数学文卷·2018届福建省福州市高三上学期期末质检（2018

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福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数为纯虚数，则实数（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎3.已知，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. （ ）‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎5.已知双曲线的两个焦点都在轴上，对称中心为原点，离心率为.若点在上，且，到原点的距离为，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的表示正整数 除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（ ）‎ A．23 B．38 C．44 D．58‎ ‎8. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数若，则（ ）‎ A． B．3 C． 或3 D．或3‎ ‎11.过椭圆的右焦点作轴的垂线，交于两点，直线过 的左焦点和上顶点.若以为直径的圆与存在公共点，则的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 13、 填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是 ．‎ ‎14.曲线在处的切线方程为 ．‎ ‎15.的内角的对边分别为，已知，则的大小为 ．‎ ‎16.某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是 元. ‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列前项和为，且.‎ ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.随着“互联+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：‎ 用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.‎ ‎（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；‎ ‎（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；‎ ‎（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（精确到)‎ 参考数据：.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，,，点为棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎20.抛物线与两坐标轴有三个交点，其中与轴的交点为.‎ ‎（1）若点在上，求直线斜率的取值范围；‎ ‎（2）证明：经过这三个交点的圆过定点.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.‎ ‎（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）已知关于的不等式的解集为，若，求 实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CABDC 6-10: DADAA 11、12：AC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 2100000‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）当时，，所以，‎ 当时，，‎ 所以，‎ 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 所以 （1）‎ ‎（2）‎ ‎（1）-（2）得：‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. ‎ ‎（2）由（1）中的样本评分数据可得 ‎，‎ 则有 ‎ ‎ ‎（3）由题意知评分在之间，即之间，‎ 由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.‎ 另解：由题意知评分在，即之间，，从调查的40名用户评分数据中在共有21人，则该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比约为.‎ ‎19.解法一：（1）证明：取的中点，连接.‎ 因为点为棱的中点，‎ 所以且，‎ 因为且 ，‎ 所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以， ‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 因为,平面，平面,‎ 所以平面. ‎ 因为点为棱的中点，且，‎ 所以点到平面的距离为2. ‎ ‎.‎ 三棱锥的体积.‎ 解法二：（1）证明：在平面内，分别延长，交于点. ‎ 因为， ‎ 所以为中点. ‎ 又因为为的中点，‎ 所以. ‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）同解法一.‎ 解法三：（1）证明：取棱的中点，连接， ‎ 因为点为棱的中点，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面； ‎ 因为，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面； ‎ 又因为,平面，平面，‎ 所以平面平面； ‎ 因为平面，‎ 所以平面. ‎ ‎（2）同解法一. ‎ ‎20.解法一：（1）由题意得. ‎ 故 ‎ ‎ ‎（2）由（1）知，点坐标为.‎ 令，解得，‎ 故.‎ 故可设圆的圆心为，‎ 由得，，‎ 解得，则圆的半径为.‎ 所以圆的方程为，‎ 所以圆的一般方程为，‎ 即.‎ 由 得或，‎ 故都过定点.‎ 解法二：（1）同解法一. ‎ ‎（2）由（1）知，点坐标为，设抛物线与轴两交点分别为.‎ 设圆的一般方程为：，则 因为抛物线与轴交于，‎ 所以是方程，即的两根，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以圆的一般方程为，‎ 即.‎ 由 得或，‎ 故都过定点.‎ ‎21.解：（1），‎ ‎①若，则，在上为増函数；‎ ‎②若，则当时，；当时，.‎ 故在上，为増函数；在上，为减函数. ‎ ‎（2）因为，所以只需证，‎ 由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，‎ 所以.‎ 记，则，‎ 所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数， ‎ 所以.‎ 所以当时，，即，即.‎ 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）由题意知，即证，‎ 从而等价于.‎ 设函数，则.‎ 所以当)时，；当时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减.‎ 从而在上的最大值为.‎ 设函数，则.‎ 所以当)时，；当时，.‎ 故在上单调递减，在上单调递増.‎ 从而在上的最小值为.‎ 综上，当时，，即.‎ ‎22. 解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，‎ 所以直线的直角坐标方程为；‎ 因为（参数，）‎ 所以曲线的普通方程为，‎ 由消去得，，‎ 所以，‎ 解得，‎ 故的取值范围为. ‎ ‎（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，‎ 故曲线上的点到的距离，‎ 故的最大值为 由题设得，‎ 解得.‎ 又因为，所以.‎ ‎23.解：（1）因为，所以，‎ ‎，‎ 或或 解得或或， ‎ 所以，‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，恒成立， ‎ 而，‎ 因为，所以，即，‎ 由题意，知对于恒成立，‎ 所以，故实数的取值范围.‎