江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高二数学试题 一、选择题 ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定可得出正确选项.‎ ‎【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.‎ ‎2.关于的不等式的解集是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次不等式的解法，即可求出结果.‎ ‎【详解】由得，即，‎ 解得或，即原不等式的解集为：或.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查解一元二次不等式，熟记一元二次不等式的解法即可，属于基础题型.‎ ‎3.在等差数列中，，，则公差（）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 全部用 表示，联立方程组，解出 ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。‎ ‎4.已知是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 25 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为椭圆的方程我，所以 ，由题意的定义可得的周长，故选A.‎ ‎5.已知数列的前4项为：，，，，则数列的通项公式是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式.‎ ‎【详解】观察数列的前4项，可知分母为，分子是奇数，为，‎ 同时符号是正负相间，为，‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎6.在下列函数中，最小值是的函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求各选项函数的最值，但要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立.‎ ‎【详解】对于A选项中的函数，当时，，则函数没有最小值；‎ 对于B选项中的函数，，，当且仅当时，等号成立，但，等号不成立，则；‎ 对于C选项中的函数，当且仅当时，等号成立，则该函数的最小值为；‎ 对于D选项中的函数，由基本不等式得 ‎，当且仅当时，即当时，等号成立，该函数的最小值为.故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件的成立，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎7.不等式的解集为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论两种情况，时合题意，当时，利用判别式小于零且可得结果.‎ ‎【详解】当时，不等式即，恒成立．‎ 当时，由题意可得，且，解得．‎ 综上，实数的取值范围是，故选C．‎ ‎【点睛】解答一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑二次项系数的符号以及判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.‎ ‎8.已知在等比数列中,公比是整数,,则此数列的前项和为()‎ A. 514 B. 513 C. 512 D. 510‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件计算出首项和公比的值，然后利用前项和公式计算前项和.‎ ‎【详解】因为，所以且是整数，解得：；‎ 所以，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的计算以及等比数列的前项和公式，难度较易.使用等比数列的前项和公式时，注意公比.‎ ‎9.直线经过椭圆的一个短轴顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，‎ 由对称性，不妨设直线，‎ 椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.‎ 故选A.‎ ‎10.数列满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为数列满足，‎ ‎，（）‎ 则，则，（），‎ 又满足，所以，‎ 因此.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查等比数列部分项的乘积，熟记等比数列的通项公式以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎11.椭圆的一个焦点是，那么实数的值为 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：变形为 考点：椭圆方程及性质 ‎12.是等差数列的前n项和,若,则当时,取最大值.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题中等差数列前项和是的二次函数，由二次函数性质可得最值．‎ ‎【详解】∵，∴公差，当时，取得最大值．‎ 故答案为13．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前和性质．由于，当时，它是的二次函数，因此由二次函数性质可得最值．‎ ‎13.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，“”是“”的必要不充分条件，则是 的真子集，可得答案.‎ ‎【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以是真子集，所以，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.‎ ‎14.已知数列的前项和为，则____‎ ‎【答案】31‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中条件，根据并项求和的方法，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 ‎.‎ 故答案为：31‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的求和，熟记并项求和的方法即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知正数满足，则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．‎ ‎【详解】正数，满足，则，‎ 则 ‎，‎ 当且仅当时，即，时取等号，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎16.数列满足，（），则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值。‎ ‎【详解】‎ 由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，‎ 所以 ‎【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算。‎ 三、解答题 ‎ ‎17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和表示出和，解方程组求得和；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得通项公式，采用裂项相消法求得结果.‎ ‎【详解】（1）设等差数列公差为 ‎，即：…①‎ 又成等比数列 ‎ ‎，整理可得：…②‎ 由①②得： ‎ ‎（2）由（1）得：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；关键是能够将数列的通项公式进行准确裂项，从而前后相消得到结果，属于常考题型.‎ ‎18.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若点P在椭圆上，∠F2PF1＝60°，求△PF1F2的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意求得a，设出椭圆方程，代入已知的坐标求得b，则椭圆方程可求； （2）由（1）求得c及2a，在△F2PF1中，由余弦定理可得，然后代入三角形面积公式可得△F2PF1的面积．‎ ‎【详解】（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，‎ 故可设椭圆的方程为（），‎ 因为点在椭圆上，所以， 解得， ‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 在△F2PF1中，由余弦定理可得：‎ 即 ‎，则 ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．‎ ‎19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：厘米）满足关系：.若不建隔热层，每年的能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.‎ ‎（1）求的值及的表达式；‎ ‎（2）隔热层修建多厚时，总费用最小，并求其最小值.‎ ‎【答案】（1），（2）当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x），若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．我们可得C（0）＝，得k＝36，进而得到．建造费用为C1（x）＝4x，则根据隔热层建造费用与16年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．‎ ‎（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，研究函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．‎ ‎【详解】（1）由题意知：，代入中得，因此 ‎，即 ‎（2）由 令，则，考察函数在的单调性知：当时为减函数，当时为增函数，‎ 此时 即当隔热层修建厘米厚时，总费用达到最小，且最小为万元.‎ ‎【点睛】函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．‎ ‎20.设函数,‎ ‎（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）求不等式的解集；‎ ‎（3）若对于，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不等式的解集，得到是方程的两个根，由韦达定理，即可求出结果；‎ ‎（2）先将不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；‎ ‎（3）先由题意得到对于恒成立，由基本不等式求出的最小值，即可得出结果.‎ ‎【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，‎ 所以是方程的两个根，‎ 因此；‎ ‎（2），，.‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，原不等式为，该不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ ‎（3）由题意，当时，恒成立，‎ 即时，恒成立 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 所以，‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查由不等式解集求参数，分类讨论法解含参数的不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记三个二次之间关系，熟记基本不等式，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.‎ ‎21.设数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，为数列位的前项和，求；‎ ‎（3）在（2）的条件下，是否存在自然数，使得对一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题干可推导得到，进而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得到结果；（2‎ ‎）由错位相减的方法得到结果；（3）根据第二问得到：，数列单调递增，由数列的单调性得到数列范围.‎ ‎【详解】（1）由，令，则，‎ 又，所以.‎ 当时，由可得，‎ ‎，即，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 从而 ‎（3）由（2）知，‎ ‎∴数列单调递增，‎ ‎∴，‎ 又，∴‎ 要恒成立，则，‎ 解得，又，‎ 故.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎ ‎ ‎