2017-2018学年福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)

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2017-2018学年福建师大附中高二上学期期末考试数学(理)试题(Word版)

福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷(实验班)‎ 高二理科数学·选修2-1‎ 时间:120分钟 满分:150分 命题:高二理科集备组 ‎ 一、选择题(每小题5分,共65分;在给出的A,B,C,D四个选项中,只有一项符合题目要求)‎ ‎1.向量,若∥,则=( )‎ A.-2 B.‎0 C.1 D.2‎ ‎2.若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列命题中是真命题的是( )‎ ‎①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题;‎ ‎③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题; ④“,则”的否命题.‎ A.①②③④ B.①③④ C.②③④ D.①④‎ ‎4.若,则关于的方程表示的曲线是( ) ‎ A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆 ‎ C. 焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线 ‎5.与圆外切,且与圆外切的动圆圆心P的 轨迹方程是( ) ‎ A. B . C. D. [来源:学 ‎6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若=, =, =,则=(  )‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎7.设是椭圆的两个焦点,是椭圆上的点,且,‎ 则的面积为( )‎ A.4 B‎.6 C. D. ‎ ‎8.正方体中,点在上运动(包括端点),则与所成角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知P为抛物线的动点,点P在轴上的射影为M,点A的坐标是, ‎ 则|PA|+|PM|的最小值是( )‎ A. B‎.10 C. D.8 ‎ ‎10.给出以下命题:‎ ‎①若cos<,>=﹣,则异面直线MN与PQ所成角的余弦值为﹣;‎ ‎②若平面α与β的法向量分别是与,则平面α⊥β;‎ ‎③已知A、B、C三点不共线,点O为平面ABC外任意一点,若点M满足,则点M∈平面ABC;‎ ‎④若向量、、是空间的一个基底,则向量、、也是空间的一个基底;‎ 则其中正确的命题个数是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎11.过双曲线的左焦点F(-c,0)作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点,若是若E是线段FP中点,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. +‎1 C. D. ‎ ‎12.如图,正方体中,为底面上的动点,于,且,则点的轨迹是(  ) ‎ A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 ‎13.在等腰梯形中, ,且,其中,以为焦点且过点的双曲线的离心率为,以为焦点且过点的椭圆的离心率为,若对任意,不等式恒成立,则的最大值是( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ 二、 填空题(每小题5分,共25分)‎ ‎14.直线l与双曲线x2﹣4y2=4相交于A、B两点,若点P(4,1)为线段AB的中点,则直线l的方程是   .‎ ‎15. 已知, ,若是的必要非充分条件,则的取值范围为__________.‎ ‎16.某桥的桥洞呈抛物线形,桥下水面宽‎16m,当水面上涨‎2m时,水面宽变为‎12m,此时桥洞顶 部距水面高度为_________米.‎ ‎17.在直三棱柱A1B‎1C1﹣ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,‎ D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围 为____________.‎ ‎18.已知椭圆()的离心率为,长轴上的等分点从左到右依次为点,,,,过(,,,)点作斜率为()的直线(,,,),依次交椭圆上半部分于点,,,,,交椭圆下半部分于点,,,,,则条直线,,,的斜率乘积为 .‎ 三、解答题(要求写出过程,共60分)‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ 已知命题p:方程表示焦点在y轴的椭圆,命题q:关于x的方程没有实数根。若,求实数m的取值范围.‎ 20. ‎(本小题满分10分)‎ 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.‎ ‎(1)求证:PA∥平面EDB; (2)求二面角F﹣DE﹣B的余弦值.‎ 21. ‎(本小题满分10分)‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且.‎ ‎(1)求的值; (2)若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,PA⊥底面ABCD,AB=AC=PA=2,E、F分别为BC、AD的中点,点M在线段PD上.‎ ‎(Ⅰ)求证:EF⊥平面PAC;‎ ‎(Ⅱ)设,若直线ME与平面PBC所成的角θ的正弦值为,求λ的值.‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 已知椭圆的上顶点为A,点,是上且不在轴上的点.若的离心率为,ΔPAD的最大面积等于.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(2)直线与椭圆E交于不同的两点B,C,若存在点M(m,0),使得 ‎|CM|=|BM|成立,求实数m的取值范围.‎ ‎24.(本小题满分12分)‎ 已知,,点满足,记点的轨迹为.‎ ‎(1)求轨迹的方程;‎ ‎(2)若直线过点且与轨迹交于、两点.‎ ‎(i)无论直线绕点怎样转动,在轴上总存在定点,使恒成立,求实数的值.‎ ‎(ii)在(i)的条件下,求面积的最小值.‎ 福建师大附中2017-2018学年上学期期末考试卷 高二理科数学·选修2-1参考答案 一、1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A 11.A 12.A 13. B 二、14. x﹣y﹣3=0 15. 或 16.; ‎ ‎17. 18. ‎ ‎19.解: p: ...................... 3分 ‎ q: ...................... 6分 ‎, p假q真 ..................... 9分 ‎ 所以m的取值范围是 ........ .... 12分 ‎20. 【解答】证明:(Ⅰ)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,如图建立空间直角坐标系,‎ 设DC=1.…..…‎ 连结AC,AC交BD于点G,连结EG.‎ 依题意得A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,).‎ ‎∵底面ABCD是正方形,∴点G是此正方形的中心,‎ 故点G(),且=(1,0,﹣1),=().‎ ‎∴,即PA∥EG,而EG⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,‎ ‎∴PA∥平面EDB. …‎ 解:(Ⅱ)B(1,1,0),=(1,1,﹣1),‎ 又=(0,),故•=0,∴PB⊥DE.‎ 由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,∴PB⊥平面EFD.…‎ ‎∴平面EFD的一个法向量为=(1,1,﹣1).‎ ‎=(0,),=(1,1,0),‎ 不妨设平面DEB的法向量为=(x,y,z),‎ 则,取x=1,得=(1,﹣1,1),…‎ 设二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ,‎ cosθ==,‎ ‎∴二面角F﹣DE﹣B的余弦值大小为. …‎ ‎21.(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)根据抛物线焦半径公式及点在上列方程组可求得的值;(2)设, ,设直线的方程为,联立方程,消得, ,根据韦达定理可得.‎ 试题解析:(1)由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得.‎ ‎(2)由(1)得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以.当直线不垂直于轴时, 设,‎ 则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为.联立方程,消得, ,‎ 所以,故,‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为.‎ ‎22. 解:(Ⅰ)证明:在平行四边形ABCD中,因为AB=AC,∠ABC=45°,‎ 所以∠ACB=45°,故AB⊥AC. …‎ 由E、F分别为BC、AD的中点,得EF∥AB,所以EF⊥AC…‎ 因为PA⊥底面ABCD,EF⊂底面ABCD,所以PA⊥EF. …‎ 又因为PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,…‎ 所以EF⊥平面PAC. …‎ ‎(向量法参照给分,建立空间直角坐标系时没有证明AB⊥AC扣1分)‎ ‎(Ⅱ)解:因为PA⊥底面ABCD,AB⊥AC,所以AP,AB,AC两两垂直,分别以AB,AC,AP所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz.‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),D(﹣2,2,0),E(1,1,0).‎ 所以,,…‎ 由已知,,故,‎ 所以M(﹣2λ,2λ,2﹣2λ),,…‎ 设平面PBC的一个法向量为=(x,y,z),‎ 由,得 令x=1,得=(1,1,1).…‎ 所以 ‎=,…‎ 化简得4λ2+4λ﹣3=0,…‎ 故或(舍)…‎ ‎23.解:(Ⅰ)由题意,可得的最大面积为,即.……①‎ ‎…………1分 又……② …………2分 ‎……③ …………3分 联立①②③,解得,,‎ 故的方程为:. …………4分 ‎ (Ⅱ)设C(x1,y1),B(x2,y2),由 得 .......................6分 则 .......................7分 ‎ 设CD的中点为N(),|CM|=|BM|,∴MN⊥BC ...........9分 ‎,韦达定理代入,化简得.........11分 解得 ‎ 当m=0时,k=0也满足题意。‎ 综上所述,m的取值范围是 ...................... 12分 ‎24.【答案】(1)(2)(i)(ii)9‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用双曲线的定义及其标准方程即可得出;(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P,Q,与双曲线方程联立消y得,利用根与系数的关系、判别式解出即可得出.(i)利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出;(ii)利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 试题解析:(1)由知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由,故轨迹E的方程为 ‎ ‎(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为,与双曲线方程联立消y得,‎ ‎ 解得k2 >3 ‎ ‎(i)‎ ‎,[]‎ 故得对任意的恒成立,‎ ‎ ∴当m =-1时,MP⊥MQ.‎ 当直线l的斜率不存在时,由知结论也成立,‎ 综上,当m =-1时,MP⊥MQ. ‎ ‎(ii)由(i)知,,当直线l的斜率存在时,‎ ‎, M点到直线PQ的距离为,则 ‎ ‎∴ ‎ 令,则,因为 所以 ‎ 当直线l的斜率不存在时, ‎ 综上可知,故的最小值为9. ‎
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