【数学】2018届一轮复习人教A版平面向量的基本定理及坐标表示教案

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第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 ———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐 标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共 线的条件． 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向 量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底， 该平面内的任一向量 a 可表示成 a＝xi＋yj，由于 a 与数对(x，y)是一一对应的，把有序数 对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中 a 在 x 轴上的坐标是 x，a 在 y 轴上的 坐标是 y. 3．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝ x2 1＋y2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)， |AB→|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2. 4．平面向量共线的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0.a，b 共线⇔x1y2－x2y1＝0. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)在△ABC 中，设AB→＝a，BC→＝b，则向量 a 与 b 的夹角为∠ABC.( ) (3)若 a，b 不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成x1 x2 ＝y1 y2 .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( ) A．5 B. 13 C. 17 D．13 B [因为 a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝ 32＋22＝ 13.] 3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) A [AB→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选 A.] 4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量 a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且 a∥b，则 m＝________. －6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.] 5．(教材改编)已知▱ ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标 为________． (1,5) [设 D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即 4＝5－x， 1＝6－y， 解得 x＝1， y＝5. ] 平面向量基本定理及其应用 (1)如果 e1，e2 是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作 为平面内所有向量的一组基底的是 ( ) A．e1 与 e1＋e2 B．e1－2e2 与 e1＋2e2 C．e1＋e2 与 e1－e2 D．e1＋3e2 与 6e2＋2e1 (2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点， 若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. (1)D (2)4 3 [(1)选项 A 中，设 e1＋e2＝λe1，则 1＝λ， 1＝0 无解； 选项 B 中，设 e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则 λ＝1， －2＝2λ 无解； 选项 C 中，设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则 λ＝1， 1＝－λ 无解； 选项 D 中，e1＋3e2＝1 2 (6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量． (2)选择AB→，AD→作为平面向量的一组基底，则AC→＝AB→＋AD→，AE→＝1 2 AB→＋AD→，AF→＝AB→＋1 2 AD→， 又AC→＝λAE→＋μAF→＝ 1 2 λ＋μ AB→＋ λ＋1 2 μ AD→， 于是得 1 2 λ＋μ＝1， λ＋1 2 μ＝1， 解得 λ＝2 3 ， μ＝2 3 ， 所以λ＋μ＝4 3 .] [规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他 向量，即用特殊向量表示一般向量． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解 题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ， μ的方程组． [变式训练 1] 如图 421，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝1 3 BC，E，F 分别为线段 AD 与 BC 的中点．设BA→＝a，BC→＝b，则EF→＝________，DF→＝________，CD→＝________(用向 量 a，b 表示)． 图 421 1 3 b－a 1 6 b－a a－2 3 b [EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝－1 6 b－a＋1 2 b＝1 3 b－a，DF→＝DE→＋EF→＝－1 6 b ＋ 1 3 b－a ＝1 6 b－a，CD→＝CF→＋FD→＝－1 2 b－ 1 6 b－a ＝a－2 3 b.] 平面向量的坐标运算 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝ 3c，CN→＝－2b， (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (3)求 M，N 的坐标及向量MN→的坐标． [解] 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2 分 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5 分 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴ －6m＋n＝5， －3m＋8n＝－5， 解得 m＝－1， n＝－1. 8 分 (3)设 O 为坐标原点．∵CM→＝OM→－OC→＝3c， ∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20).10 分 又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b， ∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴MN→＝(9，－18).12 分 [规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解 的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列 方程(组)求解． 2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形” 化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完 全代数化，将数与形紧密结合起来． [变式训练 2] (2017·合肥三次质检)已知 a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|2a＋b|的最 小值为________． 2 5 [由条件得 2a＋b＝(2＋t,2t－6)，所以|2a＋b|＝ 2＋t 2＋ 2t－6 2＝ 5 t－2 2＋20，当 t＝2 时，|2a＋b|的最小值为 2 5.] 平面向量共线的坐标表示 (1)已知向量 a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若 a∥(a＋b)，则 m＝( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 (2)已知梯形 ABCD，其中 AB∥CD，且 DC＝2AB，三个顶点 A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则 点 D 的坐标为________． (1)C (2)(2,4) [(1)由题意可知 a＋b＝(2,1＋m)， ∵a∥(a＋b)， ∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3. (2)∵在梯形 ABCD 中，DC＝2AB， ∴DC→＝2AB→.设点 D 的坐标为(x，y)， 则DC→＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)． AB→＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)， 即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴ 4－x＝2， 2－y＝－2， 解得 x＝2， y＝4， 故点 D 的坐标为(2,4)．] [规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，则 a∥b 的充要条件是 x1y2－x2y1＝0；(2)若 a∥b(a≠0)，则 b＝λa. 2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐 标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解． [变式训练 3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量 a＝(1－sin θ，1)，b＝ 1 2 ，1＋sin θ ， 若 a∥b，则锐角θ＝________. (2)已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若 A，B，C 三点能构 成三角形，则实数 k 应满足的条件是________. 【导学号：31222146】 (1)π 4 (2)k≠1 [(1)由 a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝1 2 ， 所以 cos2θ＝1 2 ， 所以 cos θ＝ 2 2 或－ 2 2 ，又θ为锐角，所以θ＝π 4 . (2)若点 A，B，C 能构成三角形，则向量AB→，AC→不共线． 因为AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， 所以 1×(k＋1)－2k≠0，解得 k≠1.] [思想与方法] 1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示 的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如 a＝λ1e1＋λ2e2 的形式． 2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的 坐标或参数值． 3．若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. [易错与防范] 1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定， 此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点 A(x，y)，向量 a ＝OA→＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息． 2．若 a，b 为非零向量，当 a∥b 时，a，b 的夹角为 0°或 180°，求解时容易忽视其 中一种情形致误． 3．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件不能表示成x1 x2 ＝y1 y2 ，因为 x2，y2 有 可能等于 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0. 课时分层训练(二十五) 平面向量的基本定理及坐标表示 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．如图 422，设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： 图 422 ①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→.其中可作为该平面内其他向量的基底的是 ( ) 【导学号：31222147】 A．①② B．①③ C．①④ D．③④ B [①中AD→，AB→不共线；③中CA→，DC→不共线．] 2．已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则 c 等于( ) A．－1 2 a＋3 2 b B.1 2 a－3 2 b C．－3 2 a－1 2 b D．－3 2 a＋1 2 b B [设 c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)， ∴ －1＝λ＋μ， 2＝λ－μ， ∴ λ＝1 2 ， μ＝－3 2 ， ∴c＝1 2 a－3 2 b.] 3．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果 c∥d，那么( ) 【导学号：31222148】 A．k＝1 且 c 与 d 同向 B．k＝1 且 c 与 d 反向 C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向 D [由题意可得 c 与 d 共线，则存在实数λ，使得 c＝λd，即 k＝λ， 1＝－λ， 解得 k＝ －1.c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d，故 c 与 d 反向．] 4．如图 423，在△OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则 ( ) 图 423 A．x＝2 3 ，y＝1 3 B．x＝1 3 ，y＝2 3 C．x＝1 4 ，y＝3 4 D．x＝3 4 ，y＝1 4 A [由题意知OP→＝OB→＋BP→，又BP→＝2PA→，所以OP→＝OB→＋2 3 BA→＝OB→＋2 3 (OA→－OB→)＝2 3 OA→＋1 3 OB→， 所以 x＝2 3 ，y＝1 3 .] 5．(2015·广东茂名二模)已知向量 a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且 a∥b，若 x，y 均为正数，则3 x ＋2 y 的最小值是( ) A．24 B．8 C.8 3 D.5 3 B [∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0， 化简得 2x＋3y＝3.又∵x，y 均为正数， ∴3 x ＋2 y ＝ 3 x ＋2 y ×1 3 (2x＋3y) ＝1 3 6＋9y x ＋4x y ＋6 ≥1 3 × 12＋2 9y x ·4x y ＝8， 当且仅当9y x ＝4x y 时，等号成立， ∴3 x ＋2 y 的最小值是 8，故选 B.] 二、填空题 6．(2017·陕西质检(二))若向量 a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则 a－b 的单位向量的坐标 是________． －4 5 ，3 5 [由题意得 a－b＝(－4,3)，则|a－b|＝ －4 2＋32＝5，则 a－b 的单位 向量的坐标为 －4 5 ，3 5 .] 7．(2017·广州综合测评(二))已知平面向量 a 与 b 的夹角为π 3 ，a＝(1， 3)，|a－2b| ＝2 3，则|b|＝________. 2 [由题意得|a|＝ 12＋ 3 2＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2 ＝22－4×2cos π 3 |b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．] 8．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(0，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点 A，B，C 能构 成三角形，则实数 m 满足的条件是________. 【导学号：31222149】 m≠5 4 [由题意得AB→＝(－3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，若 A，B，C 能构成三角形，则AB→，AC→ 不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得 m≠5 4 .] 三、解答题 9．已知 A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). (1)若 A，B，C 三点共线，求 a，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB→，求点 C 的坐标． [解] (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC→＝(a－1，b－1).2 分 ∵A，B，C 三点共线，∴AB→∥AC→. ∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即 a＋b＝2.5 分 (2)∵AC→＝2AB→，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2).7 分 ∴ a－1＝4， b－1＝－4， 解得 a＝5， b＝－3， ∴点 C 的坐标为(5，－3).12 分 10．平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k. [解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，2 分 所以 －m＋4n＝3， 2m＋n＝2， 解得 m＝5 9 ， n＝8 9 . 5 分 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，7 分 由题意得 2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得 k＝－16 13 .12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2016·四川高考)已知正三角形 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP→| ＝1，PM→＝MC→，则|BM→|2 的最大值是( ) A.43 4 B.49 4 C.37＋6 3 4 D.37＋2 33 4 B [设 BC 的中点为 O，以点 O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系，则 B(－ 3，0)，C( 3，0)，A(0,3)．又|AP→|＝1，∴点 P 的轨迹方程为 x2＋(y－3)2＝1.由PM→＝MC→知点 M 为 PC 的中点，设 M 点的坐标为(x，y)，相应点 P 的坐标为(x0，y0)，则 x0＋ 3 2 ＝x， y0＋0 2 ＝y， ∴ x0＝2x－ 3， y0＝2y， ∴(2x－ 3)2＋(2y－3)2＝1， 即 x－ 3 2 2＋ y－3 2 2＝1 4 ，∴点 M 的轨迹是以 H 3 2 ，3 2 为圆心，r＝1 2 为半径的圆，∴ |BH|＝ 3 2 ＋ 3 2＋ 3 2 2＝3，∴|BM→|的最大值为 3＋r＝3＋1 2 ＝7 2 ，∴|BM→|2 的最大值为49 4 .] 2．向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图 424 所示，若 c＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则λ μ ＝________. 【导学号：31222150】 图 424 4 [以向量 a 和 b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长 为 1)， 则 A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)， ∴a＝AO→＝(－1,1)，b＝OB→＝(6,2)，c＝BC→＝(－1，－3)． ∵c＝λa＋μb， ∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－1 2 ，∴λ μ ＝4.] 3．已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM→＝t1OA→＋t2AB→. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件； (2)求证：当 t1＝1 时，不论 t2 为何实数，A，B，M 三点共线． [解] (1)OM→＝t1OA→＋t2AB→＝t1(0,2)＋t2(4,4) ＝(4t2,2t1＋4t2).2 分 当点 M 在第二或第三象限时，有 4t2<0， 2t1＋4t2≠0， 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1＋2t2≠0.5 分 (2)证明：当 t1＝1 时，由(1)知OM→＝(4t2,4t2＋2).7 分 ∵AB→＝OB→－OA→＝(4,4)， AM→＝OM→－OA→＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2AB→，10 分 ∴AM→与AB→共线，又有公共点 A，∴A，B，M 三点共线.12 分