2018届二轮复习 不等式选讲 课件（全国通用） (1)

2018届二轮复习 不等式选讲 课件（全国通用） (1)

高考定位 　 该部分主要有三个考点，一是带有绝对值的不等式的求解；二是与绝对值不等式有关的参数范围问题；三是不等式的证明与运用 . 对于带有绝对值不等式的求解，主要考查形如 | x | ＜ a 或 | x | ＞ a 及 | x － a |±| x － b | ＜ c 或 | x － a |±| x － b | ＞ c 的不等式的解法，考查绝对值的几何意义及零点分区间去绝对值符号后转化为不等式组的方法 . 试题多以填空题或解答题的形式出现 . 对于与绝对值不等式有关的参数范围问题，此类问题常与绝对值不等式的解法、函数的值域等问题结合，试题多以解答题为主 . 对于不等式的证明问题，此类问题涉及到的知识点多，综合性强，方法灵活，主要考查比较法、综合法等在证明不等式中的应用，试题多以解答题的形式出现 . 真 题 感 悟 1. (2015· 山东卷 ) 不等式 | x － 1| － | x － 5|<2 的解集是 ( 　　 ) 　A.( － ∞ ， 4) B.( － ∞ ， 1) C.(1 ， 4) D.(1 ， 5) 解析　 由绝对值的几何意义知， | x － 1| － | x － 5| 表示数轴上的点 x 到点 1 和点 5 的距离之差 . 当 x ＝ 4 时， | x － 1| － | x － 5| ＝ 2 ；当 x ＜ 4 时， | x － 1| － | x － 5| ＜ 2. A 2. (2015· 重庆卷 ) 若函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| ＋ 2| x － a | 的最小值为 5 ，则实数 a ＝ ________. 答案　 4 或－ 6 3. (2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 已知函数 f ( x ) ＝ | x ＋ 1| － 2| x － a | ， a >0. 　(1) 当 a ＝ 1 时，求不等式 f ( x )>1 的解集； 　(2) 若 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ，求 a 的取值范围 . 　 解 　 (1) 当 a ＝ 1 时， f ( x )>1 化为 | x ＋ 1| － 2| x － 1| － 1>0. 　 当 x ≤ － 1 时，不等式化为 x － 4>0 ，无解； 考 点 整 合 1. 含有绝对值的不等式的解法 　(1)| f ( x )|> a ( a >0) ⇔ f ( x )> a 或 f ( x )< － a ； 　(2)| f ( x )|< a ( a >0) ⇔ － a < f ( x )< a ； 　(3)| x － a | ＋ | x － b | ≥ c ( c >0) 和 | x － a | ＋ | x － b | ≤ c ( c >0) 型不等式的解法 　 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 　 法二：利用 “ 零点分段法 ” 求解，体现了分类讨论的思想； 　 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 . 热点一　绝对值不等式 [ 微题型 1] 　 考查绝对值不等式的解法 当 x ≤ 2 时，由 f ( x ) ≥ 3 得－ 2 x ＋ 5 ≥ 3 ，解得 x ≤ 1 ； 当 2< x <3 时， f ( x ) ≥ 3 无解； 当 x ≥ 3 时，由 f ( x ) ≥ 3 得 2 x － 5 ≥ 3 ，解得 x ≥ 4 ； 所以 f ( x ) ≥ 3 的解集为 { x | x ≤ 1 ，或 x ≥ 4}. (2) f ( x ) ≤ | x － 4| ⇔ | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a |. 当 x ∈ [1 ， 2] 时， | x － 4| － | x － 2| ≥ | x ＋ a | ⇔ 4 － x － (2 － x ) ≥ | x ＋ a | ⇔ － 2 － a ≤ x ≤ 2 － a . 由条件得－ 2 － a ≤ 1 且 2 － a ≥ 2 ，即－ 3 ≤ a ≤ 0. 故满足条件的 a 的取值范围是 [ － 3 ， 0]. 探究提高 　 (1) 用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ① 求零点； ② 划区间、去绝对值号； ③ 分别解去掉绝对值的不等式； ④ 取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值 .(2) 用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法 . [ 微题型 2] 　 含有绝对值不等式的恒成立问题 探究提高 　 解答含有绝对值不等式的恒成立问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值 . 热点二　不等式的证明 即证： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3 ， 而 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ， 故需证明： a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( ab ＋ bc ＋ ca ) ≥ 3( ab ＋ bc ＋ ca ). 探究提高　 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等 . 热点三　柯西不等式 探究提高 　 根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式 . 1. 证明绝对值不等式主要有三种方法 　(1) 利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2) 利用三角不等式 || a | － | b || ≤ | a ± b | ≤ | a | ＋ | b | 进行证明； (3) 转化为函数问题，数形结合进行证明 . 2.(1) 研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法 . 　(2) f ( x ) ＜ a 恒成立 ⇔ f ( x ) max ＜ a ； f ( x ) ＞ a 恒成立 ⇔ f ( x ) min ＞ a . 3. 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 .