高三数学总复习学案54
学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
导学目标： 1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．直线与椭圆的位置关系的判定方法
(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法
将直线方程与双曲线方程联立消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．
(3)直线与抛物线位置关系的判定方法
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.
①当a≠0，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．
2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆＋＝1 (a>b>0)的一条弦，M(x0，y0)是AB的中点，则kAB＝________，kAB·kOM＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：
①将端点坐标代入方程：＋＝1，＋＝1.
②两等式对应相减：－＋－＝0.
③分解因式整理：kAB＝＝－＝－.
(2)运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线－＝1的弦，中点M(x0，y0)，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px (p>0)的弦AB的中点M(x0，y0)，则kAB＝____________.
3．弦长公式
直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝ |y1－y2|＝ ·.
自我检测
1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
A．4 B．3 C．4 D．8
2．(2011·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A．(1,0) B.
C．(－1,0) D.
3．(2011·许昌模拟)已知曲线＋＝1和直线ax＋by＋1＝0 (a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是( )
4．(2011·杭州模拟)过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·的值为( )
A．－ B．－ C．－4 D．无法确定
探究点一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2＝y，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
探究点二 圆锥曲线中的弦长问题
例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1交于A、B两点，
记△AOB的面积为S.
(1)求在k＝0,0
b>0)，双曲线－＝1的两条渐近线为l1，l2，
过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B.
(1)当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
(2)求的最大值．
【答题模板】
解 (1)双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线夹角为60°，又<1，∴∠POx＝30°，
∴＝tan 30°＝，∴a＝b.又a2＋b2＝22，
∴3b2＋b2＝4，[2分]
∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1，
∴离心率e＝＝.[4分]
(2)由已知，l：y＝(x－c)与y＝x联立，
解方程组得P.[6分]
设＝λ，则＝λ，∵F(c,0)，设A(x0，y0)，则(x0－c，y0)＝λ，
∴x0＝，y0＝.即A.[8分]
将A点坐标代入椭圆方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2，
等式两边同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[10分]
∴λ2＝＝－＋3
≤－2 ＋3＝3－2＝(－1)2，
∴当2－e2＝，即e2＝2－时，λ有最大值－1，即的最大值为－1.[12分]
【突破思维障碍】
最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．
【易错点剖析】
不能把转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．
1．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．
2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·菏泽调研)F1、F2是椭圆＋＝1 (a>b>0)的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
2．若双曲线－＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px (p>0)通过点A，则p的值为( )
A. B．2 C. D.
3．(2011·武汉月考)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
4．已知直线y＝k(x＋2) (k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A. B. C. D.
5．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.
C. D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011届合肥期末)若直线y＝kx＋1 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则t的范围是______________．
7．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．
8．(2010·全国Ⅱ)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若A＝M，则p＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB
|的长．
10．(12分)(2010·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
11．(14分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
自主梳理
1．(1)相交 相切 相离 (2)①相交 相切 相离 ②一个
(3)②平行 一个 2.(1)－ － (2)
自我检测
1．C 2.C 3.C 4.B
课堂活动区
例1 解题导引 用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．
解 由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，
即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.
当Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－时，直线和曲线有两个公共点；
当Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－时，直线和曲线有一个公共点；
当Δ＝72k2－48<0，即－或t<－.]
例2 解题导引 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．
解 (1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由＋y2＝1，解得x1,2＝±2，
所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
(2)由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝16(4k2－b2＋1)．①
|AB|＝|x1－x2|＝·＝2.②
又因为O到AB的距离d＝＝＝1，
所以b2＝k2＋1.③
将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，
解得k2＝，b2＝，代入①式检查，Δ>0.
故直线AB的方程是：y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－.
变式迁移2 解 (1)设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，
则c＝，＝.∴a＝2，b＝1.
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)由消去y得关于x的方程：
5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
则Δ＝64m2－80(m2－1)>0，解得m2<5.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，
x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，
∴|PQ|＝＝
＝ ＝2，
解得m2＝，满足(*)，∴m＝±.
例3 解题导引 直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．
解 由 (x≤－1)
得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则，∴10，解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③
而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)．
所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.
课后练习区
1．A 2.C 3.A 4.D 5.C
6．[1,5) 7.5 8.2
9．解 设直线AB的方程为y＝x＋b，
由消去y得x2＋x＋b－3＝0，(3分)
∴x1＋x2＝－1.
于是AB的中点M(－，－＋b)，
且Δ＝1－4(b－3)>0，即b<.(6分)
又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．(8分)
∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得
|AB|＝＝3.(12分)
10．解 (1)由e＝＝，得3a2＝4c2.
再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得
所以椭圆的方程为＋y2＝1.(4分)
(2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A，B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由根与系数的关系，得－2x1＝，
所以x1＝，从而y1＝.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为(－，)．(6分)
以下分两种情况讨论：
①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2.(8分)
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为
y－＝－(x＋)．
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋(＋)
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±.
所以y0＝±.(11分)
综上，y0＝±2或y0＝±.(12分)
11．解 (1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.
由题意有·＝，(3分)
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.(6分)
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，
即(9分)
又C为双曲线上一点，
即x－5y＝5b2，有
(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得
λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.(11分)
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)
＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
(14分)
