高中数学 2_4_1课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 ‎‎2.4.1‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．抛物线y＝－x2的准线方程为(　　)‎ A．x＝　　　　　　　　　　 B．x＝1‎ C．y＝1 D．y＝2‎ 解析：　抛物线的标准方程为x2＝－4y，‎ 准线方程为y＝1.‎ 答案：　C ‎2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．12‎ 解析：　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，‎ 点P到准线的距离为4＋2＝6，故点P到该抛物线焦点的距离为6.‎ 答案：　B ‎3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是(　　)‎ A．a＋ B．a－ C．a＋p D．a－p 解析：　设抛物线上点M(x0，y0)，如图所示，‎ 过M作MN⊥l于N(l是抛物线的准线x＝－)，连MF.根据抛物线定义，‎ ‎|MN|＝|MF|＝a，‎ ‎∴x0＋＝a，‎ ‎∴x0＝a－，所以选B.‎ 答案：　B ‎4．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：　由双曲线方程－＝1，‎ 可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，‎ ‎∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)，‎ ‎∴抛物线的焦点为F(4,0)．‎ 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，‎ 则由＝4，得p＝8，‎ 故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.故选A.‎ 答案：　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.‎ 解析：　由题意知抛物线的焦点为(1,0)‎ 代入直线方程得a×1－0＋1＝0，∴a＝－1.‎ 答案：　－1‎ ‎6．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．‎ 解析：　‎ 如图，过点Q作QA垂直准线l，垂足为A，则QA与抛物线的交点即为P点．‎ 易求P.‎ 答案：　 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．根据下列抛物线的方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．‎ ‎(1)y2＝－4x；(2)2y2－x＝0.‎ 解析：　‎ 方程 y2＝－4x y2＝x p的值 p＝2‎ p＝ 焦点坐标 ‎(－1,0)‎ 准线方程 x＝1‎ x＝－ ‎8.在抛物线y＝4x2上求一点，使这点到直线y＝4x－5的距离最短．‎ 解析：　设点P(t,4t2)，距离为d，‎ 则d＝＝.‎ 当t＝时，d取得最小值，‎ 此时P为所求的点． 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)如图所示，P为圆M：(x－3)2＋y2＝1上的动点，Q为抛物线y2＝x上的动点，试求|PQ|的最小值．‎ 解析：　如右图所示，连结PM，QM，QM交圆M于R，设点Q坐标为(x，y)，‎ ‎∵|PQ|＋|PM|≥|QR|＋|RM|，‎ ‎∴|PQ|≥|QR|，‎ ‎∴|PQ|min＝|QR|min＝|QM|min－1.‎ ‎∵|QM|＝ ‎＝ ‎＝≥，‎ ‎∴当x＝时，|PQ|min＝|QM|min－1＝－1，‎ 即|PQ|的最小值为－1.‎