【数学】2020届一轮复习人教B版等差数列与等比数列学案理

【数学】2020届一轮复习人教B版等差数列与等比数列学案理

等差数列与等比数列 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.‎ ‎2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ 一、等差数列、等比数列的运算 ‎1．通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d；‎ 等比数列：an＝a1·qn－1.‎ ‎2．求和公式 等差数列：Sn＝＝na1＋d；‎ 等比数列：Sn＝＝(q≠1)．‎ ‎3．性质 若m＋n＝p＋q，‎ 在等差数列中am＋an＝ap＋aq；‎ 在等比数列中am·an＝ap·aq.‎ 二　等差数列、等比数列的判定与证明 证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 ‎(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：‎ ‎①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；‎ ‎②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．‎ ‎(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：‎ ‎①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；‎ ‎②利用等比中项，即证明a＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)．‎ 三、等差数列、等比数列的综合问题 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．‎ ‎【高考题型示例】‎ 题型一、等差数列、等比数列的运算 例1、(1)(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)‎ A．－12 B．－10‎ C．10 D．12‎ 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，‎ 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，‎ 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.‎ 故选B.‎ ‎(2) (2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.‎ ‎①求{an}的通项公式；‎ ‎②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.‎ ‎【感悟提升】在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．‎ ‎【变式探究】(1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C. D. 答案　B 解析　S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，‎ 即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q2＝0，‎ 即2q2－q－3＝0，解得q＝－1(舍)或q＝，‎ 当q＝时，代入S2＝3a2＋2，‎ 得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.‎ ‎(2) 设各项均为正数的等比数列{an}中，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝________，a5＝________.‎ 答案　3　162‎ 解析　由题意可得，S4－S2＝q2S2，代入得q2＝9.‎ ‎∵等比数列{an}的各项均为正数，‎ ‎∴q＝3，解得a1＝2，故a5＝162. ‎ 题型二　等差数列、等比数列的判定与证明 例2、已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1－3bn－1)，n∈N*，n≥2.‎ ‎(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和Tn.‎ ‎(1)证明　an－bn＝(3an－1－bn－1)－(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)，‎ 又a1－b1＝3－(－1)＝4，‎ 所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)知，an－bn＝2n＋1，①‎ 又an＋bn＝(3an－1－bn－1)＋(an－1－3bn－1)＝an－1＋bn－1，‎ 又a1＋b1＝3＋(－1)＝2，‎ 所以{an＋bn}为常数数列，an＋bn＝2，②‎ 联立①②得，an＝2n＋1，‎ ＝＝－，‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝－＝－(n∈N*)．‎ ‎【感悟提升】(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．‎ ‎(2)a＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．‎ ‎【变式探究】已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．‎ ‎(1)求证：数列{S}为等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎(2)解　由(1)可得S＝1＋n－1＝n，‎ ‎∵数列{an}的各项都为正数，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，‎ 又a1＝S1＝1满足上式，‎ ‎∴an＝－(n∈N*)．‎ ‎(3)解　由(2)得bn＝＝ ‎＝(－1)n(＋)，‎ 当n为奇数时，‎ Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－，‎ 当n为偶数时，‎ Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)n(n∈N*)．‎ 题型三　等差数列、等比数列的综合问题 例3、已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；‎ ‎(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n 项和为Tn，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有Sn2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．‎ ‎(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．‎ ‎(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设数列{bn}满足an＋1＝，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．‎ 解　(1)由已知得Sn＝3an－2，令n＝1，得a1＝1，‎ 又an＋1＝Sn＋1－Sn＝3an＋1－3an，‎ 得an＋1＝an，‎ 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 所以an＝n－1(n∈N*)．‎ ‎ ‎