2018届二轮复习夯基础——熟练掌握基本初等函数课件（江苏专用）

2018届二轮复习夯基础——熟练掌握基本初等函数课件（江苏专用）

专题 3 　函数与导数 第 6 练　夯基础 —— 熟练 掌握 基本 初等函数 基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，一般为二至三个填空题，难度为中档 . 在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用 . 对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 4 1.(2015· 浙江 ) 若 a ＝ log 4 3 ，则 2 a ＋ 2 － a ＝ ________. 1 2 3 4 解析答案 2.(2015· 天津改编 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ＝ 2 | x － m | － 1( m 为实数 ) 为偶函数，记 a ＝ f (log 0.5 3) ， b ＝ f (log 2 5) ， c ＝ f (2 m ) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ____________. 解析　 因为函数 f ( x ) ＝ 2 | x － m | － 1 为偶函数， 所以 m ＝ 0 ，即 f ( x ) ＝ 2 | x | － 1. ＝ － 1 ＝ － 1 ＝ 3 － 1 ＝ 2 ， b ＝ f (log 2 5) ＝ － 1 ＝ 4 ， c ＝ f (2 m ) ＝ f (0) ＝ 2 |0| － 1 ＝ 0 ，所以 c < a < b . c ＜ a ＜ b 1 2 3 4 解析答案 即 f ( x ) ＝ f ( x ＋ 1) ， ∴ f ( x ) 为周期函数，且周期 T ＝ 1 ， ∴ f (6) ＝ f (1). ∵ 当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 3 － 1 ， 当－ 1 ≤ x ≤ 1 时， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f (6) ＝ f (1) ＝－ f ( － 1) ＝ 2. 2 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 解析答案 (2) 若关于 x 的方程 f ( x ) － log 2 [ ( a － 4) x ＋ 2 a － 5 ] ＝ 0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围； 1 2 3 4 解析答案 可得 ( a － 4) x 2 ＋ ( a － 5) x － 1 ＝ 0 ， 即 ( x ＋ 1)[( a － 4) x － 1] ＝ 0 . ② 当 a ＝ 4 时，方程 ② 的解为 x ＝－ 1 ，代入 ① 式，成立； 当 a ＝ 3 时，方程 ② 的解为 x ＝－ 1 ，代入 ① 式，成立； 1 2 3 4 要使得方程 ① 有且仅有一个解，则 1 ＜ a ≤ 2. 综上，若原方程的解集有且只有一个元素 ， 则 a 的取值范围为 1 ＜ a ≤ 2 或 a ＝ 3 或 a ＝ 4. 1 2 3 4 解析答案 返回 1 2 3 4 解析答案 解　 f ( x ) 在区间 [ t ， t ＋ 1] 上单调递减， 依题意， f ( t ) － f ( t ＋ 1) ≤ 1 ， 1 2 3 4 返回 高考 必会题型 题型一　指数函数的图象与性质 指数函数性质：指数函数 y ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 为单调函数；当 a ＞ 1 时，在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上为增函数，当 0 ＜ a ＜ 1 时，在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上为减函数；指数函数 y ＝ a x 为非奇非偶函数，值域为 (0 ，＋ ∞ ). 解析答案 例 1 　 (1) 设 a ＝ 2 0.3 ， b ＝ 3 0.2 ， c ＝ 7 0.1 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ________. 解析　 由已知得 a ＝ 8 0.1 ， b ＝ 9 0.1 ， c ＝ 7 0.1 ， 构建 幂函数 y ＝ x 0.1 ， 根据 幂函数在区间 (0 ，＋ ∞ ) 上为增函数， 得 c ＜ a ＜ b . c ＜ a ＜ b 解析答案 点评 (2) 若关于 x 的方程 | a x － 1| ＝ 2 a ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 有两个不等实根，则 a 的取值范围是 __________. 解析　 方程 | a x － 1| ＝ 2 a ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 有两个实根转化为函数 y ＝ | a x － 1| 的图象与 y ＝ 2 a 的图象有两个交点 . ① 当 0 ＜ a ＜ 1 时，如图 (1) ， ② 当 a ＞ 1 时，如图 (2) ，而 y ＝ 2 a ＞ 1 ，不符合要求 . 点评 (1) 指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小 . (2) 数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决 . 解析 答案 奇函数 (0,2) 题型二　对数函数的图象与性质 y ＝ log a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 基本性质：过定点 (1,0) ； a ＞ 1 时在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 0 ＜ a ＜ 1 时在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递减； 0 ＜ a ＜ 1 时， x ∈ (1 ，＋ ∞ ) ， y ＜ 0 ， x ∈ (0,1) ， y ＞ 0 ； a ＞ 1 时， x ∈ (1 ，＋ ∞ ) ， y ＞ 0 ， x ∈ (0,1) ， y ＜ 0 ； y ＝ log a x ， x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， y ∈ R ，是非奇非偶函数 . 解析答案 解得－ b ＜ x ＜ 1( b ＞ 0) ，且－ b ＝－ 1 ，故 b ＝ 1 ， 且 0< a <1 ，所以 f ( x ) 在 ( － 1 ， a ] 上单调递增 . 又因为函数 f ( x ) 的值域为 ( － ∞ ， 1] ，故 g ( a ) ＝ a ， 点评 解析答案 解析　 构造函数 f ( x ) ＝ 4 x 和 g ( x ) ＝ log a x ， 当 a ＞ 1 时不满足题意； 对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论 . 解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解 . 点评 解析答案 变式训练 2 　 (1) 设 a ， b ， c 均为正数，且 2 a ＝ ， ＝ ， ＝ log 2 c ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ________. 解析　 如图， 由图象可知 a ＜ b ＜ c . a ＜ b ＜ c 解析答案 解得 a ＞ 1 或－ 1 ＜ a ＜ 0. ( － 1,0) ∪ (1, ＋ ∞ ) 题型三　幂函数的图象与性质 例 3 　 (1) 已知幂函数 f ( x ) ＝ ( n 2 ＋ 2 n － 2)· xn 2 － 3 n ( n ∈ Z ) 的图象关于 y 轴对称，且在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，则 n 的值为 ________. 解析答案 解析 　 由于 f ( x ) 为幂函数，所以 n 2 ＋ 2 n － 2 ＝ 1 ， 解 得 n ＝ 1 或 n ＝－ 3 ， 当 n ＝ 1 时，函数 f ( x ) ＝ x － 2 为偶函数 ，其 图象关于 y 轴对称，且 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是减函数，所以 n ＝ 1 满足题意 ； 当 n ＝－ 3 时，函数 f ( x ) ＝ x 18 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，而 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函数 ， 所以 n ＝－ 3 不满足题意，舍去 . ∴ n ＝ 1. 1 点评 解析　 作出 f ( x ) 的图象，由图知 ， 只有 当 f ( x ) ＝ 1 时有 3 个不同的实根 . ∵ 关于 x 的方程 f 2 ( x ) ＋ bf ( x ) ＋ c ＝ 0 有 3 个不同 的 实数 解 x 1 ， x 2 ， x 3 ， ∴ 必有 f ( x ) ＝ 1 ，从而 x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ 2 ， x 3 ＝ 0 ， 解析答案 5 在幂函数中， y ＝ x － 1 非常重要，在高考中经常考查，要会画其函数作平移变换后的图象，并对其对称中心、单调性作深入研究 . 点评 返回 变式训练 3 　 已知幂函数 ( t ∈ N ) 是偶函数，则实数 t 的值为 ________. 解析答案 解析 　 因为函数为幂函数，所以 t 2 － t ＋ 1 ＝ 1 ， 即 t 2 － t ＝ 0 ，所以 t ＝ 0 或 t ＝ 1 . 当 t ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 为 奇函数，不满足条件 ； 当 t ＝ 1 时， f ( x ) ＝ 为 偶函数，所以 t ＝ 1. 1 高考 题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 1. 函数 f ( x ) ＝ a x ＋ log a ( x ＋ 1) 在 [0,1] 上的最大值和最小值之和为 a ，则 a 的值为 ________. 解析　 当 a ＞ 1 时， a ＋ log a 2 ＋ 1 ＝ a ， log a 2 ＝－ 1 ， 当 0 ＜ a ＜ 1 时， 1 ＋ a ＋ log a 2 ＝ a ， log a 2 ＝－ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 若 0 ＜ a ＜ 1 ，有 a － 1 ＝ 4 ， a 2 ＝ m ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 3.(2015· 课标全国 Ⅰ 改编 ) 设函数 y ＝ f ( x ) 的图象与 y ＝ 2 x ＋ a 的图象关于直线 y ＝－ x 对称，且 f ( － 2) ＋ f ( － 4) ＝ 1 ，则 a 等于 ________. 解析 　 设 f ( x ) 上任意一点为 ( x ， y ) ， 该 点关于 y ＝－ x 的对称点为 ( － y ，－ x ). 将 ( － y ，－ x ) 代入 y ＝ 2 x ＋ a ， 得 y ＝ a － log 2 ( － x ) ， 由 f ( － 2) ＋ f ( － 4) ＝ 1 ， 得 a － 1 ＋ a － 2 ＝ 1 ， 2 a ＝ 4 ， a ＝ 2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 当 a ≥ 1 时， 2 a ＞ 1 ， f ( f ( a )) ＝ 1 不成立； 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 可知 f (0) ＝ 0 ，可得 a － 2 ＝ 0 ，解得 a ＝ 2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 6. 已知 0 ＜ a ＜ 1 ，则函数 f ( x ) ＝ a x － |log a x | 的零点个数为 ________. 解析　 分别画出函数 y ＝ a x (0 ＜ a ＜ 1) 与 y ＝ |log a x |(0 ＜ a ＜ 1) 的图象 ， 如 图所示，图象有两个交点 . 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解析　 画出函数 y ＝ f ( x ) 与 y ＝ a － x 的图象，如图所示，所以 a ＞ 1. (1 ，＋ ∞ ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 所以 a b ＝ b a ⇒ b 2 b ＝ ， ② 解 得 b ＝ 2 ， a ＝ 4. 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 9.(2016· 浙江 ) 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 x 2 ＋ 1 ，已知 a ≠ 0 ，且 f ( x ) － f ( a ) ＝ ( x － b )( x － a ) 2 ， x ∈ R ，则实数 a ＝ ________ ， b ＝ ________. 解析 　 由已知可得： f ( x ) － f ( a ) ＝ x 3 ＋ 3 x 2 ＋ 1 － a 3 － 3 a 2 － 1 ＝ x 3 ＋ 3 x 2 － a 3 － 3 a 2 ， 而 ( x － b )( x － a ) 2 ＝ x 3 － (2 a ＋ b ) x 2 ＋ ( a 2 ＋ 2 ab ) x － a 2 b ， － 2 　 1 结合 a ≠ 0 ，解得 a ＝－ 2 ， b ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 答案 [ － 1,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示 . 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 则 m ∈ [ － 1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 解　 ∵ 函数 f ( x ) 是奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ). 当 x >0 时，－ x <0 ，有 ( － x ) 2 － mx ＝－ ( － x 2 ＋ 2 x ) ， 即 x 2 － mx ＝ x 2 － 2 x . ∴ m ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 (2) 若函数 f ( x ) 在区间 [ － 1 ， a － 2] 上单调递增，求实数 a 的取值范围 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 当 x >0 时， f ( x ) ＝－ x 2 ＋ 2 x ＝－ ( x － 1) 2 ＋ 1 ， ∴ 当 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) 单调递减 ； 当 x ∈ (0,1] 时， f ( x ) 单调递增 . 当 x <0 时， f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ＝ ( x ＋ 1) 2 － 1 ， ∴ 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 1] 时， f ( x ) 单调递减； 当 x ∈ [ － 1,0) 时， f ( x ) 单调递增 . 综 上知：函数 f ( x ) 在 [ － 1,1] 上单调递增 . 又函数 f ( x ) 在区间 [ － 1 ， a － 2 ] 上单调递增 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故实数 a 的取值范围是 (1,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析答案 12. 设函数 f ( x ) ＝ ka x － a － x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) 是定义域为 R 的奇函数 . (1) 若 f (1) ＞ 0 ，试求不等式 f ( x 2 ＋ 2 x ) ＋ f ( x － 4) ＞ 0 的解集； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解　 因为 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数， 所以 f (0) ＝ 0 ，所以 k － 1 ＝ 0 ，即 k ＝ 1 ， f ( x ) ＝ a x － a － x . 又 a ＞ 0 且 a ≠ 1 ，所以 a ＞ 1. 因为 f ′ ( x ) ＝ a x ln a ＋ a － x ln a ＝ ( a x ＋ a － x )ln a ＞ 0 ， 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数 . 原不等式可化为 f ( x 2 ＋ 2 x ) ＞ f (4 － x ) ， 所以 x 2 ＋ 2 x ＞ 4 － x ，即 x 2 ＋ 3 x － 4 ＞ 0 ，所以 x ＞ 1 或 x ＜－ 4. 所以不等式的解集为 { x | x ＞ 1 或 x ＜－ 4}. 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以 g ( x ) ＝ 2 2 x ＋ 2 － 2 x － 4(2 x － 2 － x ) ＝ (2 x － 2 － x ) 2 － 4(2 x － 2 － x ) ＋ 2. 令 t ( x ) ＝ 2 x － 2 － x ( x ≥ 1) ， 所以原函数为 ω ( t ) ＝ t 2 － 4 t ＋ 2 ＝ ( t － 2) 2 － 2 ，