【数学】2021届一轮复习人教A版抽象函数题型汇编学案

【数学】2021届一轮复习人教A版抽象函数题型汇编学案

抽象函数常见题型汇编 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：‎ 一、 定义域问题 (一) 已知的定义域，求的定义域，‎ 解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。‎ 例题1： 设函数的定义域为，则 ‎（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______‎ 解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为 ‎（2）由已知，得，解得，故的定义域为 (二) 已知的定义域，求的定义域。‎ 解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。‎ 例题2： 函数的定义域为，则的定义域为_____。‎ 解析：由，得，所以，故填 (一) 已知的定义域，求的定义域。‎ 解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。‎ 例题1： 函数定义域是，则的定义域是_______‎ 解析：先求的定义域，的定义域是，‎ ‎，即的定义域是 再求的定义域，，‎ 的定义域是 (二) 运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。‎ 例题2： 函数的定义域是，求的定义域。‎ 解析：由已知，有，即 函数的定义域由确定 函数的定义域是 【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。‎ 解析：的定义域是［1，2］，是指，‎ 所以中的满足 从而函数f(x)的定义域是［1，4］‎ 【巩固1】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。‎ 解析：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得 所以函数的定义域是 【巩固2】 定义域为，则定义域是__。‎ 解析：因为及均相当于中的x，所以 ‎(1)当时，则; (2)当时，则 一、 解析式问题 1. 换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。‎ 例题1： 已知 ,求.‎ 解析：设,则∴∴‎ 2. 凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 ‎ 例题2： 已知，求 解析：∵‎ 又∵，∴，(||≥1)‎ 1. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。‎ 例题1： 已知二次实函数，且+2+4,求.‎ 解析：设=，则 ‎=比较系数得∴‎ 2. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.‎ 例题2： 已知=为奇函数,当 >0时,,求 解析：∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式。‎ ‎∵->0,∴,‎ ‎∵为奇函数，∴‎ ‎∴当<0时∴‎ 例题3： 为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.‎ 解析：∵为偶函数，为奇函数，∴,,‎ 不妨用-代换+= ………①中的,‎ ‎∴即－……②‎ 显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出 1. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式 例题1： 设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求 解析：∵的定义域为N，取=1,则有 ‎∵=1,∴=+2,……‎ 以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴‎ 【巩固1】 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数 ‎ A. B. C. D. ‎ 解析：要求的解析式，‎ 实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。‎ 点关于直线的对称点适合，‎ 即。又，‎ ‎，即，选B。‎ 【巩固1】 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式。‎ 解析：在中以代换其中x，得：‎ 再在(1)中以代换x，得 化简得：‎ 评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。‎ 一、 求值问题 这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。‎ 例题1： 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值。‎ 解析：取，得 因为，所以 又取，得 例题1： 定义在R上的函数满足：且，求的值。‎ 解析：由，以代入，有，‎ 为奇函数且有，又由 是周期为8的周期函数， ‎ 【巩固1】 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。‎ 解析：在条件中，令，得 ‎，‎ 又令，得，‎ 【巩固2】 已知是定义在R上的函数，且满足：，‎ ‎，求的值。‎ 解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是 ‎，‎ 所以，故是以8为周期的周期函数，‎ 从而 一、 值域问题 例题1： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。‎ 解析：令，得，即有或。‎ 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。‎ 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意 所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。‎ 【巩固1】 已知函数对任意实数有，且当时 ‎，求在上的值域。‎ 解析：设，且，则，‎ 由条件当时， ，‎ 又，为增函数，‎ 令，则 又令 ，得 ，，故为奇函数，‎ ‎，‎ 上的值域为 一、 求参数范围或解不等式 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。‎ 例题1： 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。‎ 解析：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，‎ 由得。‎ ‎（1）当时，，不等式不成立。‎ ‎（2）当时，‎ ‎（3）当时，‎ 综上所述，所求的取值范围是。‎ 例题2： 是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。‎ 解析：：‎ 对恒成立 ‎ 对恒成立 对恒成立， ‎ 【巩固1】 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。‎ 解析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有 【巩固2】 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。‎ 解析：设且，则，‎ ‎，即 故为增函数，‎ 又，‎ 因此不等式的解集为。‎ 一、 单调性问题 例题1： 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数。‎ 证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有 当时，；当时，‎ 而，所以 又当时，，所以对任意，恒有 设，则 ‎∴，∴在R上为增函数 例题2： 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函是减函数，并证明你的结论。‎ 证明：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：‎ 任取 因为在上是减函数，所以。‎ 又是偶函数，所以，‎ ‎ 从而，故在上是增函数。‎ 【巩固1】 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 ‎ A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 ‎ C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 解析：画出满足题意的示意图1，易知选B。‎ 一、 奇偶性问题 例题1： 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。‎ 解析：取得：，所以 又取得：，所以 再取则，即 因为为非零函数，所以为偶函数。‎ 【巩固2】 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。‎ 证明：设图象上任意一点为P（）‎ 与的图象关于原点对称，‎ 关于原点的对称点在的图象上，‎ 又，‎ 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。‎ 一、 周期性问题 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：‎ 函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,‎ ‎1. ，则是以为周期的周期函数；‎ ‎2. ，则是以为周期的周期函数；‎ ‎3. ，则是以为周期的周期函数；‎ ‎4. ，则是以为周期的周期函数； ‎ ‎5. ，则是以为周期的周期函数.‎ ‎6. ，则是以为周期的周期函数.‎ ‎7. ，则是以为周期的周期函数.‎ ‎8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.‎ ‎9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以 为周期的周期函数；‎ ‎10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；‎ ‎11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；‎ 例题1： 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。‎ 解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。‎ 证明：‎ ‎ ‎ 得 由（3）得 由（3）和（4）得。‎ 上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。‎ 例题2： 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有 ‎，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。‎ 解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。‎ 故是周期函数，2c是它的一个周期。‎ 【巩固1】 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。证明f(x)是周期函数。‎ 证明：依题设关于直线对称,故 又由是偶函数知 ‎,将上式中以代换，得 这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期 是偶函数的实质是的图象关于直线对称 又的图象关于对称，可得是周期函数,且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到 思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。‎ 证明：关于直线对称.‎ 又由是偶函数知,‎ 将上式中以代换，得 是上的周期函数,且是它的一个周期 思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。‎ 证明：关于直线对称 将上式的以代换得 是上的周期函数,且是它的一个周期 若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？我们得到 思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，‎ 证明：关于对称,‎ 又由是奇函数知 将上式的以代换，得 是上的周期函数,且4是它的一个周期 是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到 思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。‎ 证明：关于点对称，‎ 关于直线对称，‎ 将上式中的以代换，得 是上的周期函数，且是它的一个周期 由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到 思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。‎ 证明：关于对称 将上式中的以代换，得 ‎ ‎ 是周期函数，且是它的一个周期 一、 对称性问题 ‎（1）对称性的概念及常见函数的对称性 ‎ ‎1、对称性的概念 ‎ ‎①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ‎ ‎②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 ‎ ‎2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ‎ ‎①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;‎ ‎⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;‎ ‎⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 ‎ ‎⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。‎ ‎⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 ‎(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。‎ ‎（2）抽像函数的对称性 ‎1、函数图像本身的对称性（自对称问题）‎ ‎（1）轴对称 ‎①的图像关于直线对称 ‎ ‎② 的图像关于直线对称.‎ 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.‎ ‎（2）中心对称 ‎ ‎①的图像关于点对称 ‎ ‎。‎ ‎② 的图像关于点对称.‎ 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.‎ ‎（3）对称性与周期性之间的联系 ‎①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；‎ 特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数； ‎ ‎②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期；‎ ‎③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期。‎ 特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。‎ ‎2、两个函数图像的对称性（互对称问题）‎ ‎（1）函数与图像关于直线对称。‎ ‎（2）函数与图像关于直线对称 ‎（3）函数与图像关于直线对称 ‎（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称。‎ ‎（6）函数与图像关于轴对称。‎ ‎（7）函数与图像关于直线成轴对称。‎ ‎（8）函数与图像关于直线成轴对称。‎ ‎（9）函数与的图像关于直线对称。‎ ‎（10）函数与的图像关于直线对称。‎ ‎（11）函数有反函数，则和的图像关于直线 对称。‎ ‎（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图像关于原点对称。‎ 例题1： 函数满足，求值。‎ 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。‎ 所以 将上式中的x用代换，得 评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。‎ 一、 综合问题 1) 比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。‎ 例题2： 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。‎ 解析：且，‎ 又时，是增函数，‎ 是偶函数，，故 2) 讨论方程根的问题 例题3： 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。‎ 分析：由知直线是函数图象的对称轴。又 有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。‎ 1) 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。‎ 例题1： 若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称 解析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。‎ 例题2： 若函数的图象过点（0，1），则的反函数图象必过定点__‎ 解析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。‎ 【巩固1】 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0

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