浙江省杭州市2013第二次高考科目教学质量检测 数学（理）

浙江省杭州市2013第二次高考科目教学质量检测 数学（理）

杭州市2013第二次高考科目教学质量检测 数学（理）试题 考生须知：‎ ‎ 1．本卷满分150分，考试时间120分钟 ‎ 2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 ‎ 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 ‎ 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么 棱柱的体积公式 P（A +B）=P（A）+P（B） V=Sh 如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高 P（A - B）=P（A）·P（B） 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概车是p，那么 ‎ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率 ‎ 其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高 ‎ 棱台的体积公式 球的表面公式 ‎ ‎ 其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h 球的体积公式 表示棱台的高化 ‎ ‎ 其中R表示球的半径 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知i是虚数单位，则 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合 ‎ ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3．设P为函数的图象上的一个最高点，Q为函数的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）‎ ‎ A． B．‎2 ‎C． D．2‎ ‎4．设直线：，双曲线，则“”是“直线与双曲线C恰有一个公共点“的（ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．若存在实数x，y使不等式组与不等式都成立，则实数m的取 ‎ 值范围是（ ）‎ ‎ A．m≥0 B． m≤3 C．m≥l D．m≥3‎ ‎6．设数列{an}是首项为l的等比数列，若是等差数列，则 ‎ 的值等于（ ）‎ ‎ A． 2012 B． 2013 C． 3018 D． 3019‎ ‎7．已知双曲线，A，B是双曲线的两个顶点．P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上．P关于y轴的对称点是Q若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，‎ ‎ 且k1·k2=，则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎ A．对任意，都存在,使得 ‎ B．对任意，都存在，使得 ‎ C．对任意，方程只有一个实根 ‎ D．对任意，方程总有两个实根 ‎9．在直角坐标中，A（3，1），B（－3，－3），C（l．4）．P是和夹角平分线上的一点，且 ‎ =2，则的坐标是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D ‎10．如图，平面与平面交于直线，A，C是平面内 ‎ 不同的两点，B，D是平面内不同的两点，且A，B．‎ ‎ C．D不在直线上，M，N分别是线段AB，CD的中 ‎ 点，下列判断正确的是（ ）‎ ‎ A．若AB与CD 相交，且直线AC平行于时，则直线BD 与可能平行也有可能相交 ‎ B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与平行 ‎ C．若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD 都相交，则AB，CD不可能是异面直线 ‎ D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．已知，则 。‎ ‎12．在二项式的展开式中，常数项为 。‎ ‎13．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 值是____ 。‎ ‎14．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 。‎ ‎15．公差不为0的等差数列{an}的部分项，‎ ‎ 构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4= 。‎ ‎ ‎ ‎16．在△OAB中，C为OA上的一点，且 ‎ 是BC的中点，过点A的直线∥OD，P 是直线上的动点，‎ ‎ 则= 。‎ ‎17．已知 且），直线过点A（a，a2），B（b，b2），则直线被圆（所截得的弦长为____。‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（本题满分14分）‎ ‎ 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b，c．已知c=2．acosB－bcosA=。‎ ‎ （I）求bcosA的值；‎ ‎ （Ⅱ）若a=4．求△ABC的面积。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知盘中有编号为A，B，C，D的4个红球，4个黄球，4个白球（共 12个球）现从中摸出4个球（除编号与颜色外球没有区别）‎ ‎ （I）求恰好包含字母A，B，C，D的概率）；‎ ‎ （II）设摸出的4个球中出现的颜色种数为随机变量X．球Y的分布列和期望E（X）。‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分15分）‎ ‎ 已知在四棱锥P －ABCD中，底面ABCD是平行 ‎ 四边形，PA⊥平面ABCD，PA=，AB=1．AD= 2．‎ ‎ ∠BAD= 120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，‎ ‎ AD的中点 ‎ （Ⅰ）求证：PH∥平面CED；‎ ‎ （Ⅱ）过点F作平面，使ED∥平面，当平面 ‎ ⊥平面EDC时，设PA与平面交于点Q，求PQ的长。‎ ‎21．（本题满分15分）‎ ‎ 已知直线y=2x－2与抛物线x2=2py（p>0）交于 ‎ M1，M2两点，直线y=与y轴交于点F．且直线y ‎ =恰好平分∠M1FM2。‎ ‎ （I）求P的值；‎ ‎ （Ⅱ）设A是直线y=上一点，直线AM2交抛物 线于另点M3，直线M1M3交直线y=于 点B，求·的值。‎ ‎22．（本题满分I4分）设函数为实数）。‎ ‎ （I）设a≠0，当a+b=0时．求过点P（一1，0）且与曲线相切的直线方程；‎ ‎ （Ⅱ）设b>0，当a≤0且时，有，求b的最大值。‎ 参考答案 一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D A C A B C C B A D 二、 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)：‎ ‎11. . 12. 60 13. 6 14. ‎ ‎15. 22 16. - 17. ‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18. (本题满分14分) ‎ ‎(Ⅰ) ∵，根据余弦定理得，，‎ ‎∴ ，又∵ ，∴ ，‎ ‎∴ . 7分 ‎(Ⅱ) 由及，得.‎ ‎ 又∵ ，∴ ，∴ ，‎ ‎∴ . ks5u 14分 ‎19. (本题满分14分)‎ ‎(Ⅰ) P＝. 5分 ‎ (Ⅱ) ，，‎ ‎ . ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12分 ‎ . 14分 ‎20. (本题满分15分)‎ ‎(Ⅰ) 连接HC，交ED于点N，连结GN，‎ 由条件得：DHEC是矩形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，‎ ‎∴ GN//PH， 2分 又 ∵ GN平面GED，PH不在平面GED内， 4分 ‎∴ PH//平面GED. 5分 ‎（第20题）‎ ‎(Ⅱ) 方法1：连结AE，∵， ∴ △ABE是等边三角形，设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为轴建立空间直角坐标系.‎ 则B(,,0)， C(,,０)，D(0，2，0)，P(0，0，)，‎ 则E(,,0)， F(,,)，Ｇ(,,).‎ 设Q(0，0，) ，，. 8分 ‎ 设是平面GED的一个法向量，‎ ‎ 则，得，‎ ‎ 令∴. 10分 ‎ 设是平面的一个法向量，‎ ‎ 则，得，令，得 ‎， 12分 当平面GED⊥平面时，，‎ 得，则PQ的长为. 15分 ‎（第20题）‎ 方法2：连接BH，则BH//ED，又∵PB//GE，∴平面PBH//平面GED，‎ 设BH与AE交于点K，PK的中点为M，‎ ‎∵F是PB的中点，∴FM//BK，‎ ‎∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK ，∴ BK⊥平面PAK.‎ ‎∴ FM⊥平面PAK，‎ 过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为，‎ ‎∵ED//BH// FM，∴ED//平面，又平面⊥平面PBH，∴平面⊥平面EDG . ‎ 得平面满足条件. 9分 ‎∵，，∴，‎ ‎ 由，‎ ‎ 得. 15分ks5u ‎21. (本题满分15分) ‎ ‎（第21题）‎ ‎(Ⅰ) 由 ，整理得，设MR1R()，MR2R()，‎ 则 ， ‎ ‎∵ 直线平分，∴ ，‎ ‎ ∴ ，即：，‎ ‎∴ ，∴ ，满足，∴. 7分 ‎(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为，且，，，‎ ‎ 设，A，，‎ ‎ 由A、MR2R、MR3R三点共线得，‎ ‎∴ ，即：，‎ 整理得：， ……①‎ 由B、MR3R、MR1R三点共线，同理可得 ， ……②‎ ‎②式两边同乘得：，‎ ‎ 即：， ……③‎ 由①得：，代入③得：，‎ 即：，∴ .‎ ‎∴ . 15分 ‎22. (本题满分14分) ‎ ‎(Ⅰ) ∵，，∴，则，‎ ‎ ∴ ，设切点T()，则，‎ ‎ 即：切线方程为，又∵切线过点P()，‎ ‎ ∴ ，解得：或.‎ ‎ 当时，，切线方程为，‎ ‎ 当时，，切线方程为. 7分 ‎(Ⅱ) ① 当，时，在[0，1]上递增，∴ .‎ ‎② 当，时，令，得，‎ ‎ 在[0，]上递增,‎ ‎ ( i ) 若时，在[0，1]上递增，∵，‎ ‎∴ ，即：，由线性规划知：.‎ ‎( ii ) 若时，在[0，]上递增，在[，1]上递减，又 ‎， 由题意得：，‎ ‎ 由得，，‎ ‎ 即：，得.‎ ‎ 又，∴ ，‎ ‎ ∴ ，得.‎ ‎ 当时，，满足.‎ 综上所述：的最大值为. 14分