2019届二轮复习（理）第九章第55讲　直线与圆、圆与圆的位置关系学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第九章第55讲　直线与圆、圆与圆的位置关系学案（江苏专用）

第 55 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 考试要求 1.直线与圆、圆与圆的位置关系及判断(B 级要求)；2.利用直线和圆的 方程解决一些简单的问题(B 级要求)；3.用代数方法处理几何问题的思想(A 级要 求). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的必要不充分条件.( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( ) (4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在 的直线方程.( ) (5)过圆 O：x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y＝r2.( ) 解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充分不必要条 件. (2)除外切外，还有可能内切. (3)两圆还可能内切或内含. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2.(必修 2P113 例 1 改编)已知圆 O：x2＋y2＝4，则过点 P(2，4)与圆 O 相切的切 线方程为 . 解析 因为点 P(2，4)不在圆 O 上，所以切线 PT 的方程可设为 y＝k(x－2)＋4. 根据 d＝r 知|－2k＋4| 1＋k2 ＝2，解得 k＝3 4 ，所以 y＝3 4(x－2)＋4，即 3x－4y＋10＝0. 因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求得 另一条切线方程为 x＝2. 答案 3x－4y＋10＝0 或 x＝2 3.(必修 2P114 习题 2 改编)过点(－1，－2)的直线 l 被圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 截 得的弦长为 2，则直线 l 的斜率为 . 解析 由条件易知直线 l 的斜率必存在，设为 k，由题可知圆心(1，1)到直线 y＋ 2＝k(x＋1)的距离为|2k－3| k2＋1 ＝ 2 2 ，解得 k＝1 或 k＝17 7 ，即所求直线 l 的斜率为 1 或17 7 . 答案 1 或17 7 4.(2016·全国Ⅱ卷改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距 离为 1，则 a＝ . 解析 由圆的方程 x2＋y2－2x－8y＋13＝0 得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距 离公式得 d＝|1×a＋4－1| 1＋a2 ＝1，解之得 a＝－4 3. 答案 －4 3 5.(2018·盐城模拟)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点，则实数 a 的 取值范围是 . 解析 由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为 2， ∴ |a－0＋1| 12＋（－1）2 ≤ 2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案 [－3，1] 知 识 梳 理 1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系. dr ⇔ 相离. (2)代数法： ――→判别式 Δ＝b2－4ac >0 ⇔ 相交； ＝0 ⇔ 相切； <0 ⇔ 相离. 2.圆与圆的位置关系 设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0). 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系 代数法：联立两圆方程组成方 程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0＋b·0－1| a2＋b2 ＝ 1 a2＋b2<1. 所以直线与圆相交. (2)直线 2tx－y－2－2t＝0 恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 内. ∴直线 2tx－y－2－2t＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 相交. 答案 (1)相交 (2)相交 考点二 圆与圆的位置关系 【例 2】 已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0 和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m 取何值时两圆外切； (2)m 取何值时两圆内切； (3)求 m＝45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 (1)两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为 M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m(m<61). 当两圆外切时， （5－1）2＋（6－3）2＝ 11＋ 61－m， 解得 m＝25＋10 11. (2)当两圆内切时，因为定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5， 故只有 61－m－ 11＝5，解得 m＝25－10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0， 即 4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为 2 （ 11）2－ |4×1＋3×3－23| 42＋32 2 ＝2 7. 规律方法 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长. (2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|. (3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论. 【训练 2】 (1)(2016·山东卷改编)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系 是 . (2)如果圆 C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0 与圆 O：x2＋y2＝4 总相交，那么实 数 a 的取值范围是 . 解析 (1)∵圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1 为 a， 圆心 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝|a| 2 ，由勾股定理得 |a| 2 2 ＋( 2)2＝a2，解得 a ＝2. ∴M(0，2)，r1＝2. 又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r2＝1， ∴MN＝ （1－0）2＋（1－2）2＝ 2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交. (2)圆 C 的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为 2. 依题意得 0< a2＋a2<2＋2，∴0<|a|<2 2. ∴a∈(－2 2，0)∪(0，2 2). 答案 (1)相交 (2)(－2 2，0)∪(0，2 2) 考点三 直线与圆的综合问题 【例 3－1】 (一题多解)如图，设圆 x2＋y2＝1 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于 点 A，B，则线段 AB 长的最小值为 . 解析 法一 设切点为 D，∠OAB＝α 0<α<π 2 ，连接 OD，则 OD⊥AB， 从而得到 AD＝ 1 tan α＝cos α sin α，BD＝ 1 tan π 2 －α ＝sin α cos α. 所以线段 AB＝cos α sin α ＋sin α cos α ＝ 1 sin αcos α＝ 2 sin 2α 0<α<π 2 ，则线段 AB 长 度的最小值为 2. 法二 设 A(a，0)，B(0，b)，则直线 AB：x a ＋y b ＝1，又直线 AB 与圆相切，故 d ＝ 1 1 a2 ＋ 1 b2 ＝1，即 1 a2 ＋ 1 b2 ＝1，又 AB2＝a2＋b2＝(a2＋b2) 1 a2 ＋ 1 b2 ＝2＋a2 b2 ＋b2 a2 ≥2 ＋2＝4，当且仅当 a＝b 时取等号，所以 AB 长的最小值为 2. 答案 2 【例 3－2】 已知 t∈R，圆 C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0. (1)若圆 C 的圆心在直线 x－y＋2＝0 上，求圆 C 的方程. (2)圆 C 是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理 由. 解 (1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为 C(t，t2). 依题意知 t－t2＋2＝0，所以 t＝－1 或 2. 即圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－2y－8＝0 或 x2＋y2－4x－8y＋4＝0. (2)整理圆 C 的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0， 令 x2＋y2－4＝0， －2x＋4＝0， －2y＝0 ⇒ x＝2， y＝0. 所以圆 C 过定点(2，0). 【例 3－3】 如图，已知圆 C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线 l 过点 A(－1，0)与圆 C 相交于 P，Q 两点，M 是 PQ 中点，l 与直线 m：x＋3y＋6＝0 相交于点 N. (1)求证：当 l 与 m 垂直时，l 必过圆心 C. (2)当 PQ＝2 3时，求直线 l 的方程. (3)探索AM→ ·AN→是否与直线 l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请 说明理由. (1)证明 因为 l 与 m 垂直，且 km＝－1 3 ，所以 kl＝3. 又 kAC＝3，所以当 l 与 m 垂直时，l 的方程为 y＝3(x＋1)，l 必过圆心 C. (2)解 ①当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1，符合题意.②当直线 l 与 x 轴不垂 直时， 设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)，即 kx－y＋k＝0. 因为 PQ＝2 3，所以 CM＝ 4－3＝1， 则由 CM＝ |k－3| k2＋1 ＝1，得 k＝4 3 ， 所以直线 l：4x－3y＋4＝0. 从而所求的直线 l 的方程为 x＝－1 或 4x－3y＋4＝0. (3)解 因为 CM⊥MN，所以AM→ ·AN→ ＝(AC→ ＋CM→ )·AN→ ＝AC→ ·AN→ ＋CM→ ·AN→ ＝ AC→·AN→. ①当 l 与 x 轴垂直时，易得 N －1，－5 3 ，则AN→＝ 0，－5 3 .又AC→＝(1，3)， 所以AM→ ·AN→＝AC→·AN→＝－5； ②当 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)， 则由 y＝k（x＋1）， x＋3y＋6＝0， 得 N －3k－6 1＋3k ， －5k 1＋3k ， 则AN→＝ －5 1＋3k ， －5k 1＋3k . 所以AM→ ·AN→＝AC→·AN→＝ －5 1＋3k ＋－15k 1＋3k ＝－5. 综上，AM→ ·AN→与直线 l 的斜率无关，且AM→ ·AN→＝－5. 规律方法 (1)例 3－1 在建立函数时，没有选择用点 D 的坐标建立函数，而是选 择∠OAB 为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解. (2)判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化 为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于 x，y 的方程组求该点 的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点. (3)一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务 必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况. 一、必做题 1.(2018·广州调研)若点 A(1，0)和点 B(4，0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这 样的直线有 条. 解析 如图，分别以 A，B 为圆心，1，2 为半径作圆.依题意得直线 l 是圆 A 的切 线，A 到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B 的切线，B 到 l 的距离为 2，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条(2 条外公切线，1 条内公切线). 答案 3 2.若圆 C1：x2＋y2＝1 与圆 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则 m＝ . 解析 圆 C2 的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25). 又圆 C1：x2＋y2＝1，∴C1C2＝5. 又∵两圆外切，∴5＝1＋ 25－m，解得 m＝9. 答案 9 3.(2018·镇江模拟)已知集合 M＝{(x，y)|x－3≤y≤x－1}，N＝{P|PA≥ 2PB， A(－1，0)，B(1，0)}，则表示 M∩N 的图形面积等于 . 解析 令 P(x，y)，所以(x＋1)2＋y2≥2[(x－1)2＋y2]， 所以 x2－6x＋y2＋1≤0，所以(x－3)2＋y2≤8， 所以点 P 的轨迹为以(3，0)为圆心，半径为 2 2的圆及圆的内部. 表示 M∩N 的图形如图中阴影部分所示， 由于直线 y＝x－3 过圆心(3，0)，圆心(3，0)到直线 y＝x－1 的距离为|3－1| 2 ＝ 2， 直线 y＝x－1 与圆的两个交点所对的圆心角为2π 3 ，所以阴影部分面积为 1 2 ×2 6× 2＋1 2 ×(2 2)2×π 3 ＝2 3＋4π 3 . 答案 4π 3 ＋2 3 4.(2018·泰州模拟)过点 P(3，1)作圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 . 解析 如图所示，由题意知切点 A(1，1)，AB⊥PC，kPC＝1 2 ，∴kAB＝－2，∴直 线 AB 的方程为 y－1＝－2(x－1)，即 2x＋y－3＝0. 答案 2x＋y－3＝0 5.若直线 l：y＝kx＋1(k<0)与圆 C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0 相切，则直线 l 与圆 D： (x－2)2＋y2＝3 的位置关系是 . 解析 因为圆 C 的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)， 半径为 2，因为直线 l 与圆 C 相切.所以|－2k－1＋1| k2＋1 ＝ 2，解得 k＝±1，因为 k<0， 所以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0.圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝ |2＋0－1| 2 ＝ 2 2 < 3，所以直线 l 与圆 D 相交. 答案 相交 6.已知 A(－2，0)，B(0，2)，实数 k 是常数，M，N 是圆 x2＋y2＋kx＝0 上两个不 同点，P 是圆 x2＋y2＋kx＝0 上的动点，如果 M，N 关于直线 x－y－1＝0 对称， 那么△PAB 面积的最大值是 . 解析 依题意得圆 x2＋y2＋kx＝0 的圆心 －k 2 ，0 位于直线 x－y－1＝0 上， 于是有－k 2 －1＝0，即 k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是 1. 由题意可得 AB＝2 2，直线 AB 的方程是 x －2 ＋y 2 ＝1， 即 x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线 AB 的距离等于|1－0＋2| 2 ＝3 2 2 ， 点 P 到直线 AB 的距离的最大值是3 2 2 ＋1， ∴△PAB 面积的最大值为1 2 ×2 2×3 2＋2 2 ＝3＋ 2. 答案 3＋ 2 7.(2015·山东卷)过点 P(1， 3)作圆 x2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为 A，B， 则PA→·PB→＝ . 解析 由题意，圆心为 O(0，0)，半径为 1.如图所示， P(1， 3)，∴PB⊥x 轴，PA＝PB＝ 3. ∴POA 为直角三角形，其中 OA＝1，AP＝ 3，则 OP＝2， ∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°. ∴PA→·PB→＝|PA→ PB→|·cos∠APB＝ 3× 3×cos 60°＝3 2. 答案 3 2 8.(2018·常州模拟)已知点 A(1，1)，B(1，3)，圆 C：(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4 上存 在点 P，使 PB2－PA2＝32，则圆心横坐标 a 的取值范围为 . 解析 设 P(x，y)，则 PB2－PA2＝(x－1)2＋(y－3)2－(x－1)2－(y－1)2＝－4y＋8＝ 32，即 y＝－6，由题意可得圆 C 与直线 y＝－6 有公共点，则|(2－a)－(－6)|≤2， 即|a－8|≤2，解得 6≤a≤10，故实数 a 的取值范围是[6，10]. 答案 [6，10] 9.已知圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作 圆 C 的切线，设切点为 M. (1)若点 P 运动到(1，3)处，求此时切线 l 的方程； (2)求满足条件 PM＝PO 的点 P 的轨迹方程. 解 把圆 C 的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， ∴圆心为 C(－1，2)，半径 r＝2. (1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x＝1， C 到 l 的距离 d＝2＝r，满足条件. 当 l 的斜率存在时，设斜率为 k， 则 l 的方程为 y－3＝k(x－1)， 即 kx－y＋3－k＝0， 则|－k－2＋3－k| 1＋k2 ＝2，解得 k＝－3 4. ∴l 的方程为 y－3＝－3 4(x－1)， 即 3x＋4y－15＝0. 综上，满足条件的切线 l 的方程为 x＝1 或 3x＋4y－15＝0. (2)设 P(x，y)，则 PM2＝PC2－MC2 ＝(x＋1)2＋(y－2)2－4， PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO， ∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2， 整理得 2x－4y＋1＝0， ∴点 P 的轨迹方程为 2x－4y＋1＝0. 10.(2018·苏北四市高三上学期期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C： x2＋y2－4x＝0 及点 A(－1，0)，B(1，2). (1)若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M，N 两点，MN＝AB，求直线 l 的方程； (2)在圆 C 上是否存在点 P，使得 PA2＋PB2＝12？若存在，求点 P 的个数；若不 存在，说明理由. 解 (1)圆 C 的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心 C(2，0)，半径为 2. 因为 l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线 l 的斜率为 2－0 1－（－1） ＝1， 设直线 l 的方程为 x－y＋m＝0， 则圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝|2－0＋m| 2 ＝|2＋m| 2 . 因为 MN＝AB＝ 22＋22＝2 2， 而 CM2＝d2＋ MN 2 2，所以 4＝（2＋m）2 2 ＋2，解得 m＝0 或 m＝－4， 故直线 l 的方程为 x－y＝0 或 x－y－4＝0. (2)假设圆 C 上存在点 P，设 P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4， PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12， 即 x2＋y2－2y－3＝0，即 x2＋(y－1)2＝4， 因为|2－2|< （2－0）2＋（0－1）2<2＋2， 所以圆(x－2)2＋y2＝4 与圆 x2＋(y－1)2＝4 相交， 所以点 P 的个数为 2. 二、选做题 11.(2018·苏北四市一模)已知 A，B 是圆 C1：x2＋y2＝1 上的动点，AB＝ 3，P 是 圆 C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1 上的动点，则|PA→＋PB→|的取值范围为 . 解析 取 AB 的中点 C，则|PA→＋PB→|＝2|PC→|，C 的轨迹方程是 x2＋y2＝1 4 ，C1C2＝ 5， 由题意，|PC→|的最大值为 5＋1＋1 2 ＝13 2 ，最小值为 5－1－1 2 ＝7 2. ∴|PA→＋PB→|的取值范围为[7，13]. 答案 [7，13] 12.(2018·浙江六校联考)已知直线 l：4x＋3y＋10＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切， 圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方. (1)求圆 C 的方程； (2)过点 M(1，0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴 上是否存在定点 N，使得 x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存 在，请说明理由. 解 (1)设圆心 C(a，0)(a>－5 2)， 则|4a＋10| 5 ＝2 ⇒ a＝0 或 a＝－5(舍). 所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4. (2)当直线 AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB. 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由 x2＋y2＝4， y＝k（x－1）， 得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以 x1＋x2＝ 2k2 k2＋1 ，x1x2＝k2－4 k2＋1 . 若 x 轴平分∠ANB， 则 kAN＝－kBN ⇒ y1 x1－t ＋ y2 x2－t ＝0 ⇒ k（x1－1） x1－t ＋k（x2－1） x2－t ＝0 ⇒ 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 ⇒ 2（k2－4） k2＋1 －2k2（t＋1） k2＋1 ＋2t＝0 ⇒ t＝4， 所以当点 N 为(4，0)时，能使得 x 轴平分∠ANB 总成立.