2012年四川高考试题(文数解析版)

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文档介绍

2012年四川高考试题(文数解析版)

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数学(文科)‎ ‎【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么 ‎ 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径 第一部分 (选择题 共60分)‎ 注意事项:‎ ‎1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。‎ ‎2、本部分共12小题,每小题5分,共60分。‎ 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、设集合,,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[答案]D ‎[解析]集合A中包含a,b两个元素,集合B中包含b,c,d三个元素,共有a,b,c,d四个元素,所以 ‎[点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重点是掌握好课本的基础知识.‎ ‎2、的展开式中的系数是( )‎ A、21 B、‎28 C、35 D、42‎ ‎[答案]A ‎[解析]二项式展开式的通项公式为=,令k=2,则 ‎[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.‎ ‎3、交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为( )‎ A、101 B、808 C、1212 D、2012‎ ‎[答案]B ‎[解析]N=‎ ‎[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.‎ ‎4、函数的图象可能是( )‎ ‎[答案]C ‎[解析]采用特殊值验证法. 函数恒过(1,0),只有C选项符合.‎ ‎[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.‎ ‎5、如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[答案]B ‎[点评]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况.‎ ‎6、下列命题正确的是( )‎ A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 ‎[答案]C ‎[解析]‎ 若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.‎ ‎[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.‎ ‎7、设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是( )‎ A、且 B、 C、 D、‎ ‎[答案]D ‎[解析]若使成立,则选项中只有D能保证,故选D.‎ ‎[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意.‎ ‎8、若变量满足约束条件,则的最大值是( )‎ A、12 B、26 C、28 D、33‎ ‎[答案]C ‎[解析]目标函数可以变形为 ‎,做函数的平行线,‎ 当其经过点B(4,4)时截距最大时,‎ 即z有最大值为=.‎ ‎[点评]解决线性规划题目的常规步骤:‎ 一列(列出约束条件)、‎ 二画(画出可行域)、‎ 三作(作目标函数变形式的平行线)、‎ 四求(求出最优解).‎ ‎9、已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,‎ 并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[答案]B ‎[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,‎ ‎[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).‎ ‎10、如图,半径为的半球的底面圆在平面内,过点作平面的垂线交半球面于点,过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交,所得交线上到平面的距离最大的点为,该交线上的一点满足,则、两点间的球面距离为( )‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎[答案]A ‎ ‎[解析]以O为原点,分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴,则 A ‎[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功.‎ ‎11、方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎[答案]B ‎[解析]方程变形得,若表示抛物线,则 所以,分b=-2,1,2,3四种情况:‎ ‎(1)若b=-2, ; (2)若b=2, ‎ 以上两种情况下有4条重复,故共有9+5=14条;‎ 同理 若b=1,共有9条; 若b=3时,共有9条.‎ 综上,共有14+9+9=32种 ‎[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的4条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.‎ ‎12、设函数,是公差不为0的等差数列,,则( )‎ A、0 B、7 C、14 D、21‎ ‎[答案]D ‎[解析]∵是公差不为0的等差数列,且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.‎ ‎第二部分 (非选择题 共90分)‎ 注意事项:‎ ‎(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。‎ ‎(2)本部分共10个小题,共90分。‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。)‎ ‎13、函数的定义域是____________。(用区间表示)‎ ‎[答案]() ‎ ‎[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈().‎ ‎[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.‎ ‎14、如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是____________。‎ ‎[答案]90º ‎[解析]方法一:连接D‎1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D‎1M, ‎ 所以,DN⊥平面A1MD1,‎ 又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90º 方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)‎ 故,‎ 所以,cos< = 0,故DN⊥D‎1M,所以夹角为90º ‎[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.‎ ‎15、椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______。‎ ‎[答案] ‎ ‎[解析]根据椭圆定义知:‎4a=12, 得a=3 , 又 ‎[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.‎ ‎16、设为正实数,现有下列命题:‎ ‎①若,则;‎ ‎②若,则;‎ ‎③若,则;‎ ‎④若,则。‎ 其中的真命题有____________。(写出所有真命题的编号)‎ ‎[答案] ①④ ‎ ‎[解析]若a,b都小于1,则a-b<1‎ 若a,b中至少有一个大于等于1, 则a+b>1,‎ 由a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故①正确.‎ ‎ 对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,‎ 若a,b中至少又一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1‎ ‎ 若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确.‎ 综上,真命题有 ① ④ .‎ ‎[点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基础,平时应多加强这类题的限时性练习.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。)‎ ‎17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)和,系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和。‎ ‎(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。‎ ‎[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么 ‎1-P(C)=1-P= ,解得P=………………………………6 分 ‎ ‎(2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为 事件D,‎ 那么P(D)=‎ 答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为. ………………12分.‎ ‎[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.‎ ‎18、(本小题满分12分) 已知函数。‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值。‎ ‎[解析](1)由已知,f(x)=‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以f(x)的最小正周期为2,值域为。…………………6分 ‎(2)由(1)知,f()=‎ ‎ 所以cos()。‎ ‎ 所以 ‎ ,…………………12分 ‎[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.‎ ‎19、(本小题满分12分) 如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上。‎ ‎(Ⅰ)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小。‎ ‎[解析](1)连接OC. 由已知,所成的角 设AB的中点为D,连接PD、CD.‎ 因为AB=BC=CA,所以CDAB.‎ 因为等边三角形,‎ 不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4.‎ 所以CD=2,OC=.‎ 在Rttan.…………………………6分 ‎(2)过D作DE于E,连接CE. ‎ ‎ 由已知可得,CD平面PAB.‎ 据三垂线定理可知,CE⊥PA,‎ 所以,.‎ 由(1)知,DE=‎ 在Rt△CDE中,tan 故 …………………………………12分 ‎[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).‎ ‎20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立。‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?‎ ‎[解析]取n=1,得 ‎ 若a1=0,则s1=0, 当n ‎ 若a1, 当n 上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若a1 = 0, ‎ ‎ 若a1 …………………………………………7分 ‎(2)当a1>0,且 所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)‎ 则 b1>b2>b3>…>b6=‎ 当n≥7时,bn≤b7=‎ 故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分 ‎[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.‎ ‎21、(本小题满分12分) 如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为。‎ ‎(Ⅰ)求轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。‎ ‎[解析](1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在。‎ 于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.‎ 由题意,有·=4‎ 化简可得,4x2-y2-4=0‎ 故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)…………………………4分 (2) 由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)‎ ‎ 对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0‎ 而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.‎ 结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1‎ 设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.‎ 因为,所以,‎ 所以。‎ 此时 ‎ 所以 所以 综上所述, …………………………12分 ‎[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。‎ ‎22、(本小题满分14分) 已知为正实数,为自然数,抛物线与轴正半轴相交于点,设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎(Ⅰ)用和表示;‎ ‎(Ⅱ)求对所有都有成立的的最小值;‎ ‎(Ⅲ)当时,比较与 的大小,并说明理由。‎ ‎[解析](1)由已知得,交点A的坐标为,对 则抛物线在点A处的切线方程为:‎ ‎ ………………4分 (2) 由(1)知f(n)=,则 即知,对于所有的n成立,‎ 特别地,当n=1时,得到a≥3‎ 当a=3,n≥1时,‎ 当n=0时,=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.‎ 所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分 (3) 由(1)知f(k)=‎ 下面证明:‎ 首先证明00,即得 由0
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