辽宁省辽南协作校2020届高三第二次模拟数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，再求并集即可.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查并集求法，属于基础题.‎ ‎2.已知复数.则( )‎ A. B. 1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，所以，进而根据模长公式计算即可..‎ ‎【详解】因为，所以，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )‎ - 24 -‎ ‎ ‎ A. 100，40 B. 100，20 C. 200，40 D. 200，20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数，接下来结合已知求出样本容量，根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数，然后结合图乙进行解答即可.‎ ‎【详解】由图甲可知，学生总数为（人），‎ 故抽取的样本容量为（人），‎ 其中抽取的高中学生有（人）；‎ 由图乙可知，高中生近视率为，‎ ‎∴抽取的高中生近视人数为（人）.‎ 故选：D..‎ ‎【点睛】本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用，解答本题的关键是能从图中获取关键信息，接下来结合已知中的数据进行解答即可，属于常考题.‎ ‎4.设是直线，，是两个不同的平面( )‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】由是直线，，是两个不同的平面，可知：‎ A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误；‎ - 24 -‎ B选项中，若，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知，正确；‎ C选项中，若，，由面面垂直、线面垂直的性质可知或，错误；‎ D选项中，若，，则，可能平行也可能相交，错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题.‎ ‎5.已知，则条件“”是条件“”的( )条件.‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】先判断充分性：若，又，当时，不成立，故充分性不成立；‎ 再判断必要性：若，又，所以，可得，故必要性成立，‎ 所以条件“”是条件“”的必要不充分条件条件.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要充分条件和必要条件的判定，同时考查不等式的性质，属于基础题.‎ ‎6.如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该算法框图，若输入的分别为12、30，则输出的( )‎ - 24 -‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论．‎ ‎【详解】程序运行时变量值变化如下：；满足，不满足，；满足，不满足，；满足，满足，；不满足，输出．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查算法案例，解题时只要模拟程序运行，判断变量值变化，判断循环条件，得出结论．‎ ‎7.某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用列举法确定基本事件的总数，再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件，最后利用古典概型的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，某家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，‎ 基本事件有：（男男女），（男女男），（女男男），（男女女），（女男女），（女女男），（女女女），共有7个，‎ 其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有：‎ ‎（男女女），（女男女），（女女男），（女女女），共有4个，‎ 则至少有两个孩子是女孩的概率是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了概率的求法，以及古典概型及概率的计算，其中解答中列用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力.‎ - 24 -‎ ‎8.已知半径为的圆与轴交于两点，圆心到轴的距离为.若，并规定当圆与轴相切时，则圆心的轨迹为( )‎ A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 抛物线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆心，利用圆的弦长公式，得出，即可得到圆心的轨迹，得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，设圆心，则圆心M到轴的距离为，‎ 由圆的弦长公式，可得，‎ 因为，即，整理得，‎ 即，即圆心的轨迹为椭圆.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了轨迹的判定与求解，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，合理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎9.已知周期为的函数是奇函数，把的图象向右平移个单位得到的图象，则的一个单调增区间为( )‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角函数的恒等变换，化简得到函数的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由函数 ‎ 因为函数周期为，且函数是奇函数，‎ 可得，且，解得，即，‎ 把的图象向右平移个单位得到函数的图象，‎ 令，解得，‎ 令，可得函数的一个单调递增区间为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎10.已知数列满足.则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用累加法求出，再利用裂项相消法求和即可；‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以，，，……，‎ 所以 所以 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎11.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率．‎ ‎【详解】如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.‎ 因为△PME∽△PQB，所以，‎ 因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，‎ - 24 -‎ 又因为M是线段PF的中点，所以.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎12.已知函数满足.当时，下列说法：① ；②只有一个零点；③有两个零点；④有一个极大值.其中正确的是( )‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求导后结合已知可得，得到，再由求得．可得，求出的值判断①；再由导数求得极值判断④；由极大值大于0，且当时，，当时，判断函数零点个数，可得②正确；③错误．‎ ‎【详解】解：令，‎ 则，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎，‎ 则，故①错误；‎ ‎，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数，‎ 的极大值为，故④正确；‎ 而当时，，当时，，‎ 只有一个零点，故②正确；③错误．‎ 其中正确的是②④．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数（且）的图象恒过定点，且点在函数的图象上，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数的真数等于1，求得、的值，即为定点的坐标，再代入函数的解析式即可求出的值．‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：令得：，此时，‎ 函数且的图象恒过定点，即，‎ 又点在函数的图象上，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．‎ ‎14.已知数列为等差数列，成公比不为1的等比数列，且，则公差_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的定义和中项性质，可得公差不为0，结合等差数列的通项公式，解方程可得所求．‎ ‎【详解】解：由数列为等差数列，，，成公比不为1的等比数列，‎ 可得，即，且，‎ 化为，‎ 由，可得，‎ 解方程可得，，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知平面向量与的夹角，且.若平面向量满足，则______.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑到平面向量与的夹角和模长都属于特殊值，不妨采用坐标的方式进行运算，设平面向量，向量，则，然后将其代入等式中，并结合数量积的坐标运算法则，可建立关于和的方程组，解之可得向量，进而可求得其模长．‎ ‎【详解】解：设平面向量，向量，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积运算，采用坐标的方式进行运算可达到事半功倍的效果，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，为中点，，则球的体积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，证明三棱锥为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外接球球的体积．‎ ‎【详解】解：如图，由，是边长为2的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，‎ 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，取的中点，连接并延长，交 - 24 -‎ 于，‎ 则，又，，平面，平面，可得平面，则，‎ ‎，分别是，的中点，，‎ 又，所以即，，平面，平面，所以平面，‎ 正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，‎ 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，‎ 其直径，，‎ 所以，则球的体积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17.已知的内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求角的值.‎ ‎（2）若面积为，且，求及的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ ‎（1）利用三角恒等变换与三角形的内角和公式，即可求得的值；‎ ‎（2）由三角形的面积公式和余弦、正弦定理，即可求得与的值．‎ ‎【详解】解：（1）中，，‎ 所以，‎ 所以 因为，所以 ‎ 因为，所以 ‎（2）由面积为，解得；‎ 又，‎ 所以，；‎ 由余弦定理得，，‎ 所以；‎ 由正弦定理得，，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数求值运算问题，也考查了解三角形的应用问题，属于中档题．‎ ‎18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用，它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯，进而指导人们接下来的行动.‎ 某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员，他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数，如下表：‎ ‎ 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 甲 ‎28‎ ‎33‎ ‎36‎ ‎38‎ ‎45‎ - 24 -‎ 乙 ‎39‎ ‎31‎ ‎43‎ ‎39‎ ‎33‎ ‎（1）根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数，完成茎叶图（茎表示十位，叶表示个位）；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图；‎ ‎（2）求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；‎ ‎（3）主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平，同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.‎ ‎【答案】（1见解析；（2），，；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数，将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图，进而画出散点图．‎ ‎（2）利用平均数公式，方差公式即可求解．‎ ‎（3）由（2）可知，，且，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，可知选择乙比较好．‎ ‎【详解】解：（1）茎叶图如图 ‎ ‎ - 24 -‎ 散点图如图：‎ ‎ ‎ ‎（2），，‎ ‎（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，，且，说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好.‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图，平均数，方差，考查了学生的计算能力和数形结合思想，属于基础题．‎ ‎19.已知矩形，为中点，将至折起，连结.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由线面垂直的性质定理可知 - 24 -‎ ‎，进而由线面垂直的判定定理可证平面，最后由线面垂直的性质定理可证；‎ ‎（2）过点作直线平面，以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，的坐标为，由已知关系构建三元一次方程组求得,再分别计算平面和平面的法向量，最后由数量积公式求夹角的余弦值即可.‎ ‎【详解】（1）证明：由题意可知，‎ ‎，平面，平面，所以平面，‎ 又平面，所以，‎ 因为，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面.所以. ‎ ‎（2）过点作直线平面，以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，‎ 则，设点的坐标为，则的坐标为，‎ ‎ ①‎ 又 ②，‎ ‎ ③‎ 解由①②③构成的方程组可得，即点的坐标 ‎ - 24 -‎ 进而 设平面的一个法向量为，可得 所以，令，解得，即， ‎ 易知，平面的一个法向量，‎ ‎，‎ 由图可知，二面角大小为锐角，‎ 二面角的余弦值为. ‎ ‎【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明，还考查了利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若.证明函数有且仅有两个零点；‎ ‎（2）若函数存两个零点，证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，函数，定义域为，利用导数分析其单调性 - 24 -‎ ‎，使在单调递减，在单调递增，进而分别计算并判断，，与零的大小比较，最后由零点的存在性定理即可确定零点的个数；‎ ‎（2）由是函数的两个零点，知，进而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，构造函数，由（1）的单调性分析，表示最小值并由双勾函数证得，即可得证.‎ ‎【详解】（1）由题可知，定义域 当时，函数，则，（为的导函数）‎ 单调递增 ‎，‎ 使.‎ 时，单调递减；时，单调递增 所以 由双勾函数性质可知，在递减，，，且，‎ 在上有且只有一个零点 又，且 所以在上有且只有一个零点 - 24 -‎ 综上，函数有且仅有两个零点 ‎ ‎（2）由是函数的两个零点，知 要证 需证 令 需证 令 与（1）同理得 所以 故 ‎【点睛】本题考查利用导数与零点的存在性定理研究函数的零点，还考查了利用分析法证明不等式，属于难题.‎ ‎21.已知点是抛物线：的准线与轴的交点，点是抛物线上的动点，点、在轴上，的内切圆为圆：，且，其中为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，求出，可得抛物线的标准方程；‎ ‎（2）设，写出直线的方程，根据圆与直线 - 24 -‎ 相切，得到的关系，写出的面积，结合基本不等式，即可得到最小值.‎ ‎【详解】（1）点是抛物线：的准线与轴的交点，‎ ‎，又，‎ ‎.‎ 抛物线的标准方程为.‎ ‎（2）设，则，‎ 直线的方程为，直线的方程为.‎ 的内切圆为圆：，‎ ‎，‎ 整理得.‎ 是方程的两根，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以的面积.‎ 令，‎ - 24 -‎ ‎，当且仅当时，等号成立，此时.‎ 所以面积的最小值为8.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题，考查基本不等式和学生的运算化简的能力，属于较难的题目.‎ 请考生在22—23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写（涂）清题号.‎ 选修4—4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的普通方程；‎ ‎（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为1，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果．‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 故的参数方程为（为参数），‎ 圆的参数方程为（为参数），‎ 消去参数，得的普通方程为，‎ 消去参数，得的普通方程为.‎ ‎（2）的方程为，即，‎ - 24 -‎ 因为圆上只有一个点到的距离为1，圆的半径为1，‎ 所以到的距离为2，‎ 即，解得（舍去）.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，函数的关系式的平移变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23.设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；‎ ‎（2）利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后求解关于的不等式即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，无解；当时，可得；当时，可得；故不等式的解集为． ‎ ‎（2）， ‎ ‎． ‎ 当或时，不等式显然成立；‎ 当时，，则． ‎ 故的取值范围为．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.‎ - 24 -‎ - 24 -‎