福建省南平市2020届高三毕业班第一次综合质量检测 数学（理）
南平市2019－2020学年高中毕业班第一次综合质量检测
理科数学
(满分：150分 考试时间：120分钟)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则A∩B＝
A.{x|1
2 B.x∈R，sinx＋cosx≥2
C.x∈R，sinx＋cosx>2 D.x0∈R，sinx0＋cosx0≥2
4.下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)单调递减的函数是
A.y＝2x－2－x B.y＝xtanx C.y＝x－sinx D.y＝－2x
5.已知函数，则函数y＝f(x)的图像大致为
6.从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，……，xn，y1，y2，……，yn，组成坐标平面上的n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)，其中到原点距离小于1的点有m个，用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A.5 B.6 C.7 D.8
8.已知非零向量，满足，(4＋)⊥(4－)，2||2＝·，则向量，夹角为
A. B. C. D.
9.设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为
A.±2 B.－1 C.±1 D.－2
10.已知函数，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最小正周期是π；
②函数f(x)在区间[－，]上是增函数；
③函数f(x)的图像关于点(－，0)对称。
其中正确结论的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
11.设数列{an}满足an＋1－an＝2(n＋1)，a1＝2，则数列{(－1)n·an}的前200项和是
A.20100 B.20200 C.40200 D.40400
12.在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，BC的中点，点M在棱B1C1
上，B1M＝B1C1，若平面FEM交A1B1于点N，四棱锥N－BDD1B1的五个顶点都在球O的球面上，则球O半径为
A. B. C. D.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.函数f(x)＝xlnx的单调递减区间是 ；
14.将5名志愿者分派到2个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排2人参加活动，则不同的分派方案共有 种；(用数字作答)
15.设{an}是公差不为零的等差数列，a4是a2与a8的等比中项，a3＋a7＝20，则an＝ ；
16.双曲线C：的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上存在点a2b2
P满足＝－2a2，则双曲线C离心率的取值范围为 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2＋b2－c2)tanC＝ab。
(1)求C；
(2)若3sinA＝4sinB，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长。
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥S－ABCD中，平面SBD⊥平面ABCD，AB＝AD＝2，CB＝CD＝2，∠BCD＝120°。
(1)求证：AC⊥SB；
(2)若M为线段BD上的一点，DM＝BD，SM＝，SM⊥BD，求平面ABS与平面BCS所成锐二面角的余弦值。
19.(本小题满分12分)
已知椭圆C：的长轴长是离心率的两倍，直线l：4x－4y＋3＝0交C于A，B两点，且AB的中点横坐标为－。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M，N是椭圆C上的点，O为坐标原点，且满足|OM|2＋|ON|2＝，求证：OM，ON斜率的平方之积是定值。
20.(本小题满分12分)
已知函数(a∈R)，g(x)＝ex－1。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若g(x)≥f(x)在(0，＋∞)上成立，求a的取值范围。
21.(本小题满分12分)
某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”。现统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示：
(1)根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程适合用y＝c·dx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
(2)推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，
扫码支付的顾客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7折优惠的概率为，享受8折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为。现有一名顾客购买了a元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少?。
参考数据：设
参考公式：对于一组数据(ui，vi)，(u2，v2)，…(un，vn)，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：。
请考生在第22、23二题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，曲线C的参数方程为：(α为参数)，A，B为直线l上距离为2的两动点，点P为曲线C上的动点且不在直线l上。
(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程。
(2)求△PAB面积的最大值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x＋t|，若f(x)<1的解集为(－1，0)。
(1)求t并解不等式f(x)>x＋2；
(2)已知：a，b∈R＋，若f(x)≥2a＋b－|2x－2|，对一切实数x都成立，求证：a2b≤1。
南平市2019-2020学年高中毕业班第一次综合质量检测
理科数学试题答案及评分参考
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
（1）A （2）C （3）D （4）D （5）C （6）C
（7）B （8） B （9）A （10）B （11）B （12）A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
（13） （14） 20 （15）2n （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
解：（1）由已知及余弦定理可得：
，···················2分
∴ ∵为锐角三角形，∴···················5分
（2）由正弦定理，可得，·················6分
∵，∴， ·················8分
解得，·················9分
由余弦定理得，
，于是的周长为.·················12分
(18) （本小题满分12分）
证明：设交于点，，，所以，所以，在中，且，得，即，…………………2分
又平面平面，平面平面，平面，所以平面 ………………………3分
又平面，所以 ………………5分
（2）平面平面，平面平面，平面，，所以平面， ……………………6分
以为原点，以射线为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，，，，，,,……………………7分
设平面的法向量为，则，
取，得………………9分
设平面的法向量为，则，取，得……………11分
设所求角为，则，
所求的锐二面角余弦值为 ………………12分
(19) （本小题满分12分）
解：由椭圆：的长轴长是离心率的两倍
得，即……….. ①········1分
设
联立和
整理得；········3分
所以，
依题意得：，即…….. ②········5分
由①②得依题意得
所以椭圆的方程为.········6分
（2）设，由得········7分
因为在椭圆上，故·······9分
=.···12
（20）（本小题满分12分）
20.解:(1). ········1分
当时，单调递增；········2分
当时，单调递减. ········3分
所以的单调递增区间为，单调递减区间为········4分
(2)由得
也就是，令，········5分
则=，由知，.
设，，在单调递增，········6分
又，所以存在使得，
即.········7分
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增; ········9分
所以=.········11分
所以的取值范围是.········12分
(21) （本小题满分12分）
解：（1）由，两边同时取常用对数得：；
设…………………………………………………………1分
，， …………………2分
，………………………4分
把样本中心点代入,得: ，
……………………………………5分
关于的回归方程为：；
把代入上式， ；
活动推出第8天使用扫码支付的人次为331； …………………………………………7分
（2）记一名顾客购物支付的费用为，
则的取值可能为：，，，；…………………………………… 8分
；；
；…………………10分
分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）………………………12分
（22）（本小题满分10分）
解：（1）直线的极坐标方程化成
，直线的直角坐标方程为……………2分
曲线的参数方程化成：.
平方相加得，即 ………………5分
（2）设点，则到直线的距离为：
………………8分
当时，………………9分
设的面积为，则 ……10分
法二：也可设点
23.已知函数，若的解集为.
（1）求并解不等式；
（2）已知：，若,对一切实数都成立，求证：.
解：（1）由可得：，即
解集为（-1，0），所以 …………………………………3分
当时，不等式化成，解得：
当时，不等式化成，解得：
综上所述，解集为………………………………5分
（2） 由题意得对一切实数恒成立，
从而…………………………………6分
的最小值为3 ………………………………8分
，又
………………………………10分
