安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题+Word版含解析

安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题+Word版含解析

www.ks5u.com 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.‎ ‎【详解】因为集合，，所以，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.‎ ‎3.已知向量，，若，则（ ）‎ A. B. C. -3 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.‎ ‎【详解】向量，若，则，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.‎ ‎4.已知函数，则是（ ）‎ A. 奇函数，且在上是增函数 B. 偶函数，且在上是增函数 C. 奇函数，且在上是减函数 D. 偶函数，且在上是减函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.‎ ‎【详解】定义域为R，关于原点对称，‎ ‎ ，有，‎ 所以是奇函数，‎ 函数，显然是减函数.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.‎ ‎5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 还原几何体得四棱锥，其中面，分别计算各侧面的面积即可得解.‎ ‎【详解】‎ 还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥，其中面，‎ ‎.‎ 中有，由，所以.‎ 所以.‎ 所以面积最大值是的面积，等于2.‎ ‎【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.‎ ‎6.已知等比数列的前项和为，且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可.‎ ‎【详解】由，可得；‎ 由.‎ 两式作比可得：可得，，‎ 所以，，，所以.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.‎ ‎7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的图象变换可得函数，再由 ，，可解得单调增区间，即可得解.‎ ‎【详解】函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，‎ 可得的图象，再向左平移，‎ 得到函数 的图象.‎ 由 ，，得，.‎ 当时，函数的一个单调递增区间，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.‎ ‎8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.‎ ‎【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：‎ 的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍 的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。‎ 的几何意义为可行域内的点到点的直线的斜率.‎ ‎9.如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型可知，再利用定积分求阴影面积即可.‎ ‎【详解】由几何概型，可得 .‎ ‎【点睛】本题主要考查了几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于中档题.‎ ‎10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合三角形及圆的特征可得，进而利用数量积运算可得最值，从而得解.‎ ‎【详解】 .‎ 注意，，‎ 所以当与同向时取最大值5，反向时取小值-3.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题.‎ ‎11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的表面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把三棱锥放在长方体中，由面积公式及基本不等式可得，进而有，结合即可得最值.‎ ‎【详解】把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到，所以 ，因此，注意，所以球的表面积的最小值是. ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查空间几何体的外接球问题，利用四面体构造长方体是解题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点．‎ ‎12.设函数的导数为，且，，，则当时， （ ）‎ A. 有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值又无极小值 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设，结合条件可得存在使得，再由，可得在上单调递增，分析导数的正负，即可得原函数的极值情况.‎ ‎【详解】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.‎ 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.‎ 因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的应用：研究函数的极值，但函数一次求导后导函数的单调性不明确时，仍可以继续求导，即二次求导，属于常见的处理方式，考查了学生的分析问题的能力，属于难题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是的充分不必要条件，可得是的充分不必要条件，从而得且，列不等式求解即可.‎ ‎【详解】，，‎ 由题意是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，即，‎ 于是且，得，经检验.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中是的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决.‎ ‎14.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得的范围，由条件可知右端点应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得，解不等式即可得解.‎ ‎【详解】由题设，所以应该在第一个最小值后第二个最大值前，所以有，得，所以的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x.‎ ‎15.已知正数，满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则，可得，再利用基本不等式求最值即可.‎ ‎【详解】令，则，‎ 所以 ，当且仅当可以取到最大值，此时.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎16.在四边形中，，，，，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以由正弦定理可得，在以为直径的圆上，要使最大，就是到圆周上动点的最大值，为到圆圆心的距离加半径，即是 ‎，故答案为.‎ 考点：1、正弦定理、余弦定理应用；2、圆的性质.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理应用以及圆的性质，属于难题. 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件. 对正弦定理也是要注意两方面的应用：一是边角互化；二是求边求角.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分析梯形的角度可得，即得，又，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，易得四边形是平行四边形，得，由梯形面积公式可得底面积，高为，利用椎体的体积公式即可得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题设易得，所以，，，（第2问用）因此，又，和为平面内两条相交直线，‎ 所以平面 ‎（Ⅱ）设对角线，交于点，连接，则由平面 可得，进而四边形是平行四边形，‎ 所以.‎ 四棱锥的底面积是.‎ 由（Ⅰ）知四棱锥的高是 所以体积.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质，还有椎体的体积公式，考查一定的空间想象力，属于中档题.‎ ‎18.如图，是的外角平分线，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得，可得 ，从而得解；‎ ‎（Ⅱ）在和中，分别用余弦定理表示和，再利用，解方程即可得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题设，，‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ）在中，由余弦定理，‎ 在中，‎ 又，所以，进而.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由及时，可得，再由是等差数列，利用基本量运算求解即可；‎ ‎（Ⅱ）由，利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ），时， ，也符合此式，所以.又，，可得，，所以 ‎（Ⅱ） ，‎ 所以 ，所以 ，‎ 错位相减得 ，所以 ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎20.在四棱锥中，侧面底面，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）在平面内作交于点，可得平面，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，通过解方程求得平面的法向量，利用，即可得解；‎ ‎（Ⅱ）求得平面的法向量，通过求解，即可得二面角锐角的余弦值.‎ ‎【详解】在平面内作交于点，又侧面底面，所以平面，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得，，，.‎ 由已知条件， ，得，‎ 所以点坐标为 所以向量，，，‎ ‎（Ⅰ）设平面的法向量，则 ，‎ 设求与平面所成角为，则，‎ ‎（Ⅱ）设平面的法向量则 ，‎ 所以，.‎ 平面与平面所成的锐二面角的余弦值等于 ‎【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎21.已知.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意都成立，求整数的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）通过求导分析 函数单调性即可得最小值；‎ ‎（Ⅱ）由条件可得对任意都成立，记，通过求导分析函数单调性可得存在唯一的，在取唯一的极小值也是最小值，结合极值的等量关系可得，从而得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）的定义域是，令 ，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 在处取唯一的极小值，也是最小值 ‎（Ⅱ） （注意），记，则 考查函数， ，在定义域上单调递增.‎ 显然有，，所以存在唯一的使得 ‎.‎ 在上，，单调递减；在上，，单调递增.‎ 所以在取唯一的极小值也是最小值，注意此时 ，‎ 所以 ，所以整数的最大值可以取3‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎22.已知，，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求函数导数,利用导数可研究函数的单调性;‎ ‎（Ⅱ）由条件可得 在上恒成立, 求导得,分别讨论,和三种情况,研究的最小值的取值情况,从而即可得解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）时，，定义域是全体实数，求导得，‎ 令，所以在上单调递减，在上单调递增 ‎（Ⅱ）令 在上恒成立，则 在上恒成立 求导得.‎ 若，显然可以任意小，不符合题意.‎ 若，则最大也只能取0.‎ 当时，令 ，‎ 于是在上单调递减，在单调递增，在取唯一的极小值也是最小值 ‎ ，‎ 令，则，‎ 令.‎ 所以在上单调递增，在单调递减，‎ 在取唯一极大值也是最大值，此时，，所以的最大值等于.‎ 备注一：结合图象，指数函数在直线的上方，斜率显然，再讨论的情况.‎ 备注二：考虑到 在上恒成立，令即得.取，‎ 证明在上恒成立也给满分.‎ ‎【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎