2017-2018学年山东省淄博第一中学高二上学期期中模块考试数学（理）试题

2017-2018学年山东省淄博第一中学高二上学期期中模块考试数学（理）试题

淄博一中2017—2018学年度第一学期期中模块考试 高二数学理试题 命题人：闫炳杰 审核人：钱汝富 ‎（第一卷）‎ 一、 选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个选项正确）‎ ‎1.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（　　）‎ A. -＞0‎ B. sinx-siny＞0‎ C. （）x-（）y＜0‎ D. lnx+lny＞0‎ ‎2.若不等式x2-ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（　　）‎ A. （，+∞）‎ B. （-∞，0）∪（，+∞）‎ C. （，+∞）‎ D. （-∞，0）∪（，+∞）‎ ‎3.“-3＜a＜1”是“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|＜2”的（　　）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎4.命题“∀x∈（0，1），x2-x＜0”的否定是（　　）‎ A. ∃x0∉（0，1），‎ B. ∃x0∈（0，1），‎ C. ∀x0∉（0，1），‎ D. ∀x0∈（0，1），‎ ‎5.已知x，y为正实数，则的最小值为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 3‎ ‎6.已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（　　）‎ A. 3或 B. 3‎ C. ‎ D. ±3或 ‎7.一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（　　）‎ A. 056，080，104‎ B. 054，078，102‎ C. 054，079，104‎ D. 056，081，106‎ ‎8.已知x，y是[0，1]上的两个随机数，则x，y满足y＞2x的概率为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. P是椭圆+=1上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10.如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（　　）‎ A. 6‎ B. 7‎ C. 8‎ D. 9‎ ‎11.已知实数x，y满足若z=x+my的最小值是-5，则实数m取值集合是（　　）‎ A. {-4，6}‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12.已知A，B是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为-，则E的离心率为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎（第二卷）‎ 二、 填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 焦点在（-2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为 ______ ．‎ ‎14. 命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则a的取值范围是_____________．‎ ‎15. 关于x的不等式x2-2ax-3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且|x1-x2|=8，则a= ______ ．‎ ‎16.某设备的使用年限x与所支出的维修费用y的统计数据如表： ‎ 使用年限x（单位：年）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 维修费用y（单位：万元）‎ ‎1.5‎ ‎4.5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 根据表可得回归直线方程为=1.3x+，据此模型预测，若使用年限为14年，估计维修费用约为 ______ 万元．‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.（本题10分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p为真命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18.（本题12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：‎ ‎（1）AE∥平面BDF； ‎ ‎（2）平面BDF⊥平面ACE．‎ ‎19. （本题12分）已知，，且． （Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若，且，a+b=6，求△ABC的面积．‎ ‎20.（本题12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图． （1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数； ‎ ‎（3）从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O ‎21.（本题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），（an≠0），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上． ‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； ‎ ‎（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎22 （本题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△M F1F2的周长为6． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论． ‎ 高二期中考试理科数学试题 答案和解析 ‎【答案】‎ 一、选择题：1. C    2. B    3. C   4. B    5.D   6. A    7. D    8.A    9. B    10. C   11. B    12. D     ‎ 二、填空题：13. 14. （-∞，-1] 15. 2 16. 18。‎ 三、解答题：‎ ‎17.已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p为真命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．‎ 解：p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根， ‎ 则△=m2-4＞0，解得m＜-2或m＞2； ‎ q：不等式x+-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立， ‎ 即m＞-x2+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，‎ 设f（x）=-x2+2x，则f（x）=-（x-1）2+1， ‎ 当x=2时，f（x）取得最大值为f（2）=0； ‎ 所以m＞0； ‎ 又￢p为真命题，则p为假命题，所以-2≤m≤2；‎ 由p为假命题，p∨q为真命题知q为真命题，‎ 所以m的取值范围是（0，2]．‎ ‎18.（本题12分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB=90°，BE=BC，F为CE的中点，求证：‎ ‎（1）AE∥平面BDF； ‎ ‎（2）平面BDF⊥平面ACE．‎ 证明：（1）设AC∩BD=G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点，由三角形中位线的性质可得 FG∥AE，‎ ‎∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．‎ ‎（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，‎ 平面ABCD∩平面ABE=AB∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE， ‎ 又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF． ‎ 在△BCE中，BE=CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE， ‎ 又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．‎ ‎19.（本题12分）已知，，且．‎ ‎（Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若，且，a+b=6，求△ABC的面积．‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O 解：（Ⅰ）向量，，‎ ‎∵ ‎ ‎∴，‎ ‎∴==2sin．‎ ‎， ‎ 则，‎ 故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．‎ 成绩(分)‎ ‎50 60 70 80 90 100‎ ‎7a ‎ ‎6a ‎ ‎3a ‎ ‎2a ‎ O ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∵ ‎ 由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC，‎ 可得：（a+b）2-3ab=24，‎ ‎∵a+b=6，‎ ‎∴ab=4．‎ 故得△ABC的面积S=．‎ ‎20.（本题12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图． （1）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数； ‎ ‎（3）从成绩在[50，60）的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎ 解：（1）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005． ‎ ‎（2）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2， ‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（3）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，‎ 则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=‎ ‎21.（本题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3…），（an≠0），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上． ‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项an和bn； ‎ ‎（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎ 解：（1）∵Sn=2an-2，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，…（2分）‎ 由an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，‎ ‎∵an≠0，则∴．…（3分）‎ ‎∵a1=S1，∴a1=2a1-2，即a1=2，‎ ‎∴，‎ ‎∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，‎ ‎∴bn-bn+1+2=0， ‎ ‎∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，‎ ‎∴bn=2n-1…（6分） ‎ ‎（II）∵…（7分） ‎ ‎，‎ ‎∴‎ 因此：，…（10分） ‎ 即：∴，‎ ‎∴．‎ ‎22 （本题12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△M F1F2的周长为6． ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．‎ ‎ 解：（1）由题意知，2a+2c=6，‎ 由椭圆离心率e===，则c=1,a=2,b2=3．‎ ‎∴椭圆C的方程；‎ ‎（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴点O到直线AB的距离，‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．‎ 由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=， ‎ 由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0， ‎ 整理得：（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0， ‎ ‎∴． ‎ ‎∴7m2=12（k2+1），满足△＞0． ‎ ‎∴点O到直线AB的距离d===为定值．‎ 综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．‎