数学文卷·2018届安徽省舒城一中高三寒假模拟（一）（2018

数学文卷·2018届安徽省舒城一中高三寒假模拟（一）（2018

‎ 2018届寒假模拟（一）‎ 文数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知向量，且，则实数 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知等差数列的公差为5，前项和为，且成等比数列，则 （ ）‎ A．95 B．90 C. 85 D．80‎ ‎5.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的，则输出的的值为 （ ）‎ A．4 B．5 C. 8 D．9‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示（在下边的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为 （ ）‎ A． 2 B． 3 C. 4 D．6‎ ‎7.若是函数图象的一个对称中心，则的一个取值是 （ ）‎ A．2 B．4 C. 6 D．8‎ ‎8.设函数，若，则实数为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若满足且的最大值为2，则实数的值为 （ ）‎ A． B． C. 1 D．2‎ ‎10.已知圆，抛物线与相交于两点，且，则抛物线的方程为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，点在棱上运行，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是 （ ）‎ A． B． C. ‎ ‎ D．‎ ‎12.已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则 ．‎ ‎14.已知直线经过点，则的最小值为 ．‎ ‎15.已知数列的前项和为，数列为，若，则 ．‎ ‎16.已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于两点，且的面积为，则该双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且成等差数列，求的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，底面为梯形，为的中点，为上一点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到面的距离.‎ ‎19.（本小题满分12分）某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹琴的人数，并以组距为5将数据分组成，作出频率分布直方图如下.‎ ‎（1）由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；‎ ‎（2）若会弹钢琴的人数为的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为的班级作为第二类备选班级，现要从这两备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数，且在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求证：.‎ 请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 ‎，且直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）求曲线的普通方程及直线恒过的定点的坐标；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，求直线的普通方程.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.‎ 参考答案（一）‎ 一、选择题：‎ ‎1. 【答案】A 试题分析：因为，所以＝，故选A．‎ 考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．‎ ‎2. 【答案】B 考点：复数的概念及运算．‎ ‎3. 【答案】D 试题分析：因为，又，所以 ‎，即，解得，故选D．‎ 考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件．‎ ‎4.【答案】B 试题分析：由题意，得，解得，所以＝，故选B．等 考点：1、等差数列的通项公式与前项和公式；2、等比数列的性质．‎ ‎5.【答案】C 考点：程序框图．‎ ‎6.【答案】A 试题分析：由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面，高为2，所以该几何体的体积，故选A．‎ 考点：空间几何的三视图及体积．‎ ‎7.【答案】C 考点：1、两角和的正弦公式；2、正弦函数的图象与性质．‎ ‎【知识点睛】正弦、余弦函数的图象的对称中心就是函数图象与轴的交点，对称轴是过函数图象的最高（低）点且平等于轴（或与轴重合）的直线．应熟记这两类函数图象的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．‎ ‎8. 【答案】D 试题分析：因为，当，即时，＝，解得，不符合题意；当，即时，＝，即，解得，故选D．‎ 考点：分段函数．‎ ‎9.【答案】D 试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，令，联立，得，直线经过点，即，解得，故选D．‎ 考点：简单的线性规划问题．‎ ‎【方法点睛】确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的步骤：(1)在平面直角坐标系中画出不等式所对应方程所表示的直线；(2)将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求区域的公共部分．‎ ‎10. 【答案】C 考点：1、抛物线的方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式．‎ ‎【技巧点睛】在解直线与圆相交的弦长问题时，经常采用几何法．当直线与圆相交时，半径长、半弦长、弦心距离所构成的直角三角形在解题中起到关键的作用，解题时要注意所它和点到直线的距离公式结合起来使用．‎ 11. ‎【答案】‎ 12. 13. A 考点：函数的图象．‎ ‎12. 【答案】‎ 考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【规律点睛】根据导数与函数单调性的关系可知，在内可导的函数，若此函数在指定区间上单调递增(减)，则函数在这个区间上的导数（），且不在的任意子区间内恒等于0．求解后注意进行验证.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题 ‎13.【答案】‎ 试题分析：因为，所以，所以，所以＝＝．‎ 考点：1、两角差的余弦公式；2、同角三角函数间的基本关系．‎ ‎【一题多解】因为，所以－，解得．‎ ‎14.【答案】‎ 试题分析：因为直线经过点，所以，所以，所以 ‎，所以，当且仅当，即时等号成立．‎ 考点：基本不等式．‎ ‎15.【答案】‎ 考点：等差数列的前和公式．‎ ‎【规律点睛】一般地，等差数列的通项公式是关于的一次函数，除非公差为0；公差不为0的等差数列的前项和公式是关于的二次函数且常数项为0，若某数列的前项和公式是关于的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．‎ ‎16.【答案】‎ 试题分析：因为，所以．设双曲线的左焦点为，则由双曲线的对称性知四边形为矩形，则有．由双曲线的定义知，－＝，所以．因为，所以＝．在中，，即＝，所以，把代入，并整理，得，所以＝．‎ 考点：双曲线的定义及几何性质．‎ ‎【技巧点睛】离心率的求解中可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得，一般步骤如下： ①根据已知条件得到的齐次方程；②同时除以，化简齐次方程，得到关于的一元二次方程；③求解的值；④根据双曲线离心率的取值范围取舍．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.【答案】（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）根据已知条件结合余弦定理即可求得的值；（2）首先利用余弦定理得到的一个关系式，然后根据等差数列的性质与正弦定理得到的另个关系式，从而利用三角形面积公式求解即可．‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理，得 又∵、、的值成等差数列，由正弦定理，得 ‎∴，解得．……………8分 由，得，……………10分 ‎∴△的面积．……………12分 考点：1、余弦定理与正弦定理；2、等差数列的性质；3、三角形面积公式．‎ ‎【方法点睛】在解三角形时使用三角恒等变换，主要有两种途径：(1)利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；(2)利用正弦定理、余弦定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求解．‎ ‎18.【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎ ，MN平面PAB ‎ ‎∴MN∥平面PAB.…………………6分 ‎ ‎ 考点：1、直线与平面平行的判定定理；2、点到平面的距离．‎ ‎19.【答案】（1）22；（2）‎ 试题分析：（1）利用频率分布直方图的性质求解即可；（2）首先列出所有派出的方式与其中第一备选班级和第二备选班级均被派出的情况，然后利用古典概型概率公式求解即可．‎ 所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.………………6分 ‎（2）由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，第二备选班级为3个，用表示第一备选班级，表示第二备选班级（）。则派出的方式为，，‎ ‎，，，，，，， 共10种情况.‎ ‎………………8分 其中第一备选班级和第二备选班级均被派出的情况有，，，，，共6种情况。………………10分 所以第一备选班级和第二备选班级均被派出的概率为.……………12分 考点：1、频率分布直方图；2、平均数；3、古典概型．‎ ‎20.【答案】（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）利用抛物线的定义求解；（2）首先根据条件设出直线的方程，然后联立抛物线方程，求得点的坐标，再利用点到直线的距离公式结合基本不等式求得距离的最小值，从而求得两个三角形面积的比．‎ 试题解析：（1）由题意得，‎ 点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，‎ 点的轨迹的方程为 …………………4分 令则，‎ 令则，………………7分 点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．‎ ‎∴ 当时，满足题意的圆的面积最小．………………9分 ‎∴，．‎ ‎，．……………11分 ‎∴．‎ ‎△与△面积之比为． ………………12分 考点：1、抛物线的方程及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、点到直线的距离公式；4、基本不等式．‎ ‎【方法点睛】设而不求就是指在解题过程中根据需要设出变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的关系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到一种“化难为易、化繁为简”的效果．此法在圆锥曲线问题解答中常与韦达定理联用．‎ ‎21.【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎ ……………………4分 ‎； ……………………………5分 当时，，为减函数；……………………10分 ‎ ‎ 又，‎ ‎，即 ‎. ……………………………12分 考点：导数几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明 ‎【思路点睛】研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，证明不等式时，可一个新构造函数，将问题转化为函数的单调性、极值或最值问题，即利用求导方法求单调区间，比较函数值与0的关系．‎ 请从下面所给的22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【答案】（1）：，；（2）或．‎ 试题分析：（1）根据可求得曲线的普通方程，根据参数方程的意义可求得点的坐标；（2）根据参数的几何意义求得的值，由此求得直线的斜率，从而求得直线的普通方程．‎ 试题解析：（1）……..2分 ‎ 恒过的定点为…….4分 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．‎ ‎23.【答案】（1）；（2）．‎ 试题分析：（1）首先利用零点分段法将不等式分类三段，然后分别求出解集，最后取它们的交集即可；（2）分、化函数解析式为分段函数形式，然后根据不等式的解集不是空集求出的取值范围．‎ 试题解析：（Ⅰ）解：分 分 解得：分 ‎ ‎ ‎……..10分 法2. ‎ 分 分 分 考点：绝对值不等式的解法、三角绝对值不等式的性质