2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年安徽省屯溪第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

屯溪一中2017—2018学年度第二学期期中考试 ‎ 高二数学（理）试卷 ‎ （满分150分，考试时间120分钟）‎ 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．若，则复数的共轭复数为（ ）‎ ‎ . . . .‎ ‎2.“因为对数函数是减函数（大前提），而是对数函数（小前提），所以函数是减函数（结论）”，上面推理的错误在于（ ）‎ ‎ .大前提错误导致结论错 .小前提错误导致结论错 ‎ ‎ .推理形式错误导致结论错 .大前提和小前提错误导致结论错 ‎3.图中阴影部分的面积总和可以用定积分表示为（ ）‎ ‎ .‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎4.已知函数，则的单调递减区间为（ ）‎ ‎ . . . 和 .和 ‎5. “”，在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中，由推导到时，等式的右边增加的式子是（ ）‎ ‎ . . ‎ ‎. .‎ ‎6．设f (x)为可导函数，且满足，则曲线y=f (x)在点(2, f(2))处的切线的斜率是（　　）‎ ‎ .2 . . .‎ ‎7.在等差数列中我们有结论“若成等差数列，则成等比数列”成立，类比上述结论，则有下列结论成立的是（ ）‎ ‎ .若正数成等比数列，则，，成等差数列 ‎ ‎ .若正数成等比数列，则成等差数列 ‎ ‎ .若正数成等比数列，则，，成等比数列 ‎ ‎ .若正数成等比数列，则成等比数列 ‎8.已知函数，，其导函数在处取得最大值，则实数的取值范围为（ ）‎ ‎. . . . ‎ ‎9.用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数，则都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）‎ ‎ .假设都是偶数 .假设中至多有一个偶数 ‎ .假设都不是奇数 .假设中至少有一个偶数 ‎10.等比数列中，，且是函数的极值点，则等于（ ）‎ ‎ . .2 . .‎ y x O C．‎ ‎11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）‎ x y O D．‎ B．‎ x O y x y O A．‎ ‎12.若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） ‎ ‎ . . . .‎ 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上.）‎ ‎13.定积分 .‎ ‎14.已知曲线上一点，则过点的曲线的切线方程为 .‎ ‎15.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ ‎…‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .‎ ‎16.定义在上的函数满足，则当时，与的大小关系为 .(其中为自然对数的底数)‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设复数，其中.‎ ‎（1）若为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分10分）‎ ‎ 若均为实数，且，， ， ‎ ‎ ，求证：中至少有一个大于.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 设函数的图象与轴的交点为点，且曲线在点处的切线方程为，函数在处取得极值为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎“傻子瓜子”是著名瓜子品牌，芜湖特产之一.屯溪一中组织高二年级赴芜湖方特进 行研学活动，开拓视野，甲、乙两名同学在活动结束之余准备赴商场购买一定量的傻子瓜子.为了让本次研学活动具有实际意义，两名同学经过了解得知系列的瓜子不仅便宜而且口味还不错，并且每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）满足关系式：，其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列瓜子11千克.若系列瓜子的成本为3元/千克,试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列瓜子所获得的利润最大.‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 已知数列中，且.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）根据（1）的结果猜想出的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；‎ ‎（3）若，且，求.‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明.‎ ‎ 屯溪一中2017—2018学年度第二学期期中考试 ‎ 高二数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A C C D B A B D C D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 解：（1）若为纯虚数，则…………………………3分 解得 …………………………5分 ‎（2）若在复平面内对应的点在第二象限，则………8分 解得 ………………………10分 ‎18.（本小题满分10分）‎ 证明：设都不大于，即 ‎ …………………2分 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ………………6分 ‎ ,,,‎ ‎ ‎ ‎ 与矛盾………………8分 假设错误，原命题正确，即中至少有一个大于.………………10分 ‎19. （本小题满分12分）‎ 解：（1）函数的图象与轴的交点为 ‎ …………………2分 ‎ 曲线在点处的切线方程为 ‎ 且 ……………4分 又函数在处取得极值为 ‎ 即 解得………………6分 ‎………………7分 ‎（2）由（1）知………………8分 由 解得………………10分 即函数的单调递增区间为.…………………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：由题意可知，当时，，即，解得 ‎ …………………2分 设该商场每日销售系列瓜子所获得的利润为，则 ‎…4分 则………………6分 当时，为增函数；当时，为减函数………………8分 故是函数在区间内的极大值点，也是最大值点，即时函数取得最大值42. ………………10分 当销售价格为4元/千克时，系列瓜子每日所获得的利润最大.……12分 ‎21.（本小题满分13分）‎ 解：（1），当时，，；‎ 当时，，；‎ 当时，，；………………3分 ‎（2）由此猜想…………5分 ‎ 下面用数学归纳法加以证明：‎ ‎ ①当时，由（1）知成立；………6分 ‎②假设，结论成立，即成立.‎ 则当时，有，即 ‎ ‎ ‎ ‎ 即时，结论也成立；……………9分 由①②可知，的通项公式为.……………10分 ‎（3）由（2）知，‎ ‎ ……………11分 ‎ …………12分 ‎ …13分 ‎22.（本小题满分13分）‎ 解:（1）当时，，……………1分 当时，；当时，‎ 故在上单调递减，在上单调递增……………3分 ‎，……………4分 ‎（2），令，则.‎ ‎①当时，在上，，单调递增，，即，在上为增函数，，当时满足条件. ……………6分 ‎②当时，令，解得，在上，，单调递减，当时，有，即在上为减函数，，不合题意. ……………8分 综上，实数的取值范围为.……………9分 ‎（3）由（2）得，当，时，，即，‎ 欲证不等式，只需证……………11分 设，则.‎ 当时，恒成立，且，恒成立.‎ 原不等式得证. ……………13分