湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年上学期2018级 期中考试数学试卷 一、选择题.‎ ‎1.已知复数为虚数单位为纯虚数，则实数的值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后令实部等于0，虚部不等于0，求出 即可．‎ ‎【详解】解：复数 它是纯虚数，解得 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念的应用，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2.已知命题：“，在椭圆上”，的否定记为，则（ ）.‎ A. 是“，不在椭圆上”，它是真命题 B. 是“，不在椭圆上”，它是假命题 C. 是“，不在椭圆上”，它是假命题 D. 是“，不在椭圆上”，它是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定为全称命题求出，根据特殊值判断为假。‎ ‎【详解】解：已知命题：“，在椭圆上”‎ 则是“，不在椭圆上”‎ 当时解得 ‎ ‎ 即存在两点和在椭圆上，‎ 故为假命题，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及命题的真假判断，属于基础题。‎ ‎3.“”是“直线与垂直”的（ ）.‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线垂直求出参数的值，然后根据充分条件必要条件进行判断.‎ ‎【详解】解：由题意直线与垂直，‎ 解得 或 即当时，可以得到“直线与垂直”‎ 故“”是“直线与垂直”的充分条件，‎ 由“直线与垂直”得不到“”‎ 故“”是“直线与垂直”的不必要条件，‎ 综上：故“”是“直线与垂直”的充分不必要条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了直线的为关系的判断条件，充分必要条件的定义，属于容易题．‎ ‎4.已知两条不同直线与三个不同平面，则下列命题正确的个数是（ ）.‎ ‎①若，，，则 ‎②若，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中的线、面位置关系，对四个命题分别进行分析判断，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：对于①，当，，时，有或相交或与是异面直线，①错误；‎ 对于②，当，时，或与相交，②错误；‎ 对于③，若，，则直线与平面平行或直线包含于平面，③错误；‎ 对于④，若，，则直线与平面可能垂直、相交或直线包含于平面，④错误；‎ 综上，没有正确的命题．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，要注意判定定理与性质定理的综合运用．‎ ‎5.已知圆与直线及均相交，四个交点围成的四边形为正方形，则圆的半径为（ ）.‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可知直线与互相平行，则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。‎ ‎【详解】解：因为直线与直线互相平行，‎ 两直线之间的距离 由题意，圆与两直线相交，四个交点围成的四边形为正方形，‎ 则两平行线之间的距离即为正方形的边长，正方形的对角线即圆的直径。‎ 设圆的半径为，‎ 解得 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，属于中档题。‎ ‎6.椭圆的焦距为，则的值为（ ）.‎ A. 10 B. 17 C. 10或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 对焦点分类讨论，利用，，的关系即可得出．‎ ‎【详解】解：由题意，‎ 当焦点在轴时，，‎ ‎，解得．‎ 当焦点在轴时，，‎ ‎，解得．‎ 因为 所以 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且△是直角三角形，则△的面积为（ ）.‎ A. B. C. 或8 D. 或8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为直角三角形，则分两种情况①，②（或）讨论，分别求出的面积。‎ ‎【详解】解：由椭圆方程为：，则，，‎ 为直角三角形 ‎①当时，在中，有，，，消元得，方程无解，故舍去.‎ ‎②当（或）时，，‎ 综上 故选：‎ ‎【点睛】本题考查焦点三角形的面积问题，注意对角进行分类讨论，属于中档题。‎ ‎8.已知菱形中，∠，沿对角线折叠之后,使得平面平面，则二面角的余弦值为（ ）.‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值。‎ ‎【详解】解：如图取的中点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令棱形的边长为，则，，，‎ 设平面的法向量为，，‎ 令则，‎ 即 平面的法向量为 令二面角的夹角为 因二面角为锐二面角 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求二面角二余弦值，关键是准确建立空间直角坐标系，属于中档题。‎ ‎9.如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（ ）. ‎ A. 2 B. 3 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求．‎ ‎【详解】解：，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10.已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程，利用点到线的距离公式，得到、、的方程，即可求出离心率。‎ ‎【详解】由题意，设，，则直线的方程为：，‎ 因为以坐标原点为圆心，半焦距为直径圆恰与直线相切，‎ 故原点到直线的距离为，即两边同时平方得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于中档题。‎ ‎11.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点．若，，则的方程为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．‎ ‎【详解】解：，，‎ 又，‎ 又，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，在轴上．‎ 在△中，，‎ 在△中，由余弦定理可得，‎ 根据，可得，解得，‎ ‎．‎ 所以椭圆的方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．‎ ‎12.已知曲线：，直线与曲线恰有两个交点，则的取值集合为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简曲线的方程，可知直线过定点，分析出临界点，即可求出的范围 ‎【详解】‎ 或 化简得：或 因直线与曲线恰有两个交点，‎ 且直线与直线必有一个交点，‎ 故直线与有且只有一个交点，‎ 因为直线过定点 临界条件为直线刚好过点或 解得 又因直线不过点 故斜率 综上 故选：‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程，关键是化简方程，求出方程的曲线，属于中档题。‎ 二、填空题.‎ ‎13.若直线：与直线：的距离为1，则实数__________．‎ ‎【答案】8或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线平行距离公式进行求解即可．‎ ‎【详解】解：由：得，‎ 直线与直线：的距离为1‎ 则两平行直线的距离，‎ 解得或 故答案为： 或 ‎【点睛】本题主要考查平行直线的距离公式，根据条件进行转化结合平行直线的距离公式是解决本题的关键．‎ ‎14.平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接法求的轨迹方程。‎ ‎【详解】解：设点的坐标为，则，‎ 化简得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，利用向量的数量积的坐标运算，属于基础题。‎ ‎15.过且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线方程为，将代入，可求双曲线的标准方程．‎ ‎【详解】解：与双曲线有相同的渐近线，‎ 设双曲线方程为，‎ 将代入，可得，‎ ‎，‎ 所求双曲线的标准方程是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，设双曲线方程为是关键．‎ ‎16.已知空间向量，，，若共面，则实数______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量共面的条件，设出实数，，使，列出方程组，求出的值即可．‎ ‎【详解】解：向量、、共面，‎ 存在实数，使得，‎ 即，‎ ‎；解得 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目．‎ 三、解答题.‎ ‎17.已知直线：，：．‎ ‎（1）求直线与交点的坐标；‎ ‎（2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程.‎ ‎【答案】（1） （2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接联立直线方程组成方程组，求出交点坐标即可．‎ ‎（2）利用（1）所求点且直线经过原点或直线的斜率为，求出所求直线方程即可．‎ ‎【详解】（1）由题意，联立方程得解得，所以点坐标为 ‎（2）由截距相等可得直线过原点或斜率为 ‎①过原点，斜率为，直线方程为 ‎②斜率为时，直线方程为 综上的一般方程为或 ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，直线的截距相等不可以遗漏过原点的情况，属于基础题。‎ ‎18.若圆的方程为，△中，已知，，点为圆上的动点．‎ ‎（1）求中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）求△面积的最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用相关点法求出点的轨迹方程；‎ ‎（2）首先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出面积的最小值。‎ ‎【详解】解：（1）设，，因为中点，所以，进而可得，‎ 而在圆上，故有 即，‎ ‎∴的轨迹方程为 ‎（2）由，得斜率为，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 则圆心到直线的距离，‎ ‎∴圆上的点到的最近距离为 又∵‎ ‎∴面积最小值为 ‎【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎19.已知为椭圆上一点，分别为关于轴，原点，轴的对称点，‎ ‎（1）求四边形面积的最大值；‎ ‎（2）当四边形最大时，在线段上任取一点，若过的直线与椭圆相交于两点，且中点恰为，求直线斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）8 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意表示出点的坐标，即可用的式子表示四边形面积，‎ 因在椭圆上得，利用基本不等式即可求出面积的最大值。‎ ‎（2）由（1）得，，设点坐标为，利用点差法表示出直线的斜率，即可求出斜率的取值范围。‎ ‎【详解】（1）由题意，分别为关于轴，原点，轴的对称点，‎ 则，，则、，‎ 由在椭圆上得 ‎∵，由基本不等式得 ‎∴，当时取等号 故当，时，四边形取最大值8‎ ‎（2）由（1）得，，则的坐标设为，其中 设，，则有，‎ 相减得 ‎∵为中点，∴，‎ ‎∴上式化为，∴‎ 故 ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值及点差法求中点弦的斜率问题，属中档题 ‎20.已知正方体棱长为2，分别为的中点，若线段上一点满足．‎ ‎（1）确定的位置；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）为中点 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，表示出及，根据则求出参数的值，即可确定的位置；‎ ‎（2）求出平面的法向量，和直线的方向向量，代入向量夹角公式，可得直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎【详解】（1）正方体中有两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系 则有，‎ 设，则 因为，所以，即 ‎，‎ 故为中点．‎ ‎（2）由（1）得，另外 设平面的一个法向量 则，即，取，有，，‎ 此时 ‎∴与平面所成角的正弦值为 ‎【点睛】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，立体几何中存在性问题的求解，其中建立空间坐标系，将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．‎ ‎21.已知三棱锥中，△与△均为等腰直角三角形，且∠，，为上一点，且平面．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）过作三棱锥的截面分别交于，若四边形为平行四边形，求此四边形的面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证只需证平面，即证与平面里两条相交直线垂直即可；‎ ‎（2）可证四边形为矩形，通过计算出与的长度即可求得四边形的面积。‎ ‎【详解】（1）∵∠，∴①‎ ‎∵平面，平面，∴，②‎ 由①②，且得平面，∴‎ ‎（2）等腰直角三角形中，，∴‎ 又∵，平面，∴‎ 等腰△中，∵，∴‎ 又△中，，∴，‎ 而，可得，故 ‎∵四边形为平行四边形，∴‎ ‎∴平面 又平面且平面平面，∴‎ 由得，且有 由平面得，进而 同理可得，且 ‎∴四边形面积为 ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于一般题。‎ ‎22.已知椭圆：的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1） （2）存在；或或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）讨论直线的斜率存在和不存在，当斜率存在时则存在和的两种情况，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理求出斜率，即可求出直线方程。‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线方程为：，‎ 由直线与圆相交所得弦的长度为，‎ 可得，‎ 又，‎ 解方程可得，，，‎ 即有椭圆的方程为；‎ ‎（2）设 ‎①若直线垂直于轴，与椭圆交于，‎ 取，，满足 ‎②直线不垂直于轴时，设方程为，代入椭圆方程得 ‎，‎ ‎①，②‎ 对于，包含两种情况 i）,即，‎ ‎∴，即 代入①②得，消去得 ‎，解得,满足 的方程为或 ii) ，即 ‎∴‎ 代入①②得，消去得 ‎，有，无解 综上的方程为或或 ‎【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎