝( ， )， ＝( ， )，且 ∥ ，b＝ ，求 a 的值． 解（1）由CB→ · CA→ ＝ ，得 abcosC＝ ． ………2 分 又因为 cosC＝ ，所以 ab＝ ＝ ． ………4 分 又 C 为△ABC 的内角，所以 sinC＝ ． 所以△ABC 的面积 S＝1 2absinC＝3． ………6 分 （2）因为 x//y，所以 2sinB 2cosB 2＝ 3cosB，即 sinB＝ 3cosB． ………………8 分 31 3 14m m+ ≤ ≤ −或 1 44m m≤ − ≥或 1( , ] [4, )4 −∞ − ∪ +∞ 1 2 AB ⊄ ⊂ ⊂  ⊂ ⊂ ⊂  ⊂ ⊂ 3 5 9CB CA 2 ⋅ =  x B2sin 2 3 y cosB Bcos 2 x y 5 3 9 2 9 2 3 5 9 2cosC 15 2 4 5 因为 cosB≠0，所以 tanB＝ 3． 因为 B 为三角形的内角， ，------9 分 所以 B＝ ． ………………10 分 所以 ----12 分 由正弦定理， ------14 分 18．（本小题满分 16 分） 已知梯形 ABCD 顶点 B，C 在以 AD 为直径的圆上，AD＝4 米． （1）如图 1，若电热丝由三线段 AB，BC，CD 组成，在 AB，CD 上每米可辐射 1 单位热量，在 BC 上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值； （2）如图 2，若电热丝由弧 ， 和弦 BC 这三部分组成，在弧 ， 上每米可辐射 1 单位热 量，在弦 BC 上每米可辐射 2 单位热量，请设计 BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大． 图 1 图 2 【解】设 ， -------1 分 （1） ，------2 分， ----------3 分 总热量单位 --------5 分 当 时， 取最大值， 此时 米，总热量最大 9（单位）.-----6 分 答：应设计 长为 米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为 9 单位.-----7 分 （2）总热量单位 ， ，----10 分 -----11 分 令 ，即 ，因 ，所以 ，-------12 分 当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，----14 分 当 时， 取最大值，此时 米.-----15 分 答：应设计 长为 米，电热丝辐射的总热量最大.----16 分 19．（本小题满分 16 分） 设常数 R，函数 ． 0 B π< < 3 π 3 3 1 4 4 3 3sin sin( ) sin cos cos sin 2 5 2 5 10A B C B C B C += + = + = × + × = 5 3 4 3 3sin sin 4 3 3 3 10 2 a b a aA B = ⇒ = ⇒ = + + AB CD AB CD ( ) 4 8sing θ θ′ = − a ∈ 2( ) 2 x x af x a += − （1）当 a＝1 时，判断 在(0， )上单调性，并加以证明； （2）当 a≥0 时，研究 的奇偶性，并说明理由； （3）当 a≠0 时，若存在区间[m，n](m＜n)使得 在[m，n]上的值域为[ ， ]，求实数 a 的取值 范围． 解(1) 时， 且 所以 在 上递减。 ---3 分 法二： ， ，所以 在 上递减。 （2） 时 满足 ， 为偶函数。----4 分 时 定义域 ，且 ， 为奇函数。-----6 分 时，定义域为 因 ， 定义域不关于原点对称----7 分，因此 既不是奇函数也不是偶函数。-----8 分 （3） ①当 时， 在 和 上递减 则 两 式 相 减 得 再代入得（*） 此方程有解，如 因此 满足题意。----------11 分 ②当 时， 在 递增，有题意 在 上的值域为 知 即 是方程 的两根 即方程 有两不等实根， 令 即 有两不等正根。--------13 分 ( )f x +∞ ( )f x ( )f x 2m 2n 1a = 1 2 2 1 2( ) 1 , , (0, ),2 1 2 1 x x xf x x x += = + ∀ ∈ +∞− − 1 2x x< 2 1 1 2 1 21 2 2 2 2(2 2 )( ) ( ) 02 1 2 1 (2 1)(2 1) x x x x x xf x f x −− = − = >− − − − ( )y f x= (0, )+∞ (0, )x∈ +∞ 2 2( ) 2 ln 2 0(2 1) x xf x′ = − <− ( )y f x= (0, )+∞ 0a = ( ) 1f x = ( ) ( ) 1f x f x− = = ( )y f x= 1a = 2 1( ) ,2 1 x xf x += − { }0x x ≠ 2 1 1 2( ) ( )2 1 1 2 x x x xf x f x − − + +− = = = −− − ( )y f x= 0 1a a≠ ≠且 { }2logx x a≠ 21, log 0a a≠ ∴ ≠ ( )y f x= 2 2( ) 12 2 x x x a af x a a += = +− − 0a > ( )y f x= 2(log , )a +∞ 2( ,log )a−∞ 21 22 (*)21 22 n m m n a a a a  + = −  + = − 2 2 2 (2 2 ) 22 2 2 2 (2 )(2 ) 22 2 (2 )(2 ) 2 n m n m n m m n n m n m n m a a a aa a a aa a a a a −− = − = − = − − ⇒ = −− − − − −即 得2 1 (2 ) 2 , 1 (2 1)(2 1) 2n n m na a+ − = = ∴ − − = 21, log 3m n= = 1a = 0a < ( )y f x= ( , )−∞ +∞ ( )y f x= [ , ]m n [2 ,2 ]m n 21 22 (**)21 22 m m n n a a a a  + = −  + = − ,m n 21 22 x x a a + =− 2(2 ) ( 1)2 0x xa a− + − = 2 0,x t= > 2 ( 1) 0t a t a− + − = 即需 ------15 分 综上 -----------------16 分 20．（本小题满分 16 分） 设函数 (x＞0，a，b R)． （1）当 b＝0 时， 在[1， )上是单调递增函数，求 a 的取值范围； （2）当 a﹣b＝1 时，讨论函数 的单调区间； （3）对于任意给定的正实数 a，证明：存在实数 ，使得 ． 解：(1) 当 时， ； 因 在 上是单调递增函数，则 ，即 对 恒成立， 则 ． ………1 分 而当 ， ，故 ．故 的取值范围为 ． ………3 分 (2) 当 时， ， ． ①当 时， 令 ，得 ，令 ，得 ， 则 的单调递增区间为 ，递减区间为 ； ……5 分 ②当 时， . 令 得， ，或 ， 令 得， ， 则 的单调递增区间为 ， ，递减区间为 ； ……7 分 ③当 时， ，当且仅当 取“=”. 则 的单调递增区间为 ，无减区间. ……8 分 ④当 时， . 令 得， ，或 ，令 得， ， 则 的单调递增区间为 ， ，递减区间为 ； ……9 分 ○5 当 时， ，令 得， ，令 得， ， 综上所述，当 时，单调递增区间为 ，递减区间为 ； 2 1 2 1 2 ( 1) 4 0 3 2 2 3 2 2 1 0 1 3 2 2 0 00 a a a a t t a a a at t a ∆ = + + > > − + < − −  + = + > ⇔ > − ∴− + < <    <= − >  或 { }1 ( 3 2 2,0)a∈ ∪ − + ( ) lnbf x ax xx = + − ∈ ( )f x +∞ ( )f x 0x 0( ) 0f x > 0b= ( ) lnf x ax x= − ( )f x [1, )+∞ 1( ) 0f x a x ′ = −  1a x [1, )x∈ +∞ max 1( )a x [1, )x∈ +∞ 1 1x 1a a [1, )+∞ 1a b− = ( ) 1 lnaf x ax xx −= + − 2 2 2 2 1 1 1 ( 1)( (1 ))( ) a ax x a x ax af x a x x x x − − + − − − −′ = + − = = a ≤0 ( ) 0f x′ > (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( )f x (0,1) (1, )+∞ 10 2a< < 2 1( 1)( ) ( ) aa x x af x x −− − ′ = ( ) 0f x′ > 0 1x< < 1 ax a −> ( ) 0f x′ < 11 ax a −< < ( )f x (0,1) 1( , )a a − +∞ 1(1, )a a − 1 2a = 2 2 ( 1)( ) 02 xf x x −′ =  1x = ( )f x (0, )+∞ 11 2a> > 2 1( 1)( ) ( ) aa x x af x x −− − ′ = ( ) 0f x′ > 10 ax a −< < 1x > ( ) 0f x′ < 1 1a xa − < < ( )f x (0,1 )a a − (1, )+∞ 1( ,1)a a − 1a ≥ 2 1( 1)( ) ( ) aa x x af x x −− − ′ = ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < 0 1x< < a ≤0 (0,1) (1, )+∞ 当 时，单调递增区间为 ， ，递减区间为 ； 当 时，单调递增区间为 ，无减区间； 当 时，单调递增区间为 ， ，递减区间为 ； 当 时，单调递增区间为 ，递减区间为 ，…10 分 (3)先证 . 设 , ,则 ， ， ，则 在 单调递增； ， ，则 在 单调递减； 则 ，故 . ………12 分 取法 1：取 = ，其中 为方程 的较大根. 因 = ，则 ， 因 = ，则 ， 故 所以对于任意给定的正实数 ，存在实数 ，使得 ． ………16 分 取法 2：取 = ，则 ， 则 . 对于任意给定的正实数 ，所以存在实数 ，使得 ． ………16 分 附加题 10 2a< < (0,1) 1( , )a a − +∞ 1(1, )a a − 1 2a = (0, )+∞ 11 2a> > (0,1 )a a − (1, )+∞ 1( ,1)a a − 1a ≥ (1, )+∞ (0,1) ln 2x x< ( ) ln 2p x x x= − 0x > 1 1 1( ) xp x x xx −′ = − = (0,1)x∈ 0y′ > ( )p x (0,1)x∈ (1, )x∈ +∞ 0y′ < ( )p x (0,1)x∈ ( ) (1) 2 0p x p = − < ln 2x x< 0x 1 1x + 2 1 1 1 | |( )a bx a + += 2 | | 0ax x b− − = 0x 1 1 1x + > 0 0 | | | |b b bx x − > − 0x 1 11x x+ > 0 0 1 12 | | 2 | | 0ax x b ax x b− − > − − = 0 0 0 0 0 0 ( ) ln | | 2 0bf x ax x ax b xx = + − > − − > a 0x 0( ) 0f x > 0x 2| | 2( ) 1b a + + 2 0 | | 22 ( ) 2 | |ba x a ba +− > − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 2) | | ( 1)( ) ln 2 0x x a x b b x xb bf x ax x ax xx x x x − + −= + − > + − = > > a 0x 0( ) 0f x >