数学理卷·2017届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测（一）（2017

数学理卷·2017届辽宁省沈阳市高三上学期教学质量监测（一）（2017

‎2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知平面向量，，若，则实数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.命题的否定为（ ）‎ A．， B．， ‎ C.， D．，‎ ‎5.已知直线和圆，若直线与圆相切，则 （ ）‎ A．0 B． C. 或0 D．或0‎ ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.将这4名同学从左至右随机地排成一排，则“与相邻且与之间恰好有1名同学”的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于 （ ）‎ ‎ A．21 B．22 C.23 D．24‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．2 C. D．‎ ‎10.已知是球表面上的不同点，平面，，，，若球的表面积为，则（ ）‎ A． B．1 C. D．‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点与双曲线的焦点不重合，点关于的对称点分别为，线段的中点在双曲线的右支上，若，则 ‎ ‎ （ ）‎ A．3 B．4 C.5 D．6‎ ‎12.已知函数，则函数的零点个数是（ ）‎ A．4 B．5 C. 6 D．7‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题纸上）‎ ‎13. 二项式的展开式中的常数项为 ．‎ ‎14. 若实数满足不等式组，则目标函数的最大值为 ．‎ ‎15. 已知的三个内角的对边分别为，面积为，且满足，，则的最大值为 ．‎ ‎16. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下列联表：（单位：人）.‎ 报考“经济类”‎ 不报“经济类”‎ 合计 男 ‎6‎ ‎24‎ ‎30‎ 女 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量，求随机变量的概率分布及数学期望.‎ 附：参考数据：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎（参考公式：）‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小. ‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的左焦点为，.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，求证：‎ 为定值；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若，证明.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线，圆，(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求直线与圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与圆的交点为，求的面积.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，解关于的不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）‎ 数学（理科）参考答案与评分标准 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1-5: BCCDD 6-10: ABCCB 11、12：AA 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 1 15. 8 16.‎ 三、解答题 ‎17. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题设，， .................2分 即，解得 .................4分 又∵，∴，可以求得. .................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 .................8分 . .................12分 ‎（分别求和每步给2分）‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ） .................2分 ‎∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关. .................4分 ‎（Ⅱ）估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为 .............6分 的可能取值为，由题意，得 ‎ ‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ .................10分 ‎∴随机变量的数学期望. .................12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）证明:因为，且为的中点，所以， .................2分 又∵侧面底面,交线为,且平面， ‎ ‎∴平面. .................4分 ‎（Ⅱ）如图,以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ‎ 由已知可得，，，，‎ ‎∴，， .................6分 设平面的一个法向量为，则有 ‎ 令，得，‎ ‎∴. .................8分 设平面的法向量为，则有 令，则，，∴ .................10分 ‎∴‎ ‎∴所求二面角的大小为. .................12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 解:（Ⅰ）由题意得，，解得， .................1分 ‎∴椭圆方程为. .................3分 ‎（Ⅱ）由已知，直线：，：，且与圆相切，‎ ‎∴，化简得 同理， .................5分 ‎∴是方程的两个不相等的实数根 ‎∴，， .................7分 ‎∵点在椭圆C上，所以，即 ‎∴． .................8分 ‎（Ⅲ）是定值18．‎ 设，联立 解得 ‎∴‎ 同理，得． .................10分 由，∴‎ ‎ ‎ 综上：． .................12分 ‎21. (本小题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）时，. .................1分 ‎ 当时，；当时，. .................2分 ‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ ‎ ，∴ .................3分 ‎（Ⅱ）方法一：. 由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立. 故 从而当，即时，在区间上，，单调递增，，即，符合题意. .................5分 又由，可得.‎ 从而当时，‎ 在区间上，，单调递减，，‎ 即，不合题意. .................7分 综上得实数的取值范围为. .................8分 方法二：，令，则.‎ ‎1）当时，在上，，递增，，即 在为增函数，，时满足条件； .................5分 ‎2）当时，令，解得，在当上， 单调递减，时，有，即，‎ 在区间为减函数，，不合题意. .................7分 综上得实数的取值范围为 ‎. .................8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，，，即 ‎ 欲证不等式，只需证. .................10分 ‎ 设，则 时，恒成立，且，恒成立.‎ 所以原不等式得证. .................12分 ‎22. (本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）将的参数方程化为普通方程为， .................1分 ‎，∴直线的极坐标方程为（R）， .................3分 圆的极坐标方程为. .................5分（Ⅱ）将代入，得 ‎ ‎ 解得=，=，||=－=， .................8分 ‎ 因为圆的半径为1，则的面积=. .................10分（用直角坐标求解酌情给分）‎ ‎23. (本小题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）当时，，即， .................1分 原不等式等价于， .................3分 解得，不等式的解集为. .................5分 ‎（Ⅱ），原问题等价于， .................6分 由三角绝对值不等式的性质，得 .................8分 原问题等价于，又，，解得. .................10分