高考数学复习高效演练 选修4-1

高考数学复习高效演练 选修4-1

高 效 演 练 1.(2014·中山模拟)如图,☉O 与☉O′相交于 A 和 B,PQ 切☉O 于 P, 交☉O ′于 Q 和 M, 交 AB 的延长线于 N,MN=3,NQ=15, 则 PN=　　　　　. 【 解 析 】 由 切 割 线 定 理 及 割 线 定 理 知:PN2=NB·NA=MN·NQ =3×15=45,所以 PN=3 . 答案:3 2.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长 分别为 3cm,4cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D, 则 =　　　　　. 【解析】连接 DC,因为以 AC 为直径的圆与 AB 交 于点 D,所以∠ADC=90°,△ADC 为直角三角形, 所以 Rt△ADC∽Rt△ACB,所以 = ,AD= = (cm),BD=AB-AD=5- = (cm),所以 = . 答案: 3. 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E,EF ⊥ DB, 垂 足 为 F, 若 AB=6,AE=1, 则 DF·DB=　　　　　. 【解析】连接 AD,因为 AB=6,AE=1, 所以 BE=5, 在 Rt△ABD 中,DE2=AE·BE=1×5=5, 在 Rt△BDE 中,由射影定理得 DF·DB=DE2=5. 答案:5 4.(2014·湖南高考)如图,已知 AB,BC 是☉O 的两条弦,AO ⊥BC,AB= ,BC=2 ,则☉O 的半径等于　　　　　　. 【解析】延长 AO,作出直径 AD,连接 BD,则 AB 垂直于 BD, 设 BC,AD 交 于 E, 因 为 AO ⊥ BC,AB= ,BC=2 , 所 以 AE=1, 由射影定理得 AB2=AE·AD,3=2r,r= . 答案:r= 5.如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD⊥AB 于点 D,且 AD=3DB,设∠COD=θ,则 tan2 =　　　　　. 【解析】设半径为 r, 则 AD= r,BD= r, 由 CD2=AD·BD 得 CD= r, 从而θ= ,故 tan2 = . 答案: 6.(2014·天津高考改编)如图,△ABC 是圆的内接三角形, ∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切 线与 AD 的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个 结论:①BD 平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE; ④AF·BD=AB·BF. 则所有正确结论的序号是　　　. 【解析】由弦切角定理得∠FBD=∠EAC=∠BAE, 又∠BFD=∠AFB,所以△BFD∽△AFB, 所以 = , = ,即 AF·BD=AB·BF. FB2=FD·FA,所以②④正确. 由△ACE∽△BDE 知 AE·DE=BE·CE,所以③错误. 又∠FBD=∠EAC=∠DBC,所以 BD 平分∠CBF,①正确. 答案:①②④ 7.AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的 中点 P,PD= ,∠OAP=30°,则 CP=　　　　　. 【解析】因为 P 为 AB 的中点,由垂径定理得 OP⊥AB, 在 Rt△OPA 中,BP=AP=acos30°= a, 由相交弦定理得:BP·AP=CP·DP, 即 =CP· a,解得 CP= a. 答案: a 8.(2014 ·惠州模拟) 如图, 在 Rt △ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6, 且 AD ∶BD=3 ∶2, 则 斜边 AB 上的中线 CE 的长为　　　　　. 【解析】设 AD=3x,则 DB=2x, 由射影定理得 CD2=AD·BD,所以 36=6x2, 所以 x= ,所以 AB=5 ,所以 CE= AB= . 答案: 9.(2014·中山模拟)如图,AB 为☉O 的直径,弦 AC,BD 交于点 P,若 AB=3,CD=1,则 sin∠APD=　　　　　. 【解析】连接 AD,易得△CDP∽△BAP, 从而 cos∠APD= = = , 所以 sin∠APD= = . 答案: 10.(2013·广东高考)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,则 BC=　　　　. 【解析】设 BC=x, 连接 OC, 因为 BC=CD,AC ⊥BD, △ABD 是 等 腰 三 角 形 ,BC=CD=x,AB=AD=6,ED=2,AE=4, 在 △ ACD 中 ,CE ⊥ AD, 则 CE2=AC2-AE2=CD2-DE2,即 36-x2-16=x2-4,解得 x=2 . 答案:2 11.(2013·广东高考)如图,在矩形 ABCD 中,AB= ,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=　　　　　　　. 【解析】AB= ,BC=3,AC=2 ,∠ACB=30°, AC⊥BE,△BEC 是直角三角形,由射影定理得 BC 2=AC·EC,EC= ,在△ECD 中,由 余弦定理可得 ED2=EC2+CD2-2EC·CDcos60°= ,即 ED= . 答案: 12. 如图, 在△ABC 中,AD 是 BC 边上中线,AE 是 BC 边上的高, ∠DAB= ∠DBA,AB=18,BE=12, 则 CE=　　　　　. 【解析】因为∠DAB=∠DBA,所以 AD=BD,又 AD 是中线,所以 BD=DC,易知∠BAC=90 °,因为 AE⊥BC,由射影定理得 AB2=BE·BC,所以 BC=27,所以 CE=27-12=15. 答案:15 13.(2014·潮州模拟)如图,PT 切☉O 于点 T,PA 交☉O 于 A,B 两点,且与直径 CT 交于点 D,CD=2,AD=3,BD=6,则 PB=　　　　　. 【解析】由相交弦定理得 DC·DT=DA·DB,则 DT=9. 由切割线定理得 PT2=PB·PA,即(PB+BD)2-DT2= PB·(PB+AB).又 BD=6,AB=AD+BD=9,所以(PB+6)2-92=PB·(PB+9),得 PB=15. 答案:15 14.(2014·陕西高考)如图,△ABC 中,BC=6,以 BC 为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB,AC 于 点 E,F, 若 AC=2AE, 则 EF=　　　　. 【解题提示】根据条件利用割线定理推得线段长度间 关系,结合已知证得相似,从而得解. 【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,又 AC=2AE,得 AB=2AF, 所以 = = 且∠A=∠A 得△AEF∽△ACB 且相似比为 1∶2,又 BC=6,所以 EF=3. 答案:3 15.(2014·宝鸡模拟)如图,已知 PA 是☉O 的切线,A 为切点,PC 是☉O 的一条割 线,交☉O 于 B,C 两点,点 Q 是弦 BC 的中点,若圆心 O 在∠APB 的内部,则∠OPQ+ ∠PAQ 的度数为　　　　　. 【解析】连接 AO,QO, 因为 PA 是☉O 的切线,A 为切点,PC 是☉O 的一条割线,交☉O 于 B,C 两点,点 Q 是 弦 BC 的中点, 所以 OA⊥PA,OQ⊥PQ, 所以∠PAO+∠PQO=180°, 所以 A,P,Q,O 四点共圆,所以∠OPQ=∠OAQ, 因为∠OAQ+∠PAQ=90°,所以∠OPQ+∠PAQ=90°. 答案:90° 16.如图,PQ 为半圆 O 的直径,A 为以 OQ 为直径的半圆 A 的圆心,圆 O 的弦 PN 切 圆 A 于点 M,PN=8,则圆 A 的半径为　　　　　. 【解析】设圆 A 的半径为 R,连接 NQ,MA,易得∠PNQ=90°,∠PMA=90°,所以 = = , 又 PN=8,所以,PM=6,而 PM2=PO·PQ, 所以 36=2R·4R,所以 OA=R= . 答案: 17.(2014·揭阳模拟)如图,圆的割线 ABC 经过☉O 的圆 心,AD 为圆的切线,D 为切点,作 CE⊥AD,交 AD 延长线于 E,若 AB=2,AD=4,则 CE 的长为　　　　. 【解析】由切割线定理知 AD2=AB·(AB+BC), 所以 16=2·(2+BC), 所以 BC=6,所以 BO=OC=3. 连接 OD,则 OD∥CE,所以 = ,即 = , 故 CE= . 答案: 18.(2013·重庆高考)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠A=60 °,AB=20, 过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD ⊥ CD,BD 与 外 接 圆 交 于 点 E, 则 DE 的 长 为　　　　　. 【解析】由题意知 AB 是圆的直径,设圆心为 O,连接 OC,因为 CD 是圆的切线,则 OC⊥CD. 又因为 BD⊥CD,所以 OC∥BD.因为 OA=OC,∠A=60°,所以∠ACO=60°,∠OCB= 30°,因为 AB=20,所以 BC=10 .因为 OC∥BD,所以∠CBD=30°,所以 BD=15,又 因 为 AB 是 圆 的 直 径 , 点 E 在 圆 上 ,AB=20 且 ∠ ABD=60 ° , 所 以 BE=10, 故 DE=BD-BE=15-10=5. 答案:5 19.如图,△ABC 的外接圆的切线 AD 交 BC 的延长线于点 D,若 AB=1,AD= , ∠ADB=30°,则 =　　　　　. 【解析】在△ABD 中,由正弦定理得 = ,即 = , 所以 sin∠ABD= × = ,从而∠ABD=45°, 所以∠CAD=45°,∠ACD=105°, 从而∠BAC=105°-45°=60°, = = = = . 答案: 20.(2013 ·天津高考) 如图, 在圆内接梯形 ABCD 中,AB ∥DC, 过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于 点 E. 若 AB=AD=5,BE=4, 则 弦 BD 的 长 为　　　　　　　. 【解析】设∠BAE=α,因为 AE 与圆相切于点 A,所以∠BAE=∠ADB,又因为 AB=AD, 所以∠ABD=∠ADB=α,因为 AB∥DC,所以∠ABD= ∠CDB=α,所以∠ABE=∠ADC=2α.在△ABE 中,由正弦定理得 = ,即 = ,解得 cosα= . 在△ABD 中,由正弦定理得 = , 即 = ,解得 BD= . 答案: 关闭 Word 文档返回原板块