陕西省延安市黄陵中学（重点班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

陕西省延安市黄陵中学（重点班）2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

‎2019-2020学年度第一学期黄陵中学高二重点班 数学（文）期末考试试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ ‎1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，，，故可得，故选C.‎ ‎2.在△ABC中，“A＝”是“cos A＝”的(　　)‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在中，根据角得范围和特殊角的三角函数值，及充要条件的判定方法，即可判定，得到答案.‎ ‎【详解】在中，则，所以且，‎ 所“”是“”充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中熟记充要条件的判定方法，以及特殊角的三角函数值是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3.命题，，命题，，则下列命题中是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，而命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题再根据复合命题的真假判定，一一验证选项即可得正确结果．‎ ‎【详解】命题p：由于对已知∀x∈R，x2≥0，则x2+1≥1＞0，‎ 则命题p：∀x∈R，x2+1＞0，为真命题，￢p为假命题；‎ 命题q：由于对∀θ∈R，sin2θ+cos2θ=1，‎ 则命题q：∃θ∈R，sin2θ+cos2θ=1.5为假命题，￢q为真命题．‎ 则p∧q、￢p∧q、￢p∨q为假命题，p∧（￢q）为真命题．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎4.不等式的解集是( )‎ A. {x|x＜－8或x＞－3} B. {x|x≤－8或x＞－3}‎ C. {x|－3≤x≤2} D. {x|－3＜x≤2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分式不等式转化为整式不等式，再解二次不等式即可得解.‎ ‎【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了分式不等式的解法，主要要注意分母不为0，重点考查了二次不等式的解法及运算能力，属基础题.‎ ‎5.若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是(　　)‎ A. B. ‎ C. a2＜b2 D. ab＜a＋b ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 举反例说明ABC错误，利用不等式性质证明D正确.‎ ‎【详解】当时满足a＜1，b＞1，但，即A,B,C错误；‎ ‎，又a＜1，b＞1，‎ 所以，‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎6.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)‎ A. 15 B. 30‎ C. 31 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列性质解得，再根据等差数列性质得结果.‎ ‎【详解】因为 故选:A ‎【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7.双曲线的实轴长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：化方程为双曲线的标准方程得：，所以，故实轴长为，故选A．‎ 考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．‎ ‎8.已知函数可导，则等于（ ）‎ A. B. 不存在 C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据导数的定义进行求解，将看成一个整体，即可得到答案。‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查导数的概念、极根符号的理解，属于基础题.‎ ‎9.若函数满足，则的值为 A. 0 B. ‎2 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎,解得.故选.‎ ‎10.若实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是( )‎ A. 18 B. ‎6 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由重要不等式可得，再根据a＋b＝2，代入即可得解.‎ ‎【详解】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有，当且仅当，即时取等号，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.‎ ‎11.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由面积公式得：，解得，所以或，当时，‎ 由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.‎ 考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.‎ ‎12.已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得的坐标,设出直线的方程为,分别令,可得的坐标,再由中点坐标公式可得的坐标,运用三点共线的条件,斜率相等,‎ 结合离心率公式可得所求值.‎ ‎【详解】由题意可设,,‎ 令,代入椭圆方程可得,可得,‎ 设直线的方程为,‎ 令,可得,所以,‎ 令,得,所以,‎ 设的中点为,则可得,‎ 由三点共线,可得,所以,即,即,‎ 所以离心率.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,考查了求直线的交点坐标,考查了斜率公式,属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.命题“∃x0∈ ，tan x0≤sin x‎0”‎的否定是______________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定直接求解.‎ ‎【详解】因为命题的否定为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化成椭圆标准形式，再根据方程列等量关系，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，‎ 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程形式以及基本量计算，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【答案】（2，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当x∈[﹣1，2]时，x3﹣x2﹣x＜m恒成立，即实数m大于左边函数的最大值，利用导数法可求．‎ ‎【详解】由题意，令f（x）=x3﹣x2﹣x，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1，‎ 令 f′（x）=3x2﹣2x﹣1=0，得x=1或x=﹣，‎ 当x∈（﹣1，﹣）∪（1，2）时 f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）的增区间为（﹣1，﹣），（1，2）；减区间为（）．‎ ‎∵f（﹣）=，f（2）=2．‎ ‎∴f（x）=x3﹣x2﹣x在x∈[﹣1，2]上的最大值为2．‎ ‎∴实数m的取值范围是m＞2．‎ 故答案为（2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，是中档题．‎ ‎16.已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．‎ ‎①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；‎ ‎③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．‎ ‎【答案】①.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据导函数得图像可知，1,2是导函数的解，故1,2是极值点，根据图可知1为极大值点，2是极小值点.‎ 详解：有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错 点睛：考查函数极值点定义以及极大值、极小值的判定，属于基础题.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共80分）‎ ‎17.已知命题p：；命题q：.若p是真命题，且q是假命题，求实数x的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】p为真:等价于不等式 q 为假等价于不等式的解．然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围．由得：，解得 由得：‎ 因为 p为真命题，q为假命题，则 ‎ 所以或 ‎18.已知函数f(x)＝x3＋x－16.求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程 ‎【答案】y＝13x－32‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据导数的几何意义，先求函数的导函数，进而求出，得到曲线 在点处的切线的斜率，由点斜式得切线方程.‎ 试题解析：‎ ‎∵f ′(x)＝3x2＋1， 4分 ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13. 9分 ‎∴切线的方程为y＝13x－32. 12分 考点：1、导数的几何意义；2、直线的点斜式方程.‎ ‎19.求满足下列条件的抛物线的标准方程．‎ ‎(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(－3，2)；‎ ‎(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．‎ ‎【答案】(1) 或,(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设抛物线方程，再代入点坐标求方程；‎ ‎（2）先求焦点坐标，再写抛物线方程.‎ ‎【详解】（1）因为抛物线焦点在坐标轴上，顶点在原点，‎ 所以可设抛物线方程为或 因为过点(－3，2)，所以或，即或 因此抛物线方程为或 ‎（2）因为焦点在直线x－2y－4＝0上又在坐标轴上，所以焦点坐标为或 因此对应抛物线方程为或 点睛】本题考查求抛物线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎20.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx＋5在x=－1与x=处有极值．‎ ‎(1)写出函数的解析式；‎ ‎(2)求出函数的单调区间；‎ ‎(3)求f(x)在[-1,2]上的最值．‎ ‎【答案】（１）；（２）是函数的减区间，是函数的增区间；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（1），依题意有， 即，得， 所以； （2）， 是函数的减区间，是函数的增区间； （3）函数在上单调递减，在上单调递增， ‎ ‎21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A＝， sinB＝3sinC.‎ ‎(1)求tanC的值；‎ ‎(2)若a＝，求△ABC面积．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)因为A＝，所以B＋C＝，‎ 故sin＝3sinC，‎ 所以cosC＋sinC＝3sinC，即cosC＝sinC，得tanC＝.‎ ‎(2)由，sinB＝3sinC，得b＝‎3c.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝‎9c2＋c2－2×(‎3c)×c×＝‎7c2，‎ 又∵a＝，∴c＝1，b＝3，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝.‎ ‎22.已知双曲线，问：过点能否作直线，使与双曲线交于两点，并且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】符合条件的直线不存在，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过点的直线方程为或，利用设而不求法，通过判别式与韦达定理求出斜率即可判断．‎ ‎【详解】设过点的直线方程为或 ‎（1）设 当存在时联立，得 因为直线与双曲线相交于两个不同点，则必有，‎ ‎，且 又为线段的中点，即 解得，与矛盾，‎ 故过点与双曲线交于两点且为线段中点的直线不存在.‎ ‎（2）当时，直线经过点但不与双曲线交于两点．‎ 综上，符合条件的直线不存在 ‎【点睛】本题考查圆锥曲线与直线相交问题，常用的方法是设而不求法，借助韦达定理与判别式，属于一般题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎⑴ 当时,求的极值； ‎ ‎⑵ 若在区间上是增函数,求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）极小值，无极大值（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导数后根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到极值；（2）将问题转化为在区间上恒成立，即在区间上恒成立，对进行分类讨论并结合分离参数可得所求的范围．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴．‎ ‎（1）当时，，‎ ‎∴当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ ‎∴当时，函数有极小值，且极小值为；无极大值．‎ ‎（2）∵在区间上是增函数，‎ ‎∴在区间上恒成立，‎ ‎∴在区间上恒成立．‎ ‎①当时，，所以不合题意．‎ ‎②当时，则有在区间上恒成立．‎ 令，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】由函数的单调性求参数取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎（3）若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．‎