福建省宁德市2017届高三毕业班第二次质量检查数学（文）试题

福建省宁德市2017届高三毕业班第二次质量检查数学（文）试题

‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150分．‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 甲 乙 ‎8 7 6 7‎ ‎5 4 1 8 0‎ ‎2 9 3 4‎ ‎（2）甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委的打分用茎叶图表示如图，分别表示甲、乙选手分数的中位数，分别表示甲、乙选手分数的标准差，则 ‎（A），　　　　　 （B），‎ ‎（C）， （D），‎ ‎（3）已知，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为，蓝色卡片两张，标号分别 ‎ 为，从以上五张卡片中任取两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和不小于的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）下列函数中，既是奇函数，又在区间内是增函数的为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ 开始 输出 结束 是 否 ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（6）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则 ‎　　　输出的结果是 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（7）已知椭圆与轴交于两点，‎ 为该椭圆的左、右焦点，则四边形面 积的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（8）榫卯(sŭn măo)是我国古代工匠极为精巧的发明，它 ‎ 是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方 ‎ 式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的 ‎ 廊桥等建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫 卯构件中榫的三视图，其表面积为 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（9）若函数同时满足以下三个性质：‎ ① 的最小正周期为；‎ ② 在上是减函数；‎ ③ 对任意的，都有. 则的解析式可能是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（10）直角梯形中，，,，若沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（11）已知是双曲线：的右焦点，是轴正半轴上一点，以 为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（12）已知函数 ，若对任意，总存在两个，使得，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文 科 数 学 第II卷 ‎ 注意事项：‎ 第II卷共3页，须用黑色签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷上作答，答案无效．‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎（13）若复数的共轭复数满足，则 .‎ ‎（14）已知向量，，若，则 .‎ ‎（15）若函数在区间内有极值，则实数的取值范围是_____.‎ ‎（16）一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行n mile后到海岛，然后从出发沿南偏东的方向航行n mile到达海岛. 如果下次航行此船沿南偏东角的方向，直接从出发到达，则的值为____________.‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎（17）(本小题满分12分)‎ 已知等比数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎（18）(本小题满分12分)‎ 某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的利润情况．根据所收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场一千万元，获得的月利润频数分布表如下：‎ 月利润(单位: 千万元)‎ ‎-0.2‎ ‎-0.1‎ ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ 频数 ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎1‎ 近10个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下：‎ 频率/组距 月利润（千万元）‎ ‎-0.4‎ ‎0.5‎ ‎0‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎-0.2‎ ‎（Ⅰ）根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润；‎ ‎（Ⅱ）公司计划用不超过6千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼场的资金为千万元，投资远洋捕捞队的资金为千万元，且投资养鱼场的资金不少于投资远洋捕捞队的资金的2倍．试用调查数据，给出公司分配投资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平均利润之和最大．‎ ‎（19）(本小题满分12分)‎ 如图所示的多面体中，四边形是正方形，平面平面，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 已知抛物线：的准线为，焦点为，为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求过点，且与相切的圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线交抛物线于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点． ‎ ‎（21）(本小题满分12分)‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）若函数的最小值为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎　　在直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：． ‎ ‎　　（Ⅰ）当，时，判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎　　（Ⅱ）当时，若直线与曲线相交于两点，设，且,求直线的倾斜角．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎　　已知函数．‎ ‎　　（Ⅰ）当时, 解关于的不等式；‎ ‎　　（Ⅱ） 使得，求的取值范围．‎ ‎2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷 文科数学参考答案及评分标准 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则。‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B ‎ ‎（7）C （8）A （9）B （10）C （11）C （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎（13）； （14）； （15）； （16）．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎（17）本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求 解能力，满分12分．‎ 解：（Ⅰ）∵,‎ ‎∴， 3分 ‎∵是等比数列，‎ ‎∴，即， 4分 解得 . 5分 ‎∴，‎ ‎∴. 6分 ‎（Ⅱ）∵，， 7分 ‎∴， ① 8分 ‎∴， ② 9分 ‎①－②得，‎ ‎ 10分 ‎. 11分 ‎∴. 12分 ‎（18）本题主要考查不等式、统计基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）近10个月养鱼场的月平均利润为 ‎（千万元）.……………………….. 3分 近10个月远洋捕捞队的月平均利润为 ‎（千万元）.‎ ‎ 6分 ‎（Ⅱ）依题意得满足的条件为………………………………………..8分 设两个项目的利润之和为，则，…………….………………….9分 如图所示，作直线，平移直线知其过点A时，取最大值,‎ ‎ 10分 由得所以A的坐标为，……………………………………..11分 ‎ 此时的最大值为（千万元），‎ 所以公司投资养鱼场4千万元，远洋捕捞队2千万元时，两个项目的月平均利润之和最大．‎ ‎………………………………………………………………………………………………..12分 ‎（19）本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）四边形是正方形， ‎ ‎,‎ 又, , ，‎ ‎， 2分 又，‎ ‎， 3分 在中，，‎ 由余弦定理得，，,. 4分 又, ‎ ‎. 5分 又 ‎. 6分 ‎（Ⅱ）连结,由（Ⅰ）可知，，‎ 四边形是正方形 ‎ 又，‎ A到的距离等于B到的距离. 即B到面DFC的距离为AE.‎ ‎ 7分 在直角梯形EFCD中， , ‎ ‎, 8分 ‎, 9分 在直角梯形EFBA中， ‎ 可得在等腰中，，‎ ‎, 10分 设点D到平面BFC的距离为d, ‎ ‎，即，‎ 点到平面的距离为． 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）过点E做连结.‎ ‎, , ‎ ‎, 在中， ， 7分 又, ，‎ E到面ABCD的距离等于F到面ABCD的距离 8分 ‎． 9分 在直角梯形EFBA中， ‎ ‎, ,可得 ‎ 10分 设D点到平面BFC的距离为d, ‎ 即= ，‎ 点到平面的距离． 12分 ‎（20）‎ 本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查特殊与一般的思想、化归与转化思想．满分12分．‎ 解法一：（Ⅰ）抛物线：的准线的方程为:，焦点坐标为F(1,0), 1分 设所求圆的圆心，半径为，‎ ‎∵圆过O, F，∴， 2分 ‎∵圆与直线:相切，∴. 3分 由，得. 4分 过O, F，且与直线相切的圆的方程为. 5分 ‎（Ⅱ）依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为，‎ ‎, , ,, 6分 联立， 消去y得 ． 7分 ‎. 8分 ‎∵直线的方程为， 9分 令，‎ 得 10分 ‎. 11分 直线过定点. 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）直线过定点M. 6分 证明:依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为，‎ ‎, , ,, 7分 联立， 消去得 8分 ‎. 9分 ‎ 10分 ‎=+‎ ‎==. 11分 ‎，即, 三点共线，‎ 直线过定点. 12分 解法三:（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程: ，, ,则. 6分 ‎ 由 得 7分 ‎. 8分 ‎∵，‎ ‎∴直线的方程为. 9分 ‎. 11分 直线过定点. 12分 ‎（21）本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、数形结合思想．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）， 1分 由，得，由，得，‎ ‎∴在递减，在递增. 3分 ‎∴. 4分 ‎∴. 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎∴当时，，即. 7分 ‎∵，， 8分 由，得，由，得，‎ ‎∴在递增，在递减. 9分 ‎∴， 10分 ‎∴，即. 12分 ‎（22）选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：（Ⅰ）由，得，又，，‎ 得曲线的普通方程为，…………………………… 2分 所以曲线是以为圆心，2为半径的圆.‎ 由直线的参数方程为（为参数），‎ 得直线的直角坐标方程为． …………………………4分 由圆心到直线的距离，‎ 故直线与曲线相交. ……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线为经过点倾斜角为的直线，‎ 由代入，整理得 ‎，………………………………………………………6分 ‎，‎ 设对应的参数分别为，则，， ‎ 所以异号， …………………………………………………………7分 则，…………………………………8分 所以 又……………………………………………9分 所以直线的倾斜角或. …………………………………10分 ‎（23）选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解（Ⅰ）原不等式可化为或或.....３分 解得或或．. ....................................................4分 综上，原不等式的解集是.........................................................5分 ‎（Ⅱ）解： 使，等价于...................................6分 ‎ ........................................7分 ‎， ‎ 所以取得最小值.................................................................................8分 ‎， ‎ ‎ 得或 ‎ 的取值范围是..............................................................10分