黑龙江省牡丹江一中2021届高三数学（文）上学期开学试题（Word版附解析）

黑龙江省牡丹江一中2021届高三数学（文）上学期开学试题（Word版附解析）

‎2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学 数学试卷（文科）‎ 一、选择题（每题5分，共12题）‎ ‎1．（5分）设集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x||x|≤1}，则A∩B＝（　　）‎ A．（﹣1，1） B．（0，1] C．[﹣1，1] D．[0，1]‎ ‎2．（5分）设i为虚数单位，复数z满足z（1﹣i）＝2i，则|z|＝（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∃x∈R，x2﹣x+1＜0 ‎ C．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 D．∀x∈R，x2﹣x+1＜0‎ ‎4．（5分）若sin（）＝﹣，α为第二象限角，则tanα＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx”，命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0””若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（1，4] B．（0，1] C．[﹣1，1] D．（4，+∞）‎ ‎6．（5分）甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章．当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”．假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎7．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．（0，4）‎ ‎8．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，则f'（2）的值等于（　　）‎ A．﹣0 B．﹣2 C．﹣ D．﹣﹣2‎ ‎10．（5分）函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ＝（　　）‎ A． B． C．﹣ D．‎ ‎11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）‎ A．﹣50 B．0 C．2 D．50‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，共4题）‎ ‎13．（5分）曲线y＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为　 　．‎ ‎14．（5分）设函数f（x）＝，则f（x）≤3成立的x的取值范围　 　．‎ ‎15．（5分）已知，则cos（α﹣β）＝　 　．‎ ‎16．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）‎ ‎17．（10分）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（a+2）x+2a≤0．‎ ‎（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）（文）已知函数f（x）＝（sinωx+cosωx）cosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为4π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调递增区间．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且sinB﹣sinC＝sin（A﹣C）．‎ ‎（Ⅰ）求角A；‎ ‎（Ⅱ）若a＝3，求b+2c的最大值．‎ ‎20．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．‎ ‎（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；‎ ‎（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）＝x2+1﹣lnx．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x在区间上的最小值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx．‎ ‎（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1时取得极值，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）当0＜a＜1时，求f（x）零点的个数．‎ ‎2020-2021学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）开学数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每题5分，共12题）‎ ‎1．【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，‎ B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，‎ ‎∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．‎ 故选：B．‎ ‎2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【解答】解：由z（1﹣i）＝2i，得z＝，‎ ‎∴|z|＝．‎ 故选：B．‎ ‎3．【分析】命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．‎ 故选：A．‎ ‎4．【分析】由已知求得cosα，进一步得到sinα，再由商的关系求得tanα．‎ ‎【解答】解：由sin（）＝﹣，得cos，‎ ‎∵α为第二象限角，∴sin．‎ 则tanα＝．‎ 故选：A．‎ ‎5．【分析】先求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∧q”为真命题，确定实数a的取值范围 ‎【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，e]，a＞lnx，为真命题，‎ 则a＞lne＝1，‎ 若命题q：“∃x∈R，x2﹣4x+a＝0”为真命题，‎ 则△＝16﹣4a≥0，解得a≤4，‎ 若命题“p∧q”为真命题，‎ 则p，q都是真命题，‎ 则，‎ 解得：1＜a≤4．‎ 故实数a的取值范围为（1，4]．‎ 故选：A．‎ ‎6．【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．‎ ‎【解答】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，‎ ‎②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，‎ ‎③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，‎ ‎④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，‎ 综合①②③④得：‎ 读了该篇文章的学生是乙，‎ 故选：B．‎ ‎7．【分析】由题意可得0＜2B＜，且＜3B＜π，解得B的范围，可得cosB的范围，由正弦定理求得a＝4cosB，根据cosB的范围确定出a范围即可．‎ ‎【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，A＝2B，‎ ‎∴0＜2B＜，且B+A＝3B，‎ ‎∴＜3B＜π．‎ ‎∴＜B＜，‎ ‎∴＜cosB＜，‎ ‎∵b＝2，A＝2B，‎ ‎∴由正弦定理可得：a＝＝＝4cosB，‎ ‎∴可得：2＜4cosB＜2，‎ 则a的取值范围为（2，2）．‎ 故选：A．‎ ‎8．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．‎ ‎【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，‎ 故排除A和B．‎ 当x＝时，函数的值也为0，‎ 故排除C．‎ 故选：D．‎ ‎9．【分析】根据导数公式先求出f'（x），然后令x＝2即可得到f'（2）的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+ex，‎ ‎∴f'（x）＝2x+3f'（2）+ex，‎ 令x＝2，‎ 则f'（2）＝4+3f'（2）+e2，‎ 即﹣2f'（2）＝4+e2，‎ ‎∴f'（2）＝﹣﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎10．【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．‎ ‎【解答】解：对于函数y＝loga（x+4）+2（a＞0且a≠1），令x+4＝1，求得x＝﹣3，y＝2，‎ 可得函数的图象恒过点A（﹣3，2），‎ 且点A在角θ的终边上，∴tanθ＝＝﹣，则sin2θ＝＝＝﹣，‎ 故选：C．‎ ‎11．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，‎ 则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）＝2，‎ ‎∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，‎ f（4）＝f（0）＝0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）‎ ‎＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，‎ 故选：C．‎ ‎12．【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y＝g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）＝9求得x1、x2满足的条件，再求|x1﹣x2|的可能取值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），‎ 将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；‎ 再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，‎ 若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；‎ 解得x＝+，k∈Z；‎ 其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，‎ ‎∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（每题5分，共4题）‎ ‎13．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．‎ ‎【解答】解：由f（x）＝xlnx，得 ‎，‎ ‎∴f′（1）＝ln1+1＝1，‎ 即曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线的斜率为1，‎ 则曲线f（x）＝xlnx在点（1，0）处的切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），‎ 整理得：x﹣y﹣1＝0．‎ 故答案为：x﹣y﹣1＝0．‎ ‎14．【分析】根据f（x）的解析式可看出，x＜1时，满足f（x）≤3；x≥1时，由f（x）≤3可得，，从而得出1≤x≤9，这样便可得出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：①∵x＜1；‎ ‎∴x﹣1＜0；‎ ‎∴ex﹣1＜1；‎ ‎∴x＜1时，f（x）≤3成立；‎ ‎②x≥1时，由f（x）≤3得，；‎ ‎∴x≤9；‎ ‎∴1≤x≤9；‎ ‎∴x≤9；‎ ‎∴x的取值范围为：（﹣∞，9]．‎ 故答案为：（﹣∞，9]．‎ ‎15．【分析】已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2＝cos2α+2cosαcosβ+cos2β＝①，‎ ‎（sinα+sinβ）2＝sin2α+2sinαsinβ+sin2β＝②，‎ ‎①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝1，‎ 即cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣，‎ 则cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎16．【分析】根据题意，做出函数的草图，利用数形结合判断a、b、c 的范围与关系，然后求解2a+2b+2c的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，函数＝，其草图如图 若互不相等的实数a，b，c，满足f（a）＝f（b）＝f（c），‎ 设f（a）＝f（b）＝f（c）＝m，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝m有3个不同的交点，分别为（a，m），（b，m），（c，m），‎ 且0＜m＜1，‎ 结合函数的图象：有a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），‎ 当m→1时，表达式2a+2b+2c的值趋向最小值：0+2+24＝18，‎ 当m→0时，表达式2a+2b+2c的值趋向最大值：1+1+25＝34．‎ 则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．‎ 故答案为：（16，34）．‎ 三、解答题（17题10分，18-22题，每题12分）‎ ‎17．【分析】（1）由p：|2x﹣5|≤3是真命题，解含绝对值不等式的性质能求出x的取值范围．‎ ‎（2）由P：1≤x≤4，q：（x﹣2）（x﹣a）≤0，p是q的必要不充分条件得到：当a≥2时，q：2≤x≤a，当a＝2时，q：x＝2，当a＜2时，q：a≤x≤2，利用分类讨论思想能求出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，‎ ‎∴|2x﹣5|≤3，∴﹣3≤2x﹣5≤3，‎ 解得1≤x≤4，‎ ‎∴x的取值范围是[1，4]．‎ ‎（2）由（1）知：P：1≤x≤4，‎ q：x2﹣（a+2）x+2a＝（x﹣2）（x﹣a）≤0，‎ p是q的必要不充分条件 当a≥2时，q：2≤x≤a，故满足a≤4，即2＜a≤4，‎ 当a＝2时，q：x＝2，满足条件；‎ 当a＜2时，q：a≤x≤2，故满足a≥1，即1≤a＜2．‎ 综上所述a的取值范围是[1，4]．‎ ‎18．【分析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）＝sin（2ωx+），利用其最小正周期为4π可求得ω；‎ ‎（2）由（1）知，f（x）＝sin（x+），利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）＝sinωxcosωx+cos2ωx﹣‎ ‎＝sin2ωx+cos2ωx+﹣‎ ‎＝sin（2ωx+），‎ ‎∵T＝＝4π，‎ ‎∴ω＝．‎ ‎（2）∵f（x）＝sin ‎∵﹣+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z ‎∴﹣π+4kπ≤x≤π+4kπ，k∈Z ‎∴f（x）的单调递增区间为[﹣+4kπ，+4kπ]（k∈Z）．‎ ‎19．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cosA＝，进而可求A的值；‎ ‎（Ⅱ）根据三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求可得b+2c＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），结合范围B∈（0，），利用正弦函数的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，sinB﹣sinC＝sin（A﹣C），‎ ‎∴sin（A+C）﹣sinC＝sin（A﹣C），‎ 即sinAcosC+cosAsinC﹣sinC＝sinAcosC﹣cosAsinC ‎∴2cosAsinC＝sinC≠0，‎ ‎∴cosA＝，‎ ‎∴A＝．‎ ‎（Ⅱ）∵由，‎ 可得b+2c＝2（sinB+2sinC）‎ ‎＝2[sinB+2sin（120°﹣B）]‎ ‎＝2（2sinB+cosB）‎ ‎＝2sin（B+φ），其中tanφ＝，φ∈（0，），‎ 由B∈（0，），存在B使得B+φ＝，‎ ‎∴sin（B+φ）的最大值为1，‎ ‎∴b+2c的最大值为2．‎ ‎20．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．‎ ‎（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠DAC＝30°，…1分 在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分 ‎∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分 ‎∴∠ADC＝120°，或60°，…4分 又∠BAD＝60°，‎ ‎∴∠ADC＝120°…6分 ‎（Ⅱ）∵BD＝2DC，‎ ‎∴BC＝3DC，‎ 在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，‎ ‎∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分 令∠ADB＝θ，由余弦定理：‎ 在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分 在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分 可得：，‎ ‎∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分 ‎21．【分析】（I）求出导函数，得出函数的单调区间；‎ ‎（II）求导函数，判断函数在区间上的单调性，然后求出最小值．‎ ‎【解答】解：（I）f（x）＝x2+1﹣lnx∴f'（x）＝2x﹣＝，‎ ‎∴当x在（，+∞）时，f'（x）＞0，函数递增，‎ 当x在（0，）时，f'（x）＜0，函数递减，‎ 故函数的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；‎ ‎（II）由g（x）＝f（x）﹣x＝x2﹣x+1﹣lnx，‎ 得g'（x）＝，x∈，令g'（x）＝0，则x＝1，‎ ‎∴g（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增，‎ ‎∴g（x）min＝g（1）＝1，‎ ‎∴函数的最小值为1．‎ ‎22．【分析】（ I）求出函数的f（x）定义域为（0，+∞），导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．‎ ‎（ II ）令，由0＜a＜1，得．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．‎ ‎【解答】（共14分）‎ 解：（ I）f（x）定义域为（0，+∞）.‎ ‎．‎ 由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．‎ 当a＝1时，．‎ 所以f'（x）＜0⇔0＜x＜1，f'（x）＞0⇔x＞1．‎ 所以f（x）减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）．‎ 所以函数f（x）在x＝1时取得极小值，其极小值为f（1）＝0，符合题意 所以a＝1．……………………………………………………………………（5分）‎ ‎（ II ）令，由0＜a＜1，得．‎ 所以．‎ 所以f（x）减区间为，增区间为．‎ 所以函数f（x）在时取得极小值，其极小值为．‎ 因为0＜a＜1，所以．‎ 所以．所以．‎ 因为，‎ 又因为0＜a＜1，所以a﹣2+e＞0．‎ 所以．‎ 根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．‎ 因为x＞lnx，f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx＞ax2+（a﹣2）x﹣x＝x（ax+a﹣3）．‎ 令ax+a﹣3＞0，得．‎ 又因为0＜a＜1，所以．‎ 所以当时，f（x）＞0．‎ 根据零点存在定理，函数f（x）在上有且仅有一个零点．‎ 所以，当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．………………………………（14分）‎