2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期第一次月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅‎ ‎2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎3．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]‎ ‎4．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（　　）‎ A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎6．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎7．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎8．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+‎ C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎10．（5分）已知m、n、m+n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆=1的离心率为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎11．（5分）已知P是椭圆的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x﹣3y﹣2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣7，8] B． C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣7]∪[8，+∞）‎ ‎12．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）‎ A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，∠C=60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则 ‎+=　 　．‎ ‎15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　 　．‎ ‎16．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC的面积，求ScosBcosC的最大值．‎ ‎18．（12分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．‎ ‎19．（12分）设M（x0，y0）是双曲线C：=1（a＞b＞0）上任意一点，N点是M（x0，y0）关于实轴的对称点．C的左右顶点分别是A1，A2，直线MA1与NA2相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求P点的轨迹Ω方程；‎ ‎（Ⅱ）设AB是Ω中不平行于对称轴的一条线，Q是AB的中点，O是坐标原点，求直线AB的斜率与直线OQ的斜率的积．‎ ‎20．（12分）中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为2，且OA⊥OB，求椭圆的方程．‎ ‎21．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．‎ ‎（1）求点E的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与点的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1，n∈N*．数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和．‎ ‎（1）求a1、d和Tn；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（　　）‎ A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅‎ ‎【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，‎ B={x|3x＜1}={x|x＜0}，‎ ‎∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；‎ A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【分析】解不等式组求出元素的个数即可．‎ ‎【解答】解：由，解得：或，‎ ‎∴A∩B的元素的个数是2个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞‎ ‎）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]‎ ‎【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．‎ 若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，‎ 又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，‎ ‎∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），‎ ‎∴﹣1≤x﹣2≤1，‎ 解得：x∈[1，3]，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（　　）‎ A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z ‎【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．‎ 另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．‎ ‎【解答】解：x、y、z为正数，‎ 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．‎ 则x=，y=，z=．‎ ‎∴3y=，2x=，5z=．‎ ‎∵==，＞=．‎ ‎∴＞lg＞＞0．‎ ‎∴3y＜2x＜5z．‎ 另解：x、y、z为正数，‎ 令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．‎ 则x=，y=，z=．‎ ‎∴==＞1，可得2x＞3y，‎ ‎==＞1．可得5z＞2x．‎ 综上可得：5z＞2x＞3y．‎ 解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1‎ ‎【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，‎ ‎∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，‎ ‎∴，‎ ‎∴b=a，‎ ‎∵焦点为F（2，0），‎ ‎∴a2+b2=4，‎ ‎∴a=1，b=，‎ ‎∴双曲线的方程为x2﹣=1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的公差．‎ ‎【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，‎ ‎∴，‎ 解得a1=﹣2，d=4，‎ ‎∴{an}的公差为4．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．‎ ‎【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，‎ ‎∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，‎ ‎∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，‎ 又总共有灯381盏，‎ ‎∴381==127a，解得a=3，‎ 则这个塔顶层有3盏灯，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a+＜＜log2（a+b）） B．＜log2（a+b）＜a+‎ C．a+＜log2（a+b）＜ D．log2（a+b））＜a+＜‎ ‎【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．‎ ‎【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，‎ ‎∴可取a=2，b=．‎ 则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），‎ ‎∴＜log2（a+b）＜a+．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【分析】由条件求得 c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，‎ 故B=（180°﹣A）=30°．‎ 再由正弦定理可得 =2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知m、n、m+n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆=1的离心率为（　　）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎【分析】根据题意，结合等差中项与等比中项，列方程组可解得m，n的值，再求椭圆的离心率即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，若m、n、m+n成等差数列，则2n=m+（m+n），则有n=2m，‎ 若m、n、mn成等比数列，则n2=m×mn，则n=m2，‎ 解可得m=2，n=4，‎ 则椭圆的方程为+=1，‎ 其中c==，‎ 其离心率e==；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及等比数列、等差数列的性质，关键是求出m、n的关系．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知P是椭圆的第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P到直线4x﹣3y﹣2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[﹣7，8] B． C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣7]∪[8，+∞）‎ ‎【分析】由椭圆的两焦点坐标为（﹣5，0）（5，0），且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，知，与+=1联立，得P（﹣3，﹣4），再由P（﹣3，﹣4）到4x﹣3y﹣2m+1=0的距离d=≤3，能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的两焦点坐标为（﹣5，0）（5，0），‎ 且P（x，y）（x＜0，y＜0）与两焦点连线互相垂直，‎ ‎∴，即y2=25﹣x2，‎ 把y2=25﹣x2代入+=1，‎ 得，‎ 解得x=±3，‎ ‎∴y2=25﹣9=16，‎ y=±4，‎ ‎∵点P在第三象限，‎ ‎∴P点坐标是（﹣3，﹣4），‎ P（﹣3，﹣4）到4x﹣3y﹣2m+1=0的距离d=，‎ ‎∵点P到直线4x﹣3y﹣2m+1=0的距离不大于3，‎ ‎∴≤3，‎ ‎﹣15≤1﹣2m≤15，‎ 解得﹣7≤m≤8．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．综合性强，难度大，容易出错．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）‎ A．[，+∞） B．[，+∞） C．（1，] D．（1，]‎ ‎【分析】将x=c代入﹣=1和y=±x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB|≥|CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．‎ ‎【解答】解：当x=c时代入﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，‎ 将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），‎ 则|CD|=，‎ ‎∵|AB|≥|CD|‎ ‎∴≥×，即b≥c，‎ 则b2≥c2=c2﹣a2，‎ 即c2≥a2，‎ 则e2=，则e≥，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为　﹣5　．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，‎ 由图可知，目标函数的最优解为A，‎ 联立，解得A（﹣1，1）．‎ ‎∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，∠C=60°，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则+=　1　．‎ ‎【分析】通过∠C=60°代入余弦定理可得a，b，c的关系，两边同时加上ac，bc化简后得出结果．‎ ‎【解答】解：∵∠C=60°，‎ ‎∴根据余弦定理a2+b2=c2+ab，‎ ‎∴（a2+ac）+（b2+bc）=（b+c）（c+a），‎ ‎∴+=1，‎ 故答案为1．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解此类题有时需要对余弦定理进行适当变形，达到解题的目的．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则 =　　．‎ ‎【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．‎ ‎【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，‎ 可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，‎ Sn=，=，‎ 则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|x+﹣a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是　（﹣∞，]　．‎ ‎【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．‎ ‎【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，‎ 又因为|x+﹣a|≤5﹣a，‎ 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，‎ 所以2a﹣5≤x+≤5，‎ 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，‎ 所以2a﹣5≤4，解得a≤，‎ 故答案为：（﹣∞，]．‎ ‎【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC的面积，求ScosBcosC的最大值．‎ ‎【分析】根据a2=b2+c2+bc，求解A，由a=，△ABC的面积S=bcsinA，那么S cosBcosC，利用正弦定理边化角，结合三角函数的性质即可求解最大值．‎ ‎【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，‎ 由余弦定理：cosA==﹣．‎ ‎∵0＜A＜π．‎ ‎∴A=‎ ‎△ABC的面积S=bcsinA=bc．‎ 由正弦定理：，‎ 可得：b=2sinB，c=2sinC 则bc=4sinBsinC 那么ScosBcosC=bc+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C）‎ 当B=C时，‎ 可得ScosBcosC的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和三角函数的性质求解最值问题．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用左、右焦点坐标和离心率是，就可求出对应椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）先把直线y=t与椭圆C的方程求出点M，N的横坐标，进而求出圆的半径，再利用圆P与x轴相切就可求出t以及圆心P的坐标．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）‎ 由得 所以圆P的半径为 解得所以点P的坐标是（0，）‎ ‎【点评】在求椭圆的标准方程时，一般是利用条件先求a，c，或b，c；再利用a，b，c之间的关系即可求出椭圆的标准方程．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）设M（x0，y0）是双曲线C：=1（a＞b＞0）上任意一点，N点是M（x0，y0）关于实轴的对称点．C的左右顶点分别是A1，A2，直线MA1与NA2相交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求P点的轨迹Ω方程；‎ ‎（Ⅱ）设AB是Ω中不平行于对称轴的一条线，Q是AB的中点，O是坐标原点，求直线AB的斜率与直线OQ的斜率的积．‎ ‎【分析】（I）求出各点坐标，得出直线MA1与NA2的方程，从而得出P点坐标，设P（x，y），用x，y表示出x0，y0，代入双曲线方程化简即可；‎ ‎（II）设AB方程y=kx+m，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系得出Q点坐标，从而计算出斜率之积．‎ ‎【解答】解：（I）M（x0，y0），N（x0，﹣y0），A1（﹣a，0），A2（a，0），‎ 则直线MA1的方程为y=，‎ 直线NA2的方程为y=（x﹣a），‎ 联立以上直线方程可得P（，），‎ 设P（x，y），则，∴，‎ 又M（x0，y0）在双曲线C：=1，‎ ‎∴，‎ 整理得：=1．‎ ‎∴P点的轨迹Ω方程是：=1．‎ ‎（II）设直线AB的方程为y=kx+m（k≠0），‎ 联立方程组，消元得：（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2﹣a2b2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，‎ ‎∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=．‎ ‎∴Q（﹣，），‎ ‎∴kOQ=﹣，‎ ‎∴kAB•kOQ=﹣．‎ ‎【点评】本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为2，且OA⊥OB，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】首先，设椭圆的方程为mx2+ny2=1．（m＞0，n＞0，m≠n），然后，设出相应的点A、B的坐标，根据垂直和斜率关系列出两个方程确定m，n的值，从而得到其方程．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1．（m＞0，n＞0，m≠n）‎ 设两点的坐标分别为：A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 则M（，），‎ 联立方程组，‎ 消去y并整理得 ‎（m+n）x2﹣2nx+n﹣1=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∵y1=1﹣x1，y2=1﹣x2，‎ ‎∴==，‎ y1•y2=（1﹣x1）（1﹣x2）‎ ‎=1﹣（x1+x2）+x1x2‎ ‎=，‎ ‎∴M（，），‎ ‎∴kOM==2，①‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴==﹣1 ②‎ 联立①②，得，‎ ‎∴椭圆的方程x2+y2=1．‎ ‎【点评】本题重点考查了椭圆的标准方程、图形和简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是准确理解直线与椭圆的位置关系的处理思路和方法．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．‎ ‎（1）求点E的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与点的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由EC+EA=PC可知轨迹为椭圆，根据椭圆的定义得出方程；‎ ‎（2）求出|PQ|和O到直线PQ的距离，列出不等式得出m的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵E在线段PA的中垂线上，∴PE=AE，‎ ‎∴EC+EA=EC+EP=PC=2＞AC=2，‎ ‎∴E点轨迹是以A、C为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程为，则，‎ ‎∴a=，c=1，‎ 又a2=b2+c2，∴b=1，‎ ‎∴点E的轨迹为．‎ ‎（2）联立方程组，消元得3x2+4mx+2m2﹣2=0，‎ ‎∵直线与椭圆有两个交点P，Q，‎ ‎∴△=16m2﹣24（m2﹣1）＞0，‎ 解得：﹣＜m＜．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ ‎∴|PQ|=|x1﹣x2|==，‎ 又O到直线PQ的距离d=，‎ ‎∵原点O总在以PQ为直径的圆的内部，‎ ‎∴＜，解得：﹣＜m＜．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1，n∈N*．数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和．‎ ‎（1）求a1、d和Tn；‎ ‎（2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，求实数λ的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）在an2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，得，由此能求出求a1、d和Tn；‎ ‎（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，λ需满足λ＜25．②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，λ需满足λ＜﹣21．综合①、②可得λ的取值范围．‎ ‎（3），若T1，Tm，Tn成等比数列，则．由，可得﹣2m2+4m+1＞0，由此能求出求出所有m，n的值．‎ ‎【解答】解：（1）在an2=S2n﹣1中，令n=1，n=2，‎ 得即（2分）‎ 解得a1=1，d=2，（3分）∴an=2n﹣1．∵，∴．（5分）‎ ‎（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，即需不等式恒成立．（6分）∵，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）‎ ‎②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（﹣1）n恒成立，即需不等式恒成立．（8分）∵是随n的增大而增大，∴n=1时取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）‎ 综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）‎ ‎（3），‎ 若T1，Tm，Tn成等比数列，则，即．（11分）‎ 由，可得，‎ 即﹣2m2+4m+1＞0，（12分）∴．（13分）‎ 又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．‎ 因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）‎ ‎【点评】本题考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力．‎ ‎　‎