2017-2018学年山东省济南第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2017-2018学年山东省济南第一中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

济南一中2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学试题 第I卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设全集，集合，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】全集，又，则 ‎，故选A.‎ ‎2. 在等比数列中,则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等比数列中，由等比数列的定义和性质，可得成等比数列，再由，可得，故，故选A.‎ ‎3. 下列四个函数中，在区间上是减函数的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于在上是增函数，故错误；对于在上是增函数，在上是增函数，故错误；对于在上是增函数，故错误；对于在上是减函数，故正确，故选D.‎ ‎4. 若，且为锐角，则的值等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，且为锐角，，故选 C.‎ ‎5. 在中，则 （ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】由正弦定理可知，，故选B.‎ ‎6. 等差数列中，若，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列中，，由等差数列的性质可得，故选C.‎ ‎7. 若，则下列不等式成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，选项取，显然满足，但，故错误；选项取，显然满足，但，故错误；选项,，，故正确；选项，当时，显然，故错误，故选C.‎ ‎8. 已知二次函数，那么 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】已知二次函数的对称轴为，,且在上单调递减，，，，故选A.‎ ‎9. 若函数，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，时，时，所以函数的最大值在处取到，，故选B.‎ ‎10. 在下列命题中，正确的是（ ）‎ A. 垂直于同一个平面的两个平面互相平行 B. 垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C. 平行于同一个平面的两条直线互相平行 D. 平行于同一条直线的两个平面互相平行 ‎【答案】B ‎【解析】对于：垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平行，故不正确；对于：由线面垂直的性质定理可得垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；：平行于同一个平面的两条直线可能平行，可能相交，可能异面，故不正确；：平行于同一条直线的两个平面互相平行，也可能相交，故不正确，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎11. 已知,函数的最小值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，当且仅当取等号，故函数的最小值是，故选B.‎ ‎12. 随机调查某校个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：‎ 餐费（元）‎ ‎ ‎ 人数 这个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，得这个学生午餐费的平均值是 ‎，方差是，故选A.‎ ‎13. 下列命题中正确命题个数为 （ ） ‎ ‎① ②‎ ‎③且则 ④则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量的性质可得，故①正确；若，且，则或，故②不正确；若，，则有或，且，故③不正确；‎ 是一个实数，故表示一个与共线的向量；同理表示同一个与共线的向量，故④中的等式不一定成立，故④不正确，故选B.‎ ‎14. 函数是 （ ）‎ A. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数 C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】函数函数的周期是，，函数是奇函数，函数是周期为的奇函数，故选A.‎ ‎15. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥，圆锥的轴截面圆心角为，圆锥的母线长为，半径为，根据圆锥表面积公式的求法：，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，以及已知的性质与面积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎16. 已知满足则的最大值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 画出表示的可行域，如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎17. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】略 ‎18. 已知，且，则等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，又，即，解得，故选C.‎ ‎19. 要得到函数的图象，只要将函数的图象 （ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，因此只要将函数的图象向右平移单位可得函数的图象.‎ 考点：三角函数图像变换.‎ ‎20. 猜商品的价格游戏， 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲： 主持人：高了! 观众甲： 主持人：低了! 观众甲：主持人：低了! 则此商品价格所在的区间是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，低了；低了；高了；高了，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在与之间，故选C.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及零点存在定理的应用，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：对“高了”，“低了”的理解和应用.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共40分）‎ 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上）‎ ‎21. 某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ‎__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：∵‎ ‎∴对于在区间的频率/组距的数值为，‎ ‎∴容量为为100的样本落在上频数为 考点：本题主要考查频率分布直方图。‎ 点评：简单题，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和。‎ ‎22. 函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，综上所述，函数的定义域为，故答案为.‎ ‎23. 一个骰子连续投次，点数和为的概率__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的基本事件共6×6=36个，‎ 满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，‎ ‎∴‎ 考点：古典概型概率 ‎24. 如图程序框图的输出结果是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】执行程序框图，第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ； 第十五次循环， ；退出循环，输出，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎25. 过点，且与直线平行的直线方程是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线方程可得该直线的斜率为，则与直线平行的直线的斜率为，又直线过，由直线方程的点斜式得直线方程为化为一般式得：，故答案为.‎ 三、解答题：本大题共3小题，共25分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎26. 如图，在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求证：平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接,由正四棱柱的结构特征,用正方形对角线互相垂直的性质,结合线面垂直的判定定理我们可以证明出平面,进而根据线面垂直的性质得到；（2），连接，由三角形中位线定理，我们可得，再由线面平行的判定定理，即可得到平面.‎ 试题解析：⑴，在正四棱柱 ， ‎ 平面，四边形是正方形 ，‎ 平面，平面， ‎ ‎ ， 四边形 是正方形 ， ‎ ‎ ， ， ‎ ‎ 平面，平面， ，‎ ‎⑵设，连结，‎ 四边形是正方形 ， ‎ ‎ ， 是的中点，是的中位线，‎ ‎，平面平面，‎ 平面.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.‎ ‎27. 已知函数，其中，，，.求函数的最小正周期和单调递减区间．‎ ‎【答案】,.‎ ‎【解析】试题分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式，及两角差的正弦公式，化简，再由周期公式可得最小正周期，由正弦函数的单调区间解不等式即可得函数的单调递减区间；（2）设中，由，可得，根据的范围求得角的值，再利用正弦定理和余弦定理求得的值.‎ 试题解析：‎ ‎， ‎ 函数的最小正周期是；‎ 由，‎ 得的单调递减区间为．‎ ‎28. 已知数列为等比数列，，公比，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，，求使的的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由成等差数列，知，由为等比数列，且，故，由此能求出数列的通项公式；（2）由，知，由此利用裂项求和法能够求出由的的取值.‎ 试题解析：（1）由成等差数列，得， ‎ 又为等比数列，且， ‎ 故，解得 ， ‎ 又， ， ‎ ‎（2），，‎ ‎，‎ 故由，可得.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等比数列的通项公式基本量运算，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎ ‎