上海市华东师范大学第二附属中学2020届高三上学期9月月考数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2020届高三上学期9月月考数学试题

华二附中高三月考数学试卷 一、填空题 ‎1.函数的定义域为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由被开方数不小于0,得出关于的对数不等式,求出的范围,即是定义域.‎ ‎【详解】由,‎ 所以函数的定义域是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域,解题的关键是对函数成立的限制条件要熟悉,属于基础题.‎ ‎2.函数的反函数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,把用表示,然后对换,即可求得.‎ ‎【详解】令,则,‎ 的反函数是,‎ 即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题求函数的反函数,对于反函数与原函数之间关系要清楚,属于基础题.‎ ‎3.设全集，若集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,求出,然后再求.‎ ‎【详解】由,得，‎ 由或,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查集合间的运算关系,以及解不等式,属于基础题.‎ ‎4.已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时，______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由模长公式,得到关于关系,化弦为切,即可求得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ 为钝角,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查复数的模长公式,考查三角函数的求值,注意的变换,属于基础题.‎ ‎5.在甲、乙等8名班干部中选3人参加一个座谈会，则甲被选中的概率为______（结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出8名班干部中选3人所有选法总数,再求甲被选中的个数,即可求出结果.‎ ‎【详解】8名班干部中选3人所有选法由种，‎ 甲被选中的个数为,‎ 甲被选中的概率,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查古典概型,正确求出所有基本事件总数和所求事件的个数是关键,属于基础题.‎ ‎6.设数列前项的和为，若，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前项的和与通项的关系,即可求出.‎ ‎【详解】，‎ ‎,‎ 是以4为首项,公比为4的等比数列, .‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查数列递推关系求前项的和,要灵活应用与的关系,属于基础题.‎ ‎7.若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式-1，则实数的取值集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据元素的代数余子式的公式,得到关于的三角关系式,即可求得的取值集合.‎ ‎【详解】行第2列的元素1的代数余子式为 ‎ ,‎ ‎，‎ 实数的取值集合为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查行列式元素代数余子式的计算,以及三角函数中的给值求角问题,属于基础题.‎ ‎8.若直线与直线所成角的余弦值为，则实数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求两直线的斜率,求出两直线的所成角的正切，把所成角的余弦值转为正切值，得到关于的关系式,即可求出的值.‎ ‎【详解】设直线与直线所成角为,‎ 则,‎ 若两直线垂直不合题意,所以,‎ 两直线的斜率存在且分别为,‎ ‎,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查两直线的夹角公式,注意判断直线的斜率是否存在,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为，若函数（，且）的图像经过区域，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出平面区域,利用函数（，且）的图像特征,即可解决问题.‎ ‎【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域,‎ 如下图所示:‎ 求得,由图可知,‎ 要满足条件必有,且图现在过两 点的图像之间,当图像过点时, ，‎ 当图像过点时, ，‎ 的取值范围是.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了用平面区域表示二元一次不等式组、指数函数的图像与性质,以及简单的转化思想和数形结合思想,属于中档题.‎ ‎10.如图, 是半径为1的球的球心, 点A、B、C在球面上、、两两垂直,E、F分别为圆弧的中点.则点E、F在该球面上的球面距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知得面面，‎ 如图,在平面内过点E作,垂足为M,联结MF.‎ 易知,.‎ 则,且，‎ 从而,, .‎ 因此,为正三角形,，‎ 故点E、F在该球面上的球面距离为.‎ ‎11.设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 时，最小值为,根据,从往轴负方向每移动一个单位,最小值都是相邻的倍,同理从往 轴正方向每移动一个单位，最小值都是相邻区间的倍,的最值为,的最值为,所以对任意，时,的最大值为图像与直线左交点的横坐标.‎ ‎【详解】时,，‎ 最小值为,，‎ 时，，‎ 最小值为，同理最小值为 的最小值为,的最值为，‎ 所以对任意，都有,‎ 的最大值为图像与直线 左交点的横坐标.‎ 时,，‎ 令,‎ 解得或 所以时,恒成立,‎ 即对任意，都有，‎ 则的最大值是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数解析式和最值特征,考查函数的图像,以及一元二次不等式的解法,可借助函数图像直观性找到解题思路,属于难题 ‎12.设，且，则代数式的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结构特征,构造向量,，‎ 设的夹角为，不共线,, ‎ ‎=，转化为求的最小值, 由，可得，转化求的最小值，即为与点连线的斜率最小值，即可得结果.‎ ‎【详解】设,，‎ 设的夹角为,不共线,,‎ ‎=，‎ ‎ ①‎ 设，（）,，①式表示点与单位圆（轴右侧）的点连线斜率,当与单位圆相切的时斜率最小为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查向量的灵活应用,困难在于如何引进向量,以及利用条件把问题转化为有关三角函数的最值,考查利用数形结合思想求最值,是一道技巧性强的难题.‎ 二、选择题 ‎13.设、是两个平面，则的充要条件是（ ）‎ A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. 、平行于同一条直线 D. 、垂直于同一个平面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面平行的判定可得出正确答案.‎ ‎【详解】选项A: 内有无数条直线与平行,可能相交,‎ 只要内直线与交线平行,这样内有无数条直线 与平行,故错误;‎ 选项B:为面面平行的判定定理,故正确;‎ 选项C:两相交平面外存在无数条直线与两平面的交线平行，‎ 故满足选项C条件两平面可能相交,故错误;‎ 选项D:若直线，过直线所有平面均垂直平面,‎ 这些平面显然是相交,故错误.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查面面平行的判定,对于有关的结论要熟记,属于基础题.‎ ‎14.已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图象及直线，借助图象分析。‎ ‎【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，‎ 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。‎ 即，即，‎ 或者，得，，即，得，‎ 所以的取值范围是。‎ 故选D。‎ ‎【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。‎ ‎15.设函数，已知在有且仅有5个零点，对于下述4个结论：①在有且仅有3个最大值点；②在有且仅有2个最小值点；③在单调递增；④的取值范围是.其中所有正确结论的编号为（ ）‎ A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用整体思想，结合正弦函数图像特征，可分析出①正确,②不正确,求出范围，判断③④正确.‎ ‎【详解】,,‎ 在有且仅有5个零点，转化为 在有且仅有5个零点,‎ ‎，故①④正确，‎ ‎②不正确.‎ ‎，‎ 故③正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查正弦函数的零点、最值、单调性,应用整体思想转化为的图像和性质,属于基础题.‎ ‎16.已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 根据的值来确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由关于的方程的两个不同实数根,求出的取值范围,再由根与系数关系,求出直线斜率,与双曲线的渐近线的斜率相等，直线与双曲线的渐近线平行或重合,即可答案.‎ ‎【详解】关于的方程的两个不同 实数根所以,‎ 双曲线渐近线方程曲线,‎ 直线与双曲线的渐近线平行或重合,‎ 若或在直线 得,的值为0或2，此时，‎ ‎,不合题意，直线不与双曲线重合,‎ 直线与双曲线一定平行，所以有一个交点.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系,直线斜率,双曲线简单几何性质,‎ 要注意验证是否重合,数形结合是解题的关键,属于中档题,‎ 三、解答题 ‎17.如图，在所有棱长都等于2的正三棱柱中，点是的中点，求：‎ ‎（1）异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）直线与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，确定坐标，即可求出所成角的余弦，转化为与所成角，即可求出结果;‎ ‎（2）确定坐标，求出平面的法向量，利用线面角公式，即可求出直线与平面所成角 ‎【详解】取中点,连接,则,‎ 正三棱柱所有棱长都等于2,‎ ‎,平面平面,‎ 以为坐标原点,所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系,则,‎ ‎.‎ ‎（1）‎ 异面直线与所成角的余弦为.‎ 异面直线与所成角是.‎ ‎（2）,‎ 设平面的法向量,‎ ‎,,令,则,‎ 平面的一个法向量 设直线与平面所成角,‎ ‎,‎ 直线与平面所成角.‎ ‎【点睛】本题考查用空间向量求异面直线、直线与平面所成的角,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎18.已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1.‎ ‎（1）求、的值及的解析式；‎ ‎（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对称轴为直线,判断最小值点和最大值点坐标代入函数解析式,即可求得、的值及的解析式;‎ ‎（2）在上有解,分离出参数,转化求函数的最值,即可求出的范围.‎ ‎【详解】对称轴方程为,‎ 因为在区间上的最大值为5，,‎ 故时,取得最小值为1,即顶点为，‎ 或，取得最大值5.‎ ‎,解得,‎ ‎.‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ 即上有解,‎ 令 时，不等式在上有解.‎ 实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查通过二次函数最值,求函数的解析式,考查存在成立问题,以及换元思想,是一道中档题.‎ ‎19.如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为 ‎，设地铁在AB部分的总长度为．‎ 按下列要求建立关系式：‎ 设，将y表示成的函数；‎ 设，用m，n表示y．‎ 把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．‎ ‎【答案】y=，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先过O作于H，结合题意用表示出和，进而可求出结果；‎ 根据等面积原理得到，进而可得出结果；‎ ‎(2)分别求出两种方案下的AB的值，比较大小即可得出结果.‎ ‎【详解】过O作于H 由题意得，‎ 且 即即 ‎；‎ 由等面积原理得即 选择方案一：当时，‎ 此时，而 所以 选择方案二：因为，‎ 由余弦定理得 ‎，即当且仅当时取等号 ‎【点睛】本题主要考查解三角形的应用，熟记余弦定理和正弦定理等即可，属于常考题型.‎ ‎20.已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于、两点，且，如图1.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）如图1，过点的直线与椭圆相交于、两点，求证：射线平分；‎ ‎（3）如图2所示，点、是椭圆的两个顶点，且第三象限的动点在椭圆上，若直线与轴交于点，直线与轴交于点，试问：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件设出圆心坐标,半径为圆心纵坐标,利用弦长公式,可求出圆的方程;‎ ‎（2）先求出点坐标,设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,即可求得,命题得证;‎ ‎（3）设,求出直线、直线方程，进而求出点与点的坐标,然后四边形的面积用点与点的坐标表示,计算可得定值.‎ ‎【详解】（1）依题意,设圆心，‎ ‎，解得 所求的方程为;‎ ‎（2）代入圆方程，得或 若过点的直线斜率不存在,此时在轴上,‎ ‎,射线平分,‎ 若过点的直线斜率存在，设其方程为 联立，消去得,‎ 设,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 射线平分,‎ ‎（3）设,‎ 直线方程为,令 得，即,‎ 直线方程为,令 得，即,,‎ ‎,‎ 四边形的面积为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆锥曲线相交问题韦达定理的应用,以及定值问题,是综合类题目,考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决问题的关键,属于难题.‎ ‎21.对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.‎ ‎（1）求证：数列为等差数列；‎ ‎（2）若数列为“数列”，，且，求的所有可能值；‎ ‎（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“数列”.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）、10、12、16；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知与关系,结合等差数列的定义,即可证明;‎ ‎（2）根据“数列”的定义,可推出公差的所有可能值，即可求出的所有可能值;‎ ‎（3）由已知任意的,也是数列中的项,得到与公差的关系,从而求得的通项,即可得到证明.‎ ‎【详解】（1）由,得,‎ ‎,‎ 即,,‎ 两式相减得,‎ 数列为等差数列;‎ ‎（2）设的公差为,‎ ‎,‎ 由于数列为“数列”，是的项 ‎,‎ ‎，‎ 的可能值为,‎ 的所有可能值;‎ ‎（3）设,‎ ‎,也是数列中的项,‎ 设是中的第项，则 ‎，‎ 是中的第项，‎ 数列为“数列”.‎ ‎【点睛】本题考查数列的前项和求通项,考查了利用等差中项的概念判定等差数列以及等差数列的通项公式,考查对新定义的理解,属于难题 ‎ ‎