2017年安徽省蚌埠市高考一模数学理

2017年安徽省蚌埠市高考一模数学理

2017 年安徽省蚌埠市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的 A，B，C，D 的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置. 1.已知 A={x|2x＜1}，B={x| 2yx}，则 A∩B=( ) A.[-2，0) B.[-2，0] C.(0，+∞) D.[-2，+∞) 解析：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=(-∞，0)， B={x| 2yx}=[-2，+∞) ∴A∩B=[-2，0). 答案：A. 2.复数 Z 在映射 f 下的象为(1+i)Z，则-1+2i 的原象为( ) A. 13 2 i B.13 2 i C. 13 2 i D.13 2 i 解析：根据题意，若设-1+2i 的原象为复数 z，则得出(1+i)z=-1+2i， 所以       1 2 11 2 1 3 1 1 1 2 iiiiz i i i          答案：B 3.若 3cos 25 （ ） ，则 cos2α=( ) A. 7 25 B. 7 25 C. 16 25 D. 16 25 解析：∵ ，可得： 3sin 5， ∴ 3sin 5  ， ∴ 2237cos 2 1 2sin 1 2 5 25 （ ）       . 答案：B. 4.已知非零向量 m ，n 满足 3| |=2| n |，＜ ，n ＞=60°，若 （ ）n tm n则实数 t 的值 为( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析：非零向量 ， 满足32mn ，＜ ， ＞=60°， ∴ 1cos 2 ＜ ，＞mn  ， 又 ， ∴ 2（ ）n tm n tm n n     = 21 2t m n n   = 221 03t n n   ， 解得 t=-3. 答案：B. 5. M 是抛物线 C：y2=2px(p＞0)上一点，F 是抛物线 C 的焦点，O 为坐标原点，若|MF|=p，K 是抛物线 C 准线与 x 轴的交点，则∠MKO=( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 解析：由题意，取点 M( 2 p ，p)， ∵K(- 2 p ，0)， ∴kKM=1，∴∠MKO=45°. 答案：C. 6.若实数 x，y 满足 10 0 2 ＞ xy x y        ，则 2 21 y x  的取值范围是( ) A.[ 4 3 ，4] B.[ 4 3 ，4) C.[2，4] D.(2，4] 解析：作出不等式组对应的平面区域如图，则设 2 121 2 yyz x x   ， 则 z 的几何意义是区域内的 P 点与点 M(- 1 2 ，0)的斜率 k； 如图所示(k)min=kPA= ，(k)max=kPB=4， 则 2 21 y x  的取值范围是[ ，4) 答案：B. 7.已知函数 f(x)定义域为 R，命题：p：f(x)为奇函数，q： 1 1 0（ ）f x dx，则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：由 f(x)为奇函数，得 1 1 0（ ）f x dx，是充分条件， 反之不成立，不是必要条件. 答案：A. 8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象上相邻两个最高点的距离为π. 若将函数 f(x)的图象向左平移 6  个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称.则函数 f(x)的解 析式为( ) A.f(x)=2sin(x+ 6  ) B.f(x)=2sin(x+ 3  ) C.f(x)=2sin(2x+ 6  ) D.f(x)=2sin(2x+ 3  ) 解析：∵函数的图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴函数周期 T=π，即 2T  ，即ω=2， 即 f(x)=2sin(2x+φ)， 若将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度后，得 f(x)=2sin[2(x+ )+φ)]=2sin(2x+ +φ)， 若图象关于 y 轴对称. 则 32k   ， 即φ= +kπ，k∈Z， ∵0＜φ＜π， ∴当 k=0 时，φ= ， 即 f(x)=2sin(2x+ ). 答案：C. 9.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为( ) A.3 B.4 C.6 D.7 解析：模拟程序的运行，可得 S=3，n=0 不满足条件 S≥5，S=6，n=1， 不满足条件 n＞4，执行循环体，满足条件 S≥5，S=3，n=2， 不满足条件 n＞4，执行循环体，不满足条件 S≥5，S=6，n=3， 不满足条件 n＞4，执行循环体，满足条件 S≥5，S=3，n=4， 不满足条件 n＞4，执行循环体，不满足条件 S≥5，S=6，n=5， 满足条件 n＞4，退出循环，输出 S 的值为 6. 答案：C. 10.我们把各位数字之和等于 6 的三位数称为“吉祥数”，例如 123 就是一个“吉祥数”，则 这样的“吉祥数”一共有( ) A.28 个 B.21 个 C.35 个 D.56 个 解析：因为 1+1+4=6，1+2+3=6，2+2+2=6，0+1+5=6，0+2+4=6，0+3+3=6，0+0+6=6， 所以可以分为 7 类， 当三个位数字为 1，1，4 时，三位数有 3 个， 当三个位数字为 1，2，3 时，三位数有 3 3 6A  个， 当三个位数字为 2，2，2 时，三位数有 1 个， 当三个位数字为 0，1，5 时，三位数有 12 22 4AA  个， 当三个位数字为 0，2，4 时，三位数有 12 22 4AA  个， 当三个位数字为 0，3，3 时，三位数有 2 个， 当三个位数字为 0，0，6 时，三位数有 1 个， 根据分类计数原理得三位数共有 3+6+1+4+4+2+1=21. 答案：B. 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为( ) A. 23 B. 3 C.32 D. 2 解析：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个棱长为 2 的正方体，切去四个角所得的正四面体， 其外接球等同于棱长为 2 的正方体的外接球， 故 2222 2 2 2 2 3R     ， 故 R= 3 . 答案：B 12.已知函数 （ ） xaf x ex  (a∈R 且 x＞0).若存在实数 p，q(p＜q)，使得 f(x)≤0 的解集 恰好为[p，q]，则 a 的取值范围是( ) A.(0， 1 e ] B.(-∞， 1 e ] C.(0， 1 e ) D.(-∞， 1 e ) 解析：当 a=0 时，f(x)=-e-x＜0，则不存在 f(x)≤0 的解集恰为[p，q]， 当 a＜0 时，f(x)＜0，此时函数 f(x)单调递增，则不存在 f(x)≤0 的解集恰为[p，q]， 当 a＞0 时，由 f(x)≤0 得 xa ex  ， 当 x＞0 时，不等式等价为 x xa e ， 设 （ ） x xgx e ， 则 1（ ） x xgx e  ， 当 x＞1 时，g′(x)＜0， 当 0＜x＜1 时，g′(x)＞0， 即当 x=1 时，g(x)取得极大值，同时也是最大值 11（ ）g e ， ∴若存在实数 p，q，使得 f(x)≥0 的解集恰为[p，q]， 则必有 a＜ 1 e ， 即 0＜a＜ 1 e . 答案：C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在答题卷相应横线上. 13.双曲线 22 221xy ab(a＞0，b＞0)的渐近线与圆 22( 2) 1xy   相切，则此双曲线的离 心率为____. 解析：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0， 圆 的圆心( 2 ，0)，半径为 1， 双曲线 (a＞0，b＞0)的渐近线与圆 相切， 可得： 22 2 1b ba   ， 可得 a2=b2，c= 2 a， ∴e= 2 . 答案： 2 . 14.若 3 1 2 （ ）ax x  的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____. 解析：根据题意， 3 1 2 （ ）ax x  的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大， 则 a=8， 则 3 81 2 （ ）x x  的 二 项 展 开 式 为 24 4 8 8 8 8 3 1 8 83 11122 （ ） （ ） （ ）（ ） r r r r r r r r xT C C x x                ， 令 24 4 3 r =0，解可得，r=6； 则其常数项为 7. 答案：7 15.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈 四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高 一丈八尺，求此容器能放多少斛米”(古制 1 丈=10 尺，1 斛=1.62 立方尺，圆周率π=3)， 则该圆柱形容器能放米____斛. 解析：设圆柱的底面半径为 r，则 2πr=54，r=9， 故米堆的体积为π×92×18=4374 立方尺， ∵1 斛米的体积约为 1.62 立方尺， ∴4374÷1.62≈2700 斛. 答案：2700. 16.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，外接圆半径为 1，且 tan 2 tan A c b Bb  ，则△ABC 面积的最大值为____. 解析：∵外接圆半径为 1， ∴ 2sin sin sin ＝ ＝ ＝a b c A B C ； 又∵ ， ∴ sin cos 2sin sin cos sin sin ＝A B C B A B B  sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA sinC=2sinCcosA 1cos 2A， ∴ 3A  ， 3sin 2A  ， 那么： 11sin 2sin 2sin sin 3 sin sin22 ＝ABCS bc A B C A B C      . 令 y=sinB·sinC. ∵ 2 3 ＝BC  ， ∴ 22 3 1 3 1 1 1 1sin sin sin cos sin sin 2 cos 2 sin 23 2 2 4 4 4 2 6 4 （ ） （ ）y B B B B B B B B           ∵0＜B＜ 2 3  ， ∴ 72 6 6 6 （ ， ）B      ， 当 2 62B 时，y 取最大值为 1 2 . ∴△ABC 面积的最大值为 33 4 . 答案： 33 4 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答须写出说明、证明过程和演算步骤. 17.等差数列{an}前 n 项和为 Sn，且 S5=45，S6=60. (1)求{an}的通项公式 an； (2)若数列{an}满足 bn+1-bn=an(n∈N*)且 b1=3，求{ 1 nb }的前 n 项和 Tn. 解析：(1)利用等差数列的前 n 项和公式即可得出； (2)利用“累加求和”、裂项求和、等差数列的前 n 项和公式即可得出. 答案：(1)设等差数列{an}的公差为 d，∵S5=45，S6=60， ∴ 1 1 545 452 656 602 ＝ ＝ ad ad       ，解得 1 5 2 ＝ ＝ a d    . ∴an=5+(n-1)×2=2n+3. (2)∵bn+1-bn=an=2n+3，b1=3， ∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1 =[2(n-1)+3]+[2(n-2)+3]+…+(2×1+3)+3 =  1232 nn n =n2+2n. ∴   1 1 1 1 1 2 2 2 ＝ nb n n n n   . ∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n                                       = 1 1 1 112 2 1 2nn     =     3 1 1 4 2 1 2 2nn. 18.某校开展“读好书，好读书”活动，要求本学期每人至少读一本课外书，该校高一共有 100 名学生，他们本学期读课外书的本数统计如图所示. (I)求高一学生读课外书的人均本数； (Ⅱ)从高一学生中任意选两名学生，求他们读课外书的本数恰好相等的概率； (Ⅲ)从高一学生中任选两名学生，用ζ表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，求随机变 量ζ的分布列及数学期望 Eζ. 解析：(Ⅰ)由图知读课外书 1 本、2 本、3 本的学生人数分别为 10，50 和 40，由此能求出 高一学生读课外书的人均本数. (Ⅱ)从高一学生中任选两名学生，利用互斥事件概率加法公式能求出他们读课外书的本数恰 好相等的概率. (Ⅲ)从高一学生中任选两名学生，用ζ表示这两人读课外书的本数之差的绝对值，则ζ的可 能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ζ的分布列及数学期望 Eζ. 答案：(Ⅰ)由图知读课外书 1 本、2 本、3 本的学生人数分别为 10，50 和 40， ∴高一学生读课外书的人均本数为： 1 10 2 50 3 40 2.3100       . (Ⅱ)从高一学生中任选两名学生，他们读课外书的本数恰好相等的概率为： 2 2 2 10 30 40 2 100 41 99 C C Cp C . (Ⅲ)从高一学生中任选两名学生， 记“这两人中一人读 1 本书，另一人读 2 本书”为事件 A， “这两人中一人读 2 本书，另一人读 3 本书”为事件 B， “这两人中一人读 1 本书，另一人读 3 本书”为事件 C， 从高一学生中任选两名学生，用ζ表示这两人读课外书的本数之差的绝对值， 则ζ的可能取值为 0，1，2， 2 2 2 10 30 40 2 100 410 99 （ ） C C CP C    ， 1 1 1 1 10 50 50 40 22 100 100 501 99 （ ） （ ） （ ） C C C CP P A P B CC       ， 11 10 40 2 100 82 99 （ ） （ ） CCP P C C     ， ∴ζ的分布列为： ζ 0 1 2 P 41 99 50 99 8 99 41 50 8 20 1 299 99 99 3 （ ）E         . 19.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形，点 E，F 分别在线段 AA1，A1B1 上，且 AE= 1 2 ，A1F= 3 4 ，CE⊥EF，M 为 AB 中点 (I)证明：EF⊥平面 CME； (Ⅱ)若 CA⊥CB，求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值. 解析：(Ⅰ)推导出 Rt△EAM∽Rt△FA1E，从而 EF⊥ME，又 EF⊥CE，由此能证明 EF⊥平面 CEM. (Ⅱ)设线段 A1B1 中点为 N，连结 MN，推导出 MC，MA，MN 两两垂直，建空间直角坐标系，利 用向量法能求出直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值. 答案：(Ⅰ)在正方形 ABB1A1 中，A1E= 3 2 ，AM=1， 在 Rt△EAM 和 Rt△FA1E 中， 11 3 2 ＝ ＝AE AM A F A E ， 又∠EAM=∠FA1E= 2  ，∴Rt△EAM∽Rt△FA1E， ∴∠AEM=∠A1FE，∴EF⊥EM， 又 EF⊥CE，ME∩CE=E，∴EF⊥平面 CEM. (Ⅱ)在等腰三角形△CAB 中， ∵CA⊥CB，AB=2，∴CA=CB= 2 ，且 CM=1， 设线段 A1B1 中点为 N，连结 MN，由(Ⅰ)可证 CM⊥平面 ABB1A1， ∴MC，MA，MN 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C(1，0，0)，E(0，1， 1 2 )，F(0， 1 4 ，2)，A(0，1，0)，C1(1，0，2)， 111 2 （ ，，）CE  ， 30 4 3 2 （ ， ，）EF  ， 1AC =(1，-1，2)， 设平面 CEF 的法向量为 n =(x，y，z)， 则 1 02 33042 ＝ ＝ ＝ ＝ n CE x y z n EF y z            ，取 z=2，得 =(5，4，2)， 设直线 AC1 与平面 CEF 所成角为θ， 则 1 1 30sin 18 AC n AC n     ， ∴直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为 30 18 . 20.已知椭圆 C： 22 221xy ab(a＞b＞0)的长轴长为 4，离心率为 3 2 ，右焦点为 F. (1)求椭圆 C 的方程； (2)直线 l 与椭圆 C 相切于点 P(不为椭圆 C 的左、右顶点)，直线 l 与直线 x=2 交于点 A，直 线 l 与直线 x=-2 交于点 B，请问∠AFB 是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明. 解析：(1)由 2a=4，离心率 3 2 ce a ， 22b a c即可求得 a 和 b，即可求得椭圆 C 的 方程； (2)l 的斜率为 0 时，∠AFB 为直角，则∠AFB 为定值 2  ，当斜率不为 0 时，将切点代入椭圆 方程，求得交点坐标，求得 AF 和 BF 的斜率 kAF 及 kBF，即可求得 kAF·kBF=-1，即可求得∠AFB 为定值 . 答案：(1)2a=4，即 a=2， ， ∴c= 3 ， =1， ∴椭圆方程为： 2 2 14 ＝x y ， (2)当 l 的斜率为 0 时，∠AFB 为直角，则∠AFB 为定值，为 ， 当斜率不为 0 时，设切点为 P(x0，y0)，则 l： 0 0 14 ＝xx yy ， ∴A(2， 0 0 1 2 x y  )，B(-2， 0 0 1 2 x y  )， ∴     00 2 00 2 0 0 1 1 122 1 2 3 2 3 4 AF BF x x x kk yyy            ， ∴∠AFB 为定值 2  . 21.已知函数 2 ln（ ） x x ax xfx e  (其中 e 是自然对数的底数，a∈R). (I)若曲线 f(x)在 x=l 处的切线与 x 轴不平行，求 a 的值； (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(0，1]上是单调函数，求 a 的最大值. 解析：(Ⅰ)求出原函数的导函数，可得 f′(1)=0，得到曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程为 1 ay e  ，结合切线与 x 轴不平行，可得1 0a e   ，从而求得 a 值； (Ⅱ)由  2 12 ln （ ） x x a x a xxfx e        ，设  2 12 ln（ ）h x x a x a xx       ，求出 h′(x)，可知 h′(x)在(0，1]上是减函数，从而 h′(x)＞h′(1)=2-a. 然后分当 2-a≥0，和 2-a＜0 分类研究函数的单调性得答案. 答案：(Ⅰ)依题意， ， f′(1)=0，且曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程为 ， ∵切线与 x 轴不平行，故切线与 x 轴重合，∴ ，即 a=-1； (Ⅱ) ， 设  2 12 ln（ ）h x x a x a xx       ，则 2 1122（ ） （ ）h x x a xx       . h′(x)在(0，1]上是减函数，从而 h′(x)＞h′(1)=2-a. ①当 2-a≥0，即 a≤2 时，h′(x)≥0，h(x)在区间(0，1)上为增函数. ∵h(1)=0，∴h(x)≤0 在(0，1]上恒成立，即 f′(x)≤0 在(0，1]上恒成立. ∴f(x)在(0，1]上是减函数. ∴a≤2 满足题意； ②当 2-a＜0，即 a＞2 时，设函数 h′(x)的唯一零点为 x1， 则 h(x)在(0，x1)上递增，在(x1，1)上递减. 又∵h(1)=0，∴h(x1)＞0. 又∵h(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a=-e-2a+(2-a)e-a-ea＜0， ∴h(x)在(0，1)内由唯一一个零点 x′， 当 x∈(0，x′)时，h(x)＜0，当 x∈(x′，1)时，h(x)＞0. 从而 f(x)在(0，x′)上递减，在(x′，1)上递增，与在区间(0，1]上是单调函数矛盾. ∴a＞2 不合题意. 综上，a 的最大值为 2. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 21 2 22 2 ＝ ＝ xt yt       (t 为参数)，在极坐标系(与直 角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，圆 C 的 方程为ρ=6sinθ. (I)求直角坐标下圆 C 的标准方程； (Ⅱ)若点 P(l，2)，设圆 C 与直线 l 交于点 A，B，求|PA|+|PB|的值. 解析：(I)圆 C 的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，配 方可得标准方程. (II)直线 l 的参数方程为 21 2 22 2 ＝ ＝ xt yt       (t 为参数)，代入圆的方程可得：t2-7=0，解得 t1， t2.利用|PA|+|PB|=|t1-t2|，即可得出. 答案：(I)圆 C 的方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程： x2+y2=6y，配方为 x2+(y-3)2=9. (II)直线 l 的参数方程为 21 2 22 2 ＝ ＝ xt yt       (t 为参数)，代入圆的方程可得：t2-7=0，解得 t1=7， t2=-7. ∴|PA|+|PB|=|t1-t2|= 27. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|，g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式|g(x)|＜5； (2)若对任意 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1)=g(x2)成立，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)利用||x-1|+2|＜5，转化为-7＜|x-1|＜3，然后求解不等式即可. (2)利用条件说明{y|y=f(x)}  {y|y=g(x)}，通过函数的最值，列出不等式求解即可. 答案：(1)由||x-1|+2|＜5，得-5＜|x-1|+2＜5 ∴-7＜|x-1|＜3， 得不等式的解为-2＜x＜4 (2)因为任意 x1∈R，都有 x2∈R，使得 f(x1)=g(x2)成立， 所以{y|y=f(x)}  {y|y=g(x)}， 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|， g(x)=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得 a≥-1 或 a≤-5， 所以实数 a 的取值范围为 a≥-1 或 a≤-5.