【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第二节　常用逻辑用语作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第一章第二节　常用逻辑用语作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A 级　基础夯实练 1．(2018·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x 2－πx≥0” 的否定是(　　) A．∀x∈R，x2－πx＜0　　 B．∀x∈R，x2－πx≤0 C．∃x0∈R，x20－πx0≤0 D．∃x0∈R，x20－πx0＜0 解析：选 D.全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－π x≥0”的否定是“∃x0∈R，x20－πx0＜0”．故选 D. 2．(2018·衡水模拟)命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数” 的逆否命题是(　　) A．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B．若 x＋y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D．若 x＋y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 解析：选 C.将原命题的条件和结论互换的同时进行否定即得逆 否命题，因此“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆否命题是 “若 x＋y 不是偶数，则 x，y 不都是偶数”，所以选 C. 3．(2018·武汉质检)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第二次射击击中目标”，则命 题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 (　　) A．(¬p)∨(¬q)为真命题 B．p∨(¬q)为真命题 C．(¬p)∧(¬q)为真命题 D．p∨q 为真命题 解析：选 A.命题 p 是“第一次射击击中目标”，命题 q 是“第二 次射击击中目标”，则命题¬p 是“第一次射击没击中目标”，命题¬q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有 击中目标”为真命题的充要条件是(¬p)∨(¬q)为真命题，故选 A. 4．(2018·太原联考)已知 a，b 都是实数，那么“2a＞2b”是“a2＞ b2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 D.充分性：若 2a＞2b，则 2a－b＞1，∴a－b＞0，即 a＞ b.当 a＝－1，b＝－2 时，满足 2a＞2b，但 a2＜b2，故由 2a＞2b 不能得 出 a2＞b2，因此充分性不成立．必要性：若 a2＞b2，则|a|＞|b|.当 a＝－ 2，b＝1 时，满足 a 2＞b2，但 2－2 ＜21，即 2a＜2b，故必要性不成 立．综上，“2a＞2b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．故选 D. 5．(2019·吉林实验中学期末)下列命题中正确的是(　　) A．命题“∃x0∈R，使得 x20－1＜0”的否定是“∀x∈R，均有 x2 －1＞0” B．命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是 假命题 C．命题“若 x2＝y2，则 x＝y”的逆否命题是真命题 D．命题“若 x＝3，则 x2－2x－3＝0”的否命题是“若 x≠3， 则 x2－2x－3≠0” 答案：D 6．(2018·日照二模)已知命题 p：存在 x 0∈R，x0－2＞lg x0；命 题 q：任意 x∈R，x2＋x＋1＞0.给出下列结论： ①命题“p 且 q”是真命题；②命题“p 且¬q”是假命题； ③命题“¬p 或 q”是真命题；④命题“p 或¬q”是假命题． 其中所有正确结论的序号为(　　) A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 解析：选 D.对于命题 p，取 x0＝10，则有 10－2＞lg 10，即 8＞ 1，故命题 p 为真命题；对于命题 q，方程 x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4×1 ＜0，故方程无解，即任意 x∈R，x2＋x＋1＞0，所以命题 q 为真命 题．综上“p 且 q”是真命题，“p 且¬q”是假命题，“¬p 或 q”是真 命题，“p 或¬q”是真命题，即正确的结论为①②③.故选 D. 7．(2018·山东菏泽模拟)函数 f(x)＝{log2x，x＞0 －2x＋a，x ≤ 0有且只有一 个零点的充分不必要条件是(　　) A．a＜0 B．0＜a＜1 2 C.1 2＜a＜1 D．a≤0 或 a＞1 解析：选 A.因为函数 f(x)过点(1，0)，所以函数 f(x)有且只有一 个零点⇔函数 y＝－2x＋a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2x(x≤0)与直线 y ＝a 无公共点．由数形结合可得 a≤0 或 a＞1.观察选项，根据集合间 的关系{a|a＜0}{a|a≤0 或 a＞1}，故选 A. 8．(2017·北京卷)能够说明“设 a，b，c 是任意实数．若 a＞b＞ c ， 则 a ＋ b ＞ c” 是 假 命 题 的 一 组 整 数 a ， b ， c 的 值 依 次 为 ________． 解析：答案不唯一，如：a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足 a＞b＞ c，但不满足 a＋b＞c. 答案：－1，－2，－3(答案不唯一) 9．(2018·豫西南五校联考)若“∀x∈[－ π 4 ， π 3 ]，m≤tan x＋2” 为真命题，则实数 m 的最大值为________． 解析：由 x∈[－ π 4 ， π 3 ]可得－1≤tan x≤ 3.∴1≤tan x＋2≤2＋ 3，∵“∀x∈[－ π 4 ， π 3 ]，m≤tan x＋2”为真命题，∴实数 m 的最 大值为 1. 答案：1 10．(2018·青岛模拟)已知命题 p：∃x 0∈R，使 tan x0＝1，命题 q：x2－3x＋2＜0 的解集是{x|1＜x＜2}．现有以下结论： ①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题； ③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题． 其中正确结论的序号为________． 解析：∵当 x＝π 4 时，tan x＝1， ∴命题 p 为真命题，命题¬p 为假命题． 由 x2－3x＋2＜0，解得 1＜x＜2， ∴命题 q 为真命题，命题¬q 为假命题． ∴命题“p∧q”是真命题，命题“p∧¬q”是假命题，命题 “¬p∨q”是真命题，命题“¬p∨¬q”是假命题． 答案：①②③④ B 级　能力提升练 11．(2018·北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|” 是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C.|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2 ＝9a2＋6a·b＋b 2⇔2a2＋3a·b－2b 2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔ a⊥b，故选 C. 12．(2018·温州模拟)下面四个条件中，使 a＞b 成立的充分不必 要条件是(　　) A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3 解析：选 A.由选项中的不等式可得 a＞b，a＞b 推不出选项中的 不等式．选项 A 中，a＞b＋1＞b，反之 a＞b 推不出 a＞b＋1；选项 B 中，a＞b＞b－1，反之 a＞b－1 推不出 a＞b，为必要不充分条件； 选项 C 为既不充分也不必要条件；选项 D 为充要条件，故选 A. 13．(2018·江西上饶二模)已知命题 p：对任意 x∈(0，＋∞)，log4x ＜log8x；命题 q：存在 x∈R，使得 tan x＝1－3x，则下列命题为真命 题的是(　　) A．p∧q B．(¬p)∧(¬q) C．p∧(¬q) D．(¬p)∧q 解析：选 D.当 x＝1 时，log4x＝log8x，所以命题 p 是假命题；函 数 y＝tan x 的图象与 y＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在 x∈R， 使得 tan x＝1－3x，即命题 q 是真命题，故(¬p)∧q 是真命题，选 D. 14．(2018·沈阳模拟)有关下列说法正确的是(　　) A．“f(0)＝0”是“函数 f(x)是奇函数”的必要不充分条件 B．若 p：∃x0∈R，x20－x0－1＞0，则¬p：∀x∈R，x2－x－1＜ 0 C．命题“若 x2－1＝0，则 x＝1 或 x＝－1”的否命题是“若 x2 －1≠0，则 x≠1 或 x≠－1” D．命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是 (¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题 解析：选 D.对于 A，由 f(0)＝0，不一定有 f(x)是奇函数，如 f(x)＝ x2；反之，函数 f(x)是奇函数，也不一定有 f(0)＝0，如 f(x)＝1 x. ∴“f(0)＝0”是“函数 f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条 件．故 A 错误；对于 B，若 p：∃x0∈R，x20－x0－1＞0，则¬p：∀x∈ R，x2－x－1≤0.故 B 错误；对于 C，命题“若 x 2－1＝0，则 x＝1 或 x＝－1”的否命题是“若 x2－1≠0，则 x≠1 且 x≠－1”．故 C 错 误；对于 D，若命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题，不妨设 p 为 真命题，q 为假命题，则¬p∧q 为假命题，¬q∧p 为真命题，则 (¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题；反之，若(¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题，则 ¬p∧q 或¬q∧p 至少有一个为真命题．若¬p∧q 真，¬q∧p 假，则 p 假 q 真；若¬p∧q 假，¬q∧p 真，则 p 真 q 假；不可能¬p∧q 与¬q∧p 都为真．故命题 p 和命题 q 有且仅有一个为真命题的充要条件是 (¬p∧q)∨(¬q∧p)为真命题．故选 D. 15．(2018·佛山模拟)已知函数 f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0， 1)，f(x)≠0”是假命题，则实数 a 的取值范围是________． 解析：已知函数 f(x)＝a2x－2a＋1，命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠ 0”是假命题， ∴原命题的否定是“∃x0∈(0，1)，使 f(x0)＝0”是真命题，显然 a≠0.∴f(1)f(0)＜0， 即(a2－2a＋1)(－2a＋1)＜0， 即(a－1)2(2a－1)＞0， 解得 a＞1 2，且 a≠1， ∴实数 a 的取值范围是(1 2，1)∪(1，＋∞)． 答案：(1 2，1)∪(1，＋∞) C 级　素养加强练 16．(2018·湖北襄阳模拟)设 p：实数 a 满足不等式 3a≤9，q：函 数 f(x)＝1 3x3＋3（3－a） 2 x2＋9x 无极值点． 已知“p∧q”为真命题，并记为 r，且 t：a2－(2m＋1 2)a＋m(m＋1 2) ＞0，若 r 是¬t 的必要不充分条件，则正整数 m 的值为________． 解析：若 p 为真，则 3a≤9，得 a≤2. 若 q 为真，则函数 f(x)无极值点，∴f′(x)＝x2＋3(3－a)x＋9≥0 恒成立， 得 Δ＝9(3－a)2－4×9≤0，解得 1≤a≤5. ∵“p∧q”为真命题， ∴p、q 都为真命题， ∴{a ≤ 2， 1 ≤ a ≤ 5⇒1≤a≤2. ∵a2－(2m＋1 2)a＋m(m＋1 2)＞0， ∴(a－m)[a－(m＋1 2)]＞0， ∴a＜m 或 a＞m＋1 2， 即 t：a＜m 或 a＞m＋1 2， 从而¬t：m≤a≤m＋1 2， ∵r 是¬t 的必要不充分条件， ∴¬t⇒r，r⇒/ ¬t， ∴{m ≥ 1， m＋1 2 ＜2 或{m＞1， m＋1 2 ≤ 2， 解得 1≤m≤3 2， 又∵m∈N*，∴m＝1. 答案：1