高中数学（人教A版）必修3能力强化提升及单元测试：3-3-2

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3.3.2　均匀随机数的产生（选学） 双基达标　(限时 20 分钟) 1 ． 将 [0,1] 内 的 均 匀 随 机 数 转 化 为 [ － 3,4] 内 的 均 匀 随 机 数 ， 需 要 实 施 的 变 换 为 (　　)． A．a＝a1*7 B.a＝a1*7+3 C. a =a1*7-3 D.a＝a1*4 解析　根据伸缩、平移变换 a＝a1] 答案　C 2 ． 在 线 段 AB 上 任 取 三 个 点 x1 ， x2 ， x3 ， 则 x2 位 于 x1 与 x3 之 间 的 概 率 是 (　　)． A.1 2 B.1 3 C.1 4 D．1 解析　因为 x1，x2，x3 是线段 AB 上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是 1 3. 答案　B 3 ． 与 均 匀 随 机 数 特 点 不 符 的 是 (　　)． A．它是[0,1]内的任何一个实数 B．它是一个随机数 C．出现的每一个实数都是等可能的 D．是随机数的平均数 解析　A、B、C 是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是 “随机数的平均数”． 答案　D 4.在圆心角为 90°的扇形中，以圆心 O 为起点作射线 OC，使得∠AOC 和 ∠BOC 都不小于 30°的概率为________． 解析　作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，随机试验中，射线 OC 可能落在扇面 AOB 内任意一条射线上，而要使∠AOC 和∠BOC 都 不 小于 30°，则 OC 落在扇面 DOE 内， ∴P(A)＝1 3. 答案　1 3 5．在区间[－1,2]上随机取一个数 x，则|x|≤1 的概率为________． 解析　由|x|≤1，得－1≤x≤1. 由几何概型的概率求法知，所求的概率 P＝ 区间[－1，1]的长度 区间[－1，2]的长度＝2 3. 答案　2 3 6．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线 y＝log3x 与 x＝3 及 x 轴围成的图形)的面积． 解　设事件 A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”． (1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND. (2)经过伸缩变换 x＝x1]N1,N)，即为概率 P(A)的近似值． 设阴影部分的面积为 S，正方形的面积为 9，由几何概率公式得 P(A)＝S 9，所以N1 N ≈S 9. 所以 S≈9N1 N 即为阴影部分面积的近似值． 综合提高　(限时 25 分钟) 7．如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方 形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为2 3，则阴影区域的 面积为 (　　)． A.4 3 　　　 　B.8 3 C.2 3 　　　 　D．无法计算 解析　∵ S阴影 S正方形＝2 3，∴S 阴影＝2 3S 正方形＝8 3. 答案　B 8．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装 个 指 针 ， 使 其 可 以 自 由 转 动 ， 对 指 针 停 留 的 可 能 性 下 列 说 法 正 确 的 是 (　　)． A．一样大 B．蓝白区域大 C．红黄区域大 D．由指针转动圈数决定 解析　指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大． 答案　B 9．在边长为 2 的正三角形 ABC 内任取一点 P，则使点 P 到三个顶点的距离至少有一个小于 1 的概率是________． 解析　以 A、B、C 为圆心，以 1 为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当 P 落在其内 时符合要求． ∴P＝ 3 × (1 2 × π 3 × 12) 3 4 × 22 ＝ 3π 6 . 答案　 3π 6 10.一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖 既不会落在靶心，也不会落在阴影部分与空白的交线上，现随机 向靶掷飞镖 30 次，则飞镖落在阴影部分的次数约为________． 答案　5 11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有 50 名学生，并且这 50 名学生早上到校先后的可 能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率： (1)小燕比小明先到校； (2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校． 解　记事件 A“小燕比小明先到校”；记事件 B“小燕比小明先到校且小明比小军先到 校”． 利用计算器或计算机产生三组 0 到 1 区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝ RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间； ②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b＜c＜a 的次数 N2； ③计算频率 fn(A)＝N1 N ，fn(B)＝N2 N ，即分别为事件 A，B 的概率的近似值． 12．(创新拓展)如图所示，曲线 y＝x2 与 y 轴、直线 y＝1 围成一个区域 A(图中的阴影部分)， 用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法) 解　法一　我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域 A 内的豆子数与 落在正方形内的豆子数，根据 落在区域A内的豆子数 落在正方形内的豆子数≈ 区域A的面积 正方形的面积，即可求区域 A 面 积的近似值．例如，假设撒 1 000 粒豆子，落在区域 A 内的豆子数为 700，则区域 A 的 面积 S≈ 700 1 000＝0.7. 法二　对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下： 第一步，产生两组 0～1 内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的 坐标满足 y≥x2，就表示这个点落在区域 A 内． 第二步，统计出落在区域 A 内的随机点的个数 M 与落在正方形内的随机点的个数 N，可 求得区域 A 的面积 S≈M N.