【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》：第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线

【数学精品】2013版《6年高考4年模拟》：第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线

【数学精品】2013 版《6 年高考 4 年模拟》 第九章 解析几何 第二节 圆锥曲线 第一部分 六年高考荟萃 2012 年高考题 1. ．（2012 新课标理）等轴双曲线 的中心在原点,焦点在 轴上, 与抛物线 的 准线交于 两点, ;则 的实轴长为 （　　） A． B． C． D． 【 解 析 】 选 设 交 的 准 线 于 得 : 2. ．（2012 新课标理）设 是椭圆 的左、右焦点, 为直线 上一点, 是底角为 的等腰三角形,则 的离心率为 （　　） A． B． C． D． 【 解 析 】 选 是 底 角 为 的 等 腰 三 角 形 3. ．（2012 浙江理）如图,F1,F2 分别是双曲线 C: (a,b>0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F 1B 与 C 的两 条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ . 1 2F F 3 2 ax = 2 1F PF 30 2 1F PF 30 C x C xy 162 = ,A B 4 3AB = C 2 2 2 4 8 C 2 2 2: ( 0)C x y a a− = > xy 162 = : 4l x = − ( 4,2 3)A − ( 4, 2 3)B − − 2 2 2( 4) (2 3) 4 2 2 4a a a= − − = ⇔ = ⇔ = 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P ∆ E 1 2 2 3 3 4 4 5 C ∆ 2 2 1 3 32( ) 22 4 cPF F F a c c e a ⇒ = = − = ⇔ = = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 3 3 6 2 2 3 b c b c 直线 PQ 为:y= (x+c),两条渐近线为:y= x.由 ,得:Q( , );由 , 得:P( , ).∴直线 MN 为:y- =﹣ (x- ), 令 y=0 得:xM= .又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM= ,解之得: ,即 e= . 4. ．（2012 四川理）已知抛物线关于 轴对称,它的顶点在坐标原点 ,并且经过点 . 若点 到该抛物线焦点的距离为 ,则 （　　） A． B． C． D． [答案]B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为( ),准线方程为 x= , [点 评]本题旨在考查抛物线 的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为 点 M 到准线的距离). 5. ．（2012 上海春）已知椭圆 则（　　） A． 与 顶点相同. B． 与 长轴长相同. C． 与 短轴长相同. D． 与 焦距相等. D 6. ． （ 2012 山 东 理 ） 已 知 椭 圆 的 离 心 学 率 为 . 双 曲 线 的渐近线与椭圆 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 的方程为 （　　） b c b a ( )by x cc by xa     ＝ ＋ ＝ ac c a− bc c a− ( )by x cc by xa     ＝ ＋ ＝- ac c a − + bc c a+ bc c a+ b c ac c a − + 3 2 2 c c a− 3 2 2 c c a− 2 2 3 2a ce a = = 6 2 x O 0(2, )M y M 3 | |OM = 2 2 2 3 4 2 5 0,2 p 2 p− 32)22(2|| 22,2 22,1 32 p2,32 p-2 . 22 0 22 0 2 =+=∴ ∴ == =+=+∴ ∴ OM M yp y M M ）（点 解得： ）（且）（ 线的距离到焦点的距离等于到准 在抛物线上， 2 2 2 2 1 2: 1, : 1,12 4 16 8 x y x yC C+ = + = 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 2 2 1x y− = C C A． B． C． D． 【解析】因为椭圆的离心率为 ,所以 , , ,所 以 , 即 , 双 曲 线 的 渐 近 线 为 , 代 入 椭 圆 得 , 即 ,所以 , , ,则第一象限的交 点坐标为 ,所以四边形的面积为 ,所以 ,所 以椭圆方程为 ,选 D. 7. ．（2012 湖南理）已知双曲线 C : - =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 （　　） A． - =1 B． - =1 C． - =1 D． - =1 【答案】A 【解析】设双曲线 C : - =1 的半焦距为 ,则 . 又 C 的渐近线为 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, ,即 . 又 , , C 的方程为 - =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数 形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型. 8. ．（2012 福建理）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合,则该 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （　　） A． B． C．3 D．5 【 答 案 】 A 【 解 析 】 ∵ 抛 物 线 的 焦 点 是 ,∴ 双 曲 线 的 半 焦 距 , 2 2 18 2 x y+ = 2 2 112 6 x y+ = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 120 5 x y+ = 2 3 2 3== a ce 22 4 3 ac = 2222 4 3 baac −== 22 4 1 ab = 22 4ba = xy ±= 12 2 2 2 =+ b x a x 14 5 4 2 2 2 2 2 2 ==+ b x b x b x bxbx 5 2,5 4 22 ±== 22 5 4 by = by 5 2±= ) 5 2, 5 2( bb 165 16 5 2 5 24 2 ==×× bbb 52 =b 1520 22 =+ yx 2 2 x a 2 2 y b 2 20 x 2 5 y 2 5 x 2 20 y 2 80 x 2 20 y 2 20 x 2 80 y 2 2 x a 2 2 y b c 2 10, 5c c= =  by xa = ± 1 2b a ∴ =  2a b= 2 2 2c a b= + 2 5, 5a b∴ = = ∴ 2 20 x 2 5 y 2 2 2 14 x y b − = 2 12y x= 5 4 2 (3,0)F 3c = ,故双曲线的渐近线的方程为 【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系. 考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 9. ． （ 2012 大 纲 理 ） 已 知 为 双 曲 线 的 左 右 焦 点 , 点 在 上 , ,则 （　　） A． B． C． D． 答案 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首 先运用定义 得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【 解 析 】 解 : 由 题 意 可 知 , , 设 , 则 , 故 , , 利 用 余 弦 定 理 可 得 . 10.．（2012 大纲理）椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 ,则该椭圆的方程为 （　　） A． B． C． D． 答案 C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然 后借助于焦距和准线求解参数 ,从而得到椭圆的方程. 【解析】因为 ,由一条准线方程为 可得该椭圆的焦点在 轴上县 ,所以 .故选答案 C 11.．（2012 安徽理）过抛物线 的 焦点 的直线交抛物线于 两点,点 是原点, 若 ; 则 的面积为 （　　） A． B． C． D． 2 24 3 5, 4b b a∴ + = ⇒ = = 5 2y x= ± 1 2,F F 2 2: 2C x y− = P C 1 2| | 2 | |PF PF= 1 2cos F PF∠ = 1 4 3 5 3 4 4 5 2 , 2a b c= = ∴ = 1 2| | 2 ,| |PF x PF x= = 1 2| | | | 2 2 2PF PF x a− = = = 1 2| | 4 2,| | 2 2PF PF= = 1 2 4F F = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (4 2) (2 2) 4 3cos 2 42 2 2 4 2 PF PF F FF PF PF PF + − + −∠ = = =⋅ × × 4x = − 2 2 116 12 x y+ = 2 2 116 8 x y+ = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 112 4 x y+ = , ,a b c 2 4 2c c= ⇔ = 4x = − x 2 24 4 8a a cc = ⇔ = = 2 2 2 8 4 4b a c= − = − = 2 4y x= F ,A B O 3AF = AOB∆ 2 2 2 3 2 2 2 2 【解析】选 设 及 ; 则 点 到 准 线 的 距 离 为 得 : 又 的面积为 12.．（2012 天津理）己知抛物线的参数方程为 ( 为参数),其中 ,焦点为 ,准 线为 ,过抛物线上一点 作的垂线,垂足为 ,若 ,点 的横坐标是 3,则 _______. 【答案】2 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质. 【解析】∵ 可得抛物线的标准方程为 ,∴焦点 ,∵点 的 横坐标是 3,则 ,所以点 , 由抛物线得几何性质得 ,∵ ,∴ ,解得 . 13. ． （ 2012 重 庆 理 ） 过 抛 物 线 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 两 点 , 若 则 =_____________________. 【答案】 【 解 析 】 设 , 则 有 , 又 , 所 以 . 【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点 弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决 问题,属于难题. 14.．（2012 四川理）椭圆 的左焦点为 ,直线 与椭圆相交 于点 、 ,当 的周长最大时, 的面积是____________. C (0 )AFx θ θ π∠ = < < BF m= A : 1l x = − 3 13 2 3cos cos 3 θ θ= + ⇔ = 2 32 cos( ) 1 cos 2m m mπ θ θ= + − ⇔ = =+ AOB∆ 1 1 3 2 2 3 2sin 1 (3 )2 2 2 3 2S OF AB θ= × × × = × × + × = 2=2 , =2 , x pt y pt    t >0p F l M E | |=| |EF MF M =p 2=2 , =2 , x pt y pt    2 =2y px ( >0)p ( ,0)2 pF M (3, 6 )M p± ( , 6 )2 pE p− ± 2 2 2=( ) +(0 6 )2 2 p pEF p−  = +32 pMF =EF MF 2 21+6 = +3 +94p p p p =2p 2 2y x= F ,A B 25 , ,12AB AF BF= < AF 5 6 | | ,| |AF m BF n= = 1 1 1 m n p + = 25| | 12AB = 25 25 5 5, ,12 24 6 4m n mn m n+ = = ⇒ = = 2 2 14 3 x y+ = F x m= A B FAB∆ FAB∆ [答案] [解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又 [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 15.．（2012 上海春）抛物线 的焦点坐标为_______. 16.．（2012 陕西理）右图是抛物线形拱桥,当水面在 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位 下降 1 米后,水面宽____米. 解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为 ,当 时, ,所以水面宽 米. 17.．（2012 辽宁理）已知 P,Q 为抛物线 上两点,点 P,Q 的横坐标分 别为 4, 2,过 P、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标 为__________. 【答案】 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2. 由 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, 2,所以过 点 P,Q 的抛物线的切线方程分别为 联立方程组解得 故点 A 的纵坐标为 4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属 于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切 线方程的关键. 18.．（2012 江西理）椭圆 (a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数 与方程,转化与化归思想. 2 2x y= − − − 2 212 , , ,2x y y x y x′= = ∴ =则 − 4 8, 2 2,y x y x= − = − − 1, 4,x y= = − − 3 2 522 =− ca 3 2,2 ==∴=∴ a cec 2 8y x= (2,0) l 2 2x y=- 3y =- 6x = ± 2 6 2 2 2 2 1x y a b + = 5 5 x y 利 用 椭 圆 及 等 比 数 列 的 性 质 解 题 . 由 椭 圆 的 性 质 可 知 : , , . 又 已 知 , , 成等比数列, 故 , 即 , 则 . 故 .即椭圆的离心率为 . 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关 的方程,然后化为有关 的 齐次式方程,进而转化为只含有离心率 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭 圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 19.．（2012 江苏）在平面直角坐标系 中,若双曲线 的离心率为 ,则 的值为____. 【答案】2. 【考点】双曲线的性质. 【解析】由 得 . ∴ ,即 ,解得 . Main Document Only.．（2012 湖北理）如图,双曲线 的两顶点为 , , 虚轴两端点为 , ,两焦点为 , . 若以 为直径的圆内切于菱形 ,切点分 别为 . 则(Ⅰ)双曲线的离心率 ________;(Ⅱ)菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 ________. 考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计 算. 解析:(Ⅰ)由于以 为直径的圆内切于菱形 ,因此点 到直线 的距离为 ,又 由于虚轴两端点为 , ,因此 的长为 ,那么在 中,由三角形的面积公式知, , 又 由 双 曲 线 中 存 在 关 系 联 立 可 得 出 ,根据 解出 (Ⅱ) 设 , 很 显 然 知 道 , 因 此 . 在 2 2 2 2 1 ( , 0)x y a ba b − = > 1A 2A 1B 2B 1F 2F 1 2A A 1 1 2 2F B F B , , ,A B C D e = 1 1 2 2F B F B 1S ABCD 2S 1 2 S S = 1 2A A 1 1 2 2F B F B O 22 BF a 1B 2B 2OB b 22OBF∆ 2 22 )(2 1||2 1 2 1 cbaFBabc +== 222 bac += 222 )1( ee =− ),1( +∞∈e ;2 15 +=e θ=∠ 22OBF θ=∠=∠ 222 AOBOAF )2sin(2 2 2 θaS = 1AF a c= − 1 2 2F F c= 1F B a c= + 1AF 1 2F F 1F B 2( )( ) (2 )a c a c c− + = 2 2 24a c c− = 2 25a c= 5 5 ce a = = 5 5 ,a c ,a c e xOy 2 2 2 14 x y m m − =+ 5 m 2 2 2 14 x y m m − =+ 2 2= = 4 = 4a m b m c m m+ + +， ， 2 4= = = 5c m me a m + + 2 4 4=0m m− + =2m A1　 　 A2 y B2 B1 A O B C D F1 　 　 　 　 　 　 　 　 F2 　 x 中求得 故 ; 菱形 的面积 ,再根据第一问中求得的 值可以解出 . 20.．（2012 北京理）在直角坐标系 中,直线 过抛物线 的焦点 F,且与该抛物线 相较于 A、B 两点,其中点 A 在 轴上方,若直线 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为 ________. 【答案】 【解析】由 ,可求得焦点坐标为 ,因为倾斜角为 ,所以直线的 斜率为 ,利用点斜式,直线的方程为 ,将直线和曲线方程 联 立 , 因 此 . 【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题 把握住抛物线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键. 当然还要知道三角形面积公式. 21.．（2012 天津理）设椭圆 的左、右顶点分别为 ,点 在椭圆上 且异于 两点, 为坐标原点.(Ⅰ)若直线 与 的斜率之积为 ,求椭圆的离心 率;(Ⅱ)若 ,证明直线 的斜率 满足 . 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的 距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方 程,考查运算求 解能力、综合分析和解决问题的能力. 解 答 策 略 一 ： （ 1 ） 取 ， ； 则 （2）设 ；则线段 的中点 22OBF∆ ,cos,sin 2222 cb c cb b + = + = θθ 22 2 2 2 4cossin4 cb bcaaS +== θθ 1 1 2 2F B F B bcS 21 = e 2 52 2 1 += S S (0, )P b ( ,0), ( ,0)A a B a− 2 21( ) 22AP BP b bk k a ba a × = × − = − ⇔ = 2 2 2 2 1 2 2 2 a be ea −= = ⇔ = ( cos , sin )(0 2 )P a bθ θ θ π≤ < OP ( cos , sin )2 2 a bQ θ θ | |=| |AP OA 1AQAQ OP k k⇔ ⊥ ⇔ × = − xoy l 2 4y x= x l 3 2 4y x= (1,0)F 60° tan 60 3k = ° = 3 3y x= − 2 3 3 1 2 3(3,2 3), ( , )3 34 y x A B y x  = − ⇒ −  = 1 1 1 2 3 32 2OAF AS OF y∆ = × × = × × = 2 2 2 2+ =1x y a b ( > >0)a b ,A B P ,A B O AP BP 1 2 − | |=| |AP OA OP k | |> 3k 解答策略二 (1)设点 ,由题意有 ① 方 法 二 : 依 题 意 , 直 线 的 方 程 为 , 可 设 点 , 由 点 在 椭 圆 上 , 有 ,因为 ,所以 即 ③ 由 , 得 整 理 得 , 于 是 ,代入③得 . 22.．（2012 新课标理）设抛物线 的焦点为 ,准线为 , ,已知以 为圆心, 为半径的圆 交 于 两点;(1)若 , 的面积为 sin sin cos 22 cosAQ AQ AQ bk b ak aka a θ θ θθ= ⇔ − =+ 2 2 2 2 32 1 33AQ AQ AQ AQak b a k a k k k⇒ ≤ + < + ⇔ < ⇔ > 0 0( , )P x y 2 2 0 0 2 2+ =1x y a b OP y kx= 0 0( , )P x kx P 2 2 2 0 0 2 2 1x k x a b + = 00, 0a b kx> > ≠ 2 2 2 0 0 2 2 1x k x a b + = 2 2 2 0(1 )k x a+ < | | | |, ( ,0)AP OA A a= − 2 2 2 2 0 0( )x a k x a+ + = 2 2 0 0(1 ) 2 0k x ax+ + = 0 2 2 1 ax k −= + 2 2 2 2 2 4(1 ) 3 | | 31 ak a k kk + × < ⇒ > ⇒ >+ 2: 2 ( 0)C x py p= > F l A C∈ F FA F l ,B D 090=∠BFD ABD∆ ;求 的值及圆 的方程;(2)若 三点在同一直线 上,直线 与 平行,且 与 只有一个公共点,求坐标原点到 距离的比值. 【解析】(1)由对称性知: 是等腰直角 ,斜边 点 到准线 的距离 圆 的方程为 (2)由对称性设 ,则 点 关于点 对称得: 得: ,直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 . 23.．（2012 浙江理）如图,椭圆 C: (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距 离为 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被 直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由题: ; (1) [来源:Zxxk.Com] 左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: . (2) 由(1) (2)可解得: . 24 p F , ,A B F m n m n C ,m n BFD∆ ∆ 2BD p= A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ = F 2 2( 1) 8x y+ − = 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p = 2 2 2 2+ 1x y a b = 1 2 10 ∆ 1 2 ce a = = 2 2(2 ) 1d c= + + = 10 2 2 24 3 1a b c= = =， ， ∴所求椭圆 C 的方程为: . (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. ∵A,B 在椭圆上, ∴ . 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ (m≠0), 代入椭圆: . 显然 . ∴﹣ 12 12 A Bx x+ A By y+ 2 3 3 m − 1 ABk+ A Bx x− 1 ABk+ 2( ) 4A B A Bx x x x+ − 39 6 212 m− 8 2 2 4 13 13 m md − −= = ∆ 1 2 3 6 2 2(4 ) (12 )m m− − 12 12 2 2( ) (4 ) (12 )u m m m= − − 2( ) 4( 4)( 2 6) 4( 4)( 1 7)( 1 7)u m m m m m m m′ = − − − − = − − − − − + 1 7− ∆ 3 2 2 7 2 0x y+ + − = 2 2 + 14 3 x y = 3 2 2 7 2 0x y+ + − = 21, FF 1 2,OF OF 21, BB 21BAB 1B l 22 QBPB ⊥ l 解:设所求椭圆的标准方程为 ,右焦点为 . 因 是直角三角形,又 ,故 为直角,因此 ,得 . 结合 得 ,故 ,所以离心率 . 在 中, ,故 由题设条件 ,得 ,从而 . 因此所求椭圆的标准方程为: (2) 由(1) 知 , 由题意知直线 的倾斜 角不为 0, 故可设直线 的方程为: ,代入椭 圆方程得 , 设 ,则 是上面方程的两根,因此 , 又 ,所以 由 ,得 ,即 ,解得 , 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: 和 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )2 ,0F c 1 2AB B 1 2AB AB= 1 2B AB∠ 2OA OB= 2 cb = 2 2 2c a b= − 2 2 24b a b= − 2 2 2 25 , 4a b c b= = 2 55 ce a = = 1 2Rt AB B 1 2OA B B⊥ 1 2 2 1 2 2 1 2 2AB B cS B B OA OB OA b b= = = =     1 2 4AB BS =  2 4b = 2 25 20a b= = 2 2 120 4 x y+ = 1( 2,0), (2,0)B B− l l 2x my= − ( )2 25 4 16 0m y my+ − − = ( ) ( )1 2 2 2, , ,P x y Q x y 1 2,y y 1 2 2 4 5 my y m + = + 1 2 2 16 5y y m = − + ( ) ( )2 1 1 2 2 22, , 2,B P x y B Q x y= − = −  ( )( )2 2 1 2 1 22 2B P B Q x x y y= − − +   ( )( )1 2 1 24 4my my y y= − − + ( ) ( )2 1 2 1 21 4 16m y y m y y= + − + + ( )2 2 2 2 16 1 16 165 5 m m m m + = − − ++ + 2 2 16 64 5 m m −= − + 2 1PB QB⊥ 2 2 0B P B Q =   216 64 0m − = 2m = ± 2 2 0x y+ + = 2 2 0x y− + = 25. ． （ 2012 四 川 理 ） 如 图 , 动 点 到 两 定 点 、 构 成 , 且 ,设动点 的轨迹为 . (Ⅰ)求轨迹 的方程;(Ⅱ)设直线 与 轴交于点 ,与轨迹 相交于点 ,且 ,求 的取值范围. [解析](1)设 M 的坐标为(x,y),显然有 x>0, . 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有 tan∠MBA= ,即 化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3) 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x2-y2-3=0(x>1) (II) 由 方 程 消 去 y, 可 得 .(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ )内,设 所以 解得,m>1,且 m 2 设 Q、R 的坐标分别为 ,由 有 [来源:学&科&网] 所以 由 m>1,且 m 2,有 M ( 1,0)A − (2,0)B MAB∆ 2MBA MAB∠ = ∠ M C C 2y x m= − + y P C Q R、 | | | |PQ PR< | | | | PR PQ 0≠y MAB MAB ∠− ∠ 2tan1 tan2 2)1 ||(1 1 ||2 2 || +− +=−− x y x y x y    =−− +−= 033 2 22 yx mxy 034 22 =++− mmxx ∞ 34)( 22 ++−= mmxxxf        >+−−=∆ >++−= >−− 0)3(4)4( 0341)1( 12 4 22 22 mm mmf m ≠ ),(),,( 00 RR yxyx PRPQ < )1(32,)1(32 2 0 2 −−=−+= mmxmmxR )11(32 41 )11(32 )11(32 )1(32 )1(32 22 2 2 2 mm m mm mm x x PQ PR Q R −− +−= −− −+ = −− −+== ≠ y xBA O M 所以 的取值范围是 [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力, 考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性. 26.．（2012 上海理）在平面直角 坐标系 中,已知双曲线 .(1)过 的左 顶点引 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 于 P、Q 两点,若 l 与圆 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 . 若 M、N 分别是 、 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值. [解](1)双曲线 ,左顶点 ,渐近线方程: . 过点 A 与渐近线 平行的直线方程为 ,即 . 解方程组 ,得 所以所求三角形的面积 1 为 (2)设直线 PQ 的方程是 .因直线与已知圆相切, 故 ,即 由 ,得 . 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 . 又 ,所以 , 故 OP⊥OQ .7 m 1132 41,347 )11(32 411 22 ≠ −− +−+< −− +−< ）（ 且 m PQ PR ( ) )347,7(7,1 + xOy 12: 22 1 =− yxC 1C 1C 1C 122 =+ yx 14: 22 2 =+ yxC 1C 2C 1: 2 1 2 1 2 =− yC x )0,( 2 2−A xy 2±= xy 2= )(2 2 2+= xy 12 += xy    += −= 12 2 xy xy    = −= 2 1 4 2 y x 8 2 2 1 |||| == yOAS bxy += 12 || =b 22 =b    =− += 12 22 yx bxy 012 22 =−−− bbxx    −−= =+ 1 2 2 21 21 bxx bxx ))(( 2121 bxbxyy ++= 2 21212121 )(2 bxxbxxyyxxOQOP +++=+=⋅ 022)1(2 222 =−=+⋅+−−= bbbbb (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|= ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 (显然 ),则直线 OM 的方程为 . 由 ,得 ,所以 . 同理 设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 , 所以 ,即 d= . 综上,O 到直线 MN 的距离是定值 27.．（2012 上海春）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 (1)求与双曲线 有相同的焦点,且过点 的双曲线 的标准方程;(2)直线 分别交双 曲线 的两条渐近线于 两点.当 时,求实数 的值. 解 (1) 双 曲 线 的 焦 点 坐 标 为 , 设 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 , 则 , 所 以 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 . (2)双曲线 的渐近线方程为 ,设 由 ,由 又因为 ,而 所以 . 2 2 3 3 kxy = 2 2|| >k xy k 1−=    =+ = 14 22 yx kxy    = = + + 2 2 2 4 2 4 12 k k k y x 2 2 4 12|| k kON + += 12 12 2 2|| − += k kOM 22222 ||||)|||(| ONOMdONOM =+ 31 33 || 1 || 11 2 2 222 ==+= + + k k ONOMd 3 3 2 2 1 : 1.4 yC x − = 1C (4, 3)P 2C :l y x m= + 1C A B、 3OA OB =   m 1C ( 5,0),( 5,0)− 2C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 2 2 2 2 5 4 16 3 1 1 a b a ba b  + =  = ⇒  − =  = 2C 2 2 14 x y− = 1C 2y x= ± 1 1 2 2( ,2 ), ( , 2 )A x x B x x− 2 2 2 204 3 2 0 yx x mx m y x m  − = ⇒ − − =  = + 216 0 0m m∆ = > ⇒ ≠ 2 1 2 3 mx x = − 1 2 1 2 1 22 ( 2 ) 3OA OB x x x x x x⋅ = + × − = −  2 3 3m m= ⇒ = ± 28.．（2012 陕西理）已知椭圆 ,椭圆 以 的长轴为短轴,且与 有相同 的离心率.(1) 求椭圆 的方程;(2) 设 O 为坐标原点, 点 A,B 分别在椭圆 和 上, ,求直线 的方程. 解析:(1)由已知可设椭圆 的方程为 其离心率为 ,故 ,则 故椭圆的方程为 (2)解法一 两点的坐标分别记为 由 及(1)知, 三点共线且点 , 不在 轴上, 因此可以设直线 的方程为 将 代入 中,得 ,所以 将 代入 中,则 ,所以 由 ,得 ,即 解得 ,故直线 的方程为 或 解法二 两点的坐标分别记为 由 及(1)知, 三点共线且点 , 不在 轴上, 因此可以设直线 的方程为 将 代入 中,得 ,所以 由 ,得 , 2 2 1 : 14 xC y+ = 2C 1C 1C 2C 1C 2C 2OB OA=  AB 2C 2 2 2 1 ( 2)4 y x aa + = > 3 2 2 4 3 2 a a − = 4a = 2 2 116 4 y x+ = ,A B ( , ), ( , )A A B Bx y x y 2OB OA=  , ,O A B A B y AB y kx= y kx= 2 2 14 x y+ = 2 2(1 4 ) 4k x+ = 2 2 4 1 4Ax k = + y kx= 2 2 116 4 y x+ = 2 2(4 ) 16k x+ = 2 2 16 4Bx k = + 2OB OA=  2 24B Ax x= 2 2 16 16 4 1 4k k =+ + 1k = ± AB y x= y x= − ,A B ( , ), ( , )A A B Bx y x y 2OB OA=  , ,O A B A B y AB y kx= y kx= 2 2 14 x y+ = 2 2(1 4 ) 4k x+ = 2 2 4 1 4Ax k = + 2OB OA=  2 2 16 4Bx k = + 2 2 2 16 1 4B ky k = + 将 代入 中,得 ,即 解得 ,故直线 的方程为 或 . 29.．（2012 山东理）在平面直角坐标系 中, 是抛物线 的焦点, 是抛物线 上位于第一象限内的任意一点,过 三点的圆的圆心为 ,点 到抛 物线 的准线的距离为 .(Ⅰ)求抛物线 的方程;(Ⅱ)是否存在点 ,使得直线 与 抛物线 相切于点 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由;(Ⅲ)若点 的横 坐标为 ,直线 与抛物线 有两个不同的交点 , 与圆 有两个不 同的交点 ,求当 时, 的最小值. 解析:(Ⅰ)F 抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F ,设 M , ,由题意可 知 ,则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 ,解得 , 于是抛物线 C 的方程为 . (Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M, 而 , , , , , 由 可得 , ,则 , 即 ,而 ,解得 ,点 M 的坐标为 . (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 ,则点 M , . 由 可得 , .设 , 2 2,B Bx y 2 2 116 4 y x+ = 2 2 4 11 4 k k + =+ 2 24 1 4k k+ = + 1k = ± AB y x= y x= − xOy F 2: 2 ( 0)C x py p= > M C , ,M F O Q Q C 3 4 C M MQ C M M M 2 1: 4l y kx= + C ,A B l Q ,D E 1 22 k≤ ≤ 2 2AB DE+ )2,0( p )0)(2,( 0 2 0 0 >xp xx ),( baQ 4 pb = ==+=+ ppppb 4 3 242 3 4 1=p yx 22 = )2,(),0,0(),2 1,0( 2 0 0 xxMOF )4 1,(aQ QFOQMQ == 16 1)4 1 2()( 22 2 02 0 +=−+− axax 0 3 0 8 3 8 xxa += yx 22 = xy =′ 0 3 0 2 0 0 8 5 8 24 1 xx x xk − − == 2 0 2 0 4 0 2 1 4 1 8 5 8 1 xxx −=− 022 0 4 0 =−− xx 00 >x 20 =x )1,2( 2 )1,2( )4 1,8 25(Q    += = 4 1 22 kxy yx 02 122 =−− kxx 024 2 >+=∆ k ),(),,( 2211 yxByxA 圆 , , 于是 ,令 , 设 , , 当 时, , 即当 时 . 故当 时, . 30. ． （ 2012 辽 宁 理 ） 如 图 , 椭 圆 : ,a,b 为 常 数 ), 动 圆 , .点 分别为 的左,右顶点, 与 相交于 A,B,C,D 四 点.(Ⅰ)求直线 与直线 交点 M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆 与 相 交于 四点,其中 , .若矩形 与矩形 的面 积相等,证明: 为定值. 【答案及解析】 0C 2 2 2 2 1( 0x y a ba b + = > > 2 2 2 1 1:C x y t+ = 1b t a< < 1 2,A A 0C 1C 0C 1AA 2A B 2 2 2 2 2:C x y t+ = 0C / / / /, , ,A B C D 2b t a< < 1 2t t≠ ABCD / / / /A B C D 2 2 1 2t t+ ]4))[(1( 21 2 21 22 xxxxkAB −++= )24)(1( 22 ++= kk 32 27 16 1 64 50)4 1()8 25(: 22 =+=−+− yxQ 22 18 25 1 8 25 k k k k D + = + ⋅ = )1(8 227])1(32 25 32 27[4 2 2 2 2 2 k k k kDE + +=+−= )1(8 227)24)(1( 2 2 2222 k kkkDEAB + ++++=+ ]5,4 5[1 2 ∈=+ tk 4 1 8 25248 252)24()1(8 227)24)(1( 2 2 2 2222 ++−=++−=+ ++++=+ tttt tttk kkkDEAB 4 1 8 2524)( 2 ++−= ttttg 28 2528)( tttg −−=′ ]5,4 5[∈t 08 2528)( 2 >−−=′ tttg 2 1,4 5 == kt 2 164 1 4 58 25 4 5216 254)( min =+ × +×−×=tg 2 1=k 2 16)( min 22 =+ DEAB [来源:学科网] 【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直 线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.在求 解点 的轨迹方程时,要注意首先写出直线 和直线 的方程,然后求解.属于中档题, 难度适中. 31. ．（2012 江西理）已知三点 O(0,0),A(-2,1),B(2,1), 曲 线 C 上 任 意 一 点 M(x,y) 满 足 M 1AA BA2 .(1) 求曲线 C 的方程;(2)动点 Q(x 0,y0)(-2 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2, 2 4 2 4 t ty x t y x t x x x xy x y x − − = + = +     = − = −   2 2 0 0 0 0 4 4,2( 1 ) 2( 1)D E x t x tx xx t x t + += =+ − + − 2 0 2 2 0 4(1 ) ( 1)E D x tx x t x t +− = − − − 2 0| | 4 xFP t= − − 2 2 0 2 2 0 ( 4 )1 1| | | |2 8 ( 1)PDE E D x ttS FP x x t x +−= × − = × − − 2 2 0 041 4 (1 )2 4 2QAB x xS −= × × − =  2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 0 2 2 4 2 2 0 0 0 ( 4)[ ( 1) ] [4 ( 1) ] 4( 1)4 4 1 ( 4 ) 1 8 16 QAB PDE S x x t x t x t S t x t t x tx t − − − − + − + −= × = ×− + − + +   0 ( 2,2)x ∈ − 2 2 2 4 ( 1) 8 4( 1) 16 t t t t − − − = − = 解得 t=-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为 2,故存在 t=-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比 是常数 2. 【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论 的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心 率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、 考查抛物线的标准方程,准线等 基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题, 中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛 物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容. Main Document Only. ． （ 2012 江 苏 ） 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 椭 圆 的左、右焦点分别为 , .已知 和 都在椭圆上,其中 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程; (2)设 是椭圆上位于 轴上方的两点,且直线 与 直线 平行, 与 交于点 P.(i)若 , 求直线 的斜率;(ii)求证: 是定值. 【答案】解:(1)由题设知, ,由点 在椭圆上,得 ,∴ . 由点 在椭圆上,得 ∴椭圆的方程为 . (2)由(1)得 , ,又∵ ∥ , ∴设 、 的方程分别为 , . ∴ . xoy 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， (1 )e， 3 2e       ， e ,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 1 2 6 2AF BF− = 1AF 1 2PF PF+ 2 2 2= = ca b c e a + ， (1 )e， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 =1 = = =1e c b c a b a a b b a b a a b + = ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇒ 2 2= 1c a − 3 2e       ， 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 4 3 3 2 2 1 31 1 1 4 4=0 =21 4 e c a a a a a b a a         −   + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ − + ⇒ 2 2 12 x y+ = 1( 1 0)F − ， 2 (1 0)F ， 1AF 2BF 1AF 2BF = 1 = 1my x my x+ −， ( ) ( )1 1 2 2 1 20 0A x y B x y y > y >， ， ， ， ， ( ) 2 221 2 21 1 1 1 2 1 1 2 21 2 2 1=0 =2 2= 1 x m my m y my y mmy x  + ++ = ⇒ + − − ⇒ + + A BP O1F 2F x y ∴ .① 同理, .② (i)由①②得, .解 得 =2. ∵注意到 ,∴ . ∴直线 的斜率为 . (ii)证明:∵ ∥ ,∴ ,即 . ∴ . 由点 在椭圆上知, ,∴ . 同理. . ∴ 由①②得, , , ∴ . ∴ 是定值. 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式. 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解. (2)根据已知条件 ,用待定系数法求解. 32.．（2012 湖南理）在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任 意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离 等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.(Ⅰ)求曲线 C1 的方程;(Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相 ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 12 2= 1 0 = = 1 2 2 m m mm mAF x y my y m m m + + ++ ++ + − + + ⋅ =+ + ( )2 2 2 2 2 1 1 = 2 m m m BF m + − + + 2 1 2 2 2 1 2 m mAF BF m +− = + 2 2 2 1 6=2 2 m m m + + 2m 0m > = 2m 1AF 1 2= 2m 1AF 2BF 2 1 1 BFPB PF AF = 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1BF PB PF BF AFPB PF AF PF AF + ++ = + ⇒ = 1 1 1 1 2 = AFPF BFAF BF+ B 1 2 2 2BF BF+ = ( )1 1 2 1 2 = 2 2AFPF BFAF BF −+ ( )2 2 1 1 2 = 2 2BFPF AFAF BF −+ ( ) ( )1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2+ = 2 2 2 2 2 2AF BF AF BFPF PF BF AFAF BF AF BF AF BF − + − = −+ + +  ( )2 1 2 2 2 1 = 2 m AF BF m + + + 2 2 1= 2 mAF BF m + + 1 2 2 3+ =2 2 = 22 2PF PF − 1 2PF PF+ (1 )e， 3 2e       ， 1 2 6 2AF BF− = 交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定 值. 【解析】(Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ,由已知得 , 易知圆 上的点位于直线 的右侧.于是 ,所以 . 化简得曲线 的方程为 . 解法 2 :由题设知,曲线 上任意一点 M 到圆心 的距离等于它到直线 的距 离,因此,曲线 是以 为焦点,直线 为准线的抛物线,故其方程为 . (Ⅱ)当点 P 在直线 上运动时,P 的坐标为 ,又 ,则过 P 且与圆 相切得直线的斜率 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 .于是 [来源:学科网] 整理得 ① 设过 P 所作的两条切线 的斜率分别为 ,则 是方程①的两个实根,故 ② [来源:学科网] 由 得 ③ 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 ,则是方程③的两个实根,所以 ④ 同理可得 ( , )x y 2 22 ( 5) 3x x y+ = − + − 2C 2x = − 2 0x + > 2 2( 5) 5x y x− + = + 1C 2 20y x= 1C 2C (5,0) 5x = − 1C (5,0) 5x = − 2 20y x= 4x = − 0( 4, )y− 0 3y ≠ ± 2C k 0 ( 4),y y k x− = + 0即kx- y+y +4k=0 0 2 5 4 3. 1 k y k k + + = + 2 2 0 072 18 9 0.k y k y+ + − = ,PA PC 1 2,k k 1 2,k k 0 0 1 2 18 .72 4 y yk k+ = − = − 1 0 1 2 4 0, 20 , k x y y k y x − + + =  = 2 1 0 120 20( 4 ) 0.k y y y k− + + = 1 2 3 4, , ,y y y y 0 1 1 2 1 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = ⑤ 于是由②,④,⑤三式得 . 所以,当 P 在直线 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问 用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切 线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 四点纵坐标 之积为定值,体现“设而不求”思想. 33.．（2012 湖北理）设 是单位圆 上的任意一点, 是过点 与 轴垂直的直线, 是直线 与 轴的交点,点 在直线 上,且满足 . 当点 在圆上运动时,记点 M 的轨迹为曲线 . (Ⅰ)求曲线 的方程,判断曲线 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 的直线交曲线 于 , 两点,其中 在第一象限,它在 轴上的射影为 点 ,直线 交曲线 于另一点 . 是否存在 ,使得对任意的 ,都有 ?若存 在,求 的值;若不存在,请说明理由。 考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭 圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要 求. 解析: (Ⅰ)如图 1,设 , ,则由 , 可得 , ,所以 , . ① 因为 点在单位圆上运动,所以 . ② 将①式代入②式即得所求曲线 的方程为 . 因为 ,所以 A 2 2 1x y+ = l A x D l x M l | | | | ( 0, 1)DM m DA m m= > ≠且 A C C C k C P Q P y N QN C H m 0k > PQ PH⊥ m ( , )M x y 0 0( , )A x y | | | | ( 0, 1)DM m DA m m= > ≠且 0x x= 0| | | |y m y= 0x x= 0 1| | | |y ym = A 2 2 0 0 1x y+ = C 2 2 2 1 ( 0, 1)yx m mm + = > ≠且 (0, 1) (1, )m∈ + ∞ 0 2 3 4 2 20( 4 ) .y ky y k +⋅ = 0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k + += 2 0 1 2 0 1 2 1 2 400 4( ) 16y k k y k k k k  + + + = 2 2 0 0 1 2 1 2 400 16 6400 y y k k k k  − + = 4x = − , , ,A B C D 当 时,曲线 是焦点在 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 , ; 当 时,曲线 是焦点在 轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为 , . (Ⅱ) 解 法 1: 如 图 2 、 3, , 设 , , 则 , , [ 来 源:Zxxk.Com] 直线 的方程为 ,将其代入椭圆 的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为 , ,于是由韦达定理可得 ,即 . 因为点 H 在直线 QN 上,所以 . 于是 , . 而 等价于 , 即 ,又 ,得 , 故存在 ,使得在其对应的椭圆 上,对任意的 ,都有 . [来源:学_科_网] 解法 2:如图 2、3, ,设 , ,则 , , 因为 , 两点在椭圆 上,所以 两式相减可得 . ③ [来源:Zxxk.Com] 依题意,由点 在第一象限可知,点 也在第一象限,且 , 不重合, 0 1m< < C x 2( 1 , 0)m− − 2( 1 , 0)m− 1m > C y 2(0, 1)m− − 2(0, 1)m − 0k∀ > 1 1( , )P x kx 2 2( , )H x y 1 1( , )Q x kx− − 1(0, )N kx QN 12y kx kx= + C 2 2 2 2 2 2 2 1 1( 4 ) 4 0m k x k x x k x m+ + + − = 1x− 2x 2 1 1 2 2 2 4 4 k xx x m k − + = − + 2 1 2 2 24 m xx m k = + 2 1 2 1 2 2 2 22 4 km xy kx kx m k − = = + 1 1( 2 , 2 )PQ x kx= − − 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2( , ) ( , )4 4 k x km xPH x x y kx m k m k = − − = − + +  PQ PH⊥ 2 2 2 1 2 2 4(2 ) 04 m k xPQ PH m k −⋅ = =+   22 0m− = 0m > 2m = 2m = 2 2 12 yx + = 0k > PQ PH⊥ 1 (0, 1)x∀ ∈ 1 1( , )P x y 2 2( , )H x y 1 1( , )Q x y− − 1(0, )N y P H C 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 , , m x y m m x y m  + = + = 2 2 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0m x x y y− + − = P H P H P O x y N Q 图 2 (0 1)m< < H P O x y N Q 图 3 ( 1)m > H 图 1 O D x y A M 故 . 于是由③式可得 . ④ 又 , , 三点共线,所以 ,即 . 于是由④式可得 . 而 等价于 ,即 ,又 ,得 , 故存在 ,使得在其对应的椭圆 上,对任意的 ,都有 34.．（2012 广东理）在平面直角坐标系 中,已知椭圆 : ( )的离心 率 且椭圆 上的点到点 的距离的最大值为 3.(Ⅰ)求椭圆 的方程;(Ⅱ) 在椭圆 上,是否存在点 ,使得直线 : 与圆 : 相交于不 同的两点 、 ,且 的面积最大?若存在,求出点 的坐标及对应的 的面 积;若不存在,请说明理由. 解 析 :(Ⅰ) 因 为 , 所 以 , 于 是 . 设 椭 圆 上 任 一 点 , 则 ( ). 当 时, 在 时取到最大值,且最大值为 ,由 解得 ,与假设 不符合,舍去. 当 时, 在 时取到最大值,且最大值为 ,由 解得 .于是 ,椭圆 的方程是 . (Ⅱ) 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 , 弦 长 , 所 以 的 面 积 为 ,于是 .而 是椭圆上的点,所 以 , 即 , 于 是 , 而 , 所 以 , ,所以 ,于是当 时, 取 到最大值 ,此时 取到最大值 ,此时 1 2 1 2( )( ) 0x x x x− + ≠ 21 2 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) y y y y mx x x x − + = −− + Q N H QN QHk k= 1 1 2 1 1 2 2y y y x x x += + 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ( )( )1 2 ( )( ) 2PQ PH y y y y y y y mk k x x x x x x x − − +⋅ = ⋅ = ⋅ = −− − + PQ PH⊥ 1PQ PHk k⋅ = − 2 12 m− = − 0m > 2m = 2m = 2 2 12 yx + = 0k > PQ PH⊥ xOy C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 3e = C ( )0,2Q C C ( ),M m n l 1mx ny+ = O 2 2 1x y+ = A B OAB∆ M OAB∆ 2 3e = 2 2 2 3 c a = 2 23a b= C ( ),P x y ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 22 1 2 2 4 4 3yPQ x y a y y y bb  = + − = − + − = − − + +    b y b− ≤ ≤ 0 1b< < 2PQ y b= − 2 4 4b b+ + 2 4 4 9b b+ + = 1b = 0 1b< < 1b ≥ 2PQ 1y = − 23 6b + 23 6 9b + = 2 1b = 2 3a = C 2 2 13 x y+ = l 2 2 1d m n = + 22 1AB d= − OAB∆ 21 12S AB d d d= ⋅ = − ( ) 2 2 2 2 2 1 11 2 4S d d d = − = − − +   ( ),M m n 2 2 13 m n+ = 2 23 3m n= − 2 2 2 2 1 1 3 2d m n n = =+ − 1 1n− ≤ ≤ 20 1n≤ ≤ 21 3 2 3n≤ − ≤ 21 13 d≤ ≤ 2 1 2d = 2S 1 4 S 1 2 , . 综上所述,椭圆上存在四个点 、 、 、 ,使得 直线与圆相交于不同的两点 、 ,且 的面积最大,且最大值为 . 点评:此题与 2012 年南海区高三 8 月摸底考试的试题相似度极高. (2012 年南海区高三 8 月摸底考试)已知椭圆 的两焦点为 、 ,并且经过点 . (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)已知圆 : ,直线 : ,证明:当点 在椭圆 上运动时,直线 与 圆 恒相交;并求直线 被圆 所截得的弦长的取值范围. 35.．（2012 福建理）如图,椭圆 的左 焦点为 ,右焦点为 ,离心率 . 过 的直线交椭圆于 两点, 且 的 周 长 为 8.(Ⅰ) 求 椭 圆 的 方 程 .(Ⅱ) 设 动 直 线 与椭圆 有且只有一个公共点 ,且与直线 相较于点 .试探究:在坐标 平面内是否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ? 若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由. 【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识, 考查运算求解能 力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方 程的思想、特殊与一般的思想. 【解析】因为 ,即 而 ,所以 ,而 所求椭圆方程为 (2)由 2 1 2n = 2 3 2m = 6 2,2 2       6 2,2 2  −    6 2,2 2  −    6 2,2 2  − −    A B OAB∆ 1 2 C ( )1 1,0F − ( )2 1,0F 31, 2M      C O 2 2 1x y+ = l 1mx ny+ = ( ),P m n C l O l O 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1F 2F 1 2e = 1F ,A B 2ABF∆ E :l y kx m= + E P 4x = Q M PQ M M 2 2| | | | | | 8AB AF BF+ + = 1 1 2 2| | | | | | | | 8AF F B AF BF+ + + = 1 2 1 2| | | | | | | | 2AF AF FB BF a+ = + = 4 8 2a a= ⇒ = 2 2 21 1 1 32 2 ce c a b a ca = = ⇒ = = ⇒ = − = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 2 2 2 (4 3) 8 4 12 0 14 3 y kx m k x kmx mx y = +  ⇒ + + + − = + = 2 2 2 2 2 264 4(4 3)(4 12) 0 4 3 0k m k m k m∆ = − + − = ⇒ − + = , ,由 设存在 ,则由 可得 ,由于对任意 恒成立,所以联立解得 . 故存在定点 ,符合题意. 36.．（2012 大纲理）已知抛物线 与圆 有 一个公共点 ,且在 处两曲线的切线为同一直线 .(1)求 ;(2)设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线, 、 的交点为 ,求 到 的距离. 【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以 及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在 此基础上求解点到直线的距离. 解 :(1) 设 , 对 求 导 得 , 故 直 线 的 斜 率 ,当 时,不合题意,所心 圆心为 , 的斜率 [来源:学,科,网 Z,X,X,K] 由 知 ,即 ,解得 ,故 所以 (2)设 为 上一点,则在该点处的切线方程为 即 若该直线与圆 相切,则圆心 到该切线的距离为 ,即 , 化简可得 求解可得 抛物线 在点 处的切线分别为 ,其方程分别为 0 02 4 4 3,4 3 km kx yk m m = = − =+ 4 3( , )kP m m ∴ − (4,4 ) 4 y kx m Q k m x = + ⇒ + = 1( ,0)M x 0MP MQ⋅ =  21 1 1 416 124 3 0kxk kx xm m m − + − + + + = 2 1 1 1(4 4) 4 3 0kx x xm ∴ − + − + = ,m k 1 1x = (1,0)M 2: ( 1)C y x= + 2 2 21:( 1) ( ) ( 0)2M x y r r− + − = > A A l r m n l C M m n D D l 2 0 0( ,( 1) )A x x + 2( 1)y x x= = + 2( 1)y x′ = + l 02( 1)k x= + 0 1x = 0 1x ≠ 1(1, )2M MA 2 0 0 1( 1) 2 1 x k x + − ′ = − l MA⊥ 1kk′ = − 2 0 0 0 1( 1) 22( 1) 11 x x x + − + × = −− 0 0x = (0,1)A 2 21 5| | (1 0) ( 1)2 2r MA= = − + − = 2( ,( 1) )a a + C 2( 1) 2( 1)( )y a a x a− + = + − 22( 1) 1y a x a= + − + M M 5 2 2 2 2 1| 2( 1) 1 1| 52 2[2( 1)] ( 1) a a a + × − − + = + + − 2 2( 4 6) 0a a a− − = 0 1 20, 2 10, 2 10a a a= = + = − C 2( ,( 1) )( 0,1,2)i ia a i+ = , ,l m n  ① ② ③ ②-③得 ,将 代入②得 ,故 所以 到直线 的距离为 . 法二:(Ⅰ)设 对于抛物线 的切线方程为 ①; 对于圆 的切线方程为 ②. 因为①②是共点公切线, (斜率相等),结合 .解之得 . [来 源:Z§xx§k.Com] 代入②得 . (Ⅱ)数形结合知,抛物线 与圆 应有三条公切线(如图). 由(Ⅰ)知,公切线 方程为: . 今设另两公切线 与抛物线 切于点 , 则切线方程为 . 又直线 与 相切应有 , 整理得 记 , .则 联立 的方程得 .故 到 的距离为 . 【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究 两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对 于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学 习 也是一个需要练习的方向. 37.．（2012 北京理）已知曲线 C: (1)若曲线 C 是焦点在 轴的椭圆,求 的范围;(2)设 ,曲线 C 与 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上 方),直线 与曲线 C 交于不同的两点 M,N,直线 与直线 BM 交于点 G 求 证:A,G,N 三点共线. 【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具有一 般性,相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手. 2 1y x= + 2 1 12( 1) 1y a x a= + − + 2 2 22( 1) 1y a x a= + − + 1 2 22 a ax += = 2x = 1y = − (2, 1)D − D l 2 2 | 2 2 ( 1) 1| 6 5 52 ( 1) d × − − += = + − 0 0( , ),A x y C 0 0( 1)( 1)2 y y x x+ = + + M 2 0 0 1 1( 1)( 1) ( )( )2 2x x y y r− − + − − = 0 0 0 12( 1) 1 2 xx y −∴ + =− − 2 0 0( 1)y x= + (0,1)A 5 2r = C M l 2 1 0x y− + = ,m n C 2( ,( 1) ) ( 0, 1,2)i i iB x x x i+ ≠ = 2 2( 1) ( 1)( 1) 2( 1) 1 02 i i i i y x x x x x y x+ + = + + + − − + =即 ,m n M 2 2 1|2( 1) 1 1| 52 24( 1) 1 i i i x x x + × − − + = + + 0ix ≠ 2 4 6 0i ix x− − = 2 1 1:2( 1) 1 0m x x y x+ − − + = 2 2 2:2( 1) 1 0n x x y x+ − − + = 1 2 4x x+ = m n与 (2, 1)D − (2, 1)D − l |2 2 ( 1) 1| 6 5 55d × − − += = 2 2(5 ) ( 2) 8( )m x m y m R− + − = ∈ x m 4m = y 4y kx= + 1y = 解:(1)原曲线方程可化简得: ,由题意可得: ,解得: (2)由已知直线代入椭圆方程化简得: , ,解得: 由韦达定理得: ①, ,② 设 , , 方程为: ,则 , , , 欲证 三点共线,只需证 , 共线 即 成立,化简得: 将①②代入易知等式成立,则 三点共线得证. 38.．（2012 安徽理）如图, 分别是椭圆 的左,右 焦点,过点 作 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 ,过点 作直线 的垂线交直线 于点 ;(I)若点 的坐标为 ;求椭圆 的方程; (II)证明:直线 与椭圆 只有一个交点. 【解析】(I)点 代入 得: ① 又 ② ③ 2 2 18 8 5 2 x y m m + = − − 8 8 5 2 8 05 8 02 m m m m  > − − > −  > − 7 52 m< < 2 2(2 1) 16 24 0k x kx+ + + = 2=32(2 3)k∆ − 2 3 2k > 2 16 2 1M N kx x k + = + 2 24 2 1M Nx x k = + ( , 4)N NN x k x + ( , 4)M MM x kx + ( 1)GG x ， MB 6 2M M kxy xx += − 3 16 M M xG kx    +  ， ∴ 3 16 M M xAG x k  = − +   ， ( )2N NAN x x k= + ， A G N， ， AG AN 3 ( 2)6 M N N M x x k xx k + = −+ (3 ) 6( )M N M Nk k x x x x+ = − + A G N， ， 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F x P 2F 2PF 2ax c = Q Q (4,4) C PQ C 1 1( , )( 0)P c y y− > 2 2 2 2 1x y a b + = 2 1 by a = 2 1 2 0 4 0 14 b aPF QF c c c − −⊥ ⇔ × = −− − − 2 4a c = 2 2 2 ( , , 0)c a b a b c= − > 由①②③得: 既椭圆 的方程为 (II)设 ;则 得: 过点 与椭圆 相切的直线斜率 得:直线 与椭圆 只有一个交点. 2011 年高考题 一、选择题 1.（重庆理 8）在圆 内，过点 E（0，1）的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 A． B． C． D． 【答案】B 2.（浙江理 8）已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若 恰好将线段 三等分， 则 A． B． C． D． 【答案】C 3.（四川理 10）在抛物线 上取横坐标为 ， 的两点，过 这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 相切，则 抛物线顶点的坐标为 A． B． C． D． 06222 =−−+ yxyx 25 210 15 2 220 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 2 2 1 : 14 yC x − = 1C 1C ,A B 1C AB 2 13 2a = 2 13a = 2 1 2b = 2 2b = 2 5( 0)y x ax a= = − ≠ 1 4x = − 2 2x = 2 25 5 36x y+ = ( 2, 9)− − (0, 5)− (2, 9)− (1, 6)− 2, 1, 3a c b= = = C 2 2 14 3 x y+ = 2 2( , )aQ yc 2 2 1 2 22 0 0 1 2 b yaPF QF y aac c cc − −⊥ ⇔ × = − ⇔ =− − − 2 2 2 PQ ba cak a acc − = = + 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 b xx y b ay b x ya b a bb xa − ′+ = ⇒ = − ⇒ = − P C x c PQ ck y ka=−′= = = PQ C 【答案】C 【解析】由已知的割线的坐标 ,设直线方程为 ，则 又 4.（陕西理 2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方程是 A． B． C． D． 【答案】B 5.（山东理 8）已知双曲线 的两条渐近线均和圆 C: 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 【答案】A 6.（全国新课标理 7）已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交 于 A，B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，C 的离心率为 （A） （B） （C） 2 （D） 3 【答案】B 7.（全国大纲理 10）已知抛物线 C： 的焦点为 F，直线 与 C 交于 A，B 两点．则 = A． B． C． D． 【答案】D 8.（江西理 9）若曲线 ： 与曲线 ： 有四个不同的 交点，则实数 m 的取值范围是 A．（ ， ） B．（ ，0）∪（0， ） ( 4,11 4 ),(2,2 1), 2a a K a− − − = − ( 2)y a x b= − + 2 2 36 5 1 (2 ) b a = + − 2 5 6 4 ( 2, 9) ( 2) y x ax b a y a x b  = + − ⇒ = − ⇒ = ⇒ − − = − + 2x = − 2 8y x= − 2 8y x= 2 4y x= − 2 4y x= 2 2 2 2 1( 0 b 0)x y aa b − = ＞ ， ＞ 2 2 6 5 0x y x+ − + = 2 2 15 4 x y− = 2 2 14 5 x y− = 2 2 13 6 x y− = 2 2 16 3 x y− = | |AB 2 3 2 4y x= 2 4y x= − cos AFB∠ 4 5 3 5 3 5 − 4 5 − 1C 2 2 2 0x y x+ − = 2C ( ) 0y y mx m− − = 3 3 − 3 3 3 3 − 3 3 C．[ ， ] D．（ ， ）∪（ ，+ ） 【答案】B 9.（湖南理 5）设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 10.（湖北理 4）将两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正 三角形个数记为 n，则 A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3 【答案】C 11.（福建理 7）设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 r 上存在点 P 满足 =4:3:2，则曲线 r 的离心率等于 A． B． 或 2 C． 2 D． 【答案】A 12.（北京理 8）设 , ， , .记 为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 的值域为 A． B． C． D． 【答案】C 13.（安徽理 2）双曲线 的实轴长是 （A）2 （B） 2 （C） 4 （D）4 【答案】C 14. （ 辽 宁 理 3 ） 已 知 F 是 抛 物 线 y2=x 的 焦 点 ， A ， B 是 该 抛 物 线 上 的 两 点 ， ，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 （A） （B）1 （C） （D） 【答案】C 3 3 − 3 3 −∞ 3 3 − 3 3 ∞ ( )2 2 2 1 09 x y aa − = > 3 2 0x y± = a 2 2 ( 0)y px p= > ≥ 1 1 2 2: :PF F F PF 1 3 2 2 或 2 3 1 2 或 2 3 3 2 或 ( )0,0A ( )4,0B ( )4,4C t + ( )( ),4D t t R∈ ( )N t ( )N t { }9,10,11 { }9,10,12 { }9,11,12 { }10,11,12 82 22 =− yx 2 2 =3AF BF+ 3 4 5 4 7 4 15.在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为 （A）2 (B) (C) （D) 答案 D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间 距离. 【解析】极坐标 化为直角坐标为 ，即 .圆的极坐标方程 可化为 ，化为直角坐标方程为 ， 即 ，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式 .故选 D. 二、填空题 15.（湖北理 14）如图，直角坐标系 所在的平面为 ，直角坐标系 （其中 轴一 与 轴重合）所在的平面为 ， 。 （Ⅰ）已知平面 内有一点 ，则点 在平面 内的射影 的 坐标为 ； （Ⅱ）已知平面 内的曲线 的方程是 ，则曲线 在平面 内 的射影 的方程是 。 【答案】（2，2） 16.（浙江理 17）设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，若 ;则点 的坐标是 ． 【答案】 17.（上海理 3）设 为常数，若点 是双曲线 的一个焦点，则 。 【答案】16 ( , ) π2 3 2cosρ θ= 2 4 9 π+ 2 1 9 π+ 3 ( , ) π2 3 (2cos ,2sin )3 3 π π (1, 3) 2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1x y− + = 2 2(1 1) ( 3 0) 3d = − + − = xOy α ' 'xOy 'y y β ' 45xOx∠ = ° β ' (2 2,2)P 'P α P β 'C ' 2 '2( 2) 2 2 0x y− + − = 'C α C 2 2( 1) 1x y− + = 1 2,F F 2 2 13 x y+ = ,A B 1 25F A F B=  A (0, 1)± m (0,5)F 2 2 19 y x m − = m = 18.（江西理 14）若椭圆 的焦点在 轴上，过点（1， ）作圆 的切线， 切点分别为 A,B，直线 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 【答案】 19.（北京理 14）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（-1，0）和 F¬2（1，0）的距离的积等于 常数 的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线 C 过坐标原点； ② 曲线 C 关于坐标原点对称； ③若点 P 在曲线 C 上，则△F PF 的面积大于 a 。 其中，所有正确结论的序号是 。 【答案】②③ 20.（四川理 14）双曲线 P 到 左准线的距离是 ． 【答案】 【解析】 ，点 显然在双曲线右支上，点 到左焦点的距离为 14，所以 21.（全国大纲理 15）已知 F1、F2 分别为双曲线 C: - =1 的左、右焦点，点 A∈C， 点 M 的坐标为（2，0），AM 为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = ． 【答案】6 22.（辽宁理 13）已知点（2，3）在双曲线 C： 上，C 的焦距为 4， 则它的离心率为 ． 【答案】2 23.（重庆理 15）设圆 C 位于抛物线 与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内， 则圆 C 的半径能取到的最大值为__________ 【答案】 2 2 2 2 1x y a b + = x 1 2 2 2+ =1x y AB 2 2 15 4 x y+ = )1(2 >aa 1 2 2 1 2 2 2x y =1 P 464 36 − 上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点 56 5 8, 6, 10a b c= = = P P 14 5 56 4 5 c dd a = = ⇒ = 2 9 x 2 27 y )0,0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2y x= 6 1− 24.（全国新课标理 14）（14） 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 在 x 轴上，离心率为 ．过点 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 的周长为 16，那 么 C 的方程为_________． 【答案】 25.（安徽理 15）在平面直角坐标系中，如果 与 都是整数，就称点 为整点， 下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 与 都是无理数，则直线 不经过任何整点 ③直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点 ④直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是： 与 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 【答案】①，③，⑤ 三、解答题 26.（江苏 18）如图，在平面直角坐标系 中，M、N 分别是椭圆 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点，其中 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B，设直线 PA 的斜率为 k （1）当直线 PA 平分线段 MN，求 k 的值； （2）当 k=2 时，求点 P 到直线 AB 的距离 d； （3）对任意 k>0，求证：PA⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离 等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分 16 分. 解：（1）由题设知， 所以线段 MN 中点的坐标为 ，由于直线 PA 平分线段 MN，故直线 PA 过线段 MN 的中点，又直线 PA 过坐 标 原点，所以 1 2,F F 2 2 1F 2ABF∆ 2 2 116 8 x y+ = x y ( , )x y k b y kx b= + l l y kx b= + k b xOy 124 22 =+ yx ),2,0(),0,2(,2,2 −−== NMba 故 )2 2,1( −− .2 2 1 2 2 =− − =k （2）直线 PA 的方程 解得 于是 直线 AC 的斜率为 （3）解法一： 将直线 PA 的方程 代入 则 故直线 AB 的斜率为 其方程为 解得 . 于是直线 PB 的斜率 因此 解法二： 设 . 设直线 PB，AB 的斜率分别为 因为 C 在直线 AB 上，所以 2 2 2 1,4 2 x yy x= + =代入椭圆方程得 ).3 4,3 2(),3 4,3 2(,3 2 −−±= APx 因此 ),0,3 2(C .03 2,1 3 2 3 2 3 40 =−−= + + yxAB的方程为故直线 .3 22 11 |3 2 3 4 3 2| , 21 = + −− =d因此 kxy = 2 2 2 2 2 21, , ,4 2 1 2 1 2 x y x k k µ+ = = ± + + 解得 记 )0,(),,(),,( µµµµµ CkAkP 于是−− ,2 0 kk =+ + µµ µ ,0)23(2)2(),(2 22222 =+−−+−= kxkxkxky µµµ 代入椭圆方程得 2 2 3 2 2 2 (3 2) (3 2)( , )2 2 2 k k kx x Bk k k µ µ µµ+ += = −+ + +或 因此 .1 )2(23 )2( 2 )23( 2 22 23 2 2 2 3 1 kkk kkk k k kk k k −=+−+ +−= + + −+= µ µµ .,11 PBPAkk ⊥−= 所以 )0,(),,(,,0,0),,(),,( 11121212211 xCyxAxxxxyxByxP −−≠>>则 21,kk .22)( )(0 1 1 11 1 2 k x y xx yk ==−− −= 从而 因此 27.（安徽理 21）设 ，点 的坐标为（1,1），点 在抛物线 上运动，点 满 足 ，经过 点与 轴垂直的直线交抛物线于点 ，点 满足 , 求点 的轨迹方程。 本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识， 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养. 解：由 知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 ① 再设 解得 ② 将①式代入②式，消去 ，得 ③ 1)( )(2121 12 12 12 12 211 +−− −−⋅− −⋅=+=+ xx yy xx yykkkk .044)2(122 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 =− −=− +=+− −= xxxx yx xx yy .,11 PBPAkk ⊥−= 所以 λ > 0 A B y x2= Q QABQ λ= Q M x M P MPQM λ= P MPQM λ= .)1(),(),,(),,(),,( 2 0 2 0 22 0 yxyxyyxxxMyxQyxP λλλ −+=−=− 则则 ),1,1().(,),,( 010111 yxyyxxQABQyxB −−=−−= λλ 即由    −+= −+= .)1( ,)1( 01 1 λλ λλ yy xx 0y    −+−+= −+= .)1()1( ,)1( 22 1 1 λλλλ λλ yxy xx 又点 B 在抛物线 上，所以 ，再将③式代入 ，得 故所求点 P 的轨迹方程为 28. （北京理 19） 已知椭圆 .过点（m,0）作圆 的切线 I 交椭圆 G 于 A，B 两点. （I）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （II）将 表示为 m 的函数，并求 的最大值. （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）由已知得 所以 所以椭圆 G 的焦点坐标为 离心率为 （Ⅱ）由题意知， . 当 时，切线 l 的方程 ，点 A、B 的坐标分别为 此时 当 m=－1 时，同理可得 当 时，设切线 l 的方程为 由 设 A、B 两点的坐标分别为 ，则 2xy = 2 11 xy = 2 11 xy = .012),1(,0 .0)1()1()1(2 ,)1(2)1()1()1( ,))1(()1()1( 22222 222 =−−+> =+−+−+ ++−+=−+−+ −+=−+−+ yx yx xxyx xyx 得两边同除以因 λλλ λλλλλλ λλλλλλλλ λλλλλλ .12 −= xy 2 2: 14 xG y+ = 2 2 1x y+ = AB AB ,1,2 == ba .322 −−= bac )0,3(),0,3(− .2 3== a ce 1|| ≥m 1=m 1=x ),2 3,1(),2 3,1( − 3|| =AB 3|| =AB 1|| >m ),( mxky −= 0448)41( .14 ),( 22222 2 2 =−+−+    =+ −= mkmxkxk yx mxky 得 ),)(,( 2211 yxyx 又由 l 与圆 所以 由于当 时， 所以 . 因为 且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为 2. 29.（福建理 17）已知直线 l：y=x+m，m∈R。 （I）若以点 M（2,0）为圆心的圆与直线 l 相切与点 P，且点 P 在 y 轴上，求该圆的方程； （II）若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 ，问直线 与抛物线 C：x2=4y 是否相切？说明理由。 本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分 13 分。 解法一： （I）依题意，点 P 的坐标为（0，m） 因为 ，所以 ， 解得 m=2，即点 P 的坐标为（0，2） 从而圆的半径 故所求圆的方程为 （II）因为直线 的方程为 2 22 212 2 21 41 44,41 8 k mkxxk mkxx + −=+=+ .1,1 1 ||,1 222 2 22 +== + =+ kkm k kmyx 即得相切 2 12 2 12 )()(|| yyxxAB −+−= ]41 )44(4 )41( 64)[1( 2 22 22 4 2 k mk k mkk + −−++= 2 .3 ||34 2 += m m 3±=m ,3|| =AB ),1[]1,(,3 ||34|| 2 +∞−−∞∈+= mm mAB ,2 || 3|| 34 3 ||34|| 2 ≤ + =+= mmm mAB 3±=m l′ l′ MP l⊥ 0 1 12 0 m− × = −− 2 2| | (2 0) (0 2) 2 2,r MP= = − + − = 2 2( 2) 8.x y− + = l ,y x m= + 所以直线 的方程为 由 （1）当 时，直线 与抛物线 C 相切 （2）当 ，那 时，直线 与抛物线 C 不相切。 综上，当 m=1 时，直线 与抛物线 C 相切； 当 时，直线 与抛物线 C 不相切。 解法二： （I）设所求圆的半径为 r，则圆的方程可设为 依题意，所求圆与直线 相切于点 P（0，m）， 则 解得 所以所求圆的方程为 （II）同解法一。 30.（广东理 19） 设圆 C 与两圆 中的一个内切，另一个外切。 （1）求 C 的圆心轨迹 L 的方程; （2）已知点 M ，且 P 为 L 上动点，求 的最大值及此时 点 P 的坐标． （1）解：设 C 的圆心的坐标为 ，由题设条件知 化简得 L 的方程为 'l .y x m= − − 2 2 ' , 4 4 0 4 y x m x x m x y = − − + + = = 得 24 4 4 16(1 )m m∆ = − × = − 1, 0m = ∆ =即 'l 1m ≠ 0∆ ≠ 'l 'l 1m ≠ 'l 2 2( 2) .x y r2− + = : 0l x y m− + = 2 24 , | 2 0 | , 2 m r m r  + = − + = 2, 2 2. m r = = 2 2( 2) 8.x y− + = 2 2 2 2( 5) 4,( 5) 4x y x y+ + = − + = 3 5 4 5( , ), ( 5,0)5 5 F MP FP− ( , )x y 2 2 2 2| ( 5) ( 5) | 4,x y x y+ + − − + = 2 2 1.4 x y− = （2）解：过 M，F 的直线 方程为 ，将其代入 L 的方程得 解得 因 T1 在线段 MF 外，T2 在线段 MF 内，故 ，若 P 不在直线 MF 上，在 中有 故 只在 T1 点取得最大值 2。 31.（湖北理 20） 平面内与两定点 ， 连续的斜率之积等于非零常数 的点的轨迹， 加上 、 两点所成的曲线 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 值得关系； （Ⅱ）当 时，对应的曲线为 ；对给定的 ，对应的曲线为 ， 设 、 是 的两个焦点。试问：在 撒谎个，是否存在点 ，使得△ 的面积 。若存在，求 的值；若不存在，请说明理由。 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与 整合和数形结合的思想。（满分 14 分） 解：（I）设动点为 M，其坐标为 ， 当 时，由条件可得 l 2( 5)y x= − − 215 32 5 84 0.x x− + = 1 2 1 2 6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5, , ( , ), ( , ).5 15 5 5 15 15x x l L T T= = −故 与 交点为 1 1| | | | | | 2,MT FT MF− = = 2 2| | | | | | 2.MT FT MF− < = MFP∆ | | | | | | 2.MP FP MF− < = | | | |MP FP− 1( ,0)A a− 2( ,0)A a ( 0)a > m 1A 2A C C C m 1m = − 1C ( 1,0) (0, )m U∈ − +∞ 2C 1F 2F 2C 1C N 1F N 2F 2| |S m a= tan 1F N 2F ( , )x y x a≠ ± 1 2 2 2 2 ,MA MA y y yk k mx a x a x a ⋅ = ⋅ = =− + − 即 ， 又 的坐标满足 故依题意，曲线 C 的方程为 当 曲线 C 的方程为 是焦点在 y 轴上的椭圆； 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是圆心在原点的圆； 当 时，曲线 C 的方程为 ，C 是焦点在 x 轴上的椭圆； 当 时，曲线 C 的方程为 C 是焦点在 x 轴上的双曲线。 （II）由（I）知，当 m=-1 时，C1 的方程为 当 时， C2 的两个焦点分别为 对于给定的 ， C1 上存在点 使得 的充要条件是 由①得 由②得 当 或 时， 存在点 N，使 S=|m|a2； 当 2 2 2 ( )mx y ma x a− = ≠ ± 1 2( ,0), ( ,0)A a A A− 2 2 2 ,mx y ma− = 2 2 2.mx y ma− = 1 ,m < − 时 2 2 2 2 1,x y Ca ma + =− 1m = − 2 2 2x y a+ = 1 0m− < < 2 2 2 2 1x y a ma + =− 0m > 2 2 2 2 1,x y a ma − = 2 2 2;x y a+ = ( 1,0) (0, )m∈ − +∞ 1 2( 1 ,0), ( 1 ,0).F a m F a m− + + ( 1,0) (0, )m∈ − +∞ 0 0 0( , )( 0)N x y y ≠ 2| |S m a= 2 2 2 0 0 0 2 0 , 0, 1 2 1 | | | | .2 x y a y a m y m a  + = ≠ ⋅ + = 00 | | ,y a< ≤ 0 | || | . 1 m ay m = + | | 1 50 , 0,21 m a a m m −< ≤ ≤ < + 即 1 50 2m +< ≤ | | 1 5, ,21 m a a m −> + 即- 1 1 5 1 5,0 0,2 2m    − +∈        1 0 0 2 0 0( 1 ), ( 1 , )NF a m x y NF a m x y= − + − − = + − −  2 2 2 2 1 2 0 0(1 ) ,NF NF x m a y ma⋅ = − + + = −  1 1 2 2 1 2| | ,| | ,NF r NF r F NF θ= = ∠ =  2 2 1 2 1 2 1 2cos , cos maNF NF rr ma rrθ θ⋅ = = − = −  可得 2 2 1 2 1 sin 1sin tan2 2cos 2 maS rr ma θθ θθ= = − = − 2| |S m a= 2 21 2 | |tan | | , tan .2 mma m a m θ θ− = = −即 1 5 ,02m  −∈    2 1 2| | , tan 2;S m a F NF= =且 1 50, 2m  +∈   2 1 2| | , tan 2;S m a F NF= = −且 1 5 1 5( 1, ) ( , )2 2m − +− +∞ 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 2 2 :C y x b= − l （ii）记△MAB,△MDE 的面积分别是 ．问：是否存在直线 l,使得 ?请说明理 由。 解 ：（Ⅰ）由题意知 故 C1，C2 的方程分别为 （Ⅱ）（i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k， 则直线 l 的方程为 . 由 得 . 设 是上述方程的两个 实根，于是 又点 M 的坐标为（0，—1），所以 故 MA⊥MB，即 MD⊥ME. （ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为 解得 则点 A 的坐标为 . 又直线 MB 的斜率为 ， 1 2,S S 1 2 17 32 S S = .1,2,2,2,2 3 ====== baabbaa ce 解得又从而 .1,14 22 2 −==+ xyyx kxy =    −= = 12xy kxy 012 =−− kxx 212211 ,),,(),,( xxyxByxA 则 .1, 2121 −==+ xxkxx 21 2121 2 21 21 2 2 1 1 1)()1)(1(11 xx xxkxxk xx kxkx x y x ykk MBMA +++=++=+⋅+=⋅ .11 122 −=− ++−= kk    −= −= −= 1 ,1 ,1 2 1 1 xy xky xky 由    −= =    −= = 1 , 1 0 2 1ky kx y x 或 )1,( 2 11 −kk 1 1 k − 同理可得点 B 的坐标为 于是 由 得 解得 则点 D 的坐标为 又直线 ME 的斜率为 ，同理可得点 E 的坐标为 于是 . 因此 由题意知， 又由点 A、B 的坐标可知， 故满足条件的直线 l 存在，且有两条，其方程分别为 33.（辽宁理 20） 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 l⊥MN，l 与 C1 交于两点， 与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D． （I）设 ，求 与 的比值； ).11,1( 2 11 −− kk 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1| | | | 1 | | 1 | |2 2 2 | | kS MA MB k k k k k += ⋅ = + ⋅ ⋅ + ⋅ − =    =−+ −= 044 ,1 22 1 yx xky .08)41( 1 22 1 =−+ xkxk 1 2 1 2 1 2 1 8 ,1 40, 1 4 1 1 4 kx kx y ky k  = +=  = − −  = + 或 2 1 1 2 2 1 1 8 4 1( , ).1 4 1 4 k k k k − + + k 1− ).4 4,4 8( 2 1 2 1 2 1 1 k k k k + − + − )4)(1( ||)1(32||||2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ++ ⋅+=⋅= kk kkMEMDS 21 1 2 2 1 1 4(4 17).64 S kS k = + + 2 2 2 1 1 12 1 1 4 17 1(4 17) , 4, .64 32 4k k kk + + = = =解得 或 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3, .1 2 k kk k kkk k − = = − = ± + 所以 .2 3 2 3 xyxy −== 和 1 2e = BC AD （II）当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO∥AN，并说明理由． 解：（I）因为 C1，C2 的离心率相同，故依题意可设 设直线 ，分别与 C1，C2 的方程联立，求得 ………………4 分 当 表示 A，B 的纵坐标，可知 ………………6 分 （II）t=0 时的 l 不符合题意. 时，BO//AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN相等，即 解得 因为 所以当 时，不存在直线 l，使得 BO//AN； 当 时，存在直线 l 使得 BO//AN. ………………12 分 34.（全国大纲理 21） 已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为 的直线 与 C 交于 A、B 两点，点 P 满足 （Ⅰ）证明：点 P 在 C 上； （Ⅱ）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上． 2 2 2 2 2 1 22 2 4 2: 1, : 1,( 0)x y b y xC C a ba b a a + = + = > > : (| | )l x t t a= < 2 2 2 2( , ), ( , ).a bA t a t B t a tb a − − 1 3, , ,2 2 A Be b a y y= =时 分别用 2 2 2 | | 3| |:| | .2 | | 4 B A y bBC AD y a = = = 0t ≠ 2 2 2 2 , b aa t a ta b t t a − − = − 2 2 2 2 2 1 .ab et aa b e −= − = − −− 2 2 1 2| | , 0 1, 1, 1.2 et a e ee −< < < < < <又 所以 解得 20 2e< ≤ 2 12 e< < 2 2: 12 yC x + = - 2 l 0.OA OB OP+ + =   解： （I）F（0，1）， 的方程为 代入 并化简得 …………2 分 设 则 由题意得 所以点 P 的坐标为 经验证，点 P 的坐标为 满足方程 故点 P 在椭圆 C 上。 …………6 分 （II）由 和题设知， PQ 的垂直平分线 的方程为 ① l 2 1y x= − + 2 2 12 yx + = 24 2 2 1 0.x x− − = 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y P x y 1 2 2 6 2 6, ,4 4x x − += = 1 2 1 2 1 2 2 , 2( ) 2 1,2x x y y x x+ = + = − + + = 3 1 2 3 1 2 2( ) , ( ) 1.2x x x y y y= − + = − = − + = − 2( , 1).2 − − 2( , 1)2 − − 2 2 1,2 yx + = 2( , 1)2P − − 2( ,1)2Q 1l 2 .2y x= − 设 AB 的中点为 M，则 ，AB 的垂直平分线为 的方程为 ② 由①、②得 的交点为 。 …………9 分 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12 分 35.（全国新课标理 20） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A（0，-1），B 点在直线 上，M 点满足 ， ，M 点的轨迹为曲线 C． （I）求 C 的方程； （II）P 为 C 上动点， 为 C 在点 P 处的切线，求 O 点到 距离的最小值． (20）解： (Ⅰ)设 M(x，y)，由已知得 B(x，-3)，A(0，-1). 所以 =（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2). 再由题意可知（ + ）• =0， 即（-x，-4-2y）• (x，-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. 2 1( , )4 2M 2l 2 1 .2 4y x= + 1 2,l l 2 1( , )8 8N − 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 3 11| | ( ) ( 1 ) ,2 8 8 8 3 2| | 1 ( 2) | | ,2 3 2| | ,4 2 2 1 1 3 3| | ( ) ( ) ,4 8 2 8 8 3 11| | | | | | ,8 NP AB x x AM MN NA AM MN = − + + − − = = + − ⋅ − = = = + + − = = + = 3y = − / /MB OA  MA AB MB BA=      l l MA MB AB MA MB AB 1 4 2 (Ⅱ)设 P(x ，y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x，所以 的斜率为 x 因此直线 的方程为 ，即 ． 则 O 点到 的距离 .又 ，所以 当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. 36.（山东理 22） 已知动直线 与椭圆 C: 交于 P 、Q 两不同点，且△OPQ 的面积 = ,其中 O 为坐标原点. （Ⅰ）证明 和 均为定值; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M，求 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G，使得 ?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. （I）解：（1）当直线 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称， 所以 因为 在椭圆上， 因此 ① 又因为 所以 ② 0 0 1 4 2 ' 1 2 l 1 2 0 l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 0 02 2 0x x y y x− + − = l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x l l 2 2 13 2 x y+ = ( )1 1,x y ( )2 2,x y OPQS∆ 6 2 2 2 1 2x x+ 2 2 1 2y y+ | | | |OM PQ⋅ 6 2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = = l 2 1 2 1, .x x y y= = − 1 1( , )P x y 2 2 1 1 13 2 x y+ = 6 ,2OPQS∆ = 1 1 6| | | | .2x y⋅ = 由①、②得 此时 （2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 由题意知 m ，将其代入 ，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因为点 O 到直线 的距离为 所以 又 整理得 且符合（*）式， 此时 1 1 6| | ,| | 1.2x y= = 2 2 2 2 1 2 1 23, 2,x x y y+ = + = l l ,y kx m= + 0≠ 2 2 13 2 x y+ = 2 2 2(2 3 ) 6 3( 2) 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 236 12(2 3 )( 2) 0,k m k m∆ = − + − > 2 23 2k m+ > 2 1 2 1 22 2 6 3( 2), ,2 3 2 3 km mx x x xk k −+ = − =+ + 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 6 3 2| | 1 ( ) 4 1 ,2 3 k mPQ k x x x x k k + −= + ⋅ + − = + ⋅ + l 2 | | 1 , md k = + 1 | |2OPQS PQ d∆ = ⋅ 2 2 2 2 2 1 2 6 3 2 | |12 2 3 1 k m mk k k + −= + ⋅ ⋅+ + 2 2 2 6 | | 3 2 2 3 m k m k + −= + 6 ,2OPQS∆ = 2 23 2 2 ,k m+ = 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6 3( 2)( ) 2 ( ) 2 3,2 3 2 3 km mx x x x x x k k −+ = + − = − − × =+ + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2(3 ) (3 ) 4 ( ) 2.3 3 3y y x x x x+ = − + − = − + = 综上所述， 结论成立。 （II）解法一： （1）当直线 的斜率存在时， 由（I）知 因此 （2）当直线 的斜率存在时，由（I）知 所以 所以 ，当且仅当 时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为 解法二： 因为 所以 2 2 2 2 1 2 1 23; 2,x x y y+ = + = l 1 1 6| | | | ,| | 2 | | 2,2OM x PQ y= = = = 6| | | | 2 6.2OM PQ⋅ = × = l 1 2 3 ,2 2 x x k m + = 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2( ) ,2 2 2 2 9 1 6 2 1 1| | ( ) ( ) (3 ),2 2 4 4 2 24(3 2 ) 2(2 1) 1| | (1 ) 2(2 ),(2 3 ) y y x x k k mk m mm m m x x y y k mOM m m m m k m mPQ k k m m + + − + 1= + = − + = = + + −= + = + = = − + − += + = = ++ 2 2 2 2 1 1 1| | | | (3 ) 2 (2 )2OM PQ m m ⋅ = × − × × + 2 2 2 2 2 1 1(3 )(2 ) 1 13 2 25( ) .2 4 m m m m = − + − + + ≤ = 5| | | | 2OM PQ⋅ ≤ 2 2 1 13 2 , 2mm m − = + = ±即 5.2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 14 | | | | ( ) ( ) ( ) ( )OM PQ x x y y x x y y+ = + + + + − + − 2 2 2 2 1 2 1 22[( ) ( )] 10. x x y y= + + + = 2 24 | | | | 102 | | | | 5.2 5 OM PQOM PQ +⋅ ≤ = = 即 当且仅当 时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 （III）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G，使得 证明：假设存在 ， 由（I）得 因此 D，E，G 只能在 这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与 矛盾， 所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G. 37.（陕西理 17） 如图，设 P 是圆 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的摄影，M 为 PD 上一点，且 （Ⅰ）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度 解：（Ⅰ）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（xp,yp） 5| | | | ,2OM PQ⋅ ≤ 2 | | | | 5OM PQ= = 5.2 6 .2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = = 1 1 2 2 6( , ), ( , ), ( , ) 2ODE ODG OEGD u v E x y G x y S S S∆ ∆ ∆= = =满足 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3, 3, 3; 2, 2, 2, 3 ; 1.2 5, , , , , 1 ,2 u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y + = + = + = + = + = + = = = = = = = ± ± 解得 因此 只能从 中选取 只能从 中选取 6( , 1)2 ± ± 6 2ODE ODG OEGS S S∆ ∆ ∆= = = 2 2 25x y+ = 4 5MD PD= 4 5 由已知得 ∵P 在圆上， ∴ ，即 C 的方程为 （Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为 ， 设直线与 C 的交点为 将直线方程 代入 C 的方程，得 即 ∴ ∴ 线段 AB 的长度为 注：求 AB 长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。 38.（上海理 23） 已知平面上的线段 及点 ，在 上任取一点 ，线段 长度的最小值 称为点 到线段 的距离，记作 。 （1）求点 到线段 的距离 ； （2）设 是长为 2 的线段，求点集 所表示图形的面积； （3）写出到两条线段 距离相等的点的集合 ，其中 ， 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2 分，② 6 分，③8 分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。 。 ② 。 , 5 ,4 xp x yp y = = 2 2 5 254x y + =   2 2 125 16 x y+ = 4 5 ( )4 35y x= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )4 35y x= − ( )22 3 125 25 xx −+ = 2 3 8 0x x− − = 1 2 3 41 3 41,2 2x x − += = ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 2 16 41 411 4125 25 5AB x x y y x x = − + − = + − = × =   l P l Q PQ P l ( , )d P l (1,1)P : 3 0(3 5)l x y x− − = ≤ ≤ ( , )d P l l { | ( , ) 1}D P d P l= ≤ 1 2,l l 1 2{ | ( , ) ( , )}P d P l d P lΩ = = 1 2,l AB l CD= = , , ,A B C D (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1,0)A B C D− − (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1, 2)A B C D− − − 1 -1 -1 1 y xO BA ③ 。 解：⑴ 设 是线段 上一点，则 ， 当 时 ， 。 ⑵ 设线段 的端点分别为 ，以直线 为 轴， 的中点为原点建立直角坐标系， 则 ，点集 由如下曲线围成 ， 其面积为 。 ⑶ ① 选择 ， ② 选择 。 ③ 选择 。 (0,1), (0,0), (0,0), (2,0)A B C D ( , 3)Q x x − : 3 0(3 5)l x y x− − = ≤ ≤ 2 2 25 9| | ( 1) ( 4) 2( ) (3 5)2 2PQ x x x x= − + − = − + ≤ ≤ 3x = min( , ) | | 5d P l PQ= = l ,A B AB x AB ( 1,0), (1,0)A B− D 1 2: 1(| | 1), : 1(| | 1)l y x l y x= ≤ = − ≤ 2 2 2 2 1 2:( 1) 1( 1), :( 1) 1( 1)C x y x C x y x+ + = ≤ − − + = ≥ 4S π= + (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1,0)A B C D− − {( , ) | 0}x y xΩ = = (1,3), (1,0), ( 1,3), ( 1, 2)A B C D− − − 2{( , ) | 0, 0} {( , ) | 4 , 2 0} {( , ) | 1 0, 1}x y x y x y y x y x y x y xΩ = = ≥ = − ≤ < + + = >  (0,1), (0,0), (0,0), (2,0)A B C D {( , ) | 0, 0} {( , ) | ,0 1}x y x y x y y x xΩ = ≤ ≤ = < ≤ 2{( , ) | 2 1,1 2} {( , ) | 4 2 3 0, 2}x y x y x x y x y x= − < ≤ − − = >  D B=C A 1 2 2.5 y x -2 x y -1 1 3 A B C D O O D C B A3 1-1 y x 39.（四川理 21） 椭圆有两顶点 A（-1，0）、B（1，0），过其焦点 F（0，1）的直线 l 与椭圆交于 C、D 两 点，并与 x 轴交于点 P．直线 AC 与直线 BD 交于点 Q． （I）当|CD | = 时，求直线 l 的方程； （II）当点 P 异于 A、B 两点时，求证： 为定值。 解：由已知可得椭圆方程为 ，设 的方程为 为 的斜率。 则 的方程为 40.（天津理 18）在平面直角坐标系 中，点 为动点， 分别为 椭圆 的左右焦点．已知△ 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率 ； （Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 两点， 是直线 上的点，满足 ， 3 22 OP OQ⋅  2 2 12 y x+ = l 1 ( 0),y k x k− = − l 1 21 2 22 2 22 22 1 2 1 22 2 421 22(2 ) 2 1 0 1 2 212 2 2 ky kx y yx x kkk x kxy kx x x y yk k = + + = + = −    ++⇒ + + − = ⇒  − − ++ =  = =  + + 2 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 8 8 8 8 9( ) ( ) 2 2(2 ) (2 ) 2 k k kx x y y k kk k + +− + − = + = ⇒ = ⇒ = −+ + l∴ 2 1y x= − + xOy ( , )P a b ( 0)a b> > 1 2,F F 2 2 2 2 1x y a b + = 1 2F PF e 2PF ,A B M 2PF 2AM BM⋅ = −  求点 的轨迹方程． 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代 数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. （I）解：设 由题意，可得 即 整理得 （舍）， 或 所以 （II）解：由（I）知 可得椭圆方程为 直线 PF2 方程为 A，B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 解得 得方程组的解 不妨设 设点 M 的坐标为 ， 由 M 1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c− > 2 1 2| | | |,PF F F= 2 2( ) 2 .a c b c− + = 22( ) 1 0, 1c c c a a a + − = = −得 1 .2 c a = 1 .2e = 2 , 3 ,a c b c= = 2 2 23 4 12 ,x y c+ = 3( ).y x c= − 2 2 23 4 12 , 3( ). x y c y x c  + = = − 25 8 0.x cx− = 1 2 80, .5x x c= = 2 1 1 2 8 ,0, 5 3 , 3 3 .5 x cx y c y c  ==  = −  = 8 3 3( , ), (0, 3 )5 5A c c B c− 8 3 3( , ), ( , ), ( , 3 )5 5x y AM x c y c BM x y c= − − = + 则 33( ), .3y x c c x y= − = −得 于是 由 即 ， 化简得 将 所以 因此，点 M 的轨迹方程是 41.（浙江理 21） 已知抛物线 : ＝ ，圆 : 的圆心为点 M （Ⅰ）求点 M 到抛物线 的准线的距离； （Ⅱ）已知点 P 是抛物线 上一点（异于原点），过点 P 作圆 的两条切线，交抛物线 于 A，B 两点，若过 M，P 两点的直线 垂直于 AB，求直线 的方程 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 （I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 所以圆心 M（0，4）到准线的距离是 （II）解：设 ， 8 3 3 8 3 3( , ),15 5 5 5AM y x y x= − − ( , 3 ).BM x x= 2,AM BM⋅ = −  8 3 3 8 3 3( ) ( ) 3 215 5 5 5y x x y x x− ⋅ + − ⋅ = − 218 16 3 15 0.x xy− − = 2 218 15 3 10 5, 0.3 1616 3 x xy c x y c xx − += = − = >代入 得 0.x > 218 16 3 15 0( 0).x xy x− − = > 1C 3x y 2C 2 2( 4) 1x y+ − = 1c 1c 2c 1c l l 1 ,4y = − 17 .4 2 2 2 0 0 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x x A x x B x x 则题意得 ， 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 ， 即 ① 则 即 ， 设 PA，PB 的斜率为 ，则 是上述方程的两根，所以 将①代入 由于 是此方程的根， 故 ，所以 由 ，得 ， 解得 即点 P 的坐标为 ， 所以直线 的方程为 42.（重庆理 20）如题（20）图，椭圆的中心为原点 ，离心率 ，一条准线的方程 为 ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点 满足： ，其中 是椭圆上的点，直线 与 0 0 1 20, 1,x x x x≠ ≠ ± ≠ 2 0 0( )y x k x x− = − 2 0 0y kx kx x= − + 2 0 0 2 | 4 | 1, 1 kx x k + − = + 2 2 2 2 2 0 0 0 0( 1) 2 (4 ) ( 4) 1 0x k x x k x− + − + − − = 1 2 1 2, ( )k k k k≠ 1 2,k k 2 2 2 0 0 0 1 2 1 22 2 0 0 2 ( 4) ( 4) 1, .1 1 x x xk k k kx x − − −+ = =− − 2 2 2 0 0 0,y x x kx kx x= − + − =得 0x 1 1 0 2 2 0,x k x x k x= − = − 2 22 2 0 0 01 2 1 2 1 2 0 02 1 2 0 0 2 ( 4) 42 2 , .1AB MP x x xx xk x x k k x x kx x x x − −−= = + = + − = − =− − MP AB⊥ 2 2 0 0 0 02 0 0 2 ( 4) 4( 2 ) ( 1)1AB MP x x xk k xx x − −⋅ = − ⋅ = −− 2 0 23,5x = 23 23( , )5 5 ± l 3 115 4.115y x= ± + O e 2= 2 x = 2 2 P OP OM ON= + 2   ,M N OM ON 的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点 ，使得 为定值？若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由． 解：（I）由 解得 ，故椭圆的标准方程为 （II）设 ，则由 得 因为点 M，N 在椭圆 上，所以 ， 故 1− 2 ,F F1 2 PF PF1 2+ ,F F1 2 22 , 2 2,2 c ae a c = = = 2 2 22, 2, 2a c b a c= = = − = 2 2 1.4 2 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y M x y N x y 2OP OM ON= +   1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) 2( , ) ( 2 , 2 ), 2 , 2 . x y x y x y x x y y x x x y y y = + = + + = + = +即 2 22 4x y+ = 2 2 2 2 1 1 2 22 4, 2 4x y x y+ = + = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ( 4 4 ) 2( 4 4 )x y x x x x y y y y+ = + + + + + 设 分别为直线 OM，ON 的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以 P 点是椭圆 上的点，设该椭圆的左、右焦点为 F1，F2，则由椭 圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因 ，因此两焦点的坐标为 2010 年高考题 一、选择题 1.（2010 湖南文）5. 设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点 的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 2.（2010 浙江理）（8）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点.若 在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴 长，则该双曲线的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系， 可知答案选 C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知 识能力的考察，属中档题 3.（2010 全国卷 2 理）（12）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 2 ) 4( 2 ) 4( 2 ) 20 4( 2 ). x y x y x x y y x x y y = + + + + + = + + ,OM ONk k 1 2 1 2 1 ,2OM ON y yk k x x ⋅ = = − 1 2 1 22 0,x x y y+ = 2 22 20.x y+ = 2 2 2 2 1 (2 5) ( 10) x y+ = 2 2(2 5) ( 10) 10c = − = 1 2( 10,0), ( 10,0).F F− 2 8y x= 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = ＞ ＞ P 2 1 2PF F F= 2F 1PF 3 4 0x y± = 3 5 0x y± = 4 3 0x y± = 5 4 0x y± = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = ＞ ＞ 3 2 点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则 （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，A1，B 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，由第二定义得， ，由 ， 得 ， ∴ 即 k= ，故选 B. 4.（2010 陕西文）9.已知抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，则 p 的值为 （A） （B）1 （C）2 （D）4 【答案】 C 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线 y2＝2px（p>0）的准线方程为 ，因为抛物线 y2＝2px（p>0）的准线 与圆（x－3）2＋y2＝16 相切，所以 法二：作图可知，抛物线 y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16 相切与点（-1,0） 所以 5.（2010 辽宁文）（9）设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与 该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 【答案】D F ( 0)k k＞ C A B、 3AF FB=  k = 2 3 1 2 2 px −= 2,423 ==+ pp 2,12 =−=− pp F B FB 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 轴上，设其方程为： ， 则一个焦点为 一条渐近线斜率为： ，直线 的斜率为： ， ， ，解得 . 6.（2010 辽宁文）（7）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足，如果直线 斜率为 ，那么 （A） （B） 8 （C） （D） 16 【答案】 B 解析：选 B.利用抛物线定义，易证 为正三角形，则 7.（2010 辽宁理）(9)设双曲线的—个焦点为 F；虚轴的—个端点为 B，如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条 件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为 ，则 F（c,0）,B(0,b) 直线 FB：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= 垂直，所以 ，即 b2=ac 所以 c2-a2=ac,即 e2-e-1=0,所以 或 （舍去） 8.（2010 辽宁理）(7)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F，准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为 垂足．如果直线 AF 的斜率为 ,那么|PF|= (A) (B)8 (C) (D) 16 x 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > ( ,0), (0, )F c B b b a FB b c − ( ) 1b b a c ∴ ⋅ − = − 2b ac∴ = 2 2 0c a ac− − = 5 1 2 ce a += = 2 8y x= F l P PA l⊥ A AF 3− PF = 4 3 8 3 PAF∆ 4| | 8sin30PF °= = 2 3 3 1 2 + 5 1 2 + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > b xa 1b b c a − = − 1 5 2e += 1 5 2e −= - 3 4 3 8 3 【答案】B 【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系， 考查了等价转化的思想。 【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 F （ 2 ， 0 ） ， 直 线 AF 的 方 程 为 ， 所 以 点 、 ，从而|PF|=6+2=8 9.（2010 全国卷 2 文）（12）已知椭圆 C： （a>b>0）的离心率为 ，过右焦 点 F 且斜率为 k（k>0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若 。则 k = （A）1 （B） （C） （D）2 【答案】B 【 解 析 】 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 设 ， ，∴ ，直线 AB 方程为 。代入消去 ，∴ ，∴ ， ，解得 ， 10.（2010 浙江文）（10）设 O 为坐标原点， , 是双曲线 （a＞0，b＞0）的 焦点，若在双曲线上存在点 P，满足∠ P =60°，∣OP∣= ,则该双曲线的渐近线方 程为 （A）x± y=0 （B） x±y=0 （C）x± =0 （D） ±y=0 【答案】 D 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 3( 2)y x= − − ( 2,4 3)A − (6,4 3)P 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 3AF FB=  2 3 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 3AF FB=  1 23y y= − 3 2e = 2 , 3a t c t= = b t= 2 2 24 4 0x y t+ − = 3x sy t= + x 2 2 2( 4) 2 3 0s y sty t+ + − = 2 1 2 1 22 2 2 3 ,4 4 st ty y y ys s + = − = −+ + 2 2 2 22 2 2 32 , 34 4 st ty ys s − = − − = −+ + 2 1 2s = 2k = 1F 2F 2 2 2 2 x y 1a b − = 1F 2F 7a 3 3 2y 2x 11.（2010 重庆理）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且 平行于另一条直线的平面内的轨迹是 A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 【答案】 D 解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B 12.（2010 山东文）（9）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 线与 、 两点，若线段 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 13.（2010 四川理）（9）椭圆 的右焦点 ，其右准线与 轴的交点 为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是 ∈[a－c,a＋c] 即 ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 2 2 ( 0)y px p= > A B AB 1x = 1x = − 2x = 2x = − 2 2 2 2 1( )x y a ba b + = > > 0 F x F 20, 2      10,2     )2 1,1 − 1,12    F 2 2a bcc c − = 2b c 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 故 e∈ 【答案】D 14.（2010 天津理）(5)已知双曲线 的一条渐近线方程是 y= , 它的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。 依题意知 ，所以双曲线的方程为 【温馨提示】选择、填空中的圆锥曲线问题通常考查圆锥曲线的定义与基本性质，这部分内 容也是高考的热点内容之一，在每年的天津卷中三种软件曲线都会在题目中出现。 15.（2010 广东文）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的 离心率是 A. B. C. D. 【答案】B 16.（2010 福建文）11．若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点，点 P 为椭 圆上的任意一点，则 的最大值为 A．2 B．3 C．6 D．8 1,12    2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3x 2 24y x= 2 2 136 108 x y− = 2 2 19 27 x y− = 2 2 1108 36 x y− = 2 2 127 9 x y− = 2 2 2 2 2 3 6 9, 27 b a c a b c a b+  =  = ⇒ = =  =  2 2 19 27 x y− = 5 4 5 3 5 2 5 1 2 2 14 3 x y+ = OP FP   【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0），设点 P ，则有 ,解得 ， 因为 ， ，所以 = = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 17.（2010 全国卷 1 文）（8）已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ = ，则 (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【答案】B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通 过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos∠ P = 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 4 0 0( , )x y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 0 0 3(1 )4 xy = − 0 0( 1, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 1)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 1)OP FP x x⋅ = + +  2 03(1 )4 x− 2 0 0 34 x x+ + 0 2x = − 02 2x− ≤ ≤ 0 2x = OP FP⋅  22 2 3 64 + + = 1F 2F 2 2 1x y− = 1F P 2F 060 1 2| | | |PF PF = 1F 2F 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | 2 | || | PF PF F F PF PF + − ( ) ( )22 2 2 1 21 2 1 2 1 20 1 2 1 2 2 2 2 22 1cos60 2 2 2 PF PFPF PF PF PF F F PF PF PF PF + −− + −⇒ = ⇒ = 1 2| | | |PF PF = 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 60 1 1 3cot 1 cot 3 sin 602 2 2 2 2F PFS b PF PF PF PF θ ∆ = = = = = 1 2| | | |PF PF = 18.（2010 全国卷 1 理）(9)已知 、 为双曲线 C: 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ P = ，则 P 到 x 轴的距离为 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B 19.（2010 四川文）（10）椭圆 的右焦点为F，其右准线与 轴的交 点为 ．在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 （A）（0， ] （B）（0， ] （C）[ ，1） （D）[ ，1） 【答案】D 【解析】由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 ， 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而|FA|＝ |PF|∈[a－c,a＋c] 于是 ∈[a－c,a＋c] 即 ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴ ⇒ 又 e∈(0,1) 1F 2F 2 2 1x y− = 1F 2F 060 3 2 6 2 3 6 ( )2 2 2 2 1 0x y aa b + = ＞b＞ x A 2 2 1 2 2 1− 1 2 F 2 2a bcc c − = 2b c 2 2 2 2 2 2 ac c a c a c ac c  − ≤ − − ≤ + 1 11 2 c a c c a a  ≤  ≤ − ≥ 或 故 e∈ 20.（2010 四川文）(3)抛物线 的焦点到准线的距离是 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】C 【解析】由 y2＝2px＝8x 知 p＝4 又交点到准线的距离就是 p 21.（2010 湖北文）9.若直线 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围 是 A.[ , ] B.[ ,3] C.[-1, ] D.[ ,3] 22.（2010 山东理）(7)由曲线 y= ,y= 围成的封闭图形面积为[来源:Www.ks5u.com] （A） (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为 ,故选 A。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。 23.（2010 安徽理）5、双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】双曲线的 ， ， ，所以右焦点为 . 1,12    2 8y x= y x b= + 23 4y x x= − − 1 2 2− 1 2 2+ 1 2− 1 2 2+ 1 2 2− 2x 3x 1 12 1 4 1 3 7 12 1 2 3 0 x -x )dx=∫（ 1 1 11- 1=3 4 12 × × 2 22 1x y− = 2 ,02       5 ,02       6 ,02       ( )3,0 2 2 11, 2a b= = 2 3 2c = 6 2c = 6 ,02       【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 求出 c 即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 或 ，从而得出错误结论. 24.（2010 湖北理数）9.若直线 y=x+b 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围 是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2，3）半径为 2 的半圆，依据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线 y=x+b 距离等于 2，解得 ，因为是下半圆故可得 （舍），当直 线过（0，3）时，解得 b=3,故 所以 C 正确. 25.（2010 福建理） A． ①④ B． ②③ C．②④　　　　　D．③④ 【答案】C 2 2 2c a b= + 2 1b = 2 2b = 23 4y x x= − − 1,1 2 2 − +  1 2 2,1 2 2 − +  1 2 2,3 −  1 2,3 −  2 2( 2) ( 3) 4(1 3)x y y− + − = ≤ ≤ y x b= + 1 2 2 1 2 2b b= + = −或 1 2 2b = + 1 2 2 3,b− ≤ ≤ 【解析】经分析容易得出②④正确，故选 C。 【命题意图】本题属新题型，考查函数的相关知识。 26.（2010 福建理）7．若点 O 和点 分别是双曲线 的中心和左焦 点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方 程为 ，设点 P ，则有 ，解得 ， 因 为 ， ， 所 以 = ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ，故 的取值范 围是 ，选 B。 【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运 算能力。 27.（2010 福建理数）2．以抛物线 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的 半径为 ，故所求圆的方程为 ，即 ，选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。 二、填空题 ( 2,0)F − 2 2 2 1(a>0)a x y− = OP FP⋅  [3-2 3, )+∞ [3 2 3, )+ +∞ 7[- , )4 +∞ 7[ , )4 +∞ ( 2,0)F − 2 1 4a + = 2 3a = 2 2 13 x y− = 0 0( , )x y 2 20 0 01( 3)3 x y x− = ≥ 2 2 0 0 01( 3)3 xy x= − ≥ 0 0( 2, )FP x y= + 0 0( , )OP x y= 2 0 0 0( 2)OP FP x x y⋅ = + +  0 0( 2)x x + + 2 0 13 x − = 2 0 0 4 2 13 x x+ − 0 3 4x = − 0 3x ≥ 0 3x = OP FP⋅  4 3 2 3 13 × + − = 3 2 3+ OP FP⋅  [3 2 3, )+ +∞ 2 4y x= 2 2x +y +2x=0 2 2x +y +x=0 2 2x +y -x=0 2 2x +y -2x=0 r=1 2 2x-1) +y =1（ 2 2x -2x+y =0 1.（2010 上海文）8.动点 到点 的距离与它到直线 的距离相等，则 的 轨迹方程为 。 【答案】y2=8x 【解析】考查抛物线定义及标准方程 定义知 的轨迹是以 为焦点的抛物线，p=2 所以其方程为 y2=8x 2.（2010 浙江理）（13）设抛物线 的焦点为 ，点 .若线段 的 中点 在抛物线上，则 到该抛物线准线的距离为_____________。 【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出 p 的值为 ，B 点坐标为（ ）所以 点 B 到抛物线准线的距离为 ，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题 3.（2010 全国卷 2 理）（15）已知抛物线 的准线为 ，过 且斜 率 为 的 直 线 与 相 交 于 点 ， 与 的 一 个 交 点 为 ． 若 ， 则 ． 【答案】2 【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质. 【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 于 E，∵ ，∴M 为中点，∴ ，又 斜率为 ， ，∴ ，∴ ，∴M 为抛物线的焦点，∴ 2. 4.（2010 全国卷 2 文）(15)已知抛物线 C：y2=2px（p>0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为 的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=_________ 【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设 直 线 AB ： ， 代 入 得 ， 又 ∵ ，∴ ，解得 ，解得 （舍去） 5.（2010江西理）15.点 在双曲线 的右支上，若点A到右焦点的距离等于 P (2,0)F 2 0x + = P P (2,0)F 2 2 ( 0)y px p= > F (0,2)A FA B B 2 14 2 ， 3 24 2: 2 ( 0)C y px p= ＞ l (1,0)M 3 l A C B AM MB=  p = l AM MB=  1BM AB2 = 3 0BAE 30∠ = 1BE AB2 = BM BE= p = 3 3y x= − 2 2y px= 23 ( 6 2 ) 3 0x p x+ − − + = AM MB=  1 22x p= + 2 4 12 0p P+ − = 2, 6p p= = − 0 0( )A x y， 2 2 14 32 x y− = ，则 = 【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6, , 6.（2010 安徽文）(12)抛物线 的焦点坐标是 答案： 【解析】抛物线 ，所以 ，所以焦点 . 【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求 ，或求出 后，误认为焦点 ， 还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论. 7.（2010 重庆文）（13）已知过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点， ，则 ____________ . 【答案】 2 解析：由抛物线的定义可知 故 2 8.（2010 重庆理）(14)已知以 F 为焦点的抛物线 上的两点 A、B 满足 , 则弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 解析：设 BF=m,由抛物线的定义知 中，AC=2m,AB=4m, 直线 AB 方程为 与抛物线方程联立消 y 得 所以 AB 中点到准线距离为 02x 0x r ed = 3r d⇒ = 2 0 0 02 3( ) 2ax x xc = − ⇒ = 2 8y x= (2,0) 2 8y x= 4p = (2,0) p p ( ,0)p 2 4y x= F A B 2AF = BF = 1 2AF AA KF= = = AB x∴ ⊥ 轴 AF = BF = 2 4y x= 3AF FB=  mBBmAA == 11 ,3 ABC∆∴ 3=ABk )1(3 −= xy 03103 2 =+− xx 3 813 512 21 =+=++ xx 9.（2010 北京文）（13）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 答案：( ) 10.（2010 北京理）（13）已知双曲线 的离心率为 2，焦点与椭圆 的 焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 【答案】（ ，0） 11..（2010 天津文）（13）已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同。则双曲线的方程为 。 【答案】 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知 ① 因为抛物线的焦点为（4，0），所以 c=4 ② 又 ③ 联立①②③，解得 ，所以双曲线的方程为 【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中 c 最大。 12.（2010 福建文数）13． 若双曲线 - =1(b>0)的渐近线方程式为 y= ，则ｂ等 于　　　　　　　　。 【答案】1 【解析】由题意知 ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 13.（2010 全国卷 1 文数）(16)已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 x y− = 4,0± 3 0x y+ = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 125 9 χ γ+ = 4± 3 0x y = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= 2 16y x= 2 2 14 12 x y− = 3b a = 2 2 2c a b= + 2 24, 12a b= = 2 2 14 12 x y− = 2x 4 2 2 y b 1 x2 ± 1 2 2 b = F C B 的延长线交 于点 ， 且 ，则 的离心率为 . 【答案】 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、 第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程 思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助 数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图， , 作 轴于点 D1,则由 ，得 ,所以 , 即 ,由椭圆的第二定义得 又由 ,得 【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式 ，设 ，F 分 BD 所成的比为 2， ，代入 ， 14.（2010 全国卷 1 理） BF C D BF 2FD=  C 3 3 2 2| |BF b c a= + = 1DD y⊥ BF 2FD=  1 | | | | 2 | | | | 3 OF BF DD BD = = 1 3 3| | | |2 2DD OF c= = 3 2D cx = 2 23 3| | ( )2 2 a c cFD e ac a = − = − | | 2 | |BF FD= 232 ,ca a a = − 3 3e⇒ = 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2 2,D x y 2 2 2 2 30 2 23 3 3 0;1 2 2 2 1 2 2 2 2 c c c c y bx b y b bx x x c y y −+ + ⋅ −= ⇒ = = = ⇒ = = = −+ + 2 2 2 2 9 1 14 4 c b a b + = 3 3e⇒ = xO y B F 1D D 15. （ 2010 湖 北 文 ） 15. 已 知 椭 圆 的 两 焦 点 为 , 点 满 足 ,则| |+ |的取值范围为_______，直线 与椭圆 C 的公共 点个数_____。 【答案】 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 为 ，故范围为 .因为 在椭圆 的内部，则直线 上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个. 16.（2010 江苏卷）6、在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 上一点 M，点 M 的横 坐标是 3，则 M 到双曲线右焦点的距离是__________ 【解析】考查双曲线的定义。 ， 为点 M 到右准线 的距离， =2，MF=4。 三、解答题 1.（2010 上海文）23（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题 满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 2 2: 12 xc y+ = 1 2,F F 0 0( , )P x y 2 20 00 12 x y< + < 1PF 2PF 0 0 12 x x y y+ = [ )2,2 2 ,0 1 2 max(| | | |) 2 PF PF+ = 1 2 max(| | | |)PF PF+ ( 2 1) ( 2 1) =2 2 − + + [ )2,2 2 0 0( , )x y 2 2 12 x y+ = 0 0 12 x x y y ⋅ + ⋅ = 1124 22 =− yx 4 22 MF ed = = = d 1x = d 已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶 点. （1）若点 满足 ，求点 的坐标； （ 2 ） 设 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 ， 交 直 线 于 点 . 若 ，证明： 为 的中点； （3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐 标是（-8，-1），若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标. 解析：(1) ； (2) 由方程组 ，消 y 得方程 ， 因为直线 交椭圆 于 、 两点， 所以∆>0，即 ， 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， 则 ， 由方程组 ，消 y 得方程(k2−k1)x=p， 又因为 ，所以 ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 Γ 内，可以求得直线 OF 的斜率 k2， Γ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, )A b (0, )B b− ( ,0)Q a Γ M 1 ( )2AM AQ AB= +   M 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2:l y k x= E 2 1 2 2 bk k a ⋅ = − E CD P Γ x PQ F l l Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1 2PP PP PQ+ =   10a = 5b = P Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1P 2P ( , )2 2 a bM − 1 2 2 2 2 1 y k x p x y a b = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b+ + + − = 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2 2 2 1 0a k b p+ − > 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 x x a k px a k b b py k x p a k b  += = − +  = + = + 1 2 y k x p y k x = +  = 2 2 2 1 bk a k = − 2 1 02 2 2 2 1 1 2 2 02 2 2 1 a k ppx xk k a k b b py k x ya k b  = = − = − +  = = = + 由 知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率 ，从而得直线 l 的方程． ，直线 OF 的斜率 ，直线 l 的斜率 ， 解方程组 ，消 y：x2−2x−48=0，解得 P1(−6,−4)、P2(8,3)． 2.（2010 湖南文）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基 地，视冰川面为平面形，以过 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系（图 4）。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I） 求考察区域边界曲线的方程： （II） 如图 4 所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融 化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以后 每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界线 上？ 1 2PP PP PQ+ =   2 1 2 2 bk a k = − 1(1, )2F − 2 1 2k = − 2 1 2 2 1 2 bk a k = − = 2 2 1 12 1100 25 y x x y  = −  + = 1 2PP 3.（2010 浙江理）(21) （本题满分 15 分）已知 m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原点 在以线段 为直径的圆内，求实 数 的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考 察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （Ⅰ）解：因为直线 经过 ，所以 ,得 ， 2 : 02 ml x my− − = 2 2 2: 1xC ym + = 1, 2F F C l 2F l l C ,A B 1 2AF F 1 2BF F ,G H O GH m :l 2 02 mx my− − = 2 2 ( 1,0)F m − 2 2 1 2 mm − = 2 2m = 又因为 ，所以 ， 故直线 的方程为 。 （Ⅱ）解：设 。 由 ，消去 得 则由 ，知 ， 且有 。 由于 ， 故 为 的中点， 由 ， 可知 设 是 的中点，则 ， 由题意可知 即 即 而 1m > 2m = l 2 22 02x y− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 2 1 mx my x ym  = +  + = x 2 22 1 04 my my+ + − = 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 2 1 2 1 2 1,2 8 2 m my y y y+ = − = − 1 2( ,0), ( ,0),F c F c− O 1 2F F 2 , 2AG GO BH HO= =    1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3 x y x yG h 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 9 9 x x y yGH − −= + M GH 1 2 1 2( , )6 6 x x y yM + + 2 ,MO GH< 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9 x x y y x x y y+ + − −+ < + 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2 m mx x y y my my y y+ = + + + 所以 即 又因为 且 所以 。 所以 的取值范围是 。 4.（2010 全国卷 2 理）（21）（本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C： 相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 ． （Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F， ，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切． 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础 知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 2 2 1( 1 ( )8 2 mm= + −） 2 1 08 2 m − < 2 4m < 1m > 0∆ > 1 2m< < m (1,2) ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ ( )1,3M 17DF BF = 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为 背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. 5.（2010 陕西文）20.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直 线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 6.（2010 辽宁文）（20）（本小题满分 12 分） 设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 相交于 , 两点，直线 的倾斜角为 ， 到直线 的距离为 . （Ⅰ）求椭圆 的焦距； （Ⅱ）如果 ,求椭圆 的方程. 解：（Ⅰ）设焦距为 ，由已知可得 到直线 l 的距离 所以椭圆 的焦距为 4. （Ⅱ）设 直线 的方程为 联立 1F 2F 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 2F l C A B l 60 1F l 2 3 C 2 22AF F B=  C 2c 1F 3 2 3, 2.c c= =故 C 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0,A x y B x y y y< >由题意知 l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 42 2 2 2 3( 2), (3 ) 4 3 3 0. 1 y x a b y b y bx y a b  = − + + − = + = 得 解得 因为 即 得 故椭圆 的方程为 7.（2010 辽宁理）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, . (I) 求椭圆 C 的离心率； (II) 如果|AB|= ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 ，由题意知 ＜0， ＞0. （Ⅰ）直线 l 的方程为 ，其中 . 联立 得 解得 因为 ，所以 . 即 得离心率 . ……6 分 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ), .3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 2 1 22 , 2 .AF F B y y= − =  所以 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )2 .3 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 2 23. 4, 5.a a b b= − = =而 所以 C 2 2 1.9 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2AF FB=  15 4 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y 3( )y x c= − 2 2c a b= − 2 2 2 2 3( ), 1 y x c x y a b  = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − = 2 2 1 22 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3 b c a b c ay ya b a b − + − −= =+ + 2AF FB=  1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3 b c a b c a a b a b + − −= •+ + 2 3 ce a = = （Ⅱ）因为 ，所以 . 由 得 .所以 ，得 a=3， . 椭圆 C 的方程为 . ……12 分 8.（2010 全国卷 2 文）（22）（本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 相交于 B、D 两点，且 BD 的中 点为 M（1.3） （Ⅰ）（Ⅰ）求 C 的离心率； （Ⅱ）（Ⅱ）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|·|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆 与 x 轴相切。 【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1， 3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。 （2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含 A 的代数式表示，即可求得 A，则 A 点坐标可得 （1，0），由于 A 在 X 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得。 （2010 江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 ，抛物线 。 （1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率； （2） 设 A（0，b）， ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为 ，且△QMN 的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 2 1 11 3AB y y= + − 2 2 2 2 4 3 15 3 43 ab a b • =+ 2 3 c a = 5 3b a= 5 15 4 4a = 5b = 2 2 19 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 :C x by b+ = 2C 1C 1C 53 3 4Q    ， 1C 2C 3 4B b    0， 2C 1C 2C （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由 。 (2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设 ,由 的垂心为 B，有 。 由点 在抛物线上， ，解得： 故 ，得 重心坐标 . 由重心在抛物线上得： ， ，又因为 M、N 在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 9.（2010 安徽文数）17、（本小题满分 12 分） 椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴， 焦点 在 轴上，离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程； (Ⅱ)求 的角平分线所在直线的方程。 【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何 性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基 础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】（1）设椭圆方程为 ，把点 代入椭圆方程，把离心率 用 表示，再根据 ，求出 ，得椭圆方程；（2）可以设直线 l 上任一点 坐标为 ，根据角平分线上的点到角两边距离相等得 . 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的方程为 2 2c b= 2 2 2 2 2 2 1 22 , 2 2 ca b c c ea = + = = ⇒ =有 1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x− > AMN∆ 2 1 1 1 30 ( )( ) 04BM AN x y b y b⋅ = ⇒ − + − − =  1 1( , )N x y 2 2 1 1x by b+ = 1 1 ( )4 by y b= − =或 舍去 1 5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4 b bx b M b N b= − − − QMN∆ ( 3, )4 b 2 23 , =24 b b b+ = 所以 1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N− − − 2 16 3a = 2 2 16 3 14 x y+ = 2 2 4x y+ = E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E 1 2F AF∠ 2 2 2 2 1x y a b + = ( )2,3A 1 2e = ,a c 2 2 2a b c+ = 2 2,a b ( , )x y | 3 4 6 | | 2 |5 x y x − + = − 【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为 ，根据题目满足的条件 求出 ，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线 的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程. 10.（2010 重庆文数）（21）（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分. ） 已知以原点 为中心， 为右焦点的双曲线 的离心率 . （Ⅰ）求双曲线 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点 的直线 ： 与过点 （其中 ）的直线 ： 的交点 在双曲线 上，直线 与双曲线的 两条渐近线分别交于 、 两点，求 的值. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1. 1 1, , 3 , 1.2 2 4 3 1 3 1, 2, 1.16 12 3( ) ( 2,0), (2,0), ( 2),4 3 4 6 0. 2. x y a b c x ye b a c ca c c A c Ec c x y F AF x x y AF x E AF + = = = = − = ∴ + = + = = ∴ + = ∏ Ι − + − + = = ∠ 由 得 将（2，3）代入，有 解得： 椭圆 的方程为 由（ ）知F 所以直线 的方程为y= 即 直线 的方程为 由椭圆 的图形知， F 的角平分线所在直线的斜率为正 1 2 1 2 3 4 6 25 3 4 6 5 10, 2 8 0, x yAF x x y x x y AF − +∠ = − − + = − + − = ∠ 数。 设P（x, y）为 F 的角平分线所在直线上任一点，则有 若 得 其斜率为负，不合题意，舍去。 于是3x- 4y+6=- 5x+10, 即2x- y- 1=0. 所以， F 的角平分线所在直线的方程为2x- y- 1=0. 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2,a b O ( 5,0)F C 5 2e = C 1 1( , )M x y 1l 1 14 4x x y y+ = 2 2( , )N x y 2 1x x≠ 2l 2 24 4x x y y+ = E C MN G H OG OH   11.（2010 浙江文）（22）、（本题满分 15 分）已知 m 是非零实数，抛物线 （p>0） 的焦点 F 在直线 上。 （I）若 m=2，求抛物线 C 的方程 （II）设直线 与抛物线 C 交于 A、B，△A ,△ 的重心分别为 G,H 求证：对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。 2: 2C y ps= 2 : 02 ml x my− − = l 2A F 1BB F 12.（2010 重庆理）（20）（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分） 已知以原点 O 为中心， 为右焦点的( )5,0F 双曲线 C 的离心率 。 （I） 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； （II） 如题（20）图，已知过点 的直线 与过点 （其中 ）的直线 的交点 E 在双曲线 C 上，直线 MN 与 两条渐近线分别交与 G、H 两点，求 的面积。 5 2e = ( )1 1,M x y 1 1 1: 4 4l x x y y+ = ( )2 2,N x y 2x x≠ 2 2 2: 4 4l x x y y+ = OGH∆ 13.（2010 北京文）（19）（本小题共 14 分） 已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（Ⅰ）因为 ，且 ，所以 所以椭圆 C 的方程为 ( 2,0)− ( 2,0) 6 3 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 2 2 13 x y+ = （Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆 P 的半径为 解得 所以点 P 的坐标是（0， ） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 。因为点 在圆 P 上。所以 设 ，则 当 ，即 ，且 ， 取最大值 2. 14.（2010 北京理）（19）（本小题共 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 . 设点 的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点 的轨迹方程为 （ II ） 解 法 一 ： 设 点 的 坐 标 为 ， 点 ， 得 坐 标 分 别 为 , . (0, )( 1 1)p t t− < < 2 2 13 y t x y = + = 23(1 )x t= ± − 23(1 )t− 3 2t = ± 3 2 ± 2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − cos , (0, )t θ θ π= ∈ 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t πθ θ θ+ − = + = + 3 πθ = 1 2t = 0x = y 1 3 − ( 1,1)− O B (1, 1)− P ( , )x y 1 1 1 1 1 3 y y x x − + = −+ − 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 0 0( , )x y M N (3, )My (3, )Ny 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 令 得 ， . 于是 得面积 又直线 的方程为 ， ， 点 到直线 的距离 . 于是 的面积 当 时，得 又 ， 所以 = ，解得 。 因为 ，所以 故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 . 解法二：若存在点 使得 与 的面积相等，设点 的坐标为 则 . 因为 , 所以 所以 AP 0 0 11 ( 1)1 yy xx −− = ++ BP 0 0 11 ( 1)1 yy xx ++ = −− 3x = 0 0 0 4 3 1M y xy x + −= + 0 0 0 2 3 1N y xy x − += − PMN 2 0 0 0 0 2 0 | | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N x y xS y y x x + −= − − = − AB 0x y+ = | | 2 2AB = P AB 0 0| | 2 x yd += PAB 0 0 1 | | | |2PABS AB d x y= = +   PAB PMNS S=   2 0 0 0 0 0 2 0 | | (3 )| | | 1| x y xx y x + −+ = − 0 0| | 0x y+ ≠ 2 0(3 )x− 2 0| 1|x − 0 5| 3x = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± P PAB PMN P 0 0( , )x y 1 1| | | | sin | | | | sin2 2PA PB APB PM PN MPN∠ = ∠  sin sinAPB MPN∠ = ∠ | | | | | | | | PA PN PM PB = 0 0 0 | 1| | 3 | | 3 | | 1| x x x x + −=− − 即 ，解得 因为 ，所以 故存在点 S 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 . 15.（2010 四川理）（20）（本小题满分 12 分） 已知定点 A(－1，0)，F(2，0)，定直线 l：x＝ ，不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它 到直线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N （Ⅰ）求 E 的方程； （Ⅱ）试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由. 本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理 运算能力. 解：(1)设 P(x,y)，则 化简得 x2－ =1(y≠0)………………………………………………………………4 分 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0) 与双曲线 x2－ =1 联立消去 y 得 (3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知 3－k2≠0 且△＞0 设 B(x1,y1),C(x2,y2)， 则 y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4] 2 2 0 0(3 ) | 1|x x− = − 0x 5 3 = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± 1 2 2 2 1( 2) 2 | |2x y x− + = − 2 3 y 2 3 y 2 1 2 2 2 1 2 2 4 3 4 3 3 kx x k kx x k  + = − + = − ＝k2( ＋4) ＝ 因为 x1、x2≠－1 所以直线 AB 的方程为 y＝ (x＋1) 因此 M 点的坐标为( ) ,同理可得 因此 ＝ ＝0 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时，起方程为 x＝2，则 B(2,3),C(2,－3) AB 的方程为 y＝x＋1,因此 M 点的坐标为( )， 同理可得 因此 ＝0 综上 ＝0，即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F………………………………………………12 分 16.（2010 天津文）（21）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 （a>b>0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4. 2 2 2 2 4 3 8 3 3 k k k k + −− − 2 2 9 3 k k − − 1 1 1 y x + 1 1 31 ,2 2( 1) y x + 1 1 33( , )2 2( 1) yFM x = − +  2 2 33( , )2 2( 1) yFN x = − +  2 1 2 1 2 93( )2 2( 1)( 1) y yFM FN x x = − + + +    2 2 2 2 2 2 81 4 3 4 3 49 4( 1)3 3 k k k k k k − −+ + + +− − 1 3,2 2 3 3( , )2 2FM = − 3 3( , )2 2FN = − − 23 3 3( ) ( )2 2 2FM FN = − + × −   FM FN   2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 ，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，且 .求 的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （Ⅰ）解：由 e= ，得 .再由 ，解得 a=2b. 由题意可知 ，即 ab=2. 解方程组 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 . 由 ，得 .从而 . 所以 . 由 ，得 . 整理得 ，即 ，解得 k= . 4 2AB 5| | = y0（0， ） QA QB=4   y0 3 2 c a = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 1 2 2 42 a b× × = 2 , 2, a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 1 1( , )x y 2 2 ( 2), 1.4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 42 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 8 1 4 kx k −= + 1 2 4 1 4 ky k = + 2 22 2 2 2 2 2 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4 k k kAB k k k  − + = − − + =   + + +   4 2| | 5AB = 2 2 4 1 4 2 1 4 5 k k + =+ 4 232 9 23 0k k− − = 2 2( 1)(32 23) 0k k− + = 1± 所以直线 l 的倾斜角为 或 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 由 ，得 。 （2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 。 令 ，解得 。 由 ， ， ， 整理得 。故 。所以 。 综上， 或 17.（2010 天津理）（20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4。 （1） 求椭圆的方程； （2） 设直线 与椭圆相交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ），点 在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值 【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分 12 分 4 π 3 4 π 2 2 2 8 2,1 4 1 4 k k k k  − + +  ( ) ( )0 02, , 2, .QA y QB y= − − = −  4QA QB• =  y 2 2= ±0 0k ≠ 2 2 2 2 1 8 1 4 1 4 k ky xk k k  − = − + + +  0x = 0 2 6 1 4 ky k = − + ( )02,QA y= − − ( )1 1 0,QB x y y= − ( ) ( )2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k − −  • = − − − = + + + + + +    ( ) ( ) 4 2 22 4 16 15 1 4 1 4 k k k + − = = + 27 2k = 14 7k = ± 0 2 14 5y = ± 0 2 2y = ± 0 2 14 5y = ± 2 2 2 2 1( 0x y a ba b + = > > ） 3 2e = l ,A B A ,0a− 0(0, )Q y AB 4QA QB =   0y （1）解：由 ，得 ，再由 ，得 由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1 所以椭圆的方程为 (2)解：由（1）可知 A（-2,0）。设 B 点的坐标为（x1,,y1）,直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y=k(x+2), 于是 A,B 两点的坐标满足方程组 由方程组消去 Y 并整理，得 由 得 设线段 AB 是中点为 M，则 M 的坐标为 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标为（2,0）。线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 （2）当 K 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0，解得 由 3e 2 c a = = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 2a b= 1 2 2 4, 22 a b ab× × = =即 2 2 a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 2 2 ( 2) 14 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 42 ,1 4 kx k −− = + 2 1 12 2 2 8 4, ,1 4 1 4 k kx yk k −= =+ +从而 2 2 2 8 2( , )1 4 1 4 k k k k − + + 0 0 0( 2, y ), (2, = 2QA QB y QA QB y → → → → = − − = − ±）由 4，得 = 2 0≠ 2 2 2 2 1 8( )1 4 1 4 k kY xk k k − = ++ + 0 2 6 1 4 ky k = + 0 1 1 0( 2, y ), ( ,QA QB x y y → → = − − = − ） 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2(2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k → → − −= − − − + ++ + + + ）= 整理得 综上 18.（2010 广东理） 21．（本小题满分 14 分） 设 A( ),B( )是平面直角坐标系 xOy 上的两点，先定义由点 A 到点 B 的一种 折线距离 p(A,B)为 . 当且仅当 时等号成立，即 三点共线时 等号成立. （2）当点 C(x, y) 同时满足①P +P = P ，②P = P 时，点 是线段 的中点. ，即存在点 满足条件。 19.（2010 广东理）20．（本小题满分为 14 分） 一条双曲线 的左、右顶点分别为 A1,A2，点 ， 是双曲线上 4 2 2 2 4(16 15 1) 4(1 4 ) k k k + − =+= 2 0 14 2 147 2, =7 5k k y= = ± ±故 所以 0 0 2 14= 2 2 = 5y y± ±或 1 1,x y 2 2,x y 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y= − + − 1 2 1 2( )( ) 0,( )( ) 0x x x x y y y y− − ≥ − − ≥ , ,A B C ( , )A C ( , )C B ( , )A B ( , )A C ( , )C B C AB 1 2 1 2,2 2 x x y yx y + += = 1 2 1 2( , )2 2 x x y yC + + 2 2 12 x y− = 1 1( , )P x y 1 1( , )Q x y− 不同的两个动点。 （1）求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式； （2）若过点 H(0, h)（h>1）的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点，且 , 求 h 的值。 故 ，即 。 （2）设 ，则由 知， 。 将 代入 得 ，即 ， 由 与 E 只有一个交点知， ，即 。 同理，由 与 E 只有一个交点知， ，消去 得 ，即 ，从 而 ，即 。 20.（2010 广东文）21.（本小题满分 14 分） 已知曲线 ,点 是曲线 上的点 ， 1 2l l⊥ 2 21 ( 2)2y x= − − 2 2 12 x y+ = 1 :l y kx h= + 1 2l l⊥ 2 1:l y x hk = − + 1 :l y kx h= + 2 2 12 x y+ = 2 2( ) 12 x kx h+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x khx h+ + + − = 1l 2 2 2 216 4(1 2 )(2 2) 0k h k h∆ = − + − = 2 21 2k h+ = 2l 2 2 11 2 hk + ⋅ = 2h 2 2 1 kk = 2 1k = 2 21 2 3h k= + = 3h = 2: nxyCn = ),( nnn yxP )0,0( >> nn yx nC ,...)2,1( =n 21.（2010 福建文）19．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C： 过点 A （1 , -2）。 （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点， 且直线 OA 与 L 的距离等于 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由。 2 2 ( 0)y px p= > 5 5 22.（2010 全国卷 1 理）（21）(本小题满分 12 分) 已知抛物线 的焦点为 F，过点 的直线 与 相交于 、 两点， 点 A 关于 轴的对称点为 D. （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； （Ⅱ）设 ，求 的内切圆 M 的方程 . 2: 4C y x= ( 1,0)K − l C A B x 8 9FA FB =   BDK∆ 23.（2010 湖北文）20.（本小题满分 13 分） 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1。 （Ⅰ）求曲线 C 的方程 （Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线， 都有 ＜0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。FA·FB  24.（2010 山东理）（21）（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦 点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为 该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 . （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ； 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = ＞ ＞ 2 2 1 2,F F 4( 2 1)+ P 1PF 2PF BA、 C D、 1PF 2PF 1k 2k 1 2· 1k k = （Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不 存在，请说明理由. 【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为 ，得 ，又 ， 所以可解得 ， ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ； 所以椭圆的焦点坐标为（ ，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所 以该双曲线的标准方程为 。 λ ·AB CD AB CDλ+ = λ c a = 2 2 2a c= 2 2a c+ = 4( 2 1)+ 2 2a = 2c = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 18 4 x y+ = 2± 2 2 14 4 x y− = 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线 的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题 （3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能 力， 25.（2010 湖南理）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 8km 的 A,B 两点各建一个考察基地。 视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为 y 轴建立平面 直角坐标系（图 6）在直线 x=2 的右侧，考察范围为到点 B 的距离不超过 km 区域；在直 线 x=2 的左侧，考察范围为到 A,B 两点的距离之和不超过 km 区域。 （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图 6 所示，设线段 P1P2,P2P3 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川 融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km,以后每年移动 的距离为前一年的 2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间。 6 5 5 4 5 化 融 区 域 2 8 3P - 63       ， P3(8,6) 已 冰 B（4，0）A（-4,0） x（ 5 3− ，-1）P1 26.（2010 湖北理）19(本小题满分 12 分) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程； （Ⅱ）是否存在正数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 ？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 27.（2010 安徽理数）19、（本小题满分 13 分） 已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 。 (Ⅰ)求椭圆 的方程； 0FA FB• <  E ( )2,3A 1 2,F F x 1 2e = E (Ⅱ)求 的角平分线所在直线 的方程； (Ⅲ)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由。 1 2F AF∠ l E l 28.（2010 江苏卷）18、（本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中 m>0, 。 （1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹； （2）设 ，求点 T 的坐标； （3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关）。 [解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分 16 分。 （1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由 ，得 化简得 。 故所求点 P 的轨迹为直线 。 xoy 159 22 =+ yx mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN 0,0 21 <> yy 422 =− PBPF 3 1,2 21 == xx 9=t 422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9 2x = 9 2x = （2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ） 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 联立方程组，解得： ， 所以点 T 的坐标为 。 （3）点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， 解得： 、 。 （方法一）当 时，直线 MN 方程为： 令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0）； 当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 （方法二）若 ，则由 及 ，得 ， 此时直线 MN 的方程为 ，过点 D（1，0）。 3 1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5 3 1 3 20 9 − 0 3 5 2 303 y x− += +− 1 13y x= + 0 3 20 10 39 3 y x− −= − − − 5 5 6 2y x= − 7 10 3 x y = = 10(7, )3 (9, )m 0 3 0 9 3 y x m − +=− + ( 3)12 my x= + 0 3 0 9 3 y x m − −=− − ( 3)6 my x= − 159 22 =+ yx 1 23, 3x x≠ − ≠ 2 2 2 3(80 ) 40( , )80 80 m mM m m − + + 2 2 2 3( 20) 20( , )20 20 m mN m m − −+ + 1 2x x≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 m my xm m m m m m m m m m −+ −+ += − −+ −+ + + + 0y = 1x = 1 2x x= 1x = 1 2x x= 2 2 2 2 240 3 3 60 80 20 m m m m − −=+ + 0m > 2 10m = 1x = 若 ，则 ，直线 MD 的斜率 ， 直线 ND 的斜率 ，得 ，所以直线 MN 过 D 点。 因此，直线 MN 必过 轴上的点（1，0）。 2009 年高考题 一、选择题 1.（2009 全国卷Ⅰ理）设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切， 则该双曲线的离心率等于( ) A. B.2 C. D. 【解析】设切点 ，则切线的斜率为 . 由题意有 又 解得: . 【答案】C 2.（2009 全国卷Ⅰ理）已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( ) A. B. 2 C. D. 3 【解析】过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N，易知 FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选 A 【答案】A 1 2x x≠ 2 10m ≠ 2 2 2 2 40 1080 240 3 40180 MD m mmk m m m += =− −−+ 2 2 2 2 20 1020 3 60 40120 ND m mmk m m m − += =− −−+ MD NDk k= x 2 2 2 2 1x y a b − = 3 5 6 0 0( , )P x y 0 ' 0| 2x xy x= = 0 0 0 2y xx = 2 0 0 1y x= + 2 2 0 1, 2, 1 ( ) 5b bx ea a = ∴ = = + = 2 2: 12 xC y+ = F l A l∈ AF C B 3FA FB=  | |AF 2 3 BM l⊥ l 3FA FB=  2| | 3BM = 2 2 2| | 2 3 3BF = ⋅ = | | 2AF∴ = 3.（2009 浙江理）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 【解析】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 B，C， 则有 ， 因 ． 【答案】C 4.（2009 浙江文）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 在椭 圆上，且 轴， 直线 交 轴于点 ．若 ，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于椭圆，因为 ，则 【答案】D 5.（2009 北京理）点 在直线 上，若存在过 的直线交抛物线 于 两 点 ， 且 ， 则 称 点 为 “ 点 ” ， 那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ） A．直线 上的所有点都是“ 点” B．直线 上仅有有限个点是“ 点” C．直线 上的所有点都不是“ 点” D．直线 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和 解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A 1− ,B C 1 2AB BC=  2 3 5 10 ( ),0A a 0x y a+ − = 2 2 , , ( , )a ab a abB Ca b a b a b a b   − + + − −  2 2 2 2 2 2 2 2( , ), ,a b a b ab abBC ABa b a b a b a b  = − = − − − + +    2 22 , 4 , 5AB BC a b e= ∴ = ∴ =  2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F A B BF x⊥ AB y P 2AP PB=  3 2 2 2 1 3 1 2 2AP PB=  12 , 2 , 2OA OF a c e= ∴ = ∴ = P : 1l y x= − P 2y x= ,A B | | |PA AB= P l l l l 设 ， 则 ， ∵ ， ∴ 消去 n,整理得关于 x 的方程 （1） ∵ 恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选 A. 【答案】A 6.(2009 山东卷理)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点， 则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D. 【解析】双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去 y,得 有唯一解,所以△= , 所以 , ,故选 D. 【答案】D 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能. 7.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 过抛物线 的焦点 F,且和 轴交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ). A. B. C. D. 【解析】　抛物线 的焦点 F 坐标为 ,则直线 的方程为 , ( ) ( ), , , 1A m n P x x − ( )2 ,2 2B m x n x− − − 2,A B y x=在 上 2 22 1 (2 ) n m n x m x  =  − + = − 2 2(4 1) 2 1 0x m x m− − + − = 2 2 2(4 1) 4(2 1) 8 8 5 0m m m m∆ = − − − = − + > 12 2 2 2 =− b y a x 2 4 5 2 5 5 12 2 2 2 =− b y a x xa by = 2 1 by xa y x  =  = + 2 1 0bx xa − + = 2( ) 4 0b a − = 2b a = 2 2 21 ( ) 5c a b be a a a += = = + = l 2 ( 0)y ax a= ≠ y 2 4y x= ± 2 8y x= ± 2 4y x= 2 8y x= 2 ( 0)y ax a= ≠ ( ,0)4 a l 2( )4 ay x= − 它与 轴的交点为 A ,所以△OAF 的面积为 ,解得 .所以抛物线 方程为 ,故选 B. 【答案】B 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一. 8.（2009 全国卷Ⅱ文）双曲线 的渐近线与圆 相切， 则 r= ( ) A. B.2 C.3 D.6 【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于 r，可求 r= . 【答案】A 9.（2009 全国卷Ⅱ文）已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点， F 为 C 的焦点。若 ,则 k=　(　　) Ａ. 　　Ｂ. Ｃ. 　　Ｄ. 【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由 及第二定义知 联立方程用根与系数关系可求 k= . 【答案】D 1０.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为 的是 Ａ. 　Ｂ. Ｃ. Ｄ. 【解析】由 得 ，选 B. 【答案】Ｂ 11.（2009 福建卷文）若双曲线 的离心率为 2，则 等于( ) y (0, )2 a− 1 | | | | 42 4 2 a a⋅ = 8a = ± 2 8y x= ± a 136 22 =− yx )0()3( 222 >=+− rryx 3 3 )0)(2( >+= kxky xy 82 = FBFA 2= 3 1 3 2 3 2 3 22 2FA FB= )2(22 +=+ BA xx 2 2 3 6 2 2 2 12 4 x y− = 2 2 14 2 x y− = 2 2 14 6 x y− = 2 2 14 10 x y− = 6 2e = 2 2 2 2 2 2 3 3 1,1 ,2 2 2 c b b a a a = + = = ( )2 2 2 2 13 x y a oa − = > a A. 2 B. C. D. 1 【解析】　由 ，解得 a=1 或 a=3，参照选项知而应选 D. 【答案】D 12.（2009 安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( ) A. B. C. D. 【解析】依据双曲线 的离心率 可判断得. .选 B。 【答案】B 13.（2009 江西卷文）设 和 为双曲线 ( )的两个焦点, 若 ， 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【解析】由 有 ,则 ,故选 B. 【答案】B 14.（2009 江西卷理）过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【解析】因为 ，再由 有 从而可得 ，故选 B 【答案】B 15.（2009 天津卷文）设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B . C . D. 3 3 2 2 2 2 2 31 23 x y a a a +− = = =c可知虚轴b= 3，而离心率e=a 2 2 2 2 1x y a b − = ce a = 6 2 ce a = = 1F 2F 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 1 2F F， (0,2 )P b 3 2 2 5 2 3tan 6 2 3 c b π = = 2 2 2 23 4 4( )c b c a= = − 2ce a = = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F x P 2F 1 2 60F PF∠ =  2 2 3 3 1 2 1 3 2 ( , )bP c a − ± 1 2 60F PF∠ =  23 2 ,b aa = 3 3 ce a = = )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 32 xy 2±= xy 2±= xy 2 2±= xy 2 1±= 【解析】由已知得到 ，因为双曲线的焦点在 x 轴上，故渐 近线方程为 【答案】C 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理 能力。 16.(2009 湖北卷理)已知双曲线 的准线过椭圆 的焦点，则直线 与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即 所以方程是 联立 可得 由 可解得 A. 【答案】A 17.（2009 四川卷文、理）已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ， 其一条渐近线方程为 ，点 在双曲线上.则 · ＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【解析】由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 ，于 是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且 或 .不妨去 ，则 ， . ∴ · ＝ 【答案】C 18.（2009 全国卷Ⅱ理）已知直线 与抛物线 相交于 2,3,1 22 =−=== bcacb xxa by 2 2±=±= 2 2 12 2 x y− = 2 2 2 14 x y b + = 2y kx= + 1 1,2 2K  ∈ −   1 1, ,2 2K    ∈ −∞ − +∞      2 2,2 2K  ∈ −    2 2, ,2 2K    ∈ −∞ − +∞       2 2 12 ax b = ± = ± = ± 2 2 2 24 1c a b b= − = − = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = 2 y kx= + 2 2 3 +(4k +16k) 4 0x x + = 0∆ ≤ )0(12 2 22 >=− bb yx 1F 2F xy = ),3( 0yP 1PF 2PF xy = 222 =− yx )1,3(P )1,3( −P )1,3(P )1,32(1 −−−=PF )1,32(2 −−=PF 1PF 2PF 01)32)(32()1,32)(1,32( =+−+−=−−−−− ( )( )2 0y k x k= + > 2: 8C y x= A B、 两点， 为 的焦点，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】设抛物线 的准线为 直线 恒过定点 P .如图过 分 别作 于 , 于 , 由 , 则 ,点 B 为 AP 的中点.连结 ,则 , 点 的横坐标为 , 故点 的坐标为 , 故选 D. 【答案】D 19.（2009 全国卷Ⅱ理）已知双曲线 的右焦点为 ,过 且斜率 为 的直线交 于 两点，若 ,则 的离心率为 ( ) m A． B. C. D. 【解析】设双曲线 的右准线为 ,过 分 别作 于 , 于 , , 由 直 线 AB 的 斜 率 为 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 , 由双曲线的第二定义有 . 又 . 【答案】A 20.（2009 湖南卷文）抛物线 的焦点坐标是（ ） A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0） F C | | 2 | |FA FB= k = 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2: 8C y x= : 2l x = − ( )( )2 0y k x k= + > ( )2,0− A B、 AM l⊥ M BN l⊥ N | | 2 | |FA FB= | | 2 | |AM BN= OB 1| | | |2OB AF= | | | |OB BF∴ = B 1 B 2 2 0 2 2(1,2 2) 1 ( 2) 3k −∴ = =− − ( )2 2 2 2 1 0, 0x yC a ba b − = > >： F F 3 C A B、 4AF FB= C 6 5 7 5 5 8 9 5 2 2 2 2 1x yC a b − =： l A B、 AM l⊥ M BN l⊥ N BD AM D⊥ 于 3 160 60 ,| | | |2BAD AD AB°∴∠ = ° = 1| | | | | | (| | | |)AM BN AD AF FBe − = = −  1 1| | (| | | |)2 2AB AF FB= = +  1 5 64 3| | | |2 5AF FB FB FB ee = ∴ ⋅ = ∴ =   2 8y x= − 【解析】由 ,易知焦点坐标是 ，故选 B. 【答案】B 21.（2009 宁夏海南卷理）双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为( ) A. B.2 C. D.1 【解析】双曲线 - =1 的焦点(4,0)到渐近线 的距离为 , 【答案】A 22.（2009 陕西卷文）“ ”是“方程 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】将方程 转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在 y 轴上必 须满足 所以 . 【答案】C 23.（2009 全国卷Ⅰ文）设双曲线 的渐近线与抛物线 相 切，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B.2 C. D. 【解析】由题双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入抛物线 方 程 整 理 得 ， 因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切 ， 所 以 ， 即 ，故选择 C. 【答案】C 24.（2009 湖北卷文）已知双曲线 （b＞0）的焦点，则 b=( ) A.3 B. C. D. 2 8y x= − ( ,0) ( 2,0)2 p− = − 2 4 x 2 12 y 2 3 3 2 4 x 2 12 y 3y x= 3 4 0 2 32d × − = = 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = 1 10, 0,m n > > 1 1 n m > ( )2 2 2 2 0 0x y a ba b － ＝1 ＞ ， ＞ 2 1y＝x ＋ 3 5 6 ( )2 2 2 2 0 0x y a ba b － ＝1 ＞ ， ＞ a bxy = 02 =+− abxax 04 22 =− ab 55 22 =⇔= eac 14122 2 2222 =+=− b yxyx 的准线经过椭圆 5 3 2 【解析】可得双曲线的准线为 , 又因为椭圆焦点为 所以有 .即 b2=3 故 b= .故 C. 【答案】C 27.（2009 天津卷理）设抛物线 =2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交 于 A，B 两点，与抛物线的准线相交于 C， =2，则 BCF 与 ACF 的面积之比 =( ) A. B. C. D. 【解析】由题知 ， 又 由 A、B、M 三点共线有 即 ，故 ， ∴ ，故选择 A。 【答案】A 28.（2009 四川卷理）已知直线 和直线 ，抛物线 上一 动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ） 2 1ax c = ± = ± 2( 4 ,0)b± − 24 1b− = 3 2y 3 BF ∆ ∆ BCF ACF S S ∆ ∆ 4 5 2 3 4 7 1 26 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 x=-0.5 F: (0.51, 0.00) h x( ) = -2⋅x+3 g y( ) = -1 2 f y( ) = y2 2 A B F C 12 12 2 1 2 1 + += + + == ∆ ∆ A B A B ACF BCF x x x x AC BC S S 32 322 1|| −=⇒=⇒=+= BBB yxxBF BM BM AM AM xx yy xx yy − −=− − 2 33 30 3 20 − += − − A A x x 2=Ax 5 4 14 13 12 12 =+ +=+ += ∆ ∆ A B ACF BCF x x S S 1 : 4 3 6 0l x y− + = 2 : 1l x = − 2 4y x= P 1l 2l A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析 1】直线 为抛物线 的准线，由抛物线的定义知，P 到 的距离等于 P 到抛物线的焦点 的距离，故本题化为在抛物线 上找一个点 使得 到点 和直线 的距离之和最小，最小值为 到直线 的距离，即 ，故选择 A。 【解析 2】如图，由题意可知 【答案】A 二、填空题 29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1，0)，直线 l 与抛 物线 C 相交于 A，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为 ， 【答案】y=x 30. （ 2009 重 庆 卷 文 、 理 ） 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率的 取值范围为 ． 【解析 1】因为在 中，由正弦定理得 则由已知，得 ，即 设点 由焦点半径公式，得 则 11 5 37 16 2 : 1l x = − 2 4y x= 2l )0,1(F 2 4y x= P P )0,1(F 2l )0,1(F 1 : 4 3 6 0l x y− + = 25 |604| min =+−=d 2 2 | 3 1 0 6 | 2 3 4 d × − += = + 2 4y x= ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4, , , , 4 44 1 y xA x y B x y x x y x y yy y x x x x y y  =≠  = −− = − ∴ = =− + ∴ 则有 ， 两式相减得， ， 直线l 的方程为y- 2=x- 2, 即y=x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2( ,0), ( ,0)F c F c− P 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F = 1 2PF F∆ 2 1 1 2 2 1sin sin PF PF PF F PF F = 1 2 1 1 a c PF PF = 1 2aPF cPF= 0 0( , )x y 1 0 2 0,PF a ex PF a ex= + = − 0 0( ) ( )a a ex c a ex+ = − 记得 由椭圆的几何性质知 ，整理得 解得 ，故椭圆的离心率 【解析 2】 由解析 1 知 由椭圆的定义知 ， 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 所以 以下同解析 1. 【答案】 31.（2009 北京文、理）椭圆 的焦点为 ，点 P 在椭圆上，若 ， 则 ； 的大小为 . .w【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属 于基础知识、基本运算的考查. ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又 ，∴ ， 又由余弦定理，得 ， ∴ ，故应填 . 32.（ 2009 广 东 卷 理 ） 巳知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ， 且 上一点到 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 的方程为 ． 【解析】 ， ， ， ，则所求椭圆方程为 . 0 ( ) ( 1) ( ) ( 1) a c a a ex e c a e e − −= =− + 0 ( 1) ( 1) a ex a ae e −> − > −+则 2 2 1 0,e e+ − > 2 1 2 1 (0,1)e e e< − − < − ∈或 ，又 ( 2 1,1)e∈ − 1 2 cPF PFa = 2 1 2 2 2 2 22 2c aPF PF a PF PF a PFa c a + = + = = +则 即 2 2 2 2 2, , 2 0,aPF a c a c c c ac a < + < + + − >+则 既 2 2 1 0,e e+ − > ( )2 1,1− 2 2 19 2 x y+ = 1 2,F F 1| | 4PF = 2| |PF = 1 2F PF∠ 2 29, 3a b= = 2 2 9 2 7c a b= − = − = 1 2 2 7F F = 1 1 24, 2 6PF PF PF a= + = = 2 2PF = ( )22 2 1 2 2 4 2 7 1cos 2 2 4 2F PF + − ∠ = = −× × 1 2 120F PF °∠ = 2, 120° G x 3 2 G G G 2 3=e 122 =a 6=a 3=b 1936 22 =+ yx 【答案】 33.（2009 四川卷文）抛物线 的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点 （1，0），准线方程 ，∴焦点到准线的距离是 2. 【答案】2 34.（2009 湖南卷文）过双曲线 C： 的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为 A，B，若 （O 是坐标原点），则双曲线线 C 的离心率为 . 【解析】 , 【答案】2 35.（2009 福建卷理）过抛物线 的焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线 于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 ________________ 【 解 析 】 由 题 意 可 知 过 焦 点 的 直 线 方 程 为 ， 联 立 有 ，又 。 【答案】 2 36.（2009 辽宁卷理）以知 F 是双曲线 的左焦点， 是双曲线右支上的 动点，则 的最小值为 。 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 37.（2009 宁夏海南卷文）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y=x 与抛 物线 C 交于 A，B 两点，若 为 的中点，则抛物线 C 的方程为 。 【解析】设抛物线为 y2＝kx，与 y＝x 联立方程组，消去 y， 得：x2－kx＝0， ＝k＝2×2，故 . 1936 22 =+ yx 2 4y x= F 1−=x 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > 2 2 2x y a+ = 120AOB∠ =  120 60 30 2AOB AOF AFO c a∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ =   2.ce a ∴ = = 2 2 ( 0)y px p= > 45 p = 2 py x= − 2 2 2 2 3 04 2 y px px pxpy x  = ⇒ − + = = − 2 2 2(1 1 ) (3 ) 4 8 24 pAB p p= + − × = ⇒ = 2 2 14 12 x y− = (1,4),A P PF PA+ ( )2,2P AB 21 xx + 2 4y x= 【答案】 38.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一 个内角为 60 ，则双曲线 C 的离心率为 . 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分 别 是 是 虚 半 轴 长 ， 是 焦 半 距 ， 且 一 个 内 角 是 ， 即 得 ， 所 以 ，所以 ，离心率 . 【答案】 39.（2009 年上海卷理）已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为 9，则 =____________. 【解析】依题意，有 ，可得 4c2＋36＝4a2，即 a2－c2＝9， 故有 b＝3。 【答案】3 三、解答题 40.(2009 年广东卷文)（本小题满分 14 分） 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆 G 上一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为 点 . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 的面积 (3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由. 2 4y x= o , (b c b c ) 30° tan30b c °= 3c b= 2a b= 3 6 22 ce a = = = 6 2 1F 2F 1: 2 2 2 2 =+ b y a xC a b P C 21 PFPF ⊥ 21FPF∆ b    =+ =• =+ 22 2 2 1 21 21 4|||| 18|||| 2|||| cPFPF PFPF aPFPF x 2 3 1F 2F 1F 2F kC 0214222 =−−++ ykxyx )( Rk ∈ kA 21FFAk∆ kC 解（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c; 则 , 解得 , 所求椭圆 G 的方程为： . (2 )点 的坐标为 （3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外， 若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外； 不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G. 41.（2009 浙江理）（本题满分 15 分） 已知椭圆 ： 的右顶点为 ，过 的焦点且垂直长轴的弦 长为 ． （I）求椭圆 的方程； （II）设点 在抛物线 ： 上， 在点 处的切线与 交于点 ．当线段 的中点与 的中点的横坐标相等时，求 的最小值． 解（I）由题意得 所求的椭圆方程为 ， （ II ） 不 妨 设 则 抛 物 线 在 点 P 处 的 切 线 斜 率 为 ， 直 线 MN 的 方 程 为 ， 将 上 式 代 入 椭 圆 的 方 程 中 ， 得 ，即 ，因为直线 MN 与椭圆 有两个不同的交点，所以有 ， 设线段 MN 的中点的横坐标是 ，则 ， 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 12 3 2 a c a = = 6 3 3 a c = = 2 2 2 36 27 9b a c∴ = − = − = 2 2 136 9 x y+ = KA ( ),2K− 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 32 2KA F FS F F= × × = × × =  0k ≥ 012152101206 22 κκ +=−−++ kC 0k < 01215210120)6( 22 κκ −=−−−+− kC ∴ kC 1C 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > (1,0)A 1C 1 1C P 2C 2 ( )y x h h= + ∈ R 2C P 1C ,M N AP MN h 2 1 2, ,12 1 b a b b a = = ∴  =⋅ =  2 2 14 y x+ = 2 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ),M x y N x y P t t h+ 2C 2x ty t=′ = 22y tx t h= − + 1C 2 2 24 (2 ) 4 0x tx t h+ − + − = ( )2 2 2 2 24 1 4 ( ) ( ) 4 0t x t t h x t h+ − − + − − = 1C 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  3x 2 1 2 3 2 ( ) 2 2(1 ) x x t t hx t + −= = + 设 线 段 PA 的 中 点 的 横 坐 标 是 ， 则 ， 由 题 意 得 ， 即 有 ，其中的 或 ； 当 时有 ，因此不等式 不 成立；因此 ，当 时代入方程 得 ，将 代入不 等式 成立，因此 的最小值为 1． 42.（2009 浙江文）（本题满分 15 分） 已知抛物线 ： 上一点 到其焦点的距离为 ． （I）求 与 的值； （II）设抛物线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于另一点 ，交 轴于 点 ，过点 作 的垂线交 于另一点 ．若 是 的切线，求 的最小 值． 解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程： ，根据抛物线定义 点 到焦点的距离等于它到准线的距离，即 ，解得 抛物线方程为： ，将 代入抛物线方程，解得 （Ⅱ）由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为 0，设其为 。 则 ，当 则 。 联立方程 ，整理得： 即： ，解得 或 ，而 ， 直线 斜率为 ，联立方程 整理得： ，即： ，解得： ，或 4x 4 1 2 tx += 3 4x x= 2 (1 ) 1 0t h t+ + + = 2 2 (1 ) 4 0, 1h h∆ = + − ≥ ∴ ≥ 3h ≤ − 3h ≤ − 22 0,4 0h h+ < − < 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  1h ≥ 1h = 2 (1 ) 1 0t h t+ + + = 1t = − 1, 1h t= = − 4 2 2 1 16 2( 2) 4 0t h t h ∆ = − + + − + >  h C 2 2 ( 0)x py p= > ( ,4)A m 17 4 p m C P ( 0)t t > P C Q x M Q PQ C N MN C t 2 py −= )4,(mA 4 17 24 =+ p 2 1=p ∴ yx =2 )4,(mA 2±=m ),( 2ttP PQ k )(: 2 txktylPQ −=− ,,0 2 k kttxy +−== )0,( 2 k kttM +−    = −=− yx txkty 2 2 )( 0)(2 =−+− tktkxx 0)]()[( =−−− tkxtx ,tx = tkx −= ))(,( 2tktkQ −−∴ QPQN ⊥ ∴ NQ k 1− )]([1)(: 2 tkxktkylNQ −−−=−−∴    = −−−=−− yx tkxktky 2 2 )]([1)( 0)()(11 22 =−−−−+ tktkkxkx 0]1)()[(2 =+−−−+ tkktkxkx 0)](][1)([ =−−+−+ tkxtkkkx k tkkx 1)( +−−= tkx −= ， 而抛物线在点 N 处切线斜率： MN 是抛物线的切线， ， 整理得 ，解得 （舍去），或 ， 43.（2009 北京文）（本小题共 14 分） 已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 。 （Ⅰ）求双曲线 C 的方程； （Ⅱ）已知直线 与双曲线 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB 的中点在圆 上，求 m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 解（Ⅰ）由题意，得 ，解得 ， ∴ ，∴所求双曲线 的方程为 . （Ⅱ）设 A、B 两点的坐标分别为 ，线段 AB 的中点为 ， 由 得 （判别式 ）, ∴ , )]1)([,1)(( 2 2 k tkk k tkkN +−+−−∴ )1( )1( 1)( ]1)([ 22 22 2 2 2 −− +−=+−−+−− +− =∴ ktk ktk k ktt k tkk k tkk K NM k tkkyk k tkkx 2)(2 1)( −−−=′= +−−=切 k tkk ktk ktk 2)(2 )1( )1( 22 22 −−−=−− +−∴ 021 22 =−++ ttkk 0)21(4 22 ≥−−=∆ tt 3 2−≤t 3 2≥t 3 2 min =∴t 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3 3 3x = 0x y m− + = 2 2 5x y+ = 2 3 3 3 a c c a  =  = 1, 3a c= = 2 2 2 2b c a= − = C 2 2 12 yx − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y ( )0 0,M x y 2 2 12 0 yx x y m  − =  + + = 2 22 2 0x mx m− − − = 0∆ > 1 2 0 0 0, 22 x xx m y x m m += = = + =   ∵点 在圆 上， ∴ ，∴ . 44.（2009 北京理）（本小题共 14 分） 已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线 的方程； （Ⅱ）设直线 是圆 上动点 处的切线， 与双曲线 交 于不同的两点 ，证明 的大小为定值. 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得 ，解得 ， ∴ ，∴所求双曲线 的方程为 . （Ⅱ）点 在圆 上， 圆在点 处的切线方程为 ， 化简得 . 由 及 得 ， ∵切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 ， ∴ ，且 ， 设 A、B 两点的坐标分别为 ， 则 ， ( )0 0,M x y 2 2 5x y+ = ( )22 2 5m m+ = 1m = ± 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3 3 3x = C l 2 2: 2O x y+ = 0 0 0 0( , )( 0)P x y x y ≠ l C ,A B AOB∠ 2 3 3 3 a c c a  =  = 1, 3a c= = 2 2 2 2b c a= − = C 2 2 12 yx − = ( )( )0 0 0 0, 0P x y x y ≠ 2 2 2x y+ = ( )0 0,P x y ( )0 0 0 0 xy y x xy − = − − 0 0 2x x y y+ = 2 2 0 0 12 2 yx x x y y  − =  + = 2 2 0 0 2x y+ = ( )2 2 2 0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x− − + − = l 2 00 2x< < 2 03 4 0x − ≠ ( )( )2 2 2 0 0 016 4 3 4 8 2 0x x x∆ = − − − > ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y 2 0 0 1 2 1 22 2 0 0 4 8 2,3 4 3 4 x xx x x xx x −+ = =− − ∵ ，且 ， . ∴ 的大小为 . 【解法 2】（Ⅰ）同解法 1. （Ⅱ）点 在圆 上， 圆在点 处的切线方程为 ， 化简得 .由 及 得 ① ② ∵切线 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且 ， ∴ ，设 A、B 两点的坐标分别为 ， 则 ， ∴ ，∴ 的大小为 . （∵ 且 ，∴ ，从而当 时，方程①和 方程②的判别式均大于零）. 45.（2009 江苏卷）（本题满分 10 分） cos OA OBAOB OA OB ⋅∠ = ⋅     ( )( )1 2 1 2 1 2 0 1 0 22 0 1 2 2OA OB x x y y x x x x x xy ⋅ = + = + − −  ( ) 2 1 2 0 1 2 0 1 22 0 1 4 22x x x x x x x xx  = + − + + − ( )2 22 2 0 00 0 2 2 2 2 0 0 0 0 8 28 2 81 43 4 2 3 4 3 4 x xx x x x x x  −−  = + − +− − − −   2 2 0 0 2 2 0 0 8 2 8 2 03 4 3 4 x x x x − −== − =− − AOB∠ 90° ( )( )0 0 0 0, 0P x y x y ≠ 2 2 2x y+ = ( )0 0,P x y ( )0 0 0 0 xy y x xy − = − − 0 0 2x x y y+ = 2 2 0 0 12 2 yx x x y y  − =  + = 2 2 0 0 2x y+ = ( )2 2 2 0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x− − + − = ( )2 2 2 0 0 03 4 8 8 2 0x y y x x− − − + = l 2 00 2x< < 2 03 4 0x − ≠ ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y 2 2 0 0 1 2 1 22 2 0 0 8 2 2 8,3 4 3 4 x xx x y yx x − −= =− − 1 2 1 2 0OA OB x x y y⋅ = + =  AOB∠ 90° 2 2 0 0 2x y+ = 0 0 0x y ≠ 2 2 0 00 2,0 2x y< < < < 2 03 4 0x − ≠ 在平面直角坐标系 中，抛物线 C 的顶点在原点，经过点 A（2，2），其焦点 F 在 轴 上。 （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）求过点 F，且与直线 OA 垂直的直线的方程； （3）设过点 的直线交抛物线 C 于 D、E 两点，ME=2DM， 记 D 和 E 两点间的距离为 ，求 关于 的表达式。 46.(2009 山东卷理)（本小题满分 14 分） 设椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N ( ,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: （a,b>0）过 M（2， ） ，N ( ,1)两点, xoy x ( ,0)( 0)M m m > ( )f m ( )f m m 2 2 2 2 1x y a b + = 2 6 OA OB⊥  2 2 2 2 1x y a b + = 2 6 所以 解得 所以 椭圆 E 的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 , 即 , 则△= ,即 , 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所 以 又 , 所 以 , 所 以 , 即 或 , 因 为 直 线 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切 线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 . 2 2 2 2 4 2 1 6 1 1 a b a b + = + =     2 2 1 1 8 1 1 4 a b  =  = 2 2 8 4 a b  =  = 2 2 18 4 x y+ = OA OB⊥  y kx m= + 2 2 18 4 x y y kx m + = = +  2 22( ) 8x kx m+ + = 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 8) 8(8 4) 0k m k m k m− + − = − + > 2 28 4 0k m− + > 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k  + = − + − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (2 8) 4 8( )( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 k m k m m ky y kx m kx m k x x km x x m mk k k − −= + + = + + + = − + =+ + + OA OB⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 2 2 8 8 01 2 1 2 m m k k k − −+ =+ + 2 23 8 8 0m k− − = 2 2 3 8 08 mk −= ≥ 2 28 4 0k m− + > 2 2 2 3 8 m m  >  ≥ 2 8 3m ≥ 2 6 3m ≥ 2 6 3m ≤ − y kx m= + 21 mr k = + 2 2 2 22 8 3 81 31 8 m mr mk = = =−+ + 2 6 3r = 2 2 8 3x y+ = y kx m= + 2 6 3m ≥ 2 6 3m ≤ − 2 6 3x = ± 2 2 18 4 x y+ = 2 6 2 6( , )3 3 ± 2 6 2 6( , )3 3 − ± OA OB⊥  2 2 8 3x y+ = OA OB⊥  因为 , 所以 , , ①当 时 因为 所以 , 所以 , 所以 当且仅当 时取”=”. ② 当 时, . ③ 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 或 , 所以此时 , 综上, |AB |的取值范围为 即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆 的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关 参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009 山东卷文)（本小题满分 14 分） 设 ,在平面直角坐标系中,已知向量 ,向量 , ,动点 1 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 8 1 2 kmx x k mx x k  + = − + − = + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 8 8(8 4)( ) ( ) 4 ( ) 41 2 1 2 (1 2 ) km m k mx x x x x x k k k − − +− = + − = − − × =+ + + ( ) 2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8(8 4)| | ( ) (1 )( ) (1 ) (1 2 ) k mAB x x y y k x x k k − += − + − = + − = + + 4 2 2 4 2 4 2 32 4 5 1 32[1 ]3 4 4 1 3 4 4 1 k k k k k k k + += ⋅ = ++ + + + 0k ≠ 2 2 32 1| | [1 ]13 4 4 AB k k = + + + 2 2 14 4 8k k + + ≥ 2 2 1 10 1 84 4k k < ≤ + + 2 2 32 32 1[1 ] 1213 3 4 4k k < + ≤ + + 4 6 | | 2 33 AB< ≤ 2 2k = ± 0k = 4 6| | 3AB = 2 6 2 6( , )3 3 ± 2 6 2 6( , )3 3 − ± 4 6| | 3AB = 4 6 | | 2 33 AB≤ ≤ 4| | [ 6,2 3]3AB ∈ m R∈ ( , 1)a mx y= + ( , 1)b x y= − a b⊥  的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 点 A,B,且 (O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 ,设直线 与圆 C: (1m 1≠m 0 2 24 1 0k t− + > 2 24 1t k< + 1 2 2 2 1 2 2 8 1 4 4 4 1 4 ktx x k tx x k  + = − + − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 (4 4) 8 4( )( ) ( ) 1 4 1 4 1 4 k t k t t ky y kx t kx t k x x kt x x t tk k k − −= + + = + + + = − + =+ + + OA OB⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 5 4 4 01 4 1 4 1 4 t t k t k k k k − − − −+ = =+ + + 2 25 4 4 0t k− − = 2 25 4 4t k= + 2 24 1t k< + 2 24 4 20 5k k+ < + 所以又因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 , , 所求的圆为 . 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 , 切 线 为 , 与 交 于 点 或 也满足 . 综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 . (3)当 时,轨迹 E 的方程为 ,设直线 的方程为 ,因为直线 与圆 C: (1>=+ bab y a x 3 3 2 2 ( ),0,cF l Ocyx ,0=−− l 22 00 cc =−− 2 2 2 =c 1=c 3 3== a ce 3=a 22 cab −= 2 P l F OBOAOP += 22x 23y ).,(),,( 2211 yxByxA )1( −= xkylxl 的方程为轴时，设不垂直当 OBOAOPP +=使上的点 ）点的坐标为（ 2121 , yyxxP ++ 6)(3)(2 2 21 2 21 =+++ yyxx 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 =+++++ yyxxyxyx 632,632 2 2 2 2 2 1 2 1 =+=+ yxyxCBA 上，即在、又 已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 2 2两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 →→→ += OBOAOP 故 ① 将 于是 , = , 代入①解得， ，此时 于是 = ， 即 因此， 当 时， ， ； 当 时， ， 。 （ⅱ）当 垂直于 轴时，由 知，C 上不存在点 P 使 成立。 综上，C 上存在点 使 成立， 此时 的方程为 . 49.（ 2009 广 东 卷 理 ） （本小题满分 14 分） 已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记 曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合． （1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程； （2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值． 解（1）联立 与 得 ，则 中点 ， 0332 2121 =++ yyxx 并化简得代入 ,632)1( 22 =+−= yxxky 0636)32( 2222 =−+−+ kxkxk 2 2 21 32 6 k kxx +=+ 21xx 2 2 32 63 k k + − 2 2 21 2 21 32 4)2)(1( k kxxkyy + −=−−= 22 =k 2 3 21 =+ xx )2( 2121 −+=+ xxkyy 2 k− )2,2 3( kP − 2−=k )2 2,2 3(P 022 =−+ yxl的方程为 2=k )2 2,2 3( −P 022 =−− yxl的方程为 l x )0,2(=+ OBOA OBOAOP += )2 2,2 3( ±P OBOAOP += l 022 =−± yx 2:C y x= : 2 0l x y− + = ( , )A AA x y ( , )B BB x y A Bx x< C A B L AB D ( , )P s t L P A B Q AB PQ M 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D a 2xy = 2+= xy 2,1 =−= BA xx AB )2 5,2 1(Q 设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ， 又点 在曲线 上， ∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点， 且不与点 和点 重合，则 ，即 ， ∴中点 的轨迹方程为 （ ）. （2）曲线 ， 即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径 由图可知，当 时，曲线 与点 有公共点； 当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到直线 的距离 ，得 ，则 的最小 值为 . 50.（2009 安徽卷理）（本小题满分 13 分） 点 在椭圆 上， 直线 与直线 垂直，O 为坐标原点，直线 OP 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角 为 . （I）证明: 点 是椭圆 与直线 的唯一交点； PQ M ),( yx 2 2 5 ,2 2 1 t y s x + = + = 2 52,2 12 −=−= ytxs P C 2)2 12(2 52 −=− xy 8 112 +−= xxy P L A B 22 121 <−<− x 4 5 4 1 <<− x M 8 112 +−= xxy 4 5 4 1 <<− x 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = E 25 49)2()( 22 =−+− yax )2,(aE 5 7=r 20 ≤≤ a 2 2 2 51: 2 4 025G x ax y y a− + − + + = D 0 > 0 0cos , sin ,0 .2x a y b πβ β β= = < < 2l 0 0 1 2 2: 1x yl x ya b + = α 2l γ P 2 2 2 2 1x y a b + = 1l x y o xA xB D （II）证明: 构成等比数列. 解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数 列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。 证明 （I）（方法一）由 得 代入椭圆 , 得 . 将 代入上式,得 从而 因此,方程组 有唯一解 ,即直线 与椭圆有唯一交点 P. (方法二)显然 P 是椭圆与 的交点，若 Q 是椭圆与 的交点， 代入 的方程 ，得 即 故 P 与 Q 重合。 （方法三）在第一象限内，由 可得 椭圆在点 P 处的切线斜率 切线方程为 即 。 因此， 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线 的唯一交点。 （II） 的斜率为 的斜率为 由此得 构成等比数列。 51.（2009 江西卷文）（本小题满分 14 分） tan ,tan ,tanα β γ 0 0 2 2 1x yx ya b + = 2 2 02 0 ( ),by a x xa y = − 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 20 0 2 4 2 2 2 0 0 0 21( ) ( 1) 0b x b x bx xa a y a y y + − + − = 0 0 cos sin x a y b β β =  = 2 2 22 cos cos 0,x a x aβ β− ⋅ + = cos .x a β= 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 x y a b x yx ya b  + =  + = 0 0 x x y y =  = 1l 1l 1 1 1( cos , sin ),0 2a bβ β β π≤ < 1l 1l cos sin 1x ya b β β+ = 1 1cos cos sin sin 1,β β β β+ = 1 1cos( ) 1, ,β β β β− = = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 0 0, ,b by a x y a xa a = − = − 2 0 0 0 22 2 00 ( ) ,bx b xk y x a ya a x ′= = − = − − 2 0 0 02 0 ( ) ,b xy x x ya y = − − + 0 0 2 2 1x x y y a b + = 1l 1l 0 0 tan tan ,y b x a α β= = 1l 2 0 2 0 ,x b y a − 2l 2 0 2 0 tan tan ,y a a x b b γ β= = 2tan tan tan 0,α γ β= ≠ tan ,tan ,tanα β γ 如图，已知圆 是椭圆 的内接△ 的内切圆, 其中 为 椭圆的左顶点. （1）求圆 的半径 ; （2）过点 作圆 的两条切线交椭圆于 两点， 证明：直线 与圆 相切． （1）解 设 ，过圆心 作 于 , 交长轴于 由 得 , 即 (1) 而点 在椭圆上, (2) 由(1)、 (2)式得 ,解得 或 （舍去） (2) 证明设过点 与圆 相切的直线方程为: (3) 则 ,即 (4) 解得 将(3)代入 得 ,则异于零的解为 设 , ，则 则直线 的斜率为： 于是直线 的方程为: :G 2 2 2( 2)x y r− + = 2 2 116 x y+ = ABC A G r (0,1)M G E F， EF G B 02 ,r y+（ ） G GD AB⊥ D BC H GD HB AD AH = 0 2 636 yr rr = +− 0 6 6 r ry r += − B 02 ,r y+（ ） 2 2 2 0 (2 ) 12 4 ( 2)( 6)1 16 16 16 r r r r ry + − − − += − = = − 215 8 12 0r r+ − = 2 3r = 6 5r = − M(0,1) 2 2 4( 2) 9x y− + = 1y kx− = 2 2 12 3 1 k k += + 232 36 5 0k k+ + = 1 2 9 41 9 41,16 16k k − + − −= = 2 2 116 x y+ = 2 2(16 1) 32 0k x kx+ + = 2 32 16 1 kx k = − + 1 1 1( , 1)F x k x + 2 2 2( , 1)E x k x + 1 2 1 22 2 1 2 32 32,16 1 16 1 k kx xk k = − = −+ + FE 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 1 16 4EF k x k x k kk x x k k − += = =− − FE 2 1 1 2 2 1 1 32 3231 ( )16 1 4 16 1 k ky xk k + − = ++ + x y A B 0 C M E F ． G 即 则圆心 到直线 的距离 故结论成立. 52.（2009 江西卷理）（本小题满分 12 分） 已知点 为双曲线 （ 为正常数）上任一 点, 为双曲线的右焦点,过 作右准线的垂线,垂足为 ,连接 并延长交 轴于 . (1) 求线段 的中点 的轨迹 的方程; (2) 设 轨 迹 与 轴 交 于 两 点 , 在 上 任 取 一 点 ,直线 分别交 轴于 两点. 求证:以 为直径的圆过两定点. (1) 解 由已知得 ,则直线 的方程为: , 令 得 ,即 , 设 ,则 ,即 代入 得: , 即 的轨迹 的方程为 . (2) 证明 在 中令 得 ,则不妨设 , 于是直线 的方程为: , 直线 的方程为: , 3 7 4 3y x= − (2,0) FE 3 7 22 3 391 16 d − = = + 1 0 0( , )P x y 2 2 2 2 18 x y b b − = b 2F 1P A 2F A y 2P 1P 2P P E E x B D、 E 1 1 1, ( 0)Q x y y ≠（ ） QB QD， y M N， MN 2 0 83 0 3F b A b y（ ，），（ ， ） 2F A 03 ( 3 )yy x bb = − − 0x = 09y y= 2 0(0,9 )P y P x y（ ， ） 0 0 0 0 2 9 52 xx y yy y  = + = = 0 0 2 5 x x yy = = 2 2 0 0 2 2 18 x y b b − = 2 2 2 2 4 18 25 x y b b − = P E 2 2 2 2 12 25 x y b b − = 2 2 2 2 12 25 x y b b − = 0y = 2 22x b= - 2 0 2 0B b D b（ ，）， （ ，） QB 1 1 ( 2 ) 2 yy x b x b = + + QD 1 1 ( - 2 ) - 2 yy x b x b = 2F1F O y x A 2P 1P P 则 , 则以 为直径的圆的方程为: , 令 得: ,而 在 上,则 , 于是 ,即以 为直径的圆过两定点 . 53.（2009 天津卷文）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 （ ）的两个焦点分别为 ，过点 的直线与椭圆相交于点 A,B 两点，且 （Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线 AB 的斜率； （Ⅲ）设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 上有一点 H(m,n)( )在 的外 接圆上，求 的值。 解 （1）由 ，得 ,从而 ，整理得 ，故离心率 （2）由（1）知， ，所以椭圆的方程可以写为 设直线 AB 的方程为 即 由已知设 则它们的坐标满足方程组 消去 y 整理，得 依题意， 1 1 1 1 2 - 20 0 2 - 2 by byM N x b x b+（ ， ）， （ ， ） MN 2 1 1 1 1 2 2- 0 2 - 2 by byx y y x b x b + + = +（ ）（ ） 0y = 2 2 2 1 2 2 1 2 2 b yx x b = − 1 1,Q x y（ ） 2 2 2 2 12 25 x y b b − = 2 2 2 1 1 22 25x b y− = 5x b= ± MN ( 5 ,0),(5 ,0)b b− 12 2 2 2 =+ b y a x 0>> ba )0)(0,(),0,( 21 >− ccFcF )0,( 2 c aE ||2||,// 2121 BFAFBFAF = BF2 0≠m CAF1∆ m n ||||,// 2121 BFAFBFAF = 2 1 || || || || 1 2 1 2 == AF BF EF EF 2 1 2 2 = + − cc a cc a 22 3ca = 3 3== a ce 2222 2ccab =−= 222 632 cyx =+ )( 2 c axky −= )3( cxky −= ),(),( 2211 yxByxA    =+ −= 222 632 )3( cyx cxky 062718)32( 222222 =−+−+ cckcxkxk 3 3 3 3,0)31(48 22 <<−>−=∆ kkc 而 ，有题设知，点 B 为线段 AE 的中点， 所以 联 立 三 式 ， 解 得 ， 将 结 果 代 入 韦 达 定 理 中 解 得 . (3)由（2）知， ，当 时，得 A 由已知得 线段 的垂直平分线 l 的方程为 直线 l 与 x 轴的交点 是 的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为 直线 的方程为 ，于是点 满足方程组 由 ，解得 ，故 当 时，同理可得 . 54.(2009 湖北卷理)（本小题满分 14 分） 过抛物线 的对称轴上一点 的直线与抛物线相交于 M、N 两 点，自 M、N 向直线 作垂线，垂足分别为 、 。 （Ⅰ）当 时，求证： ⊥ ； （Ⅱ）记 、 、 的面积分别为 、 、 ，是否存在 ，使 得对任意的 ，都有 成立。若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 解 依题意，可设直线 MN 的方程为 ， 则有 2 222 212 2 21 32 627,32 18 k cckxxk kxx + −=+=+ 21 23 xcx =+ 2 222 22 2 1 32 29,32 29 k cckxk cckx + +=+ −= 3 2±=k 2 3,0 21 cxx == 3 2−=k )2,0( c )2,0( cC − 1AF ),2(2 2 2 2 cxcy +−=− )0,2(c CAF1∆ 222 )2()2( ccycx +=+− BF2 )(2 cxy −= ),( nmH    −= =+− )(2 4 9)2( 2 22 cmn cncm 0≠m 2 22,3 5 cncm == 5 22= m n 3 2=k 5 22= m n 2 2 ( 0)y px p= > ( )( ),0 0A a a > :l x a= − 1M 1N 2 pa = 1AM 1AN 1AMM∆ 1 1AM N∆ 1ANN∆ 1S 2S 3S λ 0a > 2 2 1 2S S Sλ= λ 1 1 2 2, ( , ), ( , )x my a M x y N x y= + 1 2( , ), ( , )M a y N a y− − 由 ， 消去 x 可得 从而有 ① 于是 ② 又由 ， 可得 ③ （Ⅰ）如图 1，当 时，点 即为抛物线的焦点， 为其准线 此时 ①可得 证法 1： 证法 2： (Ⅱ)存在 ，使得对任意的 ，都有 成立，证明如下： 证法 1：记直线 与 x 轴的交点为 ,则 。于是有 2 2 x my a y px = +  = 2 2 2 0y mpy ap− − = 1 2 1 2 2 2 y y mp y y ap + =  = − 2 1 2 1 2( ) 2 2( )x x m y y a m p a+ = + + = + 2 1 12y px= 2 1 22y px= 2 2 21 2 1 2 2 2 ( ) ( 2 ) 4 4 y y apx x ap p −= = = 2 pa = ( ,0)2 pA l 2 px = − 1 1 1 2( , ), ( , ),2 2 P PM y N y− − 并由 2 1 2y y p= − 1 1 1 2( , ), ( , )AM p y AN p y= − = −   2 2 2 1 1 1 2 1 10,AM AN p y y p p AM AN∴ ⋅ = + = − = ⊥  即 1 1 1 2, ,AM AN y yK Kp p = − = − 1 1 2 1 2 1 12 2 1,AM AN y y pK K AM ANp p ∴ ⋅ = = − = − ⊥即 . 4λ = 0a > 2 2 1 34S S S= l 1A 1OA OA a= = 将①、②、③代入上式化简可得 上式恒成立，即对任意 成立 证法 2：如图 2，连接 ,则由 可得 ,所以直线 经过原点 O， 同理可证直线 也经过原点 O 又 设 则 56.（2009 四川卷文）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率 ，右准线方 程为 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求直线 的方 程。 解（I）由已知得 ，解得 ∴ 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 )2 2 1 2 1 1 )2 2 S MM A M x a y S M N AA a y y S NN A N x a y = ⋅ ⋅ = + = ⋅ ⋅ = − = ⋅ ⋅ = + （ （ 2 2 2 1 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 ( ) ( ) ( ) [( ) 4 ] [ ( ) ] S S S a y y x a y x a y a y y y y x x a x x a y y ∴ = ⇔ − = + ⋅ + ⇔ + − = + + + 2 2 2 2 2 2 2(4 8 ) 2 (2 4 ) 4 ( 2 )a m p ap ap am p a a p m p a+ = + ⇔ + 2 2 1 30, 4a S S S> = 1 1,MN NM 2 1 2 1 12 , 2y y ap y px= − = 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 22 2OM ON y py py ypK Kx y y y ap a = = = = = =− − 1MN 1NM 1OA OA a= = 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2, , , ,M A h N A h MM d NN d= = = = 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1, 2 ( ) ( ), .2 2 2S d h S a h h a h h S d h= = ⋅ + = + = 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2F F、 2 2e = 2x = 1F l M N、 2 2 2 26 3F M F N+ =  l 2 2 2 2  =  = c a a c 2, 1= =a c 2 2 1= − =b a c ∴ 所求椭圆的方程为 . （II）由（I）得 、 ①若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，由 得 设 、 ， ∴ ，这与已知相矛盾。 ②若直线 的斜率存在，设直线直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， 设 、 ， 联立 ，消元得 ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∴ 化简得 解得 ∴ ∴ 所求直线 的方程为 . 57.（2009 全国卷Ⅱ理）（本小题满分 12 分） 2 2 12 + =x y 1( 1,0)−F 2 (1,0)F l l 1= −x 2 2 1 12 = − + = x x y 2 2 = ±y 2( 1, )2 −M 2( 1, )2 − −N 2 2 2 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0) 42 2 + = − + − − = − = F M F N l l k l ( 1)= +y k x 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 ( 1) 12 = + + = y k x x y 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0+ + + − =k x k x k 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 − −+ = =+ + k kx x x xk k 1 2 1 2 2 2( 2) 1 2 + = + + = + ky y k x x k 2 1 1 2 2 2( 1, ), ( 1, )= − = − F M x y F N x y 2 2 1 2 1 2( 2, )+ = + − + F M F N x x y y 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 8 2 2 2 26( 2) ( ) 1 2 1 2 3  +  + = + − + + = + =   + +     k kF M F N x x y y k k 4 240 23 17 0− − =k k 2 2 171 40 或 ( 舍去)= = −k k 1= ±k l 1 1或= + = − −y x y x 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为 1 时，坐标原点 到 的距离为 （I）求 ， 的值； （II） 上是否存在点 P，使得当 绕 F 转到某一位置时，有 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。 解 (I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为 则 ，解得 .又 . （II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、 由题意知 的斜率为一定不为 0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。 由韦达定理有： ．．．．．．．．① .假设存在点 P，使 成立，则其充要条件为： 点 ，点 P 在椭圆上，即 。 整理得 。 又 在椭圆上，即 . 故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．② 将 及①代入②解得 , = ,即 . 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 3 l C A B l O l 2 2 a b C l OP OA OB= +   l ( ,0)F c : 0l x y c− − = O l 2 2 | 0 0 | 2 22 c− − = 1c = 3 , 3, 23 ce a ba = = ∴ = = 2 2 : 13 2 x yC + = 1 1( , )A x y B 2 2( , )x y l : 1l x my= + 2 2(2 3) 4 4 0m y my+ + − = 0∆ > 1 2 2 4 ,2 3 my y m + = − + 1 2 2 4 ,2 3y y m = − + OP OA OB= +   1 2 1 2P ( , )x x y y+ +的坐标为 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 13 2 x x y y+ ++ = 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 22 3 2 3 4 6 6x y x y x x y y+ + + + + = A B、 2 2 2 2 1 1 2 22 3 6,2 3 6x y x y+ = + = 1 2 1 22 3 3 0x x y y+ + = 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) ( ) 1x x my my m y y m y y= + + = + + + 2 1 2m = 1 2 2 2 2 2y y∴ + = −或 1 2x x+ 2 2 4 322 3 2 m m − + =+ 3 2( , )2 2P ± 当 ; 当 . 58.（2009 湖南卷文）（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形（记为 Q）. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程; （Ⅱ）设点 P 是椭圆 C 的左准线与 轴的交点，过点 P 的直线 与椭圆 C 相交于 M,N 两点， 当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内（包括边界）时，求直线 的斜率的取值范围。 解 （Ⅰ）依题意，设椭圆 C 的方程为 焦距为 ， 由题设条件知， 所以 故椭圆 C 的方程为 . （Ⅱ）椭圆 C 的左准线方程为 所以点 P 的坐标 ， 显然直线 的斜率 存在，所以直线 的方程为 。 如图，设点 M，N 的坐标分别为 线段 MN 的中点为 G ， 由 得 . ……① 2 3 2 2, ( , ), : 12 2 2 2m P l x y= − = +时 2 3 2 2, ( , ), : 12 2 2 2m P l x y= − = − +时 x x l l 2 2 2 2 1( 0),x y a ba b + = > > 2c 2 8, ,a b c= = 2 21 4.2b a= = 2 2 18 4 x y+ = 4,x = − ( 4,0)− l k l ( 4)y k x= + 1 1 2 2( , ),( , ),x y x y 0 0( , )x y 2 2 ( 4), 18 4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 2 ) 16 32 8 0k x k x k+ + + − = 由 解得 . ……② 因为 是方程①的两根，所以 ，于是 = ， . 因为 ，所以点 G 不可能在 轴的右边， 又直线 , 方程分别为 所以点 在正方形 内（包括边界）的充要条件为 即 亦即 解得 ，此时②也成立. 故直线 斜率的取值范围是 59.（2009 福建卷理）（本小题满分 13 分） 已知 A,B 分别为曲线 C： + =1（y 0,a>0）与 x 轴 的左、右两个交点，直线 过点 B,且与 轴垂直，S 为 上 异于点 B 的一点，连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 的三等分点，试求出点 S 的坐 标； （II）如图，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 ,使得 O,M,S 三 点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由。 解 方法一 (Ⅰ)当曲线 C 为半圆时， 如图，由点 T 为圆弧 的三等分点得∠BOT=60°或 120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 2 2 2 2(16 ) 4(1 2 )(32 8) 0k k k∆ = − + − > 2 2 2 2k− < < 1 2,x x 2 1 2 2 16 1 2 kx x k + = − + 1 2 0 2 x xx += 2 2 8 1 2 k k − + 0 0 2 4( 4) 1 2 ky k x k = + = + 2 0 2 8 01 2 kx k = − ≤+ y 1 2F B 1 1F B 2, 2,y x y x= + = − − G Q 0 0 0 0 2, 2. y x y x ≤ +  ≥ − 2 2 2 2 2 2 4 8 2,1 2 1 2 4 8 2,1 2 1 2 k k k k k k k k  ≤ − + + +  ≥ − + + 2 2 2 2 1 0, 2 2 1 0. k k k k  + − ≤ − − ≤ 3 1 3 1 2 2k − −− ≤ ≤ l 3 1 3 1[ , ].2 2 − −− 2 2 x a 2y ≥ l x l AB a 1,a = AB 又 AB=2,故在△SAE 中,有 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 ,综上, (Ⅱ)假设存在 ,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 . 由 设点 故 ,从而 . 亦即 由 得 由 ,可得 即 经检验,当 时,O,M,S 三点共线. 故存在 ,使得 O,M,S 三点共线. 方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)假设存在 a,使得 O,M,S 三点共线. 由于点 M 在以 SO 为直径的圆上,故 . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 由 设点 ,则有 故 tan30 , ( , );SB AB s t 2 3 2 3= ⋅ ° = ∴3 3 (1,2 3) 2 3(1, )3S 或S( 1, 2 3) ( 0)a a > BT OS⊥ ( )y k x a= + 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22 1 (1 ) 2 0 ( ) x y a k x a k x a k aa y k x a  + = + + + − =  = + 得 2 2 2 2 2( , ), ( ) ,1T T T a k aT x y x a a k −∴ − − = + 2 2 2 21T a a kx a k −= + 2 2 2( ) 1T T aky k x a a k = + = + 2 2 2 2 2 2 2( , ).1 1 a a k akT a k a k − + + 2 2 2 2 2 2 2 2( ,0), (( , ))1 1 a k akB a BT a k a k −∴ = + +   ( ) x a y k x a =  = + ( ,2 ), ( ,2 ).s a ak OS a ak∴ = BT OS⊥ 2 2 2 2 2 2 4 01 2 a k a kBT OS a k − +⋅ = =+   2 2 2 22 4 0a k a k− + = 0, 0, 2k a a> > ∴ = 2a = 2a = SM BT⊥ ( )y k x a= + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 (1 ) 2 0 ( ) x y a b x a k x a k aa y k x a  + = + + + − =  = + 得 ( , )T TT x y 4 2 2 2 2( ) .1T a k ax a a k −⋅ − = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, ( ) ( ).1 1 1T T T a a k ak a a k akx y k x a Ta a k a k a k a k − −= = + = ⋅+ + + +从而 亦即 由 所直线 SM 的方程为 O,S,M 三点共线当且仅当 O 在直线 SM 上,即 . 故存在 ,使得 O,M,S 三点共线. 60.（2009 辽宁卷文、理）（本小题满分 12 分） 已知，椭圆 C 以过点 A（1， ），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 （1） 求椭圆 C 的方程； （2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直 线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为 。 因为 A 在椭圆上，所以 ，解得 ＝3， ＝ （舍去）。 所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得 ，代入 得 设Ｅ（ ， ），Ｆ（ ， ）．因为点Ａ（1， ）在椭圆上， 所以 ， 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 代 ，可得 ， 2 2 1( ,0), ,T BT SM T yB a k k a kx a a k ∴ = = − =− 故 ( ) x a y k x a =  = + 得S( a, 2ak) , 22 ( )y ak a k x a− = − 22 ( )ak a k a= − 0, 0, 2a K a> > ∴ = 2a = 3 2 2 2 2 2 11 4 x y b b + =+ 2 2 1 9 11 4b b + =+ 2b 2b 3 4 − 2 2 14 3 x y+ = 3( 1) 2y k x= − + 2 2 14 3 x y+ = 2 2 233+4 +4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k− + − − =（ ） Ex Ey Fx Fy 3 2 2 2 34( ) 122 3 4E k x k − − = + 3 2E Ey kx k= + − k− k 2 2 34( ) 122 3 4F k x k + − = + 。 所以直线 EF 的斜率 。 即直线 EF 的斜率为定值，其值为 。 　　 61.（2009 宁夏海南卷理）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的 距离分别是 7 和 1. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， =λ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ，由已知得 ， 所以椭圆 的标准方程为 （Ⅱ）设 ，其中 。由已知 及点 在椭圆 上可得 。 整理得 ，其中 。 （i） 时。化简得 所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段。 （ii） 时，方程变形为 ，其中 当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部 分。 当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部分； 3 2F Fy kx k= − + + ( ) 2 1 2 F E F E EF F E F E y y k x x kk x x x x − − + += = =− − 1 2 OP OM a c， 1 , 4, 37 a c a ca c − = = = + = 解得 C 2 2 116 7 x y+ = ( , )M x y [ ]4,4x∈ − 2 2 2 OP OM λ= P C 2 2 2 2 9 112 16( ) x x y λ+ =+ 2 2 2 2(16 9) 16 112x yλ λ− + = [ ]4,4x∈ − 3 4 λ = 29 112y = M 4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤ x 3 4 λ ≠ 2 2 2 2 1112 112 16 9 16 x y λ λ + = − [ ]4,4x∈ − 30 4 λ< < M y 4 4x− ≤ ≤ 3 14 λ< < M x 4 4x− ≤ ≤ 当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆； 62.（2009 陕西卷文）（本小题满分 12 分） 已知双曲线 C 的方程为 ，离心率 ，顶点到渐近线的距离为 。 （1）求双曲线 C 的方程； (2)如图，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一、 二象限，若 ，求 面积的取值范围。 方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 ， 所以 所以 由 所以曲线 的方程是 （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线 C 的两条渐近线方程为 设 由 将 P 点的坐标代入 因为 又 1λ ≥ M x 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > 5 2e = 2 5 5 1, [ ,2]3AP PBλ λ= ∈  AOB∆ 2 50 5ax by− = 的距离为 2 2 2 5 5 ab a b = + 2 5 5 ab c = 2 2 2 2 5 5 2 5 12 5 ab c a c ba cc a b  =   =  = =    = = +   得 C 2y 4 2 1x− = 2y x= ± ( ,2 ), ,2 ), 0, 0A m m B n n m n− > >（ , ),AP PB P λ λλ λ λ=  m- n 2( m+ n)得 点的坐标为（ 1+ 1+ 2 2 2 (1 )1,4 4 y x λ λ +− = 化简得mn= 2 ,AOB θ∠ = 1 4tan( ) 2,tan ,sin 22 2 5 π θ θ θ− = = = 5 , 5OA m OB n= = 所以 记 则 由 又 S（1）=2， 当 时， 面积取到最小值 ，当当 时， 面积取到最大值 所以 面积范围是 方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线 C 的顶点（0，a）到渐近线 ， 由 所以曲线 的方程是 . （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 由题意知 由 由 1 1 1sin 2 2 ( ) 12 2AOBS OA OB mnθ λ λ∆ = • • = = + + 1 1 1( ) ( ) 1, [ ,2]2 3S λ λ λλ= + + ∈ 2 1 1( ) (1 )2S λ λ ′ = − ( ) 0 1S λ λ′ = =得 1 8 9( ) , (2)3 3 4S S= = 1λ = AOB∆ 2 1 3 λ = AOB∆ 8 3 AOB∆ 8[2, 3] 2 50 5ax by− = 的距离为 2 2 2 5 2 5 5 5 ab ab ca b ∴ = = + 即 2 2 2 2 5 5 2 5 12 5 ab c a c ba cc a b  =   =  = =    = = +   得 C 2y 4 2 1x− = ,y kx m= + 2, 0k m< > 2, ),2 2 2 y kx m m mAy x k k = +  = − − 得 点的坐标为（ 2, ),2 2 2 y kx m m mBy x k k = + −  = − + + 得 点的坐标为（ 1 2 1, ( ), ( )1 2 2 1 2 2 m mAP PB P k k k k λ λλ λ λ= − ++ − + + − +得 点的坐标为（  将 P 点的坐标代入 得 设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点，则 Q 点的坐标为（0，m） = . 63.（2009 四川卷文、理）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离 心率 ，右准线方程为 。 （I）求椭圆的标准方程； （II）过点 的直线 与该椭圆交于 两点，且 ，求直线 的方 程。 解 （I）由已知得 ，解得 ∴ ∴ 所求椭圆的方程为 . （II）由（I）得 、 ①若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，由 得 设 、 ， 2 1x− = 2y 4 2 2 2 4 (1 ) 4 m k λ λ +=− AOBS∆ AOQ BOQS S∆ ∆+ 2 2 1 1 1 ( )2 2 2 1 1 4( )2 2 2 2 4 1 1( ) 12 A B A BOQ x OQ x m x x m m mm k k k λ λ = + = − = + =− + − = + +    2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2F F、 2 2e = 2x = 1F l M N、 2 2 2 26 3F M F N+ =  l 2 2 2 2  =  = c a a c 2, 1= =a c 2 2 1= − =b a c 2 2 12 + =x y 1( 1,0)−F 2 (1,0)F l l 1= −x 2 2 1 12 = − + = x x y 2 2 = ±y 2( 1, )2 −M 2( 1, )2 − −N ∴ ，这与已知相矛盾。 ②若直线 的斜率存在，设直线直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， 设 、 ， 联立 ，消元得 ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ ∴ 化简得 解得 ∴ ∴ 所求直线 的方程为 64.（2009 全国卷Ⅰ文）（本小题满分 12 分） 如图，已知抛物线 与圆 相交于 A、B、C、D 四个点。 （Ⅰ）求 r 的取值范围 （Ⅱ）当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 AC、BD 的交点 P 的坐标。 解：（Ⅰ）将抛物线 代入圆 的方程， 消去 ，整理得 抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要 2 2 2 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0) 42 2 + = − + − − = − = F M F N l l k l ( 1)= +y k x 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 ( 1) 12 = + + = y k x x y 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0+ + + − =k x k x k 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 − −+ = =+ + k kx x x xk k 1 2 1 2 2 2( 2) 1 2 + = + + = + ky y k x x k 2 1 1 2 2 2( 1, ), ( 1, )= − = − F M x y F N x y 2 2 1 2 1 2( 2, )+ = + − + F M F N x x y y 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 8 2 2 2 26( 2) ( ) 1 2 1 2 3  +  + = + − + + = + =   + +     k kF M F N x x y y k k 4 240 23 17 0− − =k k 2 2 171 40 或 ( 舍去)= = −k k 1= ±k l 1 1或= + = − −y x y x 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > 2y 2 27 16 0x x r− + − = 2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > A B C D 条件是：方程（1）有两个不相等的正根 ∴ 即 。 解这个方程组得 . （II）设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。 则由（I）根据韦达定理有 ， 则 令 ，则 下面求 的最大值。 方法 1：由三次均值有： 当且仅当 ，即 时取最大值。经检验此时 满足题意。 方法 2：设四个交点的坐标分别为 、 、 、 则直线 AC、BD 的方程分别为 解得点 P 的坐标为 。 设 ，由 及（Ⅰ）得 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 则 将 ，    >−=⋅ >=+ >−− 016 07 0)16(449 2 21 21 2 rxx xx r    <<− >−< 44 2 5 2 5 r rr 或 42 5 << r 15( ,4)2r ∈ 1 1( , )A x x 1 1( , )B x x− 2 2( , )C x x− 2 2( , )D x x 2 1 2 1 27, 16x x x x r+ = = − 15( ,4)2r ∈ 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − + = − + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ]( 2 ) (7 2 16 )(4 15)S x x x x x x x x r r∴ = + − + + = + − − 216 r t− = 2 2(7 2 ) (7 2 )S t t= + − 2S 2 2 1(7 2 ) (7 2 ) (7 2 )(7 2 )(14 4 )2S t t t t t= + − = + + − 3 31 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3 t t t+ + + + −≤ = ⋅ 7 2 14 4t t+ = − 7 6t = 15( ,4)2r ∈ 1 1( , )A x x 1 1( , )B x x− 2 2( , )C x x− 2 2( , )D x x )(),( 1 12 12 11 12 12 1 xxxx xxxyxxxx xxxy −− +=+−− −−=− )0,( 21 xx 21 xxt = 216 rt −= )4 1,0(∈t ||)22(2 1 2121 xxxxS −+= ]4))[(2( 21 2 212211 2 xxxxxxxxS −+++= 721 =+ xx 代入上式，并令 ，等 ， ∴ ， 令 得 ，或 （舍去） 当 时， ；当 时 ；当 时， 故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大， 故所求的点 P 的坐标为 。 65.（2009 湖北卷文）（本小题满分 13 分） 如图，过抛物线 y2＝2PX(P﹥0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M、N 两点， 自 M、N 向准线 L 作垂线，垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证：FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S1、、S2、，S3，试判断 S22＝4S1S3 是否成立，并证明你的结论。 （1） 证明 方法一 由抛物线的定义得 如图，设准线 l 与 x 的交点为 而 即 txx =21 2)( Stf = )2 70(34398288)27()27()( 232 <<++−−=−+= tttttttf )76)(72(2985624)`( 2 −+−=+−−= tttttf 0)`( =tf 6 7=t 2 7−=t 6 70 << t 0)`( >tf 6 7=t 0)`( =tf 2 7 6 7 << t 0)`( 2 时，由①得 化简得 当 时 由①得 化简得 故点 P 的轨迹 C 是椭圆 在直线 x=2 的右侧部分与 抛物线 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点） 所组成的曲线，参见图 1 （Ⅱ）如图 2 所示，易知直线 x=2 与 ， 的交点都是 A（2， ），B（2， ）， 直线 AF，BF 的斜率分别为 = ， = . 当点 P 在 上时，由②知 . ④ 当点 P 在 上时，由③知 2 2 1 112 7 ,16 xy −= 29 112,y = 4 7 ( 4 4),3y x= ± − ≤ ≤ 2 24 ( 3)d x y= − − + 2 2 1( 3) 6 ,2x y x− + = − 2 2 1.36 27 x y+ = 2x ≤ 2 2(3 ) 3 ,x y x+ + = + 2 12y x= 2 2 1 : 136 27 x yC + = 2 2 : 12C y x= 1C 2C 2 6 2 6− AFk 2 6− BFk 2 6 1C 16 2PF x= − 2C ⑤ 若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 （i）当 k≤ ，或 k≥ ，即 k≤-2 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ ， ），N（ ， ）都在 C 上，此时由④知 ∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( + ) 由 得 则 ， 是这个方程的两根， 所以 + = *∣MN∣=12 - （ + ）=12 - 因为当 当且仅当 时，等号成立。 （ 2 ） 当 时 ， 直 线 L 与 轨 迹 C 的 两 个 交 点 分别在 上，不妨设点 在 上，点 上，则④⑤知， 设直线 AF 与椭圆 的另一交点为 E 所以 。而点 A，E 都在 上，且 有（1）知 若直线 的斜率不存在，则 = =3，此时 3PF x= + ( 3)y k x= − AFk BFk 6 1x 1y 2 x 2 y 1 1 2 1x 1 2 2 x 1 2 1x 1 2 2 x 1 2 1x 2 x 2 2 ( 3) 136 27 y k x x y = − + = 2 2 2 2(3 4 ) 24 36 108 0k x k x k+ − + − = 1x 1y 1x 2 x 2 2 24 3 4 k k+ 1 2 1x 2 x 2 2 12 3 4 k k+ 22 6, 6 , 24,k k≤ ≥ ≥或k 2 时 2 2 2 12 12 10012 12 .13 4 114 kMN k k = − = − =+ + 2 6k = ± , 2 6 2 6AE ANk k k k< < − < < 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2,C C M 1C 2C 1 2 16 , 32MF x NF x= − = + 1C 0 0 0 1 2( , ), , 2.x y x x x< <则 1 0 2 1 16 6 , 3 3 22 2MF x x EF NF x AF= − < − = = + < + = MN MF NF EF AF AE= + < + = 1C 2 6,AEk = − 100 100,11 11AE MN= <所以 ι 1x 2x 综上所述，线段 MN 长度的最大值为 . 68.（2009 福建卷文）（本小题满分 14 分） 已知直线 经过椭圆 的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 的右顶点为 ，点 和椭圆 上位于 轴上方的动点，直线， 与直线 分别交于 两点。 （I）求椭圆 的方程； （Ⅱ）求线段 MN 的长度的最小值； （Ⅲ）当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 上是否存在这样的点 ，使得 的面积为 ？ 若存在，确定点 的个数，若不存在，说明理由 解 方法一（I）由已知得，椭圆 的左顶点为 上顶点为 故椭圆 的方程为 （Ⅱ）直线 AS 的斜率 显然存在，且 ，故可设直线 的方程为 ， 从而 由 得 0 设 则 得 ，从而 1 2 1 10012 ( ) 92 11MN x x= − + = < 100 11 2 2 0x y− + = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > C B S C x ,AS BS 10: 3l x = ,M N C C T TSB∆ 1 5 T C ( 2,0),A − (0,1), 2, 1D a b∴ = = C 2 2 14 x y+ = k 0k > AS ( 2)y k x= + 10 16( , )3 3 kM 2 2 ( 2) 14 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4k x k x k+ + + − = 1 1( , ),S x y 2 1 2 16 4( 2), 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 8 1 4 kx k −= + 1 2 4 1 4 ky k = + 即 又 由 得 故 又 当且仅当 ，即 时等号成立 时，线段 的长度取最小值 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当 取最小值时， 此时 的方程为 要使椭圆 上存在点 ，使得 的面积等于 ，只须 到直线 的距离等于 ， 所以 在平行于 且与 距离等于 的直线 上。 设直线 则由 解得 或 69.（2009 年上海卷理）（本题满分 16 分） 已知双曲线 设过点 的直线 l 的方向向量 （1） 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时，求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离； 2 2 2 2 8 4( , ),1 4 1 4 k kS k k − + + (2,0)B 1 ( 2)4 10 3 y xk x  = − −  = 10 3 1 3 x y k  =  = − 10 1( , )3 3N k ∴ − 16 1| | 3 3 kMN k = + 16 1 16 1 80, | | 23 3 3 3 3 k kk MN k k > ∴ = + ≥ ⋅ = 16 1 3 3 k k = 1 4k = 1 4k∴ = MN 8 3 MN 1 4k = BS 6 4 4 22 0, ( , ), | |5 5 5x y s BS+ − = ∴ = C T TSB∆ 1 5 T BS 2 4 T BS BS 2 4 l ': 1 0l x y+ + = | 2 | 2 ,42 t + = 3 2t = − 5 2t = − 2 2: 1,2 xc y− = ( 3 2,0)A − (1, )e k= （2） 证明：当 > 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 。 （1）解 双曲线 C 的渐近线 直线 l 的方程 直线 l 与 m 的距离 （2）证明 方法一设过原点且平行与 l 的直线 则直线 l 与 b 的距离 当 又双曲线 C 的渐近线为 双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方， 双曲线 右支上的任意点到直线 的距离为 。 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 。 （2）方法二 双曲线 的右支上存在点 到直线 的距离为 ， 则 由（1）得 ， 设 当 ， 0 将 代入（2）得 （*） k 2 2 6 : 2 0............2 2 xm y± = 分 2 3 2 0x y± + = 3 2 6 1 2 d = = + : 0b kx y− = 2 3 2 1 kd k = + 2 62k d> >时， 2 0x y± = ∴ ∴ C l 6 C Q l 6 C Q 0 0( , )x y l 6 0 0 2 0 0 3 2 6,(1) 1 2 2,(2) kx y k x y  − + = + − = 2 0 0 3 2 6 1y kx k k= + ± + t = 23 2 6 1k k± + 2 2k > t = 23 2 6 1k k± + > 0 0y kx t= + 2 2 2 0 0(1 2 ) 4 2( 1) 0k x ktx t− − − + = 2 22 , 0, 1 2 0, 4 0, 2( 1) 02k t k kt t> > ∴ − < − < − + < ∴ ∴ 方程（*）不存在正根，即假设不成立 故在双曲线 C 的右支上不存在 Q，使之到直线 l 的距离为 70.（2009 上海卷文）（本题满分 16 分） 已知双曲线 C 的中心是原点，右焦点为 F ，一条渐近线 m: ,设过点 A 的直线 l 的方向向量 。 （1） 求双曲线 C 的方程； （2） 若过原点的直线 ，且 a 与 l 的距离为 ，求 K 的值； （3） 证明：当 时，在双曲线 C 的右支上不存在点 Q，使之到直线 l 的距离为 . （1）解 设双曲线 的方程为 ，解得 ，双曲线 的方程为 （2）解 直线 ，直线 由题意，得 ，解得 （3）证明 方法一 设过原点且平行于 的直线 则直线 与 的距离 当 时， 又双曲线 的渐近线为 双曲线 的右支在直线 的右下方， 双曲线 右支上的任意点到直线 的距离大于 。 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 （3）方法二 假设双曲线 右支上存在点 到直线 的距离为 ， ∴ 6 ( )3 0， x+ 2 0y = ( 3 2,0)− (1, )e k= //a l 6 2 2k > 6 C 2 22 ( 0)x y λ λ− = > 32 λλ∴ + = 2λ = C 2 2 12 x y− = : 3 2 0l kx y k− + = : 0a kx y− = 2 | 3 2 | 6 1 k k = + 2 2k = ± l : 0b kx y− = l b 2 3 2 | |, 1 kd k = + 2 2k > 6d > C x 2 0y± = ∴ C b ∴ C l 6 C Q l 6 C 0 0( , )Q x y l 6 则 由（1）得 设 ， 当 时， ； 将 代入（2）得 ， 方程 不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线 的右支上不存在点 ，使之到直线 的距离为 71.（2009 重庆卷理）（本小题满分 12 分） 已知以原点 为中心的椭圆的一条准线方程为 ，离心率 ， 是椭圆上的 动点． （Ⅰ）若 的坐标分别是 ，求 的最大值； （Ⅱ）如题图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点， 是点 在 轴上的射 影，点 满足条件： ， ．求线段 的中点 的轨迹方程； 0 0 2 2 2 0 0 | 3 2 6 (1) 1 2 2 (2) kx y k k x y  − + = +  − = 2 0 0 3 2 6 1y kx k k= + ± ⋅ + 23 2 6 1t k k= ± ⋅ + 2 2k > 23 2 6 1 0t k k= + ⋅ + > 2 2 2 2 2 13 2 6 1 6 0 3 1 kt k k k k −= + ⋅ + = × > + + 0 0y kx t= + 2 2 2 0 0(1 2 ) 4 2( 1) 0k x ktx t− − − + = 2 , 02k t> > 2 21 2 0, 4 0, 2( 1) 0k kt t∴ − < − < − + < ∴ (*) C Q l 6 O 4 3 3y = 3 2e = M ,C D (0, 3),(0, 3)− MC MD A (1,0) B 2 2 1x y+ = N M x Q OQ OM ON= +   0QA BA =   QB P 解 （Ⅰ）由题设条件知焦点在 y 轴上，故设椭圆方程为 （a ＞b＞ 0 ）. 设 ，由准线方程 得.由 得 ，解得 a = 2 ,c = ， 从而 b = 1，椭圆方程为 . 又易知 C，D 两点是椭圆 的焦点，所以, 从而 ，当且仅当 ， 即点 M 的坐标为 时上式取等号， 的最大值为 4　. （II）如图（20）图，设 .因为 ，故 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2c a b= − 4 3 3y = 3 2e = 3 2 c a = 3 2 2 14 yx + = 2 2 14 yx + = 2 4MC MD a+ = = 2 2( ) 2 42 MC MDMC MD +⋅ ≤ = = MC MD= ( 1,0)± MC MD⋅ M( , ), ( , )m m B Bx y B x y ( , )Q QQ x y ( ,0),NN x OM ON OQ+ =   ① 因为 所以 . ② 记 P 点的坐标为 ，因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为 ，结合①，②得 故动点 P 的估计方程为 72.（2009 重庆卷文）（本小题满分 12 分） 已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离心率 ． （Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如题（20）图，点 的坐标为 ， 是圆 上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点的坐标； 2 , ,Q N Q Mx x y y= = 2 2 2(2 ) 4y Q Q Mx y x y+ = + = 0,QA BA⋅ =  (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 0, Q Q N n Q N Q N x y x y x x y y − − ⋅ − − = − − + = 1Q N Q N N Qx x y y x x+ = + − ( , )P Px y 2 ,2P Q P P Q Px x x y y y= + = + 2 2 1N Nx y+ = 2 2 2 21 (( ) ( ) )4P P Q N Q Nx y x x y y+ = + + + 2 2 2 21 ( 2( ))4 Q N Q n Q N Q Nx x y y x x y y= + + + + + 1 (5 2( 1))4 Q Nx x= + + − 3 4 Px= + 2 21( ) 12x y− + = O 5 5x = 5e = A ( 5,0)− B 2 2( 5) 1x y+ − = M MA MB+ M 解 （ Ⅰ ） 由 题 意 可 知 ， 双 曲 线 的 焦 点 在 轴 上 ， 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为 ，设 ，由准线方程为 得 ，由 得 解得 从而 ， 该双曲线的方程为 . （Ⅱ）设点 D 的坐标为 ，则点 A、D 为双曲线的焦点， 所以 ， 是圆 上的点， 其圆心为 ，半径为 1，故 从而 当 在线段 CD 上时取等号，此时 的最小值为 直线 CD 的方程为 ，因点 M 在双曲线右支上，故 由方程组 解得 所以 点的坐标为 . 2007—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 湖北卷 10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道 飞 向月球，在月球附近一点 轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆 x 2 2 2 2 1 ( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2c a b= + 5 5x = 2 5 5 a c = 5e = 5c a = 1, 5a c= = 2b = ∴ 2 2 14 yx − = ( 5,0) | | | | 2 2MA MD a− = = | | | | 2 | | | | 2 | |MA MB MB MD BD+ = + + +≥  B 2 2( 5) 1x y+ − = (0, 5)C | | | | 1 10 1BD CD − = +≥ | | | | 2 | | 10 1MA MB BD+ + +≥ ≥ ,M B | | | |MA MB+ 10 1+  5y x= − + 0x > 2 24 4 5 x y y x  − = = − + 5 4 2 4 5 4 2,3 3x y − + −= = M 5 4 2 4 5 4 2( , )3 3 − + − P F 轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 变点第二次变轨进入仍以月球球心 为一个焦点的椭圆 轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若 用 和 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴 的长，给出下列式子： ① ; ② ; ③ ; ④ ＜ . 其中正确式子的序号是 （ ） A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④ 答案 B 2.（2008 江西理 7）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆 内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 答案 C 3.（2008 全国Ⅱ理 9）设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 答案 B 4.（2008 海南理 11）已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，－1）的距离与 点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为 （ ） A.（ ，－1） B.（ ，1） C.（1，2） D.（1，－2） 答案 A 5.（2008 辽宁理 10）已知点 P 是抛物线 上的一个动点，则点 P 到点（0，2）的距 离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 （ ） A． B． C． D． 答案 A 6.（2008 天津文 7）设椭圆 （ ， ）的右焦点与抛物线 的焦 P F P F 12c 22c 12a 22a 1 1 2 2a c a c+ = + 1 1 2 2a c a c− = − 1 2 1 2c a a c> 1 1 c a 2 2 c a 1F 2F 1 2 0MF MF⋅ =  M (0,1) 1(0, ]2 2(0, )2 2[ ,1)2 1a > 2 2 2 2 1( 1) x y a a − =+ e ( 2 2)， ( 2 5)， (2 5)， (2 5)， 4 1 4 1 2 2y x= 17 2 3 5 9 2 2 2 2 2 1x y m n + = 0m > 0n > 2 8y x= 点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为 ( ) A. B. 　 C. D. 答案 B 7.（2007 重庆文）已知以 F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线 有 且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 （ ） A. B. C. D. 答案 C 8.（2007 浙江文）已知双曲线 　 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是准线上一点，且 PF1⊥PF2，|PF1| |PF2 |＝4ab，则双曲线的离心率是 （ ） A. B. C.2 D.3 答案 B 9.（2007 天津文）设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与 抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为 （　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案 D 二、填空题 10.（2008 湖南理 12）已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为 F,右准线为 ,离心率 e= 过顶点 A(0,b)作 AM ,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 . 答案 1 2 2 2 112 16 x y+ = 2 2 116 12 x y+ = 2 2 148 64 x y+ = 2 2 164 48 x y+ = 043 =++ yx 23 62 72 24 2 2 2 2 1x y a b − = ( 0, 0)a b> > ⋅ 2 3 2 2 2 2 1( 0 0)x y a ba b − = > >， 3 2 4y x= 2 2 112 24 x y− = 2 2 148 96 x y− = 2 22 13 3 x y− = 2 2 13 6 x y− = 2 2 2 2 1x y a b + = l 5 .5 ⊥ l 1 2 11.（2008 江苏 12）在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为 2，以 O 为 圆 心 ， 为 半 径 的 圆 ， 过 点 作 圆 的 两 切 线 互 相 垂 直 ， 则 离 心 率 = ． 答案 12.（2008 全国Ⅰ理 15）在 中， ， ．若以 为焦点的 椭圆经过点 C，则该椭圆的离心率 ． 答案 13.（2008 浙江理 12）已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 A、B 两点.若 ，则 =______________. 答案 8 14.(2008 上海春季 7) 已知 是双曲线 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方 程为 . 设 分别为双曲线的左、右焦点. 若 ，则 . 答案 5 15.（2007 山东理）设 O 是坐标原点，F 是抛物线 的焦点，A 是抛物线上 的一点， 与 轴正向的夹角为 ，则 为 ． 答案 16.(2007 上海春季 6) 在平面直角坐标系 中，若抛物线 上的点 到该抛物线的 焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标 . 答案 5 三、解答题 18.（2008 全国Ⅰ理 21）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 l1， l2， 经过右焦点 垂直于 l1 的直线分别交 l1、l2 于 两点．已知 成等差 2 2 2 2 x y a b + = a b> > a 2 ,0a c      e 2 2 ABC△ AB BC= 7cos 18B = − A B， e = 3 8 21 FF、 1925 22 =+ yx 1F 1222 =+ BFAF AB P 2 2 2 19 x y a − = 3 0x y− = 1 2F F、 2 3PF = 1PF = 2 2 ( 0)y px p= > FA x 60 OA p2 21 xOy xy 42 = P =x O x F A B， OA AB OB  、 、 数 列，且 与 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设 被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设 ， ， 由勾股定理可得： 得： ， ， 由倍角公式 ，解得 ,则离心率 ． （Ⅱ）过 直线方程为 ,与双曲线方程 联立 将 ， 代入，化简有 将数值代入，有 ,解得 故所求的双曲线方程为 。 第二部分 四年联考汇编 2012-2013 年联考题 1.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】 （本小题满分12分）已知点 ，直线 ： ， 为 平 面 上 的 动 点 ， 过 点 作 直 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 ， 且 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； BF FA AB OA m d= − AB m= OB m d= + 2 2 2( ) ( )m d m m d− + = + 1 4d m= tan bAOF a ∠ = 4tan tan 2 3 ABAOB AOF OA ∠ = ∠ = = ∴ 2 2 4 31 b a b a =  −   1 2 b a = 5 2e = F ( )ay x cb = − − 2 2 2 2 1x y a b − = 2a b= 5c b= 2 2 15 8 5 21 04 x xb b − + = 2 2 2 1 2 1 2 1 24 1 1 ( ) 4a ax x x x x xb b       = + − = + + −            2 232 5 284 5 415 5 b b   = −      3b = 2 2 136 9 x y− = ( )0,1F l 1y = − P P l Q P C FQFPQFQP ⋅=⋅ （2）已知圆 过定点 ，圆心 在轨迹 上运动，且圆 与 轴交于 、 两点，设 ， ，求 的最大值。 【答案】（1）设 ，则 ， ∵ ， ∴ ． 即 ，即 ， 所以动点 的轨迹 的方程 ． （2）解：设圆 的圆心坐标为 ，则 ． ① 圆 的半径为 ． 圆 的方程为 ． 令 ，则 ， 整理得， ． ② 由①、②解得， ． 不妨设 ， ， ∴ ， ． ∴ ， ③ 当 时，由③得， ． 当且仅当 时，等号成立． M ( )0,2D M C M x A B 1DA l= 2DB l= 1 2 2 1 l l l l + ( ),P x y ( ), 1Q x − QP QF FP FQ=      ( ) ( ) ( ) ( )0, 1 ,2 , 1 , 2y x x y x+ − = − −  ( ) ( )22 1 2 1y x y+ = − − 2 4x y= P C 2 4x y= M ( ),M a b 2 4a b= M ( )22 2MD a b= + − M ( ) ( ) ( )2 2 22 2x a y b a b− + − = + − 0y = ( ) ( )2 22 2 2x a b a b− + = + − 2 2 4 4 0x ax b− + − = 2x a= ± ( )2,0A a − ( )2,0B a + ( )2 1 2 4l a= − + ( )2 2 2 4l a= + + 2 2 2 1 2 1 2 4 2 1 1 2 2 16 64 l l l l a l l l l a + ++ = = + ( )22 2 4 4 8 162 2 164 64 a a a a + = = ++ + 0a ≠ 1 2 22 1 2 16 162 1 2 1 2 264 2 8 l l l l a a + = + + =×+ ≤ 2 2a = ± 当 时，由③得， ． 故当 时， 的最大值为 ． 2.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷（四）理】（本小题满分 12 分）已知椭圆 的焦距为 4，设右焦点为 ，离心率为 ． （1）若 ，求椭圆的方程； （2）设 、 为椭圆上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原 点 在以线段 为直径的圆上． ①证明点 在定圆上； ②设直线 的斜率为 ，若 ，求 的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）由 ，c=2，得 ，b=2 , 所求椭圆方程为 . …………………………………………（4 分） （Ⅱ）设 ，则 ， 故 ， . ① 由题意，得 . 化简，得 ，所以点 在以原点为圆心，2 为半径的圆上. ……………（8 分） ② 设 ，则 . 将 ， ，代入上式整理， 得 因为 ，k2>0，所以 ， 所以 ． 化简，得 0a = 1 2 2 1 2l l l l + = 2 2a = ± 1 2 2 1 l l l l + 2 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F e 2 2e = A B 1AF M 1BF N O MN A AB k 3k ≥ e 2 2e = 2 2a = 2 2 18 4 x y+ = 0 0( , )A x y 0 0( , )B x y− − 0 0+2 2 2 x yM     ， 0 02 2 2 x yN − −  ， 0OM ON =   2 2 0 0 4x y+ = A 0 0( , )A x y 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 20 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 , 1, 1 11, (1 )444 y kx x k xx y k ka ba b a bx kxx y =  + = + = ⇒ ⇒ + = +    + = + = 2ce a a = = 2 2 2 2 4 4b a c e = − = − 2 2 4 2(2 1) 2 1.k e e e− = − + 4 22 1 0e e− + > 22 1 0e − > 4 2 2 2 2 1 32 1 e ek e − += − ≥ 4 2 2 8 4 0, 2 1 0. e e e  − + − > ≥ 解之，得 ， 故离心率的取值范围是 . …………………（12 分） 3.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 13 分）已知椭圆 的对称轴 为坐标轴, 离心率为 且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 相交于 A、B 两点，以线段 为邻边作平行四边形 OAPB，其 中点 P 在椭圆 上， 为坐标原点. 求点 到直线 的距离的最小值． 【 答 案 】 解 ： （ I ） 由 已 知 抛 物 线 的 焦 点 为 , 故 设 椭 圆 方 程 为 ， 则 所以椭圆 的方程 为 ……5 分 （II）当直线 斜率存在时，设直线方程为 ， 则由 消去 得， ， …………………6 分 ， ①…………7 分 设 点的坐标分别为 ，则： ， …………8 分 由于点 在椭圆 上，所以 . ……… 9 分 从而 ，化简得 ，经检验满足①式. 21 4 2 32 e< −≤ 2 3 1,2 e< −≤ 2 , 3 12  −   M 2 ,2 2 4 2y x= M M l M ,OA OB M O O l ( 2,0) 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 222, , 2, 2.2c e a b= = = =由 得 M 2 2 1.4 2 x y+ = l y kx m= + 2 2 , 1.4 2 y kx m x y = + + = y 2 2 2(1 2 ) 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 216 4(1 2 )(2 4) 8(2 4 ) 0k m k m k m∆ = − + − = + − > A B P、 、 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 0 1 2 0 1 2 1 22 2 4 2, ( ) 21 2 1 2 km mx x x y y y k x x mk k = + = − = + = + + =+ + P M 2 2 0 0 14 2 x y+ = 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1(1 2 ) (1 2 ) k m m k k + =+ + 2 22 1 2m k= + ………10 分 又点 到直线 的距离为： ………11 分 当且仅当 时等号成立 ………12 分 当直线 无斜率时，由对称性知，点 一定在 轴上， 从而点 的坐标为 ，直线 的方程为 ，所以点 到直线 的距离为 1 . 所以点 到直线 的距离最小值为 . ………13 分 4.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 14 分）已知点 是椭圆 的左顶点，直线 与椭圆 相交于 两点，与 轴相交于点 .且当 时，△ 的面积为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断以 为直径的圆是 否经过点 ？并请说明理由. 【答案】解：（Ⅰ）当 时，直线 的方程为 ，设点 在 轴上方， 由 解得 ,所以 . 因为△ 的面积为 ，解得 . 所以椭圆 的方程为 . …………………………………………………4 分 （Ⅱ）由 得 ，显然 .…………………5 分 设 , C C O l 2 22 2 1 | | 1 1 22 1 12(1 ) 2 21 1 kmd kk k + = = = − ≥ − =++ + 0k = l P x P ( 2,0) (2,0)− 或 l 1x = ± O l O l 2 2 A ( )2 2 : 1 09 x yC tt + = > : 1( )l x my m= + ∈R C ,E F x B 0m = AEF 16 3 AE AF 3x = M N MN B 0m = l 1x = E x 2 2 1,9 1 x y t x  + =  = 2 2 2 2(1, ), (1, )3 3 t tE F − 4 2 3 tEF = AEF 1 4 2 1642 3 3 t× × = 2t = 2 2 19 2 x y+ = 2 2 1,9 2 1 x y x my  + =  = + 2 2(2 9) 4 16 0m y my+ + − = m∈R 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y 则 ，………………………………………………6 分 , . 又直线 的方程为 ，由 解得 ， 同理得 .所以 ,……………………9 分 又因为 .…………………………13 分 所以 ,所以以 为直径的圆过点 . …………………………………14 分 5.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】（本小题共 13 分）在平面直角坐标系 中，动点 到两点 ， 的距离之和等于 ，设点 的轨迹为曲线 ，直线 过点 且与曲线 交于 ， 两点． （Ⅰ）求曲线 的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在△ 面积的最大值，若存在，求出△ 的面积；若不存在，说明 理由. 【答案】解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点 的轨迹 C 是以 ， 为焦点，长 半轴长为 的椭圆．……………………………………………………………………………3 分 故曲线 的方程为 ． …………………………………………………5 分 （Ⅱ）存在△ 面积的最大值. …………………………………………………6 分 1 2 1 22 2 4 16,2 9 2 9 my y y ym m − −+ = =+ + 1 1 1x my= + 2 2 1x my= + AE 1 1 ( 3)3 yy xx = ++ 1 1 ( 3),3 3 yy xx x  = + +  = 1 1 6(3, )3 yM x + 2 2 6(3, )3 yN x + 1 2 1 2 6 6(2, ), (2, )3 3 y yBM BNx x = =+ +   1 2 1 2 6 6(2, ) (2, )3 3 y yBM BN x x ⋅ = ⋅+ +   1 2 1 2 1 2 1 2 36 364 4( 3)( 3) ( 4)( 4) y y y y x x my my = + = ++ + + + 1 2 1 2 2 1 2 1 2 4( 4)( 4) 36 4 ( ) 16 my my y y m y y m y y + + += + + + 2 2 2 2 2 16(4 36) 16 4 16 4(2 9) 32 16(2 9) m m m m m − + − × + × += − + + 2 2 264 576 64 128 576 9 m m m− − − + += 0= BM BN⊥  MN B xOy P ( 3 0)− ， ( 3 0)， 4 P C l ( 1,0)E − C A B C AOB AOB P ( 3 0)− ， ( 3 0)， 2 C 2 2 14 x y+ = AOB 因为直线 过点 ，可设直线 的方程为 或 （舍）． 则 整理得 ．…………………………………7 分 由 ． 设 ． 解得 ， ． 则 ． 因为 ． ………………………10 分 设 ， ， ． 则 在区间 上为增函数． 所以 ． 所以 ，当且仅当 时取等号，即 ． 所以 的最大值为 ．………………………………………………………………13 分 6.【北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习（一）理】（本小题满分 13 分） 椭圆 的中心为坐标原点 ，右焦点为 ，且椭圆 过点 。 的 三个顶点都在椭圆 上，设三条边的中点分别为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设 的三条边所在直线的斜率分别为 ，且 。若直线 T O (2,0)F T (2, 2)E ABC∆ T , ,M N P T ABC∆ 1 2 3, ,k k k 0, 1,2,3ik i≠ = l ( 1,0)E − l 1x my= − 0y = 2 2 1,4 1. x y x my  + =  = − 2 2( 4) 2 3 0m y my+ − − = 2 2(2 ) 12( 4) 0m m∆ = + + > 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 2 1 2 2 3 4 m my m + += + 2 2 2 2 3 4 m my m − += + 2 2 1 2 4 3| | 4 my y m +− = + 1 2 1 2AOBS OE y y∆ = ⋅ − 2 2 2 2 2 3 2 14 3 3 m m m m += =+ + + + 1( )g t t t = + 2 3t m= + 3t ≥ ( )g t [ 3, )+∞ 4 3( ) 3g t ≥ 3 2AOBS∆ ≤ 0m = max 3( ) 2AOBS∆ = AOBS∆ 3 2 的斜率之和为 0，求证： 为定值. 【答案】解：（1）设椭圆 的方程为 ， 由题意知：左焦点为 所以 ， 解得 ， ． 故椭圆 的方程为 ．（方法 2、待定系数法）………………………4 分 （2）设 ， ， 由： ， ，两式相减，得到 所以 ，即 ， …………………9 分 同理 ， 所以 ，又因为直线 的斜率之和为 0， 所以 …………………………13 分 方法 2： 设直线 ： ，代入椭圆 ，得到 ，化简得 以下同。 ………………………13 分 7.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】（本题共 13 分） 曲线 都是以原点 O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点 M 的坐标是（0,1），线段 MN 是 的短轴，是 的长 轴.直线 与 交于 A,D 两点（A 在 D 的左侧），与 交于 B,C 两点（B 在 C 的左侧）． , ,OM ON OP 1 2 3 1 1 1 k k k + + T 2 2 2 2 1x y a b + = ' ( 2,0)F − '2 | | | |a EF EF= + 2 3 2= + 2 2a = 2b = T 2 2 18 4 x y+ = 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )A x y B x y C x y 1 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )M s t N s t P s t 2 2 1 12 8x y+ = 2 2 2 22 8x y+ = 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) 2( )( ) 0x x x x y y y y− + + − + = 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 y y x x sk x x y y t − += = − = −− + 1 1 1 1 2 t k s = − 2 2 2 1 2 t k s = − 3 3 3 1 2 t k s = − 31 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2( )tt t k k k s s s + + = − + + , ,OM ON OP 1 2 3 1 1 1 0k k k + + = AB 1 1 1( )y t k x s− = − 2 22 8x y+ = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1 2 ) 4( ) 2( ) 8 0k x t k s k x t k s+ + − + − − = 1 1 1 1 1 2 2 1 4( ) 1 2 t k s kx x k − −+ = + 12s= 1 1 1 1 2 sk t = − 1 2,C C 1C 2C : (0 1)l y m m= < < 1C 2C （Ⅰ）当 m= ， 时，求椭圆 的方程； （Ⅱ）若 OB∥AN，求离心率 e 的取值范围． 【 答 案 】 解 ： （ Ⅰ ） 设 C1 的 方 程 为 ,C2 的 方 程 为 , 其 中 ．..2 分 C1 ,C2 的离心率相同，所以 ,所以 ，……………………….…3 分 C2 的方程为 ． 当 m= 时，A ,C ． .………………………………………….5 分 又 ,所以， ，解得 a=2 或 a= (舍)， ………….…………..6 分 C1 ,C2 的方程分别为 ， ．………………………………….7 分 （Ⅱ）A(- ,m), B(- ,m) ． …………………………………………9 分 OB∥AN, , , ． …………………………………….11 分 ，∴ ， ． ………………………………………12 分 ，∴ ，∴ ．........ ...................13 分 8.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 14 分） 已知 是抛物线 上一点，经过点 的直线 与抛物线 交于 两点（不同于点 ），直线 分别交直线 于点 . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标； （Ⅱ）已知 为原点，求证： 为定值. 3 2 5 4AC = 1 2,C C 2 2 2 1x ya + = 2 2 2 1x yb + = 1,0 1a b> < <  2 2 2 1 1a ba − = − 1ab = ∴ 2 2 2 1a x y+ = 3 2 3( , )2 2 a− 1 3( , )2 2a  5 4AC = 1 5 2 2 4 a a + = 1 2 ∴ 2 2 14 x y+ = 2 24 1x y+ = 21a m− 21 1 ma −  ∴ OB ANk k= ∴ 22 1 1 11 m m a mma += − −− − ∴ 2 1 1m a = − 2 2 2 1ae a −= 2 2 1 1a e = − ∴ 2 2 1 em e −=  0 1m< < 2 2 10 1e e −< < 2 12 e< < ( )2,2E 2: 2C y px= (2,0) l C ,A B E ,EA EB 2x = − ,M N O MON∠ 【答案】解：（Ⅰ）将 代入 ，得 所以抛物线方程为 ，焦点坐标为 ……3 分 （Ⅱ）设 ， ， ， 法一： 因为直线 不经过点 ，所以直线 一定有斜率 设直线 方程为 与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得： 则由韦达定理得： …………6 分 直线 的方程为： ，即 ， 令 ，得 ……9 分 同理可得： …10 分 又 ， 所以 　　　　　　 　　　　　　 　　　 　　　　　　 　　…13 分 ( )2,2E 2 2y px= 1p = 2 2y x= 1( ,0)2 2 1 1( , )2 yA y 2 2 2( , )2 yB y ( , ), ( , )M M N NM x y N x y l E l l ( 2)y k x= − 2 ( 2) 2 y k x y x = −  = x 2 2 4 0ky y k− − = 1 2 1 2 24,y y y y k = − + = AE ( )1 2 1 22 2 22 yy xy −− = − − ( ) 1 2 2 22y xy = − ++ 2x = − 1 1 2 4 2M yy y −= + 2 2 2 4 2N yy y −= + 4( 2, ), ( 2, )m m OM y ON y −= − = −  1 2 1 2 2 4 2 44 4 2 2M N y yOM ON y y y y − −⋅ = + = + ⋅+ +   1 2 1 2 1 2 1 2 4[ 2( ) 4]4 [ 2( ) 4] y y y y y y y y − + += + + + + 44( 4 4) 4 44( 4 4) k k − − + = + − + + 0= 所以 ，即 为定值 …………14 分 法二： 设直线 方程为 与抛物线方程联立得到 ，消去 ，得： 则由韦达定理得： ………………6 分 直线 的方程为： ，即 ， 令 ，得 …9 分 同理可得： ……10 分 又 ， 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 ……12 分 所以 ，即 为定值 ……………13 分 9.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理】（本小题共 14 分）已知椭圆 C： ，左焦点 ，且离心率 (Ⅰ）求椭圆 C 的方程； OM ON⊥ MON∠ π 2 l 2x my= + 2 2 2 x my y x = +  = x 2 2 4 0y my− − = 1 2 1 24, 2y y y y m= − + = AE ( )1 2 1 22 2 22 yy xy −− = − − ( ) 1 2 2 22y xy = − ++ 2x = − 1 1 2 4 2M yy y −= + 2 2 2 4 2N yy y −= + 4( 2, ), ( 2, )m m OM y ON y −= − = −  1 2 1 2 4( 2)( 2)4 4 ( 2)( 2)M N y yOM ON y y y y − −⋅ = + = + + +   1 2 1 2 1 2 1 2 4[ 2( ) 4]4 [ 2( ) 4] y y y y y y y y − + += + + + + 4( 4 2 4)4 4( 4 2 4) m m − − += + − + + 0= OM ON⊥ MON∠ π 2 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x )0,3(−F 2 3=e (Ⅱ)若直线 与椭圆 C 交于不同的两点 （ 不是左、右顶 点），且以 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A. 求证：直线 过定点,并求出定点的 坐标. 【答案】解：（Ⅰ）由题意可知： ……1 分 解得 ………2 分 所以椭圆的方程为： ……3 分 （II）证明：由方程组 …4 分 整理得 ………..5 分 设 则 …….6 分 由已知， 且椭圆的右顶点为 ………7 分 ……… 8 分 即 也即 …… 10 分 整理得： ……11 分 解得 均满足 ……12 分 )0(: ≠+= kmkxyl NM , NM , MN l        += == = 222 2 3 3 cba a ce c 1,2 == ba 14 2 2 =+ yx    += =+ mkxy yx 14 2 2 0448)k41 222 =−+++ mkmxx得（ 0)44)(41(4)8( 222 >−+−=∆ mkkm 014 22 >+− mk ),(),,( 2221 yxNxxM 2 2 21221 41 44,41 8 k mxxk kmxx + −=+−=+ ANAM ⊥ )0,2(A 0)2)(2( 2121 =+−−∴ yyxx 2 2121 2 2121 )())(( mxxkmxxkmkxmkxyy +++=++= 04))(2()1( 2 2121 2 =+++−++ mxxkmxxk 0441 8)2(41 44))1( 2 22 2 2 =+++ −•−++ −•+ mk kmkmk mk 012165 22 =++ kmkm 5 62 kmkm −=−= 或 014 22 >+− mk 当 时，直线的 方程为 ，过定点（2，0）与题意矛盾舍去……13 分 当 时，直线的 方程为 ,过定点 故直线 过定点，且定点的坐标为 …….14 分 10.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】（本小题共 14 分） 已知椭圆的中心 在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于不同的 两点 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求 的取值范围； （Ⅲ）若直线 不过点 ，求证：直线 的斜率互为相反数． 【答案】（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，解得 ， 故椭圆方程为 ． …………………4 分 （Ⅱ）将 代入 并整理得 ， 解得 ． …………………7 分 （Ⅲ）设直线 的斜率分别为 和 ，只要证明 ． 设 ， ， 则 ． …………………9 分 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2e = 2 24a b= (4,1)M 2 2 16 1 1a b + = 2 25, 20b a= = 2 2 120 5 x y+ = y x m= + 2 2 120 5 x y+ = 2 25 8 4 20 0x mx m+ + − = 5 5m− < < ,MA MB 1k 2k 1 2 0k k+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 1 2 8 4 20,5 5 m mx x x x −+ = − = 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1)( 4) ( 1)( 4) 4 4 ( 4)( 4) y y y x y xk k x x x x − − − − + − −+ = + =− − − − 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( 1)( 4) ( 1)( 4) 2 ( 5)( ) 8( 1) 2(4 20) 8 ( 5) 8( 1) 05 5 x m x x m x x x m x x m m m m m = + − − + + − − = + − + − − − −= − − − = 分子 km 2−= l kkxy 2−= 5 6km −= l )5 6( −= xky )0,5 6( l )0,5 6( x 3 2 (4,1)M : = +l y x m A B、 m l M MA MB、 2 2=(8 ) -20(4 -20)>0m m∆ ， 所以直线 的斜率互为相反数． …………………14 分 11.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 14 分）已知椭圆的中心在 原点 ，短半轴的端点到其右焦点 的距离为 ，过焦点 F 作直线 ，交椭圆于 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程； （Ⅱ）若椭圆上有一点 ，使四边形 恰好为平行四边形，求直线 的斜率． 【答案】（Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为 ，…………………… 1 分 则 ， ． …………………………………………2 分 所以　 ， …………………………………3 分 所以　椭圆方程为 ． …………………………………………4 分 （Ⅱ）若直线 轴，则平行四边形 AOBC 中，点 C 与点 O 关于直线 对称，此时 点 C 坐标为 ．因为 ，所以点 C 在椭圆外，所以直线 与 轴 不垂直． …………………………………………6 分 于是，设直线 的方程为 ，点 ， ， …7 分 则 整理得， … 8 分 ， ………………………………………… 9 分 所以　 ． ……………………………………… 10 分 因为 四边形 为平行四边形， 所以 ， ……………………………………… 11 分 所以 点 的坐标为 ， ……………………………12 分 所以 ， ……………………………13 分 解得 ， O ( )2,0F 10 l ,A B C AOBC l ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 10a = 2c = 2 2 10 4 6b a c= − = − = 2 2 110 6 x y+ = l x⊥ l ( )2 ,0c 2c a> l x l ( )2y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 2 1,10 6 2 , x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 23 5 20 20 30 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 20 3 5 kx x k + = + 1 2 2 12 3 5 ky y k + = − + AOBC OA OB OC+ =   C 2 2 2 20 12,3 5 3 5 k k k k  − + +  2 22 2 2 20 12 3 5 3 5 110 6 k k k k    −   + +   + = 2 1k = MA MB、 所以 ．　　　　　　　　　　　　 ……………14 分 12.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】（本小题满分 14 分） 如图，已知抛物线 的焦点为 ．过点 的直线交抛物线于 ， 两点，直线 ， 分别与抛物线交于点 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .证明： 为定值． 【答案】（Ⅰ）解：依题意，设直线 的方程为 ． …………1 分 将其代入 ，消去 ，整理得 ． …………4 分 从而 ． ……………5 分 （Ⅱ）证明：设 ， ． 则 ． ………7 分 设直线 的方程为 ，将其代入 ，消去 ， 整理得 ． ………………9 分 所以 ． ………………10 分 同理可得 ． ………………11 分 故 ． ……………13 分 1k = ± 2 4y x= F (2,0)P 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AF BF M N 1 2y y MN 1k AB 2k 1 2 k k AB 2x my= + 2 4y x= x 2 4 8 0y my− − = 1 2 8y y = − 3 3( , )M x y 4 4( , )N x y 2 2 1 2 3 4 3 41 1 2 1 2 2 2 2 3 4 1 2 3 1 2 3 44 4 4 4 4 y y y y y yk x x y y k x x y y y y y y yy −− −− += × = × =− − − +− AM 1x ny= + 2 4y x= x 2 4 4 0y ny− − = 1 3 4y y = − 2 4 4y y = − 1 1 2 1 2 1 2 2 3 4 1 2 4 4 4 k y y y y y y k y y y y + += = =− −+ −+ 由（Ⅰ）得 ，为定值． ……………14 分 13.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考理】(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，对称轴为坐标轴，且经过点 ． （I）求椭圆 的方程； （II）直线 与椭圆 相交于 、 两点， 为原点，在 、 上分别 存在异于 点的点 、 ，使得 在以 为直径的圆外，求直线斜率 的取值范围． 【答案】（I）依题意，可设椭圆 的方程为 ． 由 ∵ 椭圆经过点 ，则 ，解得 ∴ 椭圆的方程为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ （II）联立方程组 ，消去 整理得 ∙∙∙∙∙∙∙ ∵ 直线与椭圆有两个交点， ∴ ，解得 ① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ∵ 原点 在以 为直径的圆外， ∴ 为锐角，即 ． 而 、 分别在 、 上且异于 点，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 设 两点坐标分别为 ， 则 解得 ， ② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 1 2 2k k = E x 1 2 3(1, )2 E 2y kx= − E A B O OA OB O M N O MN k E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 21 2 , 32 c a c b a c ca = ⇒ = = − = 3(1, )2 2 2 1 9 14 12c c + = 2 1c = 2 2 14 3 x y+ = 4′ 2 2 2 14 3 y kx x y = − + = y 2 2(4 3) 16 4 0k x kx+ − + = 5′ 2 2( 16 ) 16(4 3) 0k k∆ = − − + > 2 1 4k > 6′ O MN MON∠ 0OM ON⋅ >  M N OA OB O 0OA OB⋅ >  8′ ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )OA OB x y x y x x y y= = +    2 1 2 1 2( 1) 2 ( ) 4k x x k x x= + − + + 2 2 2 4 16( 1) 2 4 04 3 4 3 kk kk k == + − + >+ + 2 4 3k < 11′ 综合①②可知： 14.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四次月考理】（满分 12 分）已知椭圆 的一个顶点为 B ，离心率 ，直线 l 交椭圆于 M、N 两点． （Ⅰ）若直线 的方程为 ，求弦 MN 的长； （II）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 的方程． 【答案】（1）由已知 ，且 ，即 ， ∴ ，解得 ，∴椭圆方程为 ； ……………………3 分 由 与 联立， 消去 得 ，∴ ， ， ∴所求弦长 ； ……………………6 分 （2）椭圆右焦点 F 的坐标为 ， 设线段 MN 的中点为 Q ， 由三角形重心的性质知 ，又 ， ∴ ，故得 ， 求得 Q 的坐标为 ； ……………………8 分 设 ，则 ， 且 ， ……………………10 分 以上两式相减得 ， 2 3 1 1 2 3, ,3 2 2 3k    ∈ − −          12′ 22 2 2 1yx a b + = ( 0)a b> > (0,4) e = 5 5 l 4y x= − l 4b = 5 5 c a = 2 2 1 5 c a = 2 2 2 1 5 a b a − = 2 20a = 22 120 16 yx + = 2 24 5 80x y+ = 4y x= − y 29 40 0x x− = 1 0x = 2 40 9x = 2 2 1 40 2| | 1 1 | | 9MN x x= + − = (2,0) 0 0( , )x y 2BF FQ=  (0,4)B 0 0(2, 4) 2( 2, )x y− = − 0 03, 2x y= = − (3, 2)− 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2 1 26, 4x x y y+ = + = − 2 2 2 2 1 1 2 21, 120 16 20 16 x y x y+ = + = 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 020 16 x x x x y y y y+ − + −+ = ， 故直线 MN 的方程为 ，即 ． ……………………12 分 2011-2012 年联考题 题组一 一、选择题 1．（北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考）直线 x-y+1=0 与圆（x+1）2+y2=1 的位置关系是 （ ） A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离 答案 B. 2．（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）若过定点 且斜率为 的直线 与圆 在第一象限内的部分有交点，则 的取值范围是( ) 答案 A. 3、（福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理）两圆 和 恰有三条公切线，若 ，且 ，则 的最小值为 （ ） A． B． C． D． 答案 C. 3．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）已知点 是曲线 C: 上的一点，过点 与此曲线相切的直线 平行于直线 ，则切线 的方程是（ ） A． B．y= C． D． 或 答案 A. 4.（ 福建省 厦门双 十中学 2011 届高 三 12 月 月考题 理）设 斜率为 1 的直 线 与椭 圆 )0,1(−M k 054 22 =−++ yxx k )(A 50 << k )(B 05 <<− k )(C 130 << k )(D 50 << k 042 222 =−+++ aaxyx 0414 222 =+−−+ bbyyx RbRa ∈∈ , 0≠ab 22 11 ba + 9 1 9 4 1 3 P 3 2 1y x x= + + P l 2 3y x= - l 12 += xy 12 1 +− x 2y x= 2 1y x= + 2y x= l 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 6 6 5 5 4 5MN y y x xk x x y y − += = − × = − × =− + −∴ 62 ( 3)5y x+ = − 6 5 28 0x y− − = 相交于不同的两点 A、B，则使 为整数的直线 共有（ ） A．4 条 B．5 条 C．6 条 D．7 条 答案 C. 5.（福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理） 已知圆 与抛物 线 的准线相切，则 p＝ （ ▲ ） A、1 B、2 C、3 D、4 答案 B. 6 ． （ 甘 肃 省 天 水 一 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 试 题 理 ） 过 点 圆 的切线,则切线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 C. 7 ． （ 甘 肃 省 天 水 一 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 月 考 试 题 理 ） 已 知 圆 关于直线 的最小值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．9 答案 D. 8 ． （ 广 东 省 惠 州 三 中 2011 届 高 三 上 学 期 第 三 次 考 试 理 ） 已 知 直 线 与 圆 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，向量 、 满足 ，则实数 a 的值是（ ） （A）2 （B） （C） 或 （D）2 或 答案 D. 9.（广东省清远市清城区 2011 届高三第一次模拟考试理）曲线 处的切 线方程为（ ） A． B． C． D． 124: 22 =+ yxC || AB l 2 2 6 7 0x y x+ − − = 2 2 ( 0)y px p= > M( 1,5)− 作 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = 1x = − 5 12 55 0x y+ − = 1 5 12 55 0x x y= − + − =或 1 5 55 0x x y= − + − =或12 2 2 2 4 1 0x y x y+ + − + = 2 2 0ax by− + = 4 1( 0, 0) ,a b a b > > +对称 则 x y a+ = 2 2 4x y+ = OA OB | | | |OA OB OA OB+ = −    2− 6 6− 2− 32 1y x x x= − = −在 2 0x y− + = 2 0x y+ − = 2 0x y+ + = 2 0x y− − = 答案 C. 10.（贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理）若直线 按向量 平移后与圆 相切，则 的值为（ ） A．8 或－2 B．6 或－4 C．4 或－6 D．2 或－8 答案 A. 11. （ 黑 龙 江 大 庆 实 验 中 学 2011 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 ） 若 直 线 是 曲 线 的切线，则 =（ ） 或 答案 D. 12．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）“ ”是“直线 ”与“直线 平行”的 （ ） A．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 B. 13．（湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文）已知 α∥β，a α，B∈β，则在 β 内 过点 B 的所有直线中 A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线 C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一一条与 a 平行的直线 答案 D. 14 ． （ 重 庆 市 南 开 中 学 2011 届 高 三 12 月 月 考 文 ） 已 知 圆 C 与 直 线 都相切，圆心在直线 上，则圆 C 的方程为 （ ） A． B． C． D． 答案 B. 14．（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）一根竹竿长 2 米，竖直放在广场的水 平地面上，在 时刻测得它的影长为 4 米，在 时刻的影长为 1 米。这个广场上有一个球形 物体，它在地面上的影子是椭圆，问在 、 这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影 子的离心率之比为（ ） 1：1 ：1 ：1 2：1 答案 A. 15.（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文） 设 x,y 是关于 m 的方程 02 =+− cyx )1,1( −=a 522 =+ yx c y x= 3 22y x x ax= − + a .1A .2B . 1C − .1D 2 3=a 012 =−− yax 046 =+− cyx ⊂ 0 4 0x y x y− = − − =及 0x y+ = 2 2( 1) ( 1) 2x y+ + − = 2 2( 1) ( 1) 2x y− + + = 2 2( 1) ( 1) 2x y− + − = 2 2( 1) ( 1) 2x y+ + + = 1t 2t 1t 2t )(A )(B 2 )(C 3 )(D m2−2am+a+6=0 的两个实根，则(x−1)2+(y−1)2 的最小值是 (A)−1225 (B)18 (C) 8 (D)无最小值 答案 C. 16．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）与圆(x-2)2+(y+1)2=1 关于直 线 x-y+3=0 成轴对称的曲线的方程是（ ） A.(x-4)2+(y+5)2=1 B.(x-4)2+(y-5)2=1　　C.(x+4)2+(y+5)2=1 D.(x+4)2+(y-5)2=1 答案 D. 17．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）把直线 x－2y＋λ＝0 向左平 移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，与曲线 x2＋y2＋2x－4y＝0 正好相切，则实数 λ 的值 为 ( ) A．－13 或 3 B．13 或－3 C．13 或 3 D．－13 或－3 答案 C. 18.（广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理） 椭圆 的焦点在 轴上， 长轴长是短轴长的两倍，则 的值为（ ） A． B． C． 2 D．4 答案 A. 19．（广东省新兴惠能中学 2011 届高三第四次月考理）已知双曲线 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为 （ ） A． B． C． D． 答案 D. 20．（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文）如图，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域，E 是 D 内函数 图象下方的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则该 点落入 E 中的概率为 A． B． C． D 答案 B. 2 2 1x my+ = y m 1 4 1 2 12 2 2 2 =− b y a x xy 42 = 5 15 45 2 2 =− yx 145 22 =− yx 145 22 =− xy 14 55 2 2 =− yx 2xy = 2 1 3 1 4 1 5 1 21 ． （ 福 建 省 厦 门 双 十 中 学 2011 届 高 三 12 月 月 考 题 理 ） 过 双 曲 线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的 交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 答案 C. 22.（河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文）若曲线 在点 处的切线方程是 ，则 （A） （B） （C） （D） 答案 D. 23．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考理）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 p 的值为 （ ） A． B． C． D．4 答案 A. 24．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考）设抛物线 的焦点为 F，过点 M （-1，0）的直线在第一象限交抛物线于 A、B，使 ，则直线 AB 的斜率 （ ） A． B． C． D． 答案 B. 二、填空题 25．（湖北省南漳县一中 2010 年高三第四次月考文）已知两点 ，则直 线 与 轴的交点分有向线段 的比为 　　． 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A 1− ,B C 1 2AB BC=  2 3 5 10 2y x ax b= + + (0, )b 1 0x y− + = 1, 1a b= − = 1, 1a b= − = − 1, 1a b= = − 1, 1a b= = 2 1 2y xp = 2 2 16 2 x y+ = 1 16 1 8 4− 2 4y x= 0AF BF⋅ =  k = 2 2 2 3 3 3 (4, 9) ( 2,3)P Q− −, PQ y PQ 答案 2. 26.（福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦 点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点的直线交椭圆于 A、B 两点， 共线，求椭圆的离心率▲▲. 答案 . 27．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，则 　　　　 答案 0. 28.（广东省中山市桂山中学 2011 届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆 的圆心 到直线 的距离为 . 29．（河南省郑州市四十七中 2011 届高三第三次月考文）如下图，直线 与圆 相切于 点 ，割线 经过圆心 ，弦 ⊥ 于点 ， ， ，则 . 答案 30.（黑龙江省哈尔滨市第 162 中学 2011 届高三第三次模拟理）已知函数 的图象关于 直线 和 都对称，且当 时， .求 =_____________。 答案 0.5 31．（湖北省武汉中学 2011 届高三 12 月月考）设圆 为 )1,3( −=+ aOBOA 与 3 6=e 3 0ax y− + = 2 2( 1) ( 2) 4x y− + − = A B AB 2 3 a = 4cosρ θ= C sin( ) 2 24 πρ θ + = PC O C PAB O CD AB E 4PC = 8PB = CE = 12 5 ( )xf 2=x 4=x 10 ≤≤ x ( ) xxf = ( )5.19f 2 2 2: 2 2 0(C x y ax y a a+ − − + = O E D C B A P 第 3 题 常数）被 轴所截得弦为 AB，若弦 AB 所对圆心角为 ，则实数 。 答案 32．（福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理）下图展示了一个由角的区间(0, )到实数集 R 的映射过程：区间(0, )中的角 始边落在 OA 上,则终边对应半圆弧 AB 上 的点 M，如图 1；将半圆弧 围成一个椭圆，使两端点 A、B 恰好重合，如图 2；再将这 个椭圆放在平面直角坐标系中，使其椭圆中心在 y 轴上，点 A 的坐标为 ，如图 3 中直 线 与 x 轴交于点 ，则 的象就是 n，记作 ． 下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ① ； ② 是奇函数； ③ 是定义域上的单调函数； ④ 的图象关于点 对称 ; ⑤ 的图象关于 y 轴对称 答案 ③④ 33.（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理） 已 知 的 离 心 率 是 . 答案 34. （福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理） 已知 F 是双曲线 的左 焦点，定点 A（1，4），P 是双曲线右支上的动点，则 的最小值为_________. 答案 9. 35. （贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理）直线 是曲线 y 2 π a = 2 2 ± π π α AB ( )0,1 AM ( ),0N n α nf =)(α M B O A 1 14f   =   ( )f x ( )f x ( )f x )0,2( π ( )f x 1),0,0(121 2 2 2 2 =+>>=+ n y m xmnnmnm 取得最小值时，椭圆则当 2 3 22 14 12 yx − = | | | |PF PA+ 1 2y x b= + ( )ln 0y x x= > 的一条切线，则实数 b＝ ． 答案 ln2－1. 36．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）过椭圆 的左焦点 的弦 AB 的长为 3， 且 ，则该 椭圆的离心率为 。 答案 三、简答题 37.（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）（12 分）已知圆 C 经过 P（4， – 2），Q（– 1，3）两点，且在 y 轴上截得的线段长为 ，半径小于 5． （1）求直线 PQ 与圆 C 的方程． （2）若直线 l∥PQ，且 l 与圆 C 交于点 A、B， ，求直线 l 的方程． 答案 （12 分） 解：(1) PQ 为 C 在 PQ 的中垂线 即 y = x – 1 上 设 C（n，n – 1），则 由题意，有 ∴ ∴ n = 1 或 5，r 2 = 13 或 37（舍） ∴圆 C 为 解法二：设所求圆的方程为 由已知得 解得 当 时， ；当 时， （舍） ∴ 所求圆的方程为 (2) 设 l 为 1 2 2 2 =+ b y a x 1F 42 =AF 02 =⋅ AFAB 3 5 4 3 90AOB∠ = ° 3 23 ( 1) 2 01 4y x x y +− = × + + − =− − 即 3 2 4 11 ( )2 2y x − −− = × − 2 2 2 2| | ( 1) ( 4)r CQ n n= = + + − 2 2 2(2 3) | |r n= + 2 212 2 6 17n n n+ = − + 2 2( 1) 13x y− + = 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = 2 4 2 20 3 10 4 48 D E F D E F E F  − + = −  − − =  − = 2 10 0 8 12 4 D D E E F F = − = −   = = −   = − =  或 2 0 12 D E F = −  =  = − 13 5r = < 10 8 4 D E F = −  = −  = 37 5r = > 2 2 2 12 0x y x+ − − = 0x y m+ + = 由 ，得 设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ m = 3 或 – 4（均满足 ） ∴ l 为 38．（福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理） （13 分）如图，求由两条曲线 y=－x2，4y=－x2 及直线 y=－1 所围成图形的面积. 答案 （13 分）如图，求由两条曲线 y=－x2，4y=－x2 及直线 y=－1 所围成图形的面积. 解：（理）由对称性，所求图形面积为位于 y 轴在侧图形面积 的 2 倍…2 分由 得 C（1，－1）同理得 D（2，－1）……5 分 ∴所求图形的面积 ……8 分 ……13 分 39. （福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理）（本小题满分 14 分）已知圆 O： ，点 O 为坐标原点,一条直线 ： 与圆 O 相切并与椭圆 交于不同的两点 A、B （1）设 ,求 的表达式； 2 2 0 ( 1) 13 x y m x y + + =  − + = 2 22 (2 2) 12 0x m x m+ − + − = 2 1 2 1 2 121 2 mx x m x x −+ = − =， 90AOB∠ = ° 1 2 1 2 0x x y y+ = 1 2 1 2( )( ) 0x x x m x m+ + + = 2 12 0m m+ − = 0∆ > 3 0 4 0x y x y+ + = + − =或 { 1 2 −= −= y xy ∫ ∫ −−−+−−−= 1 0 2 1 2 2 2 })]1(4[)](4[{2 dxxdxxxS ∫ ∫ ∫+−= 1 0 2 1 2 1 22 )44 3(2 dxdxxdxx 3 4)|124(2 2 1 2 1 3 1 0 3 =+−= xxx 122 =+ yx l )0( >+= bbkxy 12 2 2 =+ yx )(kfb = )(kf （理科图） 4y=－x2 y=－x2 x y O A B C D-1 4y=－x2 y=－x2 x y O A B C D-1 （2）若 ，求直线 的方程； （3）若 ，求三角形 OAB 面积的取值范围. 答案 解（1） 与圆 相切,则 , 即 , 所以. ……………………………4 分 （2）设 则由 ，消去 得: 又 ，所以 …………6 分 则 由 , 所 以 所 ……………………8 分 所以 . …………………9 分 （3）由（2）知： 所以 ………………………12 分 由弦长公式得 所以 解得 ………………………14 分 40．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）（12 分）已知圆 及定点 ，点 是圆 上的动点， 3 2=⋅OBOA l )4 3 3 2( ≤≤=⋅ mmOBOA ( 0)y kx b b= + > 2 2 1x y+ = 2 | | 1 1 b k = + 2 2 1( 0)b k k= + ≠ 12 += kb 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 2 2 12 y kx b x y = + + = y 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x kbx b+ + + − = 28 0 ( 0)k k∆ = > ≠ 2 1 2 1 22 2 4 2 2, .2 1 2 1 kb bx x x xk k −+ = − =+ + 1 2 1 2OA OB x x y y⋅ = + =  2 2 1 .2 1 k k + + 2 3OA OB⋅ =  2 1.k = 2 2.b = 0, 2,b b> ∴ = : 2, 2l y x y x∴ = + = − + 2 2 1 2 3. ,2 1 3 4 k m mk + = ≤ ≤+  2 2 2 1 3 ,3 2 1 4 k k +≤ ≤+ 21 1,2 k∴ ≤ ≤ 2 2 2 2 2| | 1 ,2 1 kAB k k = + ⋅ + 2 2 2 2 ( 1)1 | | ,2 2 1 k kS AB k += = + 6 2.4 3S∴ ≤ ≤ 36)5(: 22 =++ yxM )0,5(N P M 点 在 上，点 在 上，且满足 ， ． （1）求 的轨迹 的方程； （ 2 ） 过 点 作 直 线 ， 与 曲 线 交 于 两 点 ， 为 坐 标 原 点 ， 设 ，是否存在这样的直线 ，使四边形 的对角线相等？若存在，求出 直线 的方程；若不存在，说明理由． 答案 （1） ，所以椭圆方程为 （2） 四边形 为平行四边形，又其对角线相等，则 当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等； 当直线的斜率存在时，设直线 ，联立 ， 整理得 （*） 代入得 所以存在直线 41．（黑龙江哈九中 2011 届高三 12 月月考理）（12 分）已知直线 与 圆 相交于 两点， 为坐标原点， 的面积为 ． （1）试将 表示成 的函数 ，并求出其定义域； （2）求 的最大值，并求取得最大时 的值． Q NP G MP NQNP 2= 0=⋅ NPGQ G C )0,2(K l C BA, O OBOAOS += l OASB l 6|||||| ==+ MPGNGM 149 22 =+ yx ∴+= ,OBOAOS OASB OBOA ⊥ ),(),,(),2(: 2211 yxByxAxkyl −=    =+ −= 3694 )2( 22 yx xky 0)1(3636)94( 2222 =−+−+⇒ kxkxk 2 2 212 2 21 94 )1(36,94 36 k kxxk kxx + −=+=+∴ 0)2)(2( 21 2 212121 =−−+=+ xxkxxyyxx 04)(2)1( 2 21 2 21 2 =++−+ kxxkxxk 2 3,4 9,0494 72 94 )1(36 22 2 4 2 4 ±=∴=∴=++−+ − kkkk k k k )2(2 3; −±= xyl )22(: += xkyl 4: 22 =+ yxO BA, O AOB∆ S S k )(kS S k 答 案 （ 1 ） 设 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ， 则 ， 所 以 ， 故 （2） 当且仅当 时取等号，此时 42.（福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．问曲线 ， 是否相交，若相交请求出公共弦的方程，若不相交，请说明理由． 答案 解：（1）由 得 ∴曲线 的普通方程为 ①………2 分 由 可得 ∴曲线 的直角坐标方程为 ②……………………4 分 ∵圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ∴ ∴两圆相交…………6 分 由①－②可得两圆的公共弦方程为 x+y=1 …………7 分 43.（北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理）已知椭圆 的离 心率为 ，短轴的一个端点到右焦点的距离为 ，直线 交椭圆于不同的两 O l d 1 |22| 2 + = k kd 1 84)2 ||( 2 2 222 +−=−= k kdrAB 2 2 2 4 2(1 )1( ) | | , ( 1,0) (0,1)2 1 k kS k AB d kk −= = ∈ −+  2 2 2 4 2(1 )( ) , ( 1,0) (0,1)1 k kS k kk −= ∈ −+  4 )1()2 21(2)1( 22 2 22 22 +=+−≤⋅− kkkkk 3 3±=k 2max =S 1C    = +−= θ θ sin10 cos102 y x θ 2C θθρ sin6cos2 += 1C 2C    = +−= θ θ sin10 cos102 y x 10)2( 22 =++ yx 1C 10)2( 22 =++ yx θθρ sin6cos2 += θρθρρ sin6cos22 += 2C 10)3()1( 22 =−+− yx 1C )0,2(− 2C )3,1( 10223)30()12(C 22 21 <=−+−−=C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 6 3 3 :l y kx m= + 点 ， （Ⅰ）求椭圆的方程 （Ⅱ）若坐标原点 到直线 的距离为 ，求 面积的最大值 答案 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ，解得 . 所求椭圆方程为 　　　 （Ⅱ） 可得 . ， . . ， . . A B O l 3 2 AOB∆ c 6 3 3 c a a  =  = 2c = 2 2 2a b c= +由 得， b=1. ∴ 2 2 1.3 x y+ = 2 3 ,21 m k = + 由已知 2 23 ( 1)4m k= + y kx m= +将 代入椭圆方程 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x kmx m+ + + − =整理得 ( ) ( )( )2 2 26 4 1 3 3 3 0 ( )km k m∆ = − + − > ∗ 2 1 2 1 22 2 6 3 3,1 3 1 3 km mx x x xk k − −∴ + = ⋅ =+ + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 36 12( 1)(1 )( ) (1 )[ ](3 1) 3 1 k m mAB k x x k k k −∴ = + − = + −+ + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1) (3 1) (3 1) k k m k k k k + + − + += =+ + 2 4 2 2 2 12 12 123 3 3 4 ( 0)19 6 1 2 3 69 6 k kk k k k = + = + ≤ + = ≠+ + × ++ + 2 2 19k k =当且仅当 3 3k = ±即 时等号成立 3 3k = ±经检验 满足( *) 式， 0 3 .k AB= =当 时， ， . 44.（福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理）(本题满分 14 分) 已知点 是⊙ ： 上的任意一点，过 作 垂直 轴于 ,动点 满足 。 （1）求动点 的轨迹方程； （2）已知点 ，在动点 的轨迹上是否存在两个不重 合的两点 、 ，使 (O 是坐标原点)，若存在，求出直线 的方 程，若不存在，请说明理由。 答案 (本题满分 14 分) 解：（1）设 ，依题意，则点 的坐标为 ……1 分 ∴ ………………………2 分 又 ∴ ………………………4 分 ∵ 在⊙ 上，故 ∴ ………………………5 分 ∴ 点 的轨迹方程为 ………………………6 分 （2）假设椭圆 上存在两个不重合的两点 满足 ，则 是线段 MN 的中点，且有 …9 分 又 在椭圆 上 max 2AB =综上可知 1 3 322 2 2AB AOB S∴ ∆ = × × =当 最大时 的面积取最大值， P O 2 2 9x y+ = P PD x D Q 2 3DQ DP=  Q (1,1)E Q M N 1 ( )2OE OM ON= +   MN ( )0 0( , ), ,P x y Q x y D 0( ,0)D x 0 0( , ), (0, )DQ x x y DP y= − =  2 3DQ DP=  0 0 0 0 0 2 3 3 2 x x x x y y y y − = =   = =  即 P O 2 2 0 0 9x y+ = 2 2 19 4 x y+ = Q 2 2 19 4 x y+ = 2 2 19 4 x y+ = ( )1 1 2 2( , ), ,M x y N x y 1 ( )2OE OM ON= +   (1,1)E 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 212 x x x x y y y y + = + = + + = = 即 ( )1 1 2 2( , ), ,M x y N x y 2 2 19 4 x y+ = ∴ 两式相减，得 ……12 分 ∴ ∴ 直线 MN 的方程为 ∴ 椭 圆 上 存 在 点 、 满 足 ， 此 时 直 线 的 方 程 为 …………………………14 分 45．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）（本小题满分 14 分）椭圆 短轴的左右两个端点分别为 A，B，直线 与 x 轴、y 轴分别交于两 点 E，F，交椭圆于两点 C，D。 （I）若 ，求直线 的方程： （II）设直线 AD，CB 的斜率分别为 ，若 ，求 k 的 值。 答案 解：（I）设 …………3 分 由已知 所以 …………5 分 所以 ， …………6 分 2 2 1 1 2 2 2 2 19 4 19 4 x y x y  + =  + = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 09 4 x x x x y y y y− + − ++ = 1 2 1 2 4 9MN y yk x x −= = −− 4 9 13 0x y+ − = M N 1 ( )2OE OM ON= +   MN 4 9 13 0x y+ − = 14 2 2 =+ yx 1: += kxyl FDCE = l 21,kk 1:2: 21 =kk 1 1 2 2( , ), ( , ),C x y D x y 2 2 2 2 2 2 2 4 4, (4 ) 2 3 0, 1 4 12(4 ) 16 48, x y k x kx y kx k k k  + = + + − = = + ∆ = + + = + 由 得 1 2 1 22 2 2 3, ,4 4 kx x x xk k −+ = − =+ + 1( ,0), (0,1).E Fk − 1 2 2 1 1 1,x x x xk k − − = + = −即 2 2 1 4 k kk − = − ±+ , 解得k= 2 EMBED PBrush 符合题意， 所以，所求直线 l 的方程为 …………7 分 （II） ， 所以 …………8 分 平方得 …………9 分 代入上式， 计算得 …………11 分 所以 …………13 分 因为 所以 k=3 …………14 分 46．（甘肃省天水一中 2011 届高三上学期第三次月考试题理）（12 分）（本小题满分 14 分）已知圆 O： 直线 。 （I）求圆 O 上的点到直线 的最小距离。 （II）设圆 O 与 轴的两交点是 F1、F2，若从 F1 发出的光线经 上的点 M 反射后过点 F2，求以 F1、F2 为焦点且经过点 M 的椭圆方程。 答案 （12 分） （１）ｄｍｉｎ＝１ （２） 　　　ＭＦ１／＋ＭＦ２＝Ｆ１＇Ｆ２＝５＝２ａ 则 为所求轨迹方程 47．（广东省华附、中山附中 2011 届高三 11 月月考理）（14 分）在平面直角坐标系 2 1 0 2 1 0x y x y− + = + − =或 2 1 1 2 1 2 1 1 , , : 2 :11 1 y yk k k kx x = = =+ − 2 1 1 2 ( 1) 2 ,( 1) 1 y x y x − =+ 2 2 2 1 2 2 1 2 ( 1) 4,( 1) y x y x − =+ 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 21, 4(1 ), 4(1 ),4 yx y x y x+ = = − = −又 所以 同理 2 1 1 2 1 2 1 2 (1 )(1 ) 4, 3 5( ) 3 0,(1 )(1 ) x x x x x xx x − − = + + + =+ + 即 2 13 10 3 0, 3 ,3k k k k− + = = =解得 或 2 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) 2 1, , ( 1,1), , , ,( 1) 1 3 y x x x y y ky x − = ∈ − =+ 所以 异号 故舍去 ,122 =+ yx )4(3 3: += xyl l x l     − 32 5,2 3' 1F 19 4 25 4 22 =+ yx xOy 2 6 1 5 2 0 5 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ． （1）求 的取值范围； （2）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 ，是否存在常数 ，使得向量 与 共线？如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由． 答案 解：（1）由已知条件，直线 的方程为 ， 代入椭圆方程得 ． 整理得 　　　①　　　…………………………3 分 直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于 ， 解得 或 ．即 的取值范围为 ，……6 分 （2）设 ，则 ，………………７分 由方程①， ．　　　② 又 ．　　　　③ 而 ． 所以 与 共线等价于 ，………………12 分 将②③代入上式，解得 ． 由（1）知 或 ，故没有符合题意的常数 ．………………14 分 48.（广东省惠州三中 2011 届高三上学期第三次考试理）（本小题满分 14 分）如图，已知 椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（2，1），平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m（m≠0）， 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (0 2)， k l 2 2 12 x y+ = P Q k x y A B， k OP OQ+  AB k l 2y kx= + 2 2( 2) 12 x kx+ + = 2 21 2 2 1 02 k x kx + + + =   l P Q 2 2 218 4 4 2 02k k k ∆ = − + = − >   2 2k < − 2 2k > k 2 2 2 2    − − +         ， ，∞ ∞ 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， 1 2 1 2( )OP OQ x x y y+ = + +  ， 1 2 2 4 2 1 2 kx x k + = − + 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x+ = + + ( 2 0) (01) ( 21)A B AB = −，， ，， ， OP OQ+  AB 1 2 1 22( )x x y y+ = − + 2 2k = 2 2k < − 2 2k > k l l （1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围； （3）求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。 答案 解：（1）设椭圆方程为 ……………………………1 分 则 …………………………………………3 分 ∴椭圆方程为 ………………………………………………4 分 （2）∵直线 l 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM= ……………………………………………………5 分 由 ……………………………………6 分 ∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， （3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可…………9 分 设 则 , 由 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x    = =    =+ = 2 8 114 2 2 2 22 b a ba ba 解得 128 22 =+ yx 2 1 mxyl +=∴ 2 1的方程为： 0422 128 2 1 22 22 =−++∴       =+ += mmxx yx mxy 分且解得 8...........................................................0,22 ,0)42(4)2( 22 ≠<<− >−−=∆∴ mm mm 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1 1 1 2 yk x −= − 2 2 2 1 2 yk x −= − 2 22 2 4 0x mx m+ + − = ……………………………………………………10 分 而 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14 分 49.（广东省新兴惠能中学 2011 届高三第四次月考理） (本小题满分 14 分) （Ⅰ） 已知动点 到点 与到直线 的距离相等，求点 的轨迹 的方程； （Ⅱ） 若正方形 的三个顶点 ， ， ( )在 (Ⅰ)中的曲线 上，设 的斜率为 ， ，求 关于 的函数解析式 ； （Ⅲ） 求(2)中正方形 面积 的最小值。 答案 类似地，可设直线 的方程为： ，………………7 分 从而得 ， ……………………8 分 2 1 2 1 22 , 2 4x x m x x m+ = − = − 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) 2 2 ( 2)( 2) y y y x y xk k x x x x − − − − − + − −+ = + =− − − − )2)(2( )1(4)2)(2(42 )2)(2( )1(4))(2( )2)(2( )2)(12 1()2)(12 1( 21 2 21 2121 21 1221 −− −−−−+−= −− −−+++= −− −−++−−+ = xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 0 13......................................................0)2)(2( 444242 21 21 22 =+∴ =−− +−+−−= kk xx mmmm 分 ( , )P x y (0,1)F 1y = − P L ABCD 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 1 2 30x x x< <≤ L BC k | |l BC= l k ( )l f k= ABCD S AB 2 2 2 1 ( ) 4 xy x xk = − − + 2 22 2 1| | (2 )kAB kxk += + 由 ，得 ，解得 ， ． ……………………10 分 （Ⅲ）因为 ，……………12 分 所以 ，即 的最小值为 ，当且仅当 时取得最小值．……14 分 50.（贵州省遵义四中 2011 届高三第四次月考理） （12 分）已知圆 的圆心为 ，一动 圆与这两圆都外切。 （1）求动圆圆心 的轨迹方程；（4 分） （2）若过点 的直线 与（1）中所求轨迹有两个交点 、 ，求 的取值范围。 （8 分） 答案 解答：（1）设动圆 P 的半径为 r,则 相减得|PM|—|PN|=2 由双曲线定义知，点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点，焦距为 4，实轴长为 2 的双曲线右支 其双曲线方程为 （2）当 ，设直线 l 的斜率为 k 由 设 则 | | | |AB BC= 2 2 2(2 ) (2 )k k x kx⋅ − = + 3 2 2 2( 1)kx k k −= + 2 24 1 ( 1)( ) ( 1) k kl f k k k + += = + ( 0)k > 2 2 2 (1 )4 24 1 ( 1) 2( ) 4 2( 1) ( 1) k kk kl f k k k k k +⋅ ⋅+ += = =+ +≥ 2 32S l= ≥ S 32 1k = 4 1)2(,4 25)2( 2222 =+−=++ yxMyx 圆的圆心为 N P N l A B BMAM ⋅ 2 1||,2 5|| +=+= rPNrPM )1(13 2 2 ≥=− xyx 时 2 π≠a 0344)3( 33 )2( 2222 22 =−−+−⇒    =− −= kxkxk yx xky    > >⇒>+ >∆ 0 30 0 21 2 21 xx kxx ),(),,( 2211 yxByxA ),2(),,2( 2211 yxBMyxAM −−−=−−−= 当 综合得 51．（河南省长葛第三实验高中 2011 届高三期中考试理）（本小题满分 12 分） 设 函 数 ， 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 方 程 为 ． （Ⅰ）求 的解析式； （Ⅱ）求函数 的单调递减区间； （Ⅲ）证明：曲线 上任一点处的切线与直线 和直线 所围成的三角形面 积为定值，并求此定值． 答案 解：（Ⅰ）∵切点在切线上∴将点 M 代入切线方程解得 ………1 分 由 ，………2 分 根据题意得关于 a,b 的方程组： 解得：a=1,b=1………3 分 所以 的解析式的解析式为： ………4 分 （Ⅱ）由 （ ） ……5 分 2121 )2)(2( yyxxBMAM +−−−−=⋅ )2)(2()(24 21 2 2121 −−++++= xxkxxxx 73 1273 97 22 2 >−+=− −= kk k .3,32,2 2121 −==⇒=== yyxx时πα 7)3,4(),3,4( =⋅⇒−=−−=∴ BMAMBMAM 7≥⋅ BMAM ( ) bf x ax x = + ( )y f x= ( 3 ( 3))f， 2 3 2 3 0x y− + = ( )f x ( )f x ( )y f x= 0x = y x= 4 3( 3) 3f = ' 2( ) ba xf x = − 2 3 3 4 33 33 ba ba  − =  + = ( )f x 1( )f x x x = + ' 2 11( ) xf x = − 0x ≠ 令 ，解得： ………7 分 所以 的单调减区间为 ……8 分 （Ⅲ）（Ⅱ）设 为曲线上任一点， 由 知曲线在点 处的切线方程为 ， 即 ． 令 得 ，从而得切线与直线 的交点坐标为 ． 令 得 ， 从而得切线与直线 的交点坐标为 ． 10 分 所以点 处的切线与直线 ， 所围成的三角形面积为 ． 12 分 52.（河南省辉县市第一中学 2011 届高三 11 月月考理） ( 本 题 14 分 ) 若 椭 圆 ： 的 离 心 率 等 于 ， 抛 物 线 ： 的焦点在椭圆的顶点上。 （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）过 的直线 与抛物线 交 、 两点，又过 、 作抛物线 的切线 、 ，当 时，求直线 的方程 答案 解：(1)由椭圆方程得 ， ，所以 ， …2 ' 0( )f x < 1 0 0 1x x− < < < <或 ( )f x ( 1,0),(0,1)− 0 0( )P x y， 2 11y x ′ = − 0 0( )P x y， 0 02 0 11 ( )y y x xx  − = − −    0 02 0 0 1 11 ( )y x x xx x    − + = − −        0x = 0 2y x = 0x = 0 20 x       ， y x= 02y x x= = y x= 0 0(2 2 )x x， 0 0( )P x y， 0x = y x= 0 0 1 2 2 22 xx = 1C )20(14 2 22 <<=+ bb yx 2 3 2C )0(22 >= ppyx 2C )0,1(−M l 2C P Q P Q 2C 1l 2l 21 ll ⊥ l 2=a 2 3== a ce 3=c 122 =−= cab 分 由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即 …………………3 分 所以 抛物线方程为 …………………5 分 (2) 可判断直线 的斜率存在，设直线 的方程为 设 、 坐标为 …………………6 分 联立 整理得 ………………8 分 所以 ………………10 分 由 得 所以 ………………12 分 由 所以直线 的方程为 ……………14 分 53．（福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理）（本小题满分 13 分） 已知椭圆 T 的中心在原点 O，焦点在菇轴上，直线 与 T 交于 A、B 两 点，|AB| =2，且 （1）求椭圆 T 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 T 上两点，满足 ，求|MN|的最小值. 答案 )1,0( 2=p yx 42 = l l )1( += xky P Q ),,(),,( 2211 yxyx    = += yx xky 4 )1( 2 0442 =−− kkxx kxxkxx 4,4 2121 −==+ yx 42 = 2 / xy = 2,2 21 21 xkxk ll == 122 21 21 −=−=⋅=⋅ kxxkk ll l 1+= xy :l x + 3 3 0y − = .2AOB π∠ = 0MO ON⋅ =  题组二 选择题 1．（广东省河源市龙川一中 2011 届高三理） 平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数 图象上任意两个次整点作直线， 则倾斜角大于 45°的直线条数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 答案 B. 2．(江西省上高二中 2011 届高三理）函数 y＝x2－2x 在区间[a，b]上的值域是[－1，3]，则 点(a，b)的轨迹是图中的 A．线段 AB 和线段 AD B．线段 AB 和线段 CD C．线段 AD 和线段 BC D．线段 AC 和线段 BD 答案 A. 29y x= − 3．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知点 P 的双曲线 （a＞0，b＞0）右支 上一点，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF1F2 的 内心，若 成立，则 的值为（　　） （A） 　（B） 　　　　 （C） 　 　 （D） 答案 B. 4. 山西省四校 2011 届高三文）设曲线 y=xn+1( ),在 点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ,则 log +log +…+ log 的 值为（ ） A. -log 2010 B.-1 C. log 2010-1 D.1 答案 B. 5．(浙江省桐乡一中 2011 届高三文)椭圆 ＝1 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将椭 圆沿 y 轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该 二面角的大小为（　　） 　（A）75° 　　 （B）60° 　　 （C）45° 　　 （D）30° 答案 B. 6.（福建省福州八中 2011 届高三理）在点（0，1）处作抛物线 的切线，切线 方程为 A. B. C. D. 答案 D. 7.（河北省唐山一中 2011 届高三文） 已知双曲线 的右焦点到一条渐近线的距离为 1，则该双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 答案 C. 8．( 河南信阳市 2011 届高三理）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆 12 2 2 2 =− b y a x 2121 FIFIPFIPF SSS ∆∆∆ λ+= λ a ba 2 22 + 22 ba a + a b b a *Nn ∈ nx 2011 1x 2011 2x 2011 2010x 2011 2011 1216 22 yx + 2 1y x x= + + 2 2 0x y+ + = 3 3 0x y− + = 1 0x y+ + = 1 0x y− + = 13 2 22 =− b yx 2 3 3 32 2 23 心角的弧度数为 （ ） A． B． C． D．2 答案 C. 9．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）椭圆 ＝1 的长轴为 A1A2，短轴为 B1B2，将 椭圆沿 y 轴折成一个二面角，使得 A1 点在平面 B1A2B2 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则 该二面角的大小为（　　） 　（A）75° 　　 （B）60° 　　 （C）45° 　　 （D）30° 答案 B. 二、填空题 10．（江苏泰兴市重点中学 2011 届高三理）函数 的图象关于直线 对称．则 _____________． 答案 2. 11．（广东省湛江一中 2011 届高三 10 月月考理） 如图， 为圆 的直径，弦 、 交于 ，若 ， ，则 ． 答案 ．连结 AD,OD,OC,则 12．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）已知抛物线 上一点 N 到其焦点 F 的距离是 3，那么点 N 到直线 y＝1 的距离等于 　答案 3. 13 ． （ 浙 江 省 桐 乡 一 中 2011 届 高 三 文 ） 已 知 抛 物 线 的 一 条 切 线 与 直 线 垂直，则切点的坐标是　　 答案 （－1，－ 4）　　 14．（广东省广州东莞五校 2011 届高三理）抛物线 上一点 到焦点的距离为 3， 3 π 2 π 3 1216 22 yx + y x a= − 3x = a = AB O AC BD P 3=AB 1=CD _______cos =∠APD 3 1 3 12 1 2 1sinsincos ==∠=∠=∠ OD DC DOCDAPAPD yx 42 −= 24xy −= 028 =++ yx 2 4y x= M A B C D O P 则点 的横坐标 ． 答案 2. 15．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）已知抛物线 ，过定点（p，0）作两 条互相垂直的直线 l1 和 l2，其中 l1 与抛物线交于 P、Q 两点，l2 与抛物线交于 M、N 两点， l1 斜率为 k．某同学已正确求得弦 PQ 的中点坐标为（ ），则弦 MN 的中点坐标 答案 三、解答题 16．（2011 湖南嘉禾一中）（本题满分 13 分） 已知椭圆的右焦点 F 与抛物线 y2 = 4x 的焦点重合，短轴长为 2．椭圆的右准线 l 与 x 轴交于 E，过右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点，点 C 在右准线 l 上，BC//x 轴． （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率； （2）求证：线段 EF 被直线 AC 平分． 答案 解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为 ……1 分 的焦点为 F（1，0） ……………………3 分 所以，椭圆的标准方程为 其离心率为 ……………………5 分 （2）证明：∵椭圆的右准线 1 的方程为：x=2， ∴点 E 的坐标为（2，0）设 EF 的中点为 M，则 若 AB 垂直于 x 轴，则 A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1） ∴AC 的中点为 ∴线段 EF 的中点与 AC 的中点重合， ∴线段 EF 被直线 AC 平分，…………………………6 分 若 AB 不垂直于 x 轴，则可设直线 AB 的方程为 M x = )0(22 >= ppxy k pp k p ,2 + ),( 2 pkppk −+ )0(12 3 2 2 >>=+ bab y a x xy 42 = ,22,1 ==∴ bc 又 ,2,1 222 =+==∴ cbab .12 2 2 =+ yx 2 2=e )0,2 3(M )0,2 3(N 2 0 0 9 0 4 0 1 则 …………………………7 分 把 得 ………………8 分 则有 ………………9 分 ∴ ……………………10 分 ∵ ∴ ∴A、M、C 三点共线，即 AC 过 EF 的中点 M， ∴线段 EF 被直线 AC 平分。………………………………13 分 17．（江苏泰兴 2011 届高三理）（本小题满分 14 分） 已知：在函数的图象上， 以 为切点的切线的倾斜角为 （I）求 的值； （II）是否存在最小的正整数 ，使得不等式 恒成立？ 如果存在，请求出最小的正整数 ，如果不存在，请说明理由。 答案 依题意，得 ),(),,(,0),1( 2211 yxByxAkxky −≠−= ),2( 2yC − 12)1( 2 2 =+−= yxxky 代入 .0)1(24)21( 2222 =−+−+ kxkxk 2 2 212 2 21 21 )1(2,21 4 k kxxk kxx + −=+=+ 2 3 )1( 2 3 1 1 1 1 − −= − = x xk x yk AM ).1(2 2 32 ,32 )1(2 2 2 1 1 −= − =− −= xkykx xk CM )3(232 )1()1(2 1 1 21 −− −−−=− xx xxkkk CMAM 032 42)(32 1 2121 =− −−+= x xxxxk ,CMAM kk = xmxxf −= 3)( ),1( nN .4 π nm, k ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于 k .3 2,113,4tan)1( ==−=′ mmf 即π 因为 …………6 分 （II）令 …………8 分 当 当 当 又 因此， 当 …………12 分 要使得不等式 恒成立，则 所以，存在最小的正整数 使得不等式 恒成立 18．（福建省福州八中 2011 届高三文）（本小题满分 14 分） 已知椭圆 经过点（0，1），离心率 （I）求椭圆 C 的方程； （II）设直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 A’.试问：当 m 变化时直线 与 x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论； 若不是，请说明理由。 答案 解：（I）依题意可得 …………2 分 解得 …………3 分 所以椭圆 C 的方程是 …………4 分 .3 1,)1( −== nnf 所以 .2 2,012)( 2 ±==−=′ xxxf 得 ;012)(,2 21 2 >−=′−<<− xxfx 时 ;012)(,2 2 2 2 2 <−=′<<− xxfx 时 ;012)(,32 2 2 >−=′<< xxfx 时 .15)3(,3 2)2 2(,3 2)2 2(,3 1)1( =−==−=− ffff .15)(3 2,]3,1[ ≤≤−−∈ xfx 时 ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于 .2008199315 =+≥k .2008=k ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于 )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC .2 3=e 1+= myx BA'       += = = , ,2 3 ,1 222 cba a c b .1,2 == ba .14 2 2 =+ yx （II）由 得 即 且△>0 恒成立.…………6 分 记 ，则 …………8 分 ∴ 的直线方程为 …………9 分 令 y=0，得 …………10 分 又 ， …………11 分 ∴ …………12 分 …………13 分 这说明，当 m 变化时，直线 与 x 轴交于点 S（4，0） …………14 分 19.（河北省唐山一中 2011 届高三理）已知过点 （1,1）且斜率为 （ ）的直线 与 轴分别交于 两点，分别过 作直线 的垂线，垂足分别为 求 四边形 的面积的最小值. 答案 设直线 l 方程为 ,则 P（ ）， …………2 分 从而 PR 和 QS 的方程分别为 ，……5 分 又 ，又 四边形 PRSQ 为梯形………………………………9 分    += =+ ,1 ,14 2 2 myx yx ,44)1( 22 =++ ymy .032)4( 22 =−++ myym ),(),,( 2211 yxByxA 1 1'( , ),A x y− 1 2 1 22 2 2 3, .4 4 my y y ym m + = − = −+ +且 ',A B 2 1 1 1 2 1 ( ).y yy y x xx x ++ = −− 2 1 1 1 2 1 x xx y xy y −= ++ 2 1 2 1= ( )x x m y y− − 1 1= 1x my + 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ( ) 2= 1= 1x x m y y y my yx y x myy y y y y y − −= + + + ++ + + 2 2 32 ( )4 1=3 1=42 4 m mx m m − += + + − + BA' A m− 0>m l yx, QP, QP, 02 =+ yx ,,SR PRSQ )1(1 −−=− xmy m 11+ )1,0( mQ + 0)1(22012 =++−=+−− myxm myx 和 QSPR // 5 123 5 1122 mmmm RS ++ = +++ =∴ 5 1, 5 22 += + = mQSmPR  四边形 PRSQ 的面积的最小值为 ……………… 12 分 20.（福建省四地六校联考 2011 届高三理）（本小题满分 14 分）本题（1）、（2）、（3） 三个选答题，每小题 7 分，任选 2 题作答，满分 14 分，如果多做，则按所做的前两题计分。 作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）(本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换 已知 ，若 所对应的变换 把直线 变换为自身，求实 数 ，并求 的逆矩阵。 （2）（本题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已 知 直 线 的 参 数 方 程 ： （ 为 参 数 ） 和 圆 的 极 坐 标 方 程 ： 。 ①将直线 的参数方程化为普通方程，圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； ②判断直线 和圆 的位置关系。 （3）（本题满分 7 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ①解不等式 ； ②证明：对任意 ，不等式 成立. 答案 （1） 设 为直线 上任意一点其在 M 的作用下变为 则 代入 得： ……………3 分 其与 完全一样得 ∴ 5 18 80 1)4 92(5 1 80 1)4 91(5 1 22 =−+≥−++= mmS PRSQ ∴ 5 18 ,a b R∈ 1 3 aM b − =    MT : 2 3L x y− = ,a b M l 1 2 x t y t =  = + t C 2 2 sin( )4 πρ θ= + l C l C |2|)( −= xxf 5)( −=′−<<− xxfx 时 ;012)(,2 2 2 2 2 <−=′<<− xxfx 时 ;012)(,32 2 2 >−=′<< xxfx 时 .15)3(,3 2)2 2(,3 2)2 2(,3 1)1( =−==−=− ffff .15)(3 2,]3,1[ ≤≤−−∈ xfx 时 ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于 .2008199315 =+≥k .2008=k ]3,1[1993)( −∈−≤ xkxf 对于       += += ty tx 2 32 2 11    += += ty tx 2 1 2 11 ,2x t= + 2 2t x= − 32 (2 2)2y x∴ = + − 3 2 3 0x y∴ − + − = 2y t= + 2t y= − 21 ( 2)x y∴ = + − 2( 2) 1y x− = − 23．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 x2= y 的焦点是椭圆 M 的一个焦点,又点 A(1, )在椭圆 M 上. (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 的方向向量为(1, ),若直线 l 与椭圆 M 交于 B、C 两点,求 ABC 面积的最 大值. 答案 解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为 ,故设椭圆方程为 . 将点 代入方程得 ,整理得 , 解得 或 (舍). 故所求椭圆方程为 . …………………………………………6 分 (Ⅱ)设直线 的方程为 ,设 代入椭圆方程并化简得 , ………………9 分 由 ,可得 . ( ) 由 , 故 . 又点 到 的距离为 , ………………11 分 故 , 当且仅当 ,即 时取等号(满足 式) 所以 面积的最大值为 . 24．（浙江省桐乡一中 2011 届高三理）（本小题满分 15 分）已知函数 f(x)＝ln(2－x)＋ax. （Ⅰ）设曲线 y= f(x)在点(1, f(1))处的切线为 l，若 l 与圆(x+1)2+y2=1 相切，求 a 的值； （Ⅱ）求函数的 f(x)单调区间. 24− 2 2 ∆ (0, 2)− 2 2 2 2 12 y x a a + =− (1, 2)A 2 2 2 1 12a a + =− 4 25 4 0a a− + = 2 4a = 2 1a = 2 2 14 2 y x+ = BC mxy += 2 1 1 2 2( , ), ( , ),B x y C x y 04224 22 =−++ mmxx 0)8(8)4(168 222 >−=−−=∆ mmm 2 8m < ∗ 4 4,2 2 2 2121 −=−=+ mxxmxx 2 1 2 3 16 23 2 mBC x x ⋅ −= − = A BC 3 md = 2 2 2 2(16 2 )1 1 2 (16 2 ) 22 4 24 2ABC m m m mS BC d∆ − + −= ⋅ = ≤ ⋅ = 22 2162 mm −= 2±=m ∗ ABC∆ 2 答案 解: （Ⅰ）依题意有， . 因此过 点的直线的斜率为 ，又 所以，过 点的直线方程为 . 又已知圆的圆心为 ，半径为 ，依题意， ， 解得 . （Ⅱ） . (1)当 a 0 时， 恒成立，所以 的单调减区间是（ （2）当 ，所以 ，又由已知 . 令 ，解得 ，令 ，解得 . 所以, 的单调增区间是 , 的单调减区间是 . 25．（四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文） （12 分）已知函数 。 （1）若曲线 在点 P 处的切线方程为 ，求 的值； （2）证明函数 不可能在 R 上的增函数； （3）若函数 在区间 上存在极值点，求实数 的取值范围。 答案 解：（1） （2）假设 ∴ 恒成立 ∴ 1( ) 2f x a x ′ = + − (1, (1))f 1a − (1) ,f a= (1, (1))f ( 1)( 1)y a a x− = − − ( 1,0)− 1 2 1 1 1 ( 1) 1 a a − + = − + 1a = 1( ) 2f x a x ′ = + − ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x )2,∞− 0a > 12 2a − < 2x < ( ) 0f x′ > 12x a < − ( ) 0f x′ < 12 2xa − < < ( )f x 1( ,2 )a −∞ − ( )f x 1(2 ,2)a − bxaxaxxf ++−+= )22(2 1 3 1)( 23 )(xfy = ))1(,1( f 2 1=y ba, )(xfy = )(xfy = )0,2(− a )22()(' 2 axaxxf +−+=       = −= ⇒= = 3 1 1 2 1)1( 0)1(' b a f f 0)(' ≥xf ≥+−+ )22(2 axax    ≤++=≤∆ 01880 0 2 aa a＞ 而 ＞0 时 ＞0，∴不可能 （3）①当 时 ∴ 不满足 ②当 ，则方程 在 有解 设 若 时 或 ，此时△＞0。 而 或 不成立 时 或 不成立 ∴ ， ＜ ＜0 若 0.5 无解 故 26．（浙江省桐乡一中 2011 届高三文）（本小题满分 15 分）已知圆 O：x 轴于 A，B 两点， 曲线 C 是以 AB 为长轴，离心率为椭圆，其左焦点为 F．若 P 是圆 O 上一点，连结 PF，过 原点 P 作直线 PF 的垂线交直线点 Q． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 P 的坐标为（1，1），求证：直线 PQ 圆 O 相切； （3）试探究：当点 P 在圆 O 上运动时（不与 A、B 重合），直线 PQ 与圆 O 是否保持 相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由． 答案 解：（1）因为 则 b=1，即椭圆 C 的标准方程为 （2）因为 P（1，1），所以所以所以直线 OQ 的方程为 y= —2x. 又 Q 在直线，所以点 Q（—2，4） 即 PQ⊥OQ，故直线 PQ 与圆 O 相切， （3）当点 P 在圆 O 上运动时，直线 PQ 与圆 P 保持相切的位置关系. 设 则所以直线 OQ 的方程为所以点 Q 所以所以即 OP⊥PQ（P 不与 A、B 重合）， 故直线 PQ 始终与圆 O 相切. 27. (福建省福州八中 2011 届高三文) （本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，求实数 的值； （Ⅱ）设函数 ，对任意的 ，都有 成立，求实数 的取 a 188 2 ++=∆ aa 0)(' ≥xf 0=a 02)(' =−= xxf )0,2(2 −∉=x 0≠a 0)22(2 =+−+ aa xx )0,2(− )22()( 2 +−+= aa xxxg 0)0()2( ≤− gg 1−≤a 2≥a 00)(,1 =⇒=−= xxga 1=x 2=a 20)( −=⇒= xxg 2 3 ),2()1,( +∞−−∞∈ a 2− a b 2 − )0()2( gg − ),2()1,( +∞−−∞∈ a 13)( 3 −+= axxxf Ra∈ )(xfy = 1=x 66 += xy a 6)()( −′= xfxg 11 <<− x 0)( 1x− + 1a ≤ 15)( =xf )(xfy = 15=y 2'( ) 3 3f x x a= + 0=a 0)(' ≥xf )(xf∴ )(xfy = 15=y 00f x f x− ⋅ −极小值 极大值 3 3[( ) 8][( ) 8]<0a a− − − + 30<( ) <8a− 4< <0a− 4< 0a− ≤ Za∈ a 194 22 =− yx xy 2 3±= xy 3 2±= xy 4 9±= xy 9 4±= 2 2 + 15 4 x y = 1B B P 1,B B 1,PB PB x M N | | | |OM ON⋅ = 14 2 2 =+ yx )0,2 3(± )2 3,0( ± )0,3(± )3,0( ± xy 42 = l ),( 11 yxP D x y O C A B 两点，如果 ，则 A．9 　　　 B．8 　 C．7 　D．6 答案 B 6. （马鞍山学业水平测试）已知动点 P（x，y）满足 ,则动 点 P 的轨迹是 A.双曲线 B.双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线 答案 C 7.（昆明一中三次月考理）若抛物线 的焦点与椭圆 的左焦点 重合,则 p 的值为 A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：C 8.（昆明一中三次月考理）设双曲线 的半焦距为 c，直线 l 过 A （a，0），B（0，b）两点，若原点 O 到 l 的距离为 ，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 答案：A 9.（马鞍山学业水平测试）方程 表示的曲线为 A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 　D.圆 答案 A 10. (安徽六校联考)简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图 如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内 层椭圆引切线 、 .设内层椭圆方程为 ，则外层椭 圆方程可设为 .若 与 的斜率之积为 ，则椭圆的离心 率为( ) A. B. C. D. 答案 A 11. （玉溪一中期中） 从双曲线 的左焦点 F 引圆 的切 ),( 22 yxQ 621 =+ xx =|| PQ 2)2()2( 2222 =+−−++ yxyx 2y 2px(p 0)= ≠ 2 2x y 19 5 + = 2 2 2 2 x y 1(a 0,b>0)a b − = > c4 3 23 32 或 3 322或 3 32 |643|)2()2(5 22 −−=−+−⋅ yxyx AC BD 2 2 2 2 1x y a b + = ( 0)a b> > 2 2 2 2 1( ) ( ) x y ma mb + = ( 0, 1)a b m> > > AC BD 9 16 − 7 4 2 2 6 4 3 4 )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 222 ayx =+ 线 l，切点为 T，且 l 交双曲线的右支于点 P. 若点 M 是线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则|OM| －|TM|=（ ） A． B． C． D． 答案：B 12．（池州市七校元旦调研）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的 直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 ．若 ，则双曲线的离心 率是 ( ) A B． C． D． 答案 C 【解析】对于 ，则直线方程为 ，直线与两渐近线的交点为 B，C， ，则有 ， 因 ． 13.（岳野两校联考）双曲线 的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰 好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ） A.3 B.2 C. D. 答案 B 14. （岳野两校联考）如图，F 为抛物线 的焦点，A 、B 、C 在抛物线 上，若 ，则 （ ） A. 6 B. 4 C. 3 D.2 答案 A 2 ab − ab − 2 ba + 2 ba + 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A 1− ,B C 1 2AB BC=  2 3 5 10 ( ),0A a 0x y a+ − = 2 2 , , ( , )a ab a abB Ca b a b a b a b   − + + − −  2 2 2 2 2 2 2 2( , ), ,a b a b ab abBC ABa b a b a b a b  = − = − − − + +    2 22 , 4 , 5AB BC a b e= ∴ = ∴ =  12 2 2 2 =− b y a x 3 2 xy 42 = 0FA FB FC+ + =    FA FB FC+ + =   15.（三明市三校联考）设椭圆 （ ， ）的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为 （ ） A. B. 　 C. D. 答案 B 16.（祥云一中月考理）如果双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方 程为（ ） A． B． C． D． 答案：C 17.（三明市三校联考）已知椭圆 的左焦点分别为 ，过 作倾 斜角为 的直线与椭圆的一个交点 P，且 轴，则此椭圆的离心率 为 （ ） A． B． C． D． 答案 A 18．（昆明一中四次月考理）已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点， P 为双曲线左支上任意一点，若 的最小值为 8，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 答案：A 二、填空题 1.（马鞍山学业水平测试）设抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米,测量水面宽度为 8 米.当水 面上升 1 米后,水面宽度 为 米. 答案 2 2 2 2 1x y m n + = 0m > 0n > 2 8y x= 1 2 2 2 112 16 x y+ = 2 2 116 12 x y+ = 2 2 148 64 x y+ = 2 2 164 48 x y+ = 12 2 2 2 =− b x a y 2 xy 2±= xy 2±= xy ±= xy 2 2±= 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F 1F 030 2PF x⊥ e 3 3 3 2 2 2 2 3 1F 2F 2 2 1( 0)x my m− = > 2 2 1 | | | | PF PF   (1,3] (0,3] (1,2] (1, )+∞ 24 2.（昆明一中一次月考理）设 F 为抛物线 的焦点，与抛物线相切于点 的直线 l 与 x 轴的交点为 Q， __. 答案：90° 3.（玉溪一中期中）点 P(3，1)在椭圆 的右准线上，过 P 点且方向 向量为 的光线经直线 y=－2 反射后通过椭圆的右焦点，则这个椭圆的离心率 为 . 答案： 4. 与双曲线 有共同的渐近线，且过点 的双曲线的方程为 . 答案 5．（昆明一中四次月考理）抛物线 上的点 M 到焦点 F 的距离为 4，则点 M 的横坐 标是 . 答案：3 6．（昆明一中四次月考理）若球 的表面积为 ，边长为 2 的正三角形 的三个顶 点在球 的表面上，则球心 到平面 的距离为 . 答案： 7．（安庆市四校元旦联考）若椭圆 的左、右焦点分别为 ， 线 段 被抛物线 的焦点 分成 5 ：3 的两段，则此椭圆的离心率为 答案 8．（玉溪一中期中文）双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点 及 左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是 。 答案： 21 4y x= − ( 4, 4)P - - PQF∠ = )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x )5,2( −−=a 3 3 2 2 19 16 x y− = ( 3,2 3)− 149 4 22 =− yx 2 4y x= O π16 ABC O O ABC 3 62 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 21, FF 21FF bxy 22 = F 55 2 )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x (1, 2 1]+ 9.（祥云一中月考理）两个正数 、 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 则 双曲线 的离心率为 。 答案： 三、解答题 1. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分 8 分） 设椭圆的中心在原点,焦点在 轴上,离心率 ，且过点 ,求这个椭圆的方程. 解：∵椭圆的中心在原点,焦点在 轴上且过点 ∴ ………………………………………………………………………………3 分 又 ，∴ ，∴ ……………………………6 分 故这个椭圆方程是 …………………………………………………8 分 2．（池州市七校元旦调研）已知，椭圆 C 过点 A ，两个焦点为（－1，0），（1， 0）。 （1）求椭圆 C 的方程； (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数， 证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，解得 ， （舍去） 所以椭圆方程为 。 ……………4 分 a b 9 2 2 5 ,ba > 12 2 2 2 =− b y a x 5 41 x 2 3=e )2 3,0(P x )2 3,0(P 2 3=b 2 3=e 4 3 2 22 2 2 2 =−== a ba a ce 92 =a 19 4 9 22 =+ yx 3(1, )2 2 2 1 9 11 4b b + =+ 2 3b = 2 3 4b = − 2 2 14 3 x y+ = 2 0 0 9 0 4 2 3 （Ⅱ）设直线 AE 方程为： ，代入 得 设 , ,因为点 在椭圆上，所以 ; 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代 K，可得 ; 所以直线 EF 的斜率 . 3．（肥城市第二次联考）(本小题满分 12 分) 如图，在直角坐标系 中，已知椭圆 的离 心率 e＝ ，左右两个焦分别为 ．过右焦点 且与 轴垂直的 直线与椭圆 相交 M、N 两点，且|MN|=1． (Ⅰ) 求椭圆 的方程； (Ⅱ)设椭圆 的左顶点为 A,下顶点为 B，动点 P 满足 ，（ ）试 求点 P 的轨迹方程，使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 上. 解：(Ⅰ)∵ 轴，∴ ,由椭圆的定义得： ，------1 分 ∵ ， ∴ ，-----------------------------------3 分 又 得 ∴ 3( 1) 2y k x= − + 2 2 14 3 x y+ = 2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k+ + − + − − = (x , y )E EE (x , y )F FF 3(1, )2A 2 2 34( ) 122x 3 4F k k − − = + 3 2E Ey kx k= + − 2 2 34( ) 122x 3 4F k k + − = + 3 2E Ey kx k= − + + ( ) 2 1 2 F E F E EF F E F E y y k x x kK x x x x − − + += = =− − xOy )0(1: 2 2 2 2 >>=+ ba b y a xC 3 2 21 FF 、 2F x C C C 4PA AB m⋅ = −  m R∈ C 2MF x⊥ 2 1| | 2MF = 1 1| | 22MF a+ = 2 2 1 1| | (2 ) 4MF c= + 2 21 1(2 ) 42 4a c− = + 3 2e = 2 23 4c a= 2 24 2 3 ,a a a− = 0a > 2a∴ = ∴ ，-------------------------------4 分 ∴所求椭圆 C 的方程为 ．-----------------------------------5 分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知点 A(－2,0)，点 B 为（0，－1），设点 P 的坐标为 则 ， , 由 －4 得－ ， ∴点 P 的轨迹方程为 ------------------------------------7 分 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 ，则由轴对称的性质可得： ， 解得： ，------------------------------9 分 ∵点 在椭圆上，∴ ，整理得 解得 或 ∴点 P 的轨迹方程为 或 ， -------------------------------------------11 分 经检验 和 都符合题设， ∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 或 ．----------------12 分 4. （马鞍山学业水平测试）（本小题满分 10 分） 已知椭圆 C： 的长、短轴端点分别为 A、B，从此椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 ，且向量 与 共线． (Ⅰ)求椭圆的离心率 e； (Ⅱ)若 是椭圆 C 的一条准线，求椭圆 C 的方程. 解：(Ⅰ)∵ ，∴ ．……………………………2 分 2 2 2 21 14b a c a= − = = 2 2 14 x y+ = ( , )x y ( 2 , )PA x y= − − − (2, 1)AB = − PA AB m⋅ =  4 2 4x y m− + = − 2y x m= + 0 0'( , )B x y 0 0 0 0 1 11 , 22 2 2 y y x mx + −= − = ⋅ + 0 0 4 4 2 3,5 5 m mx y − − −= = 0 0'( , )B x y 2 24 4 2 3( ) 4( ) 45 5 m m− − −+ = 22 3 0m m− − = 1m = − 3 2m = 2 1y x= − 32 2y x= + 2 1y x= − 32 2y x= + 2 1y x= − 32 2y x= + )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x 1F AB OM 4−=x a bycxcF MM 2 1 ,),0,( =−=− 则 ac bkOM 2 −= M y X Q O P ∵ 是共线向量，∴ ，∴b=c,故 ．……………4 分 (Ⅱ) 由 ， 又 ，…………………………8 分 所以椭圆 C 的方程为 …………………………………………………………10 分 5. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，设抛物线 的准线与 轴交于 ，焦点为 ；以 为焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的交点为 ，延长 交抛物线于点 ， 是抛物线 上一动点，且 M 在 与 之间运动. （1）当 时，求椭圆 的方程； （2）当 的边长恰好是三个连续的自然数时，求 面积的最大值． 解：（1）当 时， ，则 设 椭 圆 方 程 为 ， 则 又 ， 所 以 所以椭圆 C2 方程为 ………… （2）因为 ， ，则 ， ，设椭圆方程为 ABOMa bk AB 与,−= a b ac b −=− 2 2 2=e accb 2 2=⇒= 2,222244 2 2 ==⇒==⇒−=−= baacac ax 148 22 =+ yx 2 1 : 4 ( 0)C y mx m= > x 1F 2F 1 2,F F 1 2e = 2C 1C x P 2PF Q M 1C P Q 1m = 2C 1 2PF F∆ MPQ∆ 1m = 2 4y x= 1 2( 1,0), (1,0)F F− 2 2 2 2 1( 0x y a ba b + = > > ） 1,c = 1 2 ce a = = 22, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = 4′ c m= 1 2 ce a = = 2a m= 2 23b m= 2 2 2 2 14 3 x y m m + = P Q C B A x y O 由 ，得 ………… 即 ，得 代入抛物线方程得 ，即 , ， 因为 的边长恰好是三个连续的自然数，所以 ………… 此时抛物线方程为 ， ，直线 方程为： . 联立 ，得 ，即 ， 所以 ，代入抛物线方程得 ，即 ∴ . 设 到直线 PQ 的距离为 ， 则 ………… 当 时， ， 即 面积的最大值为 . ………… 6. （玉溪一中期中）（本小题 12 分）已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中 心 O ，且 ， ， （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）如果椭圆上的两点 P,Q 使 的平分线垂直于 OA， 2 2 2 2 2 14 3 4 x y m m y mx  + =  = 2 23 16 12 0x mx m+ − = 6′ ( 6 )(3 2 ) 0x m x m+ − = 2 3P mx = 2 6 3py m= 2 2 6( , )3 3 m mP 2 1 2 5 5 7, 2 43 3 3p m m mPF x m PF a PF m= + = = − = − = 1 2 62 3 mF F m= = 1 2PF F∆ 3m = 8′ 2 12y x= (2,2 6)P PQ 2 6( 3)y x= − − 2 2 6( 3) 12 y x y x  = − − = 22 13 18 0x x− + = ( 2)(2 9) 0x x− − = 9 2Qx = 3 6Qy = − 9( , 3 6)2Q − 2 29 25(2 ) (2 6 3 6)2 2PQ = − + + = 2 ( , )12 tM t d )62,63(−∈t 2 2 6 6 66 6 6 75( )30 2 224 1 + − = = + − + t t d t 10′ 6 2t = − max 6 75 5 6 30 2 4 = ⋅ =d MPQ∆ 1 25 5 6 125 6 2 2 4 16 × × = 12′ AC BC 0⋅ =  | BC | 2 | AC |=  PCQ∠ 是否总存在实数 ，使得 ？请说明理由； . 解： （1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立　平面直角坐标系，则 ， 　设椭圆方程为 ，不妨设 C 在 x 轴上方， 　 由 椭 圆 的 对 称 性 ， ， 　 又 ，即 为等腰直角三角形，　由 得： ，代入椭圆方程得： ， 　即，椭圆方程为 ； （2）假设总存在实数 ，使得 ，即 ， 由 得 ，则 ， 　若设 CP： ，则 CQ： ， 　由 ， 　由 得 是方程 的一个根， 　由韦达定理得： ，以 代 k 得 ， 　故 ，故 ， 　即总存在实数 ，使得 . 题组一（1 月份更新） 一、选择题 λ PQ λAB=  A(2,0) 2 2 2 x y 14 b + = | BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC |= = ⇒ =     AC BC 0⋅ =  AC OC⇒ ⊥ ΔOCA A(2,0) C(1,1) 2 4b 3 = 2 2x 3y 14 4 + = λ PQ λAB=  AB// PQ C(1,1) B( 1, 1)− − AB 0 ( 1) 1k 2 ( 1) 3 − −= =− − y k(x 1) 1= − + y k(x 1) 1= − − + 2 2 2 2 2 x 3y 1 (1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 04 4 y k(x 1) 1  + = ⇒ + − − + − − =  = − + C(1,1) x 1= 2 2 2(1 3k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1 0+ − − + − − = 2 P P 2 3k 6k 1x x 1 1 3k − −= ⋅ = + k− 2 Q 2 3k 6k 1x 1 3k + −= + P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x ) 2k 1k x x x x 3 − + −= = =− − AB// PQ λ PQ λAB=  1、（2009 东莞一模）设 是椭圆 上的点．若 是椭圆的两个焦点，则 等于（ ） A．4 B5 C．8 D．10 答案 D 2、（2009 滨州一模）已知点 ， ， ，动圆 与直线 切于点 ， 过 、 与圆 相切的两直线相交于点 ，则 点的轨迹方程为 ． ． ． ． 答案 A 3、（2009 茂名一模）已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆 于 A、B 两点，若 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、 答案 C 4、（2009 临沂一模）已知双曲线的两个焦点 F1( ,0),F2( ,0),M 是此双曲线上的 一点，且 则该双曲线的方程是 A、 B、 C、 D、 答案 A 5、（2009 汕头一模）中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到 一条渐近线的距离为 ，则双曲线方程为（　） A、x2－y2＝2 　　 B、x2－y2＝ 　　 C、x2－y2＝1　 　D、x2－y2＝ 答案 A 6、（2009 泰安一模）已知曲线 C:y=2x ，点 A(0,-2)及点 B（3，a），从点 A 观察点 B，要 p 2 2 125 16 x y+ = 1 2F F， 1 2PF PF+ ( 3,0)M − (3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P A 2 2 1( 1)8 yx x− = > B 2 2 1( 1)8 yx x− = < − C ( )018 2 2 >=+ xyx D 2 2 1( 1)10 yx x− = > 1 2,F F 1F 2ABF∆ 3 2 2 2 2 1− 2 10− 10 1 2 1 20,| | | | 2,MF MF MF MF• = • =    2 2 19 x y− = 2 2 19 yx − = 2 2 13 7 x y− = 2 2 17 3 x y− = 2 2 1 2 2 使实现不被曲线 C 挡住，则实数 a 的取值范围是 A．(4,+ ) B.( ，4) C.(10, ) D. 答案 D 7、（2009 韶关一模）圆 上的动点 到直线 的最小距 离为 A．1 B． C． D． 答案 B 8、（2009 潍坊一模）抛物线 的准线与双曲线等 的两条渐近线所围成 的三角形面积等于 (A) (B) (C)2 (D) 答案 A 9、（2009 深圳一模）设平面区域 是由双曲线 的两条渐近线和椭圆 的右准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点 ，则目标函数 的最大值为 A． B． C． D． 答案 C 10、（2009 湛江一模）过点 A (3 , 0 ) 的直线 l 与曲线 有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 A．( , ) B．[ , ] C．( , ) D．[ , ] 答案 D 二、填空题 1、（2009 临沂一模）已知 A、B 是抛物线 上的两点，线段 AB 的中点为 M（2,2）， 则|AB|等于 ∞ −∞ +∞ ( ,10)−∞ 074422 =+−−+ yxyx P 0=+ yx 122 − 2 22 2 12y x= 2 2 19 3 x y− = 3 3 2 3 3 D 14 2 2 =− xy 12 2 2 =+ yx Dyx ∈),( yxz += 1 2 3 6 1)1( 22 =+− yx 3− 3 3− 3 3 3− 3 3 3 3− 3 3 2x 4y= 答案 2、（2009 上海十四校联考）以原点为顶点，x 轴为对称轴且焦点在 上的抛 物线方程是 答案 。 3、（2009 日照一模）抛物线 的焦点坐标是_______________。 答案 4、（2009 冠龙高级中学 3 月月考）以椭圆 中心为顶点，右顶点为焦点的抛物 线的标准方程为_____________。 答案 5、（2009 上海普陀区）设联结双曲线 与 （ ， ）的 个 顶点的四边形面积为 ，联结其 个焦点的四边形面积为 ，则 的最大值为 . 答案 6 、 （ 2009 泰 安 一 模 ） P 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， M 、 N 分 别 是 圆 上的点，则|PM|-|PN|的最大值为 答案 5 7、（2009 闵行三中模拟）已知 为双曲线 的右顶点，F 是双曲线的右焦点，则 |AF|=_______。 答案 1 8、（2009 枣庄一模）设椭圆 的右焦点与抛物线 的 焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的标准方程为 。 4 2 0342 =+− yx xy 62 −= 24y x= 1(0, )16 15 2 2 =+ yx xy 42 = 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 1y x b a − = 0a > 0b > 4 1S 4 2S 1 2 S S 1 2 2 2 115 yx − = 2 2 2 2( 4) 4 ( 4) 1x y x y+ + = − + =和 A 179 22 =− yx )0,0(12 2 2 2 >>=+ nmn y m x xy 82 = 2 1 答案 9、（2009 上海青浦区）已知 是椭圆 上的一个动点，则 的最大值是 答案 5 三、解答题 1 、 （ 2009 滨 州 一 模 ） 已 知 方 向 向 量 为 的 直 线 过 点 和 椭 圆 的右焦点，且椭圆的离心率为 ． （I）求椭圆 的方程； （II）若已知点 ，点 是椭圆 上不重合的两点，且 ，求实数 的取值范围． （1）∵直线 的方向向量为 ∴直线 的斜率为 ，又∵直线 过点 ∴直线 的方程为 ∵ ，∴椭圆的焦点为直线 与 轴的交点 ∴椭圆的焦点为 ∴ ，又∵ ∴ ，∴ ∴椭圆方程为 （2）设直线 MN 的方程为 由 ， 得 设 坐标分别为 11216 22 =+ yx )( yxP ， 1916 22 =+ yx yx + (1, 3)v = l (0, 2 3)− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 6 3 C (3,0)D ,M N C DM DNλ=  λ l (1, 3)v = l 3k = l (0, 2 3)− l 2 3 3y x+ = a b> l x (2,0) 2c = 6 3 ce a = = 6a = 2 2 2 2b a c= − = 2 2 16 2 x y+ = 3,x ay= + 2 2 16 2 3 x y x my  + =  = + 2 2( 3) 6 3 0m y my+ + + = ,M N 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 则 (1) (2) ＞0∴ , ∵ ，显然 ，且 ∴ ∴ 代入(1) (2)，得 ∵ ,得 ，即 解得 且 . 2、（2009 广州一模）已知动圆 C 过点 A(－2，0)，且与圆 M：(x－2)2+x2=64 相内切 (1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程； (2)设直线 l: y=kx+m(其中 k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点 B，D，与双曲线 交于不同两点 E，F，问是否存在直线 l，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. (本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想 方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 解：（1）圆 M：(x－2)2+x2=64，圆心 M 的坐标为(2，0)，半径 R=8. ∵|AM|=4|AM|， ……3 分 ∴圆心 CD 的轨迹是中心在原点，以 A，M 两点为焦点，长轴长为 8 的椭圆， 设其方程为 (a>b>0)，则 a=4，c=2， ∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 . ……5 分 1 2 2 6 ,3 my y m + = − + 1 2 2 3 3y y m = + 2 2 236 12( 3) 24 36m m m∆ = − + = − 2 3 2m > 1 1 2 2( 3, ), ( 3, ),DM x y DN x y DM DNλ= − = − =    0λ > 1λ ≠ ( )1 1 2 23, ( 3, )x y x yλ− = − 1 2y yλ= 2 2 2 1 12 362 103 3 m m m λ λ+ = − = −+ + 2 3 2m > 12 10λ λ< + < 2 2 2 1 0 10 1 0 λ λ λ λ  − + >  − + < 5 2 6 5 2 6λ− < < + 1λ ≠ 2 2x y 14 12 − = DF BE 0+ =   2 2 2 2 x y 1a b + = 2 2x y 116 12 + = (2)由 消去 y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0， 设 B(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1+x2= . △1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7 分 由 消去 y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0， 设 E(x3，y3)，F(x4，y4)，则 x3+x4= . △2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9 分 ∵ ，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即 x1+x2= x3+x4， ∴ ，∴2km=0 或 ， 解得 k=0 或 m=0， ……11 分 当 k=0 时，由①、②得 ， ∵m∈Z，∴m 的值为－3，－2，－1，0，1，2，3； 当 m=0 时，由①、②得 ， ∵k∈Z，∴k=－1，0，1. ∴满足条件的直线共有 9 条. ……14 分 3、（2009 聊城一模）已知椭圆 的离心率为 ，直线l：y=x+2 与以原点为圆心、椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切。 （1）求椭圆 C1 的方程； （2）设椭圆 C1 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，直线 l1 过点 F1，且垂直于椭圆的长轴，动 直线 l2 垂直于 l1，垂足为点 P，线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M，求点 M 的轨迹 C2 的方程； （3）设 C2 与 x 轴交于点 Q，不同的两点 R、S 在 C2 上，且 满足 ， 求 的取值范围。 2 2 y = kx + m x y+ =116 12   2 8km 3+ 4k − 2 2 y = kx + m x y =14 12  − 2 2km 3 k− DF BE 0+ =   2 2 8km 2km 3+ 4k 3 k − = − 2 2 4 1 3+ 4k 3 k − = − 2 3 < m 2 3− < 3 < m 3− < )0(1: 2 2 2 2 1 >>=+ bab y a xC 3 3 0=⋅ RSQR || QS 解：（1）由 （2 分） 由直线 所以椭圆的方程是 （4 分） （2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 的距 离，由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 。 （8 分） （3）由（2），知 Q（0，0）。设 所以当 故 的取值范围是 。 （14 分） 4、（2009 东莞一模）设椭圆 的左右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一点，且 ，坐标原点 到直线 的距离为 ． （1）求椭圆 的方程； （2） 设 是椭圆 上的一点，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， ;3 21,3 3 2 2 =−== ea be 得 3,2,.|| 2 2,02: 222 ====+=+− abbbyxyxl 所以得相切与圆 .123 22 =+ yx 1:1 −=xl xy 42 = ),4(),,4(),,4( 1 2 1 2 2 2 1 2 1 yyQRyySyyR =所以 )12().4 ,256(6432256232256 )10(16, .0)(16 )(,0 ).,4( 1 2 1 2 12 1 2 1 2 2 1 1221 121 2 1 2 2 2 1 12 2 1 2 2 分时等号成立 即当且仅当 分化简得因为 得由   ±= ==+≥++=∴ −−=≠ =−+−=⋅ −−= y yyyyy yyyyy yyyyyyRSQR yyyyRS .64,64)8(4 1)4(|| 2 2 22 2 2 2 2 2 2 ≥−+=+= yyyyQS  .58||,8,64 min2 2 2 =±== QSyy 时即 || QS [ )∞+.58 2 2 2: 1( 0)2 x yC aa + = > 1F 2F A C 2 1 2 0AF F F⋅ =  O 1AF 1 1 3 OF C Q C Q l x ( 1,0)F − y M 若 ，求直线 的斜率． 解： （Ⅰ）由题设知 由于 ，则有 ，所以点 的坐标为 ……..2 分 故 所在直线方程为 …………3 分 所以坐标原点 到直线 的距离为 ， 又 ，所以 ，解得： .………….5 分 所求椭圆的方程为 .…………7 分 （2）由题意可知直线 的斜率存在，设直线斜率为 ，则直线 的方程为 ，则 有 .……9 分 设 ，由于 、 、 三点共线，且 . 根据题意得 ,解得 或 .…………12 分 又 在椭圆 上，故 或 ， 解得 ,综上，直线 的斜率为 或 …………14 分 5、（2009 临沂一模）已知 F1,F2 是椭圆 C: （a>b>0）的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段 PF2 与 y 轴的交点 M 满足 。 （1）求椭圆 C 的方程。 （2）椭圆 C 上任一动点 M 关于直线 y=2x 的对称点为 M1（x1,y1）,求 3x1-4y1 的取值 QFMQ 2= l 2 2 1 2( 2,0), ( 2,0), 2F a F a a− − − >其中 2 1 2 0AF F F⋅ =  2 1 2AF F F⊥  A 2 2( 2, )a a − ± 1AF 2 1( ) 2 xy aa a = ± + − O 1AF 2 2 2 1 a a − − 2 1 2OF a= − 2 2 2 2 1 21 3 a aa − = −− 2a = 2 2 14 2 x y+ = l k l ( 1)y k x= + (0, )M k 1 1( , )Q x y Q F M 2MQ QF=  1 1 1 1( , ) 2( 1, )x y k x y− = ± + 1 1 2x y k = −  = − 1 1 2 3 3 x ky  = −  = Q C 2 2( 2) ( ) 14 2 k− −+ = 2 22( ) ( )3 3 14 2 k− + = 0, 4k k= = ± l 0 4± 2 2 2 2 1x y a b + = ( 2,1)− 2 0PM F M+ =  0 0( , )x y x y O P A B 1F 2F 图 6 范围。 解：（1）由已知，点 P 在椭圆上 ∴有 ①┉┉┉┉┉┉┉┉1 分 又 ，M 在 y 轴上， ∴M 为 P、F2 的中点，┉┉┉┉┉┉┉┉2 分 ∴ .┉┉┉┉┉┉┉┉3 分 ∴由 ， ②┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 解①②,解得 （ 舍去），∴ 故所求椭圆 C 的方程为 。┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 （2）∵点 关于直线 的对称点为 ， ∴ ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分 解得 ┉┉┉┉┉┉┉┉10 分 ∴ ┉┉┉┉┉┉┉┉11 分 ∵点 P 在椭圆 C: 上，∴ ∴ 。 即 的取值范围为［－10，10］。┉┉┉┉┉┉┉┉12 分 6、（2009 江门一模）如图 6，抛物线 ： 与坐标轴的交点分别为 、 、 . ⑴求以 、 为焦点且过点 的椭圆方程； ⑵经过坐标原点 的直线 与抛物线相交于 ( 2,1)− 2 2 2 1 1a b + = 2 0PM F M+ =   2 0, 2c c− + = = 2 2 2a b− = 2 2b = 2 1b = − 2 4a = 2 2 14 2 x y+ = 0 0( , )M x y 2y x= 1 1 1( , )M x y 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1, 2 .2 2 y y x x y y x x − × = − − + + = × 0 0 1 0 0 1 4 3 5 3 4 5 y xx y xy − = − = 1 1 03 4 5 .x y x− = − 0 0( , )x y 2 2 14 2 x y+ = 02 2,x− ≤ ≤ 010 5 10x− ≤ − ≤ 1 13 4x y− C 13 1 2 +−= xy P 1F 2F 1F 2F P O l 、 两点，若 ，求直线 的方程． ⑴由 解得 、 、 ----------3 分 所 以 ， ， 从 而 ----------5 分 ， 椭 圆 的 方 程 为 ----------6 分 ⑵ 依 题 意 设 ： ----------7 分 ， 由 得 ----------8 分 依题意得 ----------11 分，解得 ----------13 分 所以，直线 的方程是 或 ----------14 分 7、（2009 青岛一模）已知 均在椭圆 上，直线 、 分 别过椭圆的左右焦点 、 ，当 时，有 . (Ⅰ)求椭圆 的方程; (Ⅱ)设 是椭圆 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的最大值. 解:(Ⅰ)因为 ，所以有 所以 为直角三角形； …………………………2 分 则有 所以， …………………………3 分 又 ， ………………………4 分 在 中有 A B 2AO OB=  l 13 1 2 +−= xy )1,0(P )0,3(1 −F )0,3(2F 1=b 3=c 2=a 14 2 2 =+ yx l kxy =    +−= = 13 1 2xy kxy 013 1 2 =−+ kxx       −= −=⋅ −=+ >−××− BA BA BA xx xx kxx k 3 3 3 0)3(14)3( 2 3 2±=k l xy 3 2= xy 3 2−= CBA ,, )1(1: 2 2 2 >=+ aya xM AB AC 1F 2F 1 2 0AC F F⋅ =  2 1219 AFAFAF =⋅ M P M EF ( ) 12: 22 =−+ yxN PFPE ⋅ 1 2 0AC F F⋅ =  1 2AC F F⊥  1 2AF F∆ 1 1 2 2cosAF F AF AF∴ ∠ =  2 22 1 2 1 2 1 2 2 1 19 9 cos 9AF AF AF AF F AF AF AF AF⋅ = ∠ = = =       1 23AF AF=  aAFAF 221 =+ 1 2 3 ,2 2 a aAF AF∴ = =  1 2AF F∆ 2 2 2 1 2 1 2AF AF F F= +   即 ，解得 所求椭圆 方程为 …………………………6 分 (Ⅱ) 从而将求 的最大值转化为求 的最大值…………………………8 分 是椭圆 上的任一点，设 ，则有 即 又 ，所以 ………………………10 分 而 ,所以当 时， 取最大值 故 的最大值为 …………………………12 分 8、（2009 日照一模）已知离心率为 的椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，双曲线 以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为 。 （I）求椭圆及双曲线的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为 ，在第二象限内取双曲线 上一点 ，连结 交椭圆于点 ，连结 并延长交椭圆于点 ，若 。求四 边形 的面积。 解：（I）设椭圆方程为 则根据题意，双曲线的方程为 且满足 解方程组得 ……………………4 分 椭圆的方程为 ，双曲线的方程 ………………6 分 )1(422 3 2 22 −+    =     aaa 22 =a M 12 2 2 =+ yx ( ) ( )NPNFNPNEPFPE −⋅−=⋅ ( ) ( ) ( ) 1 222 −=−−=−⋅−−= NPNFNPNPNFNPNF PFPE ⋅ 2 NP P M ( )00 , yxP 12 2 0 2 0 =+ yx 2 0 2 0 22 yx −= ( )2,0N ( ) ( ) 1022 2 0 2 0 2 0 2 +−−=−+= yyxNP [ ]1,10 −∈y 10 =y 2 NP 9 PFPE ⋅ 8 4 5 x 2 34 A、B P BP M PA N BM MP=  ANBM 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 4 ,5 2 2 34, a b a a b  − =   + = 2 2 25 9 a b  = = ∴ 2 2 125 9 x y+ = 2 2 125 9 x y− = （Ⅱ）由（I）得 设 则由 得 为 的中点，所以 点坐标为 ， 将 坐标代入椭圆和双曲线方程，得 消去 ，得 解之得 或 （舍） 所以 ，由此可得 所以 …………………………10 分 当 为 时，直线 的方程是 即 ，代入 ，得 所以 或-5（舍） ……………………………12 分 所以 轴。 所以 ……………………14 分 9、（2009 潍坊一模）已知双曲线 的左、右两个焦点为 , ，动点 P 满足|P |+| P |=4. (I)求动点 P 的轨迹 E 的方程； (1I)设过 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 E 于 A、B 两点，问：终段 O 上是否存在一点 D，使得以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明. 解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为 …………1 分 ( 5,0), (5,0),| | 10,A B AB− = ( , ),o oM x y BM MP=  M BP P (2 5,2 )o ox y− M P、 2 2 2 2 0 1,25 9 (2 5) 4 125 9 o o o x y x y  + = − − = oy 22 5 25 0o ox x− − = 5 2ox = − 5ox = 3 3 2oy = 5 3 3( , ),2 2M − ( 10,3 3).P − P ( 10,3 3)− PA 3 3 ( 5)10 5y x= −− + 3 3: ( 5)5y x= − + 2 2 125 9 x y+ = 22 15 25 0x x+ + = 5 2x = − 5 , ,2N N Mx x x= − = MN x⊥ 3 3 12 2 10 15 32 2AMBN AMBS S∆= = × × × = 2 22 2x y− = 1F 2F 1F 2F 2F 2F 2 2 1 21, | | 2 32 x y F F− = =则 , ∴P 点的轨迹 E 是以 为焦点，长轴为 4 的椭圆 …………2 分 设 E 的方程为 …………4 分 （Ⅱ）满足条件的 D …………5 分 设满足条件的点 D（m,0）,则 设 l 的方程为 y=k(x- )(k≠0), 代人椭圆方程，得 …………6 分 ∵以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形， …………6 分 ∴存在满足条件点 D …………12 分 10 、 （ 2009 枣 庄 一 模 ） 已 知 的 顶 点 A 、 B 在 椭 圆 （1）当 AB 边通过坐标原点 O 时，求 AB 的长及 的面积； （2）当 ，且斜边 AC 的长最大时，求 AB 所在直线的方程。 1 2 1 2| | | | 4 | | 2 3PF PF F F∴ + = > = 1F F、 2 2 2 2 2 2 2 x y 1( 0), 2a 4,2 2 3 a 2, 3, 1 x 14 a ba b c c b y + = > > = = = = ∴ = + = 由 得 故所求方程为 0 3m≤ ≤ 3 2 2 2 2(1 4 ) 8 3 12 4 0k x k x k+ − + − = 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 8 3, , , , 1 4 2 3( 2 3) 1 4 kA x y B x y x x k ky y k x x k + = + −∴ + = + − = + 设（ ）（ ）则 ( )DA DB AB+  ⊥ 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( 2 , ) 8 3 2 3( 2 , ), k1 4 1 4 3 30, 3, 0 34 DA DB x m y x m y x x m y y k km ABk k m m + = − + − = + − + −= −+ + > ∴ < < ∴ < <      2 的方向向量为（1， ）' k ABC∆ .//,2:,43 22 lABxylCyx 且上在直线点上 +==+ ABC∆ °=∠ 90ABC 解：（1）因为 且 AB 通过原点（0，0），所以 AB 所在直线的方程为 由 得 A、B 两点坐标分别是 A（1，1），B（-1，-1）。 2 分 又 的距离。 4 分 （2）设 AB 所在直线的方程为 由 因为 A，B 两点在椭圆上，所以 即 5 分 设 A，B 两点坐标分别为 ，则 且 6 分 8 分 又 的距离， ,//lAB .xy =    = =+ xy yx 43 22 22)()(|| 2 21 2 21 =++−=∴ yyxxAB lhAB 等于原点到直线边上的高 .2||2 1,2 =⋅==∴ ∆ hABSh ABC mxy += .0436443 22 22 =−++    += =+ mmxx mxy yx 得 ,06412 2 >+−=∆ m .3 34 3 34 <<− m ),(),,( 2211 yxyx ,4 43,2 3 2 2121 −=−=+ mxxmxx ., 2211 mxymxy +=+= 2 21 2 21 2 21 )(2)()(|| xxyyxxAB −=−+−=∴ 2 632)434 9(2]4)[(2 2 22 21 2 21 mmmxxxx −=+−=−+= lmBC 到直线的长等于点 ),0( 即 10 分 边最长。（显然 ） 所以 AB 所在直线的方程为 12 分 11、（2009 上海十四校联考）我们知道， 判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有 类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题 （1）设 F1、F2 是椭圆 的两个焦点，点 F1、F2 到直线 的距离分别为 d1、d2，试求 d1·d2 的值，并判断直线 L 与椭圆 M 的位置关系 （2）设 F1、F2 是椭圆 的两个焦点，点 F1、F2 到直线 （m、n 不同时为 0）的距离分别为 d1、d2，且直线 L 与椭圆 M 相切，试求 d1·d2 的值 （3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明 （4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必 证明） 解：（1） ； ………………2 分 联立方程 ； …………3 分 与椭圆 M 相交 …………4 分 （2）联立方程组 消去 . 2 |2||| mBC −= .)1(11102|||||| 22222 +−=+−−=+=∴ mmmBCABAC ACm ,1时当 −=∴ 3 3413 34 <−<− 1−= xy 1925: 22 =+ yxM 052: =+− yxL )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xM 0: =++ pnymxL 9 3 |524| 3 |524| 21 =+⋅+−=⋅ dd 0100105059 052 1925 2 22 =−+    =+− =+ xxy yx yx 可得消去 L所以直线,0100594)1050( 2 >××+=∆ , 0 12 2 2 2    =++ =+ pnymx b y a x （3）设 F1、F2 是椭圆 的两个焦点，点 F1、F2 到直线 的距离分别为 d1、d2，且 F1、F2 在直线 L 的同侧 那么直线 L 与椭圆相交的充要条件为： ；直线 L 与椭圆 M 相切的充要条件 为： ；直线 L 与椭圆 M 相离的充要条件为： 　……14 分 证明：由（2）得，直线 L 与椭圆 M 相交 命题得证 （写出其他的充要条件仅得 2 分，未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分） （4）可以类比到双曲线：设 F1、F2 是双曲线 的两个焦点，点 F1、F2 到直 线 距离分别为 d1、d2， 且 F1、F2 在直线 L 的同侧。那么直线 L 与双曲线相交的充要 条件为： ；直线 L 与双曲线 M 相切的充要条件 为： ；直线 L 与双曲线 M 相离的充要条件为： ……………20 分 （写出其他的充要条件仅得 2 分，未指出“F1、F2 在直线 L 的同侧”得 3 分） 分 其中因为椭圆焦点 分即 分可得 10.|| |||||| ;),0,(),0,( 8. 0)(4)()(4)2( 6(*),0)(2)( 2 22 222222 22 222 222221 222 21 2222 222222222222222222 2222222222    bnm cmnbma nm cmp nm pmc nm pmcdd baccFcF nbmap pnbmanbanbpanbmampa nbpampxaxnbmay n =+ −+= + −= + +⋅ + +−=⋅ −=− += =−+=−+−=∆ =−+++ )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xM )0,(0: 不同时为nmpnymxL =++ 2 21 bdd <⋅ 2 21 bdd =⋅ 2 21 bdd >⋅ 222220(*) nbmap +<⇔>∆⇔ 中 分相切与椭圆直线 相离与椭圆直线同理可证 16. : ; 2 21 2 21 2 22 222222 22 222 222221 bddML bddML bnm cmnbma nm cmp nm pmc nm pmcdd =⋅⇔ >⋅⇔ =+ −+<+ −= + +⋅ + +−=⋅⇔ 1: 2 2 2 2 =− b y a xM )0,(0: 不同时为nmpnymxL =++ 2 21 bdd <⋅ 2 21 bdd =⋅ 2 21 bdd >⋅ O3− 3 3 3− y x P Q M H （第 20 题） 12、（2009 上海卢湾区 4 月模考）如图，已知点 ，动点 在 轴上，点 在 轴上，其横坐标不小于零，点 在直线 上， 且满足 ， . （1）当点 在 轴上移动时，求点 的轨迹 ； （2）过定点 作互相垂直的直线 与 ， 与 （1）中的轨迹 交于 、 两点， 与（1）中的轨迹 交于 、 两点，求四边形 面积 的最小值； （3）（在下列两题中，任选一题，写出计算过程，并求出结果，若同时选做两题， 则只批阅第②小题，第①题的解答，不管正确与否，一律视为无效，不予批阅）： ① （解答本题，最多得 6 分）将（1）中的曲线 推广为椭圆： ，并 将（2）中的定点取为焦点 ，求与（2）相类似的问题的解； ② （解答本题，最多得 9 分）将（1）中的曲线 推广为椭圆： ，并 将（2）中的定点取为原点，求与（2）相类似的问题的解. 解：（1）设 ，易知 ， ， ，由题设 ， 得 其中 ，从而 ， ，且 ， 又由已知 ，得 ， 当 时， ，此时 ，得 ， 又 ，故 ， ，即 ， ， 当 时，点 为原点， 为 轴， 为 轴，点 也为原点，从而点 也为 ( 3, 0)H − P y Q x M PQ 0HP PM⋅ =  3 2PM MQ= −  P y M C (1, 0)F l l′ l C A B l′ C D E ADBE S C 2 2 12 x y+ = ( )1,0F C 2 2 2 2 1x y a b + = ( ) ( ), , 0, ,M x y P b ( ),0Q a ( 0)a≥ ( )3,HP b= ( ),PM x y b= − ( ),MQ a x y= − − 3 2PM MQ= −  ( )3 ,2 3 ,2 x a x y b y  = − −  − = 0a≥ 1 3a x= 1 2b y= − 0x≥ 0HP PM⋅ =  HP PM⊥ 0b ≠ 0y ≠ 3HP bk = 3 PMk b = − PM PQk k= 3b a b − = − 2 3 ba = 21 1 1 3 3 2x y = −   2 4y x= ( )0x ≠ 0b = P HP x PM y Q M 原点，因此点 的轨迹 的方程为 ，它表示以原点为顶点，以 为焦点的抛物 线；（4 分） （2）由题设，可设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， ，又设 、 ， 则由 ，消去 ，整理得 ， 故 ，同理 ， （7 分） 则 ， 当 且 仅 当 时等号成立，因此四边形 面积 的最小值为 . （9 分） （3）① 当 时可设直线 的方程为 ， 由 ，得 ， 故 ， ， （12 分） ， 当且仅当 时等号成立. （14 分） 当 时，易知 ， ，得 ，故当且仅当 时四边 形 面积 有最小值 . （15 分） ② 由题设，可设直线 的方程为 ，当 时，由 ， 消去 ，整理得 ，得 ， M C 2 4y x= ( )1,0 l ( )( )1 0y k x k= − ≠ l′ ( )1 1y xk = − − ( )0k ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 1 4 y k x y x  = − = x 2 4 4 0ky y k− − = ( )2 2 4 1 k AB k + = ( )24 1DE k= + ( ) ( )2 2 2 2 2 4 11 1 14 1 8 2 322 2 k S AB DE k kk k +  = ⋅ = ⋅ ⋅ + = + +  ≥ 1k = ± ADBE S 32 0k ≠ l ( )1y k x= − ( ) 2 2 1 12 y k x x y  = −  + = ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 2(1 ) 1 2 kAB k += + 2 2 2 2(1 ) 2 kDE k += + ( ) ( )( ) 22 2 4 22 2 2 2 4 1 2 2 162 2 2 92 5 21 2 2 2 5 k kS k kk k k k + = = − = − + ++ + + + ≥ 2 1k = 0k = 2 2AB = 2DE = 162 9S = > 2 1k = ADBE S 16 9 l y kx= 0k ≠ 2 2 2 2 1 y kx x y a b = + = x ( )2 2 2 2 2 2 0b a k x a b+ − = 2 2 2 2 2 1ab kAB b a k += + 同理 ， （12 分） 则 ，其中 ， 若令 ，则由 ，其中 ，即 ，故当且仅当 ，即 时， 有最大值 ，由 ，得 有最小值 ，故当且仅当 时，四 边形 面积 有最小值为 . （17 分） 又当 时， ， ，此时 ，由 ，得当且仅 当 时，四边形 面积 有最小值为 . （18 分） 13、（2009 上海八校联考）已知双曲线 的渐近线方程为 ，左焦点 为 F，过 的直线为 ，原点到直线 的距离是 （1）求双曲线的方程； （2）已知直线 交双曲线于不同的两点 C，D，问是否存在实数 ，使得以 CD 为 直径的圆经过双曲线的左焦点 F。若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 解：（1）∵ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 分 原点到直线 AB： 的距离， 　　 ４分 故所求双曲线方程为 　　　　　　　　 6 分 2 2 2 2 2 1ab kDE b k a += + ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 a b k S AB DE b a k b k a + = ⋅ = + + 2 0k > 21u k= + ( )( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 221 b a k b k a a u c b u c c cv a bu u uk + + − + = = = + − + ( )22 22 4 1 1 2 4 a b c u + = − − +   1u > 10 1u < < 2u = 2 1k = v ( )22 2 4 a b+ 2 22a bS v = S 2 2 2 2 4a b a b+ 1k = ± ADBE S 2 2 2 2 4a b a b+ 0k = 2AB a= 2DE b= 2S ab= 2 2 2 2 4 2a b aba b <+ 1k = ± ADBE S 2 2 2 2 4a b a b+ 12 2 2 2 =− b y a x 3 3 = ±y x ( , 0), (0, )A a B b− l l .2 3 y x m= + m 3 ,3 b a =  1=− b y a x 2 2 3 .2 a b a bd ca b = = = +  1, 3 .b a∴ = = 2 2x y 13 .− =  （ 2 ） 把 中 消 去 y ， 整 理 得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8 分 设 ，则 因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以 ，　　　 10 分 可得 把 代入， 解得： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13 分 解 ，得 ， 满足 ， 14 分 14、（2009 上海奉贤区模拟考）已知：点 P 与点 F（2，0）的距离比它到直线 ＋4＝0 的 距离小 2，若记点 P 的轨迹为曲线 C。 （1）求曲线 C 的方程。 （2）若直线 L 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且 OA⊥OB。求证：直线 L 过定点，并求出该定 点的坐标。 （3）试利用所学圆锥曲线知识参照（2）设计一个与直线 过定点有关的数学问题，并解答 所提问题。 （1）解法（A）：点 P 与点 F（2，0）的距离比它到直线 ＋4＝0 的距离小 2，所以点 P 与 点 F（2，0）的距离与它到直线 ＋2＝0 的距离相等。 ----(1 分) 由抛物线定义得：点 在以 为焦点直线 ＋2＝0 为准线的抛物线上， ----(1 分) 抛物线方程为 。 ----(2 分) 解 法 （ B ） ： 设 动 点 ， 则 。 当 时 ， ，化简得： ，显然 ，而 ，此时曲线不 存在。当 时， ，化简得： 。 （2） ， ， 2 2y x m x 3 y 3= + − =代 入 2 22x 6mx 3m 3 0+ + + =  1 1 2 2C x y D x y( , ), ( , ) 2 1 2 1 2 3 33 , ,2 ++ = − = mx x m x x F 2 0( , ),− FC FD 0=   1 2 1 2x 2 x 2 y y 0( )( )+ + + = 1 1 1 1y x m y x m,= + = + m 3 2= ±  0∆ > 2>2m m 3 2∴ = ± 0∆ > m 3 2∴ = ±  x L x x P F x 2 8y x= ( , )P x y 2 2( 2) | 4 | 2x y x− + = + − 4x ≤ − 2 2 2( 2) ( 6)x y x− + = − − 2 8( 2)y x= + 2x ≥ − 4x ≤ − 4x > − 2 2 2( 2) ( 2)x y x− + = + 2 8y x= 1, 1 2, 2), )x y x y设直线L：y=kx+b与抛物线交予点( ( ( )a 若L斜率存在，设为k， ， ----(1 分) ， ，即 ， ， ----(2 分) 直线为 ，所以 ----(1 分) ----(1 分) 由（a）（b）得：直线恒过定点 。 ----(1 分) 1、（逆命题）如果直线 ，且与抛物线 相交于A、B两点，O为坐标原 点。求证：OA⊥OB （评分：提出问题得1分，解答正确得1分） （若，求证： · =0，得分相同） 2、（简单推广命题）如果直线L与抛物线 ＝2px(p>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB。求证： 直线L过定点（2p，0） 或：它的逆命题（评分：提出问题得2分，解答正确得1分） 3、（类比） 3．1（1）如果直线L与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA⊥ MB。求证：直线L过定点( ,0) 3．1（2）如果直线L与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA⊥ MB。求证：直线L过定点( ,0) 3．1（3）或它的逆命题 2 2 0, 8 8 0,8 64 32 0 y kx b kky y by x kb + ≠− + = = − ≥ =则{ 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 22 2 2 88 , 648 y x y yb by y x xk ky x == = = =所以 又{ ，得 1 2 1 2 , 1y yOA OB x x ⊥ = −由 得 8 1k b = − 8b k= − ( 8)y k x= − (8,0)L过定点 x( b) 直线L与 轴垂直，则直线OA（或直线OB）的斜率为1, 2 8, (8 0)8 y x xy x = =={ 得 直线L过定点 、 (8,0) (8,0)L过定点 2 8y x= 3．2（1）如果直线L与双曲线 － ＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其右顶点，当MA ⊥MB。求证：直线L过定点( ,0)(a≠b) 3．2（2）如果直线L与双曲线 － ＝1(a>0,b>0)相交于A、B两点，M是其左顶点，当MA ⊥MB。求证：直线L过定点( ,0)(a≠b) 3．2（3）或它的逆命题 （评分：提出问题得3分，解答正确得3分） 4、（再推广） 直角顶点在圆锥曲线上运动 如：如果直线L与抛物线 ＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点( , )，且PA ⊥PB。求证：直线L过定点( ＋2p,－ ) （评分：提出问题得4分，解答正确得3分） 5、（再推广） 如果直线L与抛物线 ＝2px(p>0)相交于A、B两点，P是抛物线上一定点( , )，PA与PB的 斜率乘积是常数m。求证：直线L过定点( － ,－ ) （评分：提出问题得5分，解答正确得4分） 或 · 为常数 顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或OA与OB的斜率乘积是常数或 · 为常 数 15、（2009 冠龙高级中学 3 月月考）双曲线 上一点 到左，右两焦 点距离的差为 2． （1）求双曲线的方程； 1: 2 2 2 2 =− b y a xC )3,2( （2）设 是双曲线的左右焦点， 是双曲线上的点，若 ， 求 的面积； （3）过 作直线 交双曲线 于 两点，若 ，是否存在这样的直 线 ，使 为矩形？若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由． （1） （2） 妨设 在第一象限，则 （3）若直线斜率存在，设为 ，代入 得 若平行四边形 为矩形，则 无解 若直线垂直 轴，则 不满足． 故不存在直线 ，使 为矩形． 16、（2009 上海十校联考）已知等轴双曲线 的两个焦点 、 在直线 上，线段 的中点是坐标原点，且双曲线经过点 ． （1） 若已知下列所给的三个方程中有一个是等轴双曲线 的方程：① ； ② ；③ ．请确定哪个是等轴双曲线 的方程，并求出此双曲线的 实轴长； （2） 现要在等轴双曲线 上选一处 建一座码头，向 、 两地转运货 物．经测算，从 到 、从 到 修建公路的费用 都是每单位长度 万元，则码头应建在何处，才能 21, FF P 6|||| 21 =+ PFPF 21FPF∆ ( )2,0− l C BA, OP OA OB= +   l OAPB l 122 =− yx P    ==⇒=+ =− 2||,4||6|||| 2|||| 21 21 21 PFPFPFPF PFPF 7,4 7sin,4 3cos 121 =∴=∠∴=∠∴ ∆SPFFPFF )2( += xky 122 =− yx )1(0144)1( 2222 ±≠=−−−− kkxkxk OAPB OBOA ⊥ 02121 =+∴ yyxx 01 1 2 2 =− +⇒ k k x )3,2(),3,2( −− BA l OAPB C 1F 2F y x= 1 2F F 33, 2      C 2 2 27 4x y− = 9xy = 9 2xy = C C P ( )3,3A ( )9,1B P A P B a 使修建两条公路的总费用最低？ （3） 如图，函数 的图像也是双曲线，请尝试研究此双曲线的性质，你 能得到哪些结论？（本小题将按所得到的双曲线性质的数量和质量酌情给分） 【解】（1）双曲线 的焦点在 轴上，所以①不是双曲线 的方程……1 分 双曲线 不经过点 ，所以②不是双曲线 的方程 …… 2 分 所以③ 是等轴双曲线 的方程 …… 3 分 等轴双曲线 的焦点 、 在直线 上，所以双曲线的顶点也在直线 上， …… 4 分 联立方程 ，解得双曲线 的两顶点坐标为 ， ， 所以双曲线 的实轴长为 …… 5 分 （2） 所求问题即为：在双曲线 求一点 ，使 最小． 首先，点 应该选择在等轴双曲线的 中第一象限的那一支上 …… 6 分 等轴双曲线的 的长轴长为 ，所以其焦距为 又因为双曲线的两个焦点 、 在直线 上，线段 的中点是原点，所以 是 的一个焦点， …… 7 分 设双曲线的另一个焦点为 ，由双曲线的定义知： 所以 ，要求 的最小值，只需求 的最小值 ……8 分 直线 的方程为 ，所以直线 与双曲线 在第一象限的交点 为 …… 9 分 3 1 3y x x = + 2 2 27 4x y− = x C 9xy = 33, 2      C 9 2xy = C 9 2xy = 1F 2F y x= y x= 9 2xy y x  =  = 9 2xy = 3 3 3 3,2 2       3 3 3 3,2 2  − −    9 2xy = 6 9 2xy = P PA PB+ P 9 2xy = 9 2xy = 6 6 2 1F 2F y x= 1 2F F ( )3,3A 9 2xy = ( )2 3, 3F − − 2 6PA PF= − ( )2 6PA PB PF PB+ = − + PA PB+ 2PF PB+ 2BF 3 4 3 0x y− − = 2BF 9 2xy = 33, 2      所以码头应在建点 处，才能使修建两条公路的总费用最低 …… 10 分 （3）① ，此双曲线是中心对称图形，对 称中心是原点 ； …… 1 分 ② 渐 近 线 是 和 ． 当 时 ， 当 无 限 增 大 时 ， 无 限 趋 近 于 ， 与 无限趋近；当 无限增大时， 无限趋近于 ． …… 2 分 ③ 双曲线的对称轴是 和 ． …… 3 分 ④ 双曲线的顶点为 ， ，实轴在直线 上，实轴长为 …… 4 分 ⑤虚轴在直线 ，虚轴长为 …… 5 分 ⑥焦点坐标为 ， ，焦距 …… 6 分 说明：（i）若考生能把上述六条双曲线的性质都写出，建议此小题给满分 8 分 （ii）若考生未能写全上述六条双曲线的性质，但是给出了 的一些函数性质 （诸如单调性、最值），那么这些函数性质部分最多给 1 分 17、（2009 上海九校联考）如图，已知椭圆 的焦点和上顶点分别 为 、 、 ， 我们称 为椭圆 的特征三角形.如果两个椭圆的 特征三角形是相似的， 则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即 为 椭圆的相似比. P 33, 2      ( ) ( ) ( )3 1 3 1 3 3f x x x f xx x  − = − + = − + = −  −   ( )0 0， 3 3y x= 0x = 0x > x 1 x 0 3 1 3y x x = + 3 3y x= y x 0 3y x= 3 3y x= − 4 43 27,4 4       4 43 27,4 4  − −    3y x= 42 12 3 3y x= − 4 42 3 44 4, 123       44 4, 123  − −    4 642 3 3 1 3y x x = + 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F B 1 2F BF∆ C （1）已知椭圆 和 ， 判断 与 是否相似， 如果相似则求出 与 的相似比，若不相似请说明理由； （2）已知直线 ,与椭圆 相似且半短轴长为 的椭圆 的方程， 在椭圆 上是否存在两点 、 关于直线 对称， 若存在，则求出函数 的解析式. （3）根据与椭圆 相似且半短轴长为 的椭圆 的方程，提出你认为有价值的 相似椭圆之间的三种性质（不需证明）； 解： 解：（1）椭圆 与 相似. ………2 分 因为 的特征三角形是腰长为 4，底边长为 的等腰三角形， 而椭圆 的特征三角形是腰长为 2，底边长为 的等腰三角形， 因此两个等腰三角形相似，且相似比为 ……… 6 分 （2）椭圆 的方程为： . ………8 分 假定存在，则设 、 所在直线为 ， 中点为 . 则 . ………10 分 所以 . 中点在直线 上，所以有 . ………12 分 . . ………14 分 2 2 1 : 14 xC y+ = 2 2 2 : 116 4 x yC + = 2C 1C 2C 1C : 1l y x= + 1C b bC bC M N l ( )f b MN= 1C b bC 2C 1C 2C 32 1C 3 2:1 bC )0(14 2 2 2 2 >=+ bb y b x M N y x t= − + MN ( )0 0,x y    =+ +−= 14 2 2 2 2 b y b x txy 0)(485 222 =−+−⇒ btxtx 5,5 4 2 0 21 0 tytxxx ==+= 1y x= + 3 5−=t 2 2 2 1 2 40 100( ) 20( 4 ) 4 253 9 55 5 9 b x x b − − − = = − 2 1 2 4 50 5( ) 2 10 ( )5 9 3f b MN x x b b= = − = − > （3）椭圆 的方程为： . 两个相似椭圆之间的性质有： 写出一个给 2 分 ① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方； ② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比； ③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合； 过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ………20 分 bC )0(14 2 2 2 2 >=+ bb y b x 2009 年联考题 一、选择题 1. (广东省华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试)曲线 (x [-2，2])与直线 两个公共点时，实效 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 答案 D 2.(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)若椭圆经过点 P（2，3），且焦点 为 F1(－2,0), F2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ） A. 2 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 2 答案 C 3.(湖北省武汉市第四十九中学 2009 届高三年级十月月考)图中共顶点 的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为 ， 其大小关系为 （ ） A. B. C. D. 答案 C 5.(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟)已知双曲线 （a＞0，b＞ 0）的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则 此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A．（1，2） B．（－1，2） C．（2，+∞） D． 答案 D 6.(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)设双曲线 的离心 率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 答案 D 7.(2009 年广东省广州市高三年级调研测试)已知抛物线 的方程为 ，过点 A(0，-1) 和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点,则实数 的取值范围是 ( 　　) 241 xy −+= ∈ ( 2) 4y k x= − + k 5(0, )12 1 3( , )3 4 5( , )12 +∞ 5 3( , ]12 4 1 2 3 4e e e e﹑ ﹑ ﹑ 1 2 3 4e e e e< < < 2 1 3 4e e e e< < < 1 2 4 3e e e e< < < 2 1 4 3e e e e< < < 12 2 2 2 =− b y a x ),2[ +∞ )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 3 xy 42 = 12412 22 =− yx 19648 22 =− yx 13 2 3 22 =− yx 163 22 =− yx C 2 1 2x y= t A. B. C. D. 答案 D 8.(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)设双曲线 的左、右焦 点分别是 、 ，过点 的直线交双曲线右支于不同的两点 、 ．若△ 为 正三角形，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A. B. C. D. 答案 B ９.(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于 点，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与 的大小关系为（ ） A、 　　 B、 C、 　　D、不确定 答案　B 10.(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考)　已知圆的方程 ，若抛物线过定 点 A（0，1）、B（0，-1）且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 答案 　D 二、填空题 11. (安徽省潜山县三环中学 2009 届高三上学期第三次联考)对于曲线 C∶ =1， 给出下面四个命题： ①由线 C 不可能表示椭圆； ②当 1＜k＜4 时，曲线 C 表示椭圆； ( ) ( )+∞−∞− ,11,        +∞      −∞− ,2 2 2 2,  ( ) ( )+∞−∞− ,, 2222  ( ) ( )+∞−∞− ,, 22  2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F 2F 2F M N 1MNF 6 3 2 3 3 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F 2 2 2x y a+ = T FT P M FP O MO MT− b a− MO MT b a− > − MO MT b a− = − MO MT b a− < − 422 =+ yx )0(143 22 ≠=+ yyx )0(134 22 ≠=+ yyx )0(143 22 ≠=+ xyx )0(134 22 ≠=+ xyx 14 22 −+− k y k x y xO A B ③若曲线 C 表示双曲线，则 k＜1 或 k＞4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1＜k＜ 其中所有正确命题的序号为______. 答案 ③④ 12.(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)离心率 ，一条准线为 x＝3 的椭圆的标 准方程是 . 答案 13.( 四 川 省 成 都 市 2008—2009 学 年 度 上 学 期 高 三 年 级 期 末 综 合 测 试 )P 是 双 曲 线 的右支上一动点,F 是双曲线的右焦点,已知 A(3,1),则 的最小值 是 . 答案 14.（2009 年郓城实验中学·理科)已知 F1、F2 是椭圆 =1(5＜a＜10)的两个焦 点，B 是短轴的一个端点，则△F1BF2 的面积的最大值是 答案 15.(2009 年浙江省宁波市文)若抛物线 的焦点与双曲线 的左 焦点重合,则 的值 . 答案 4 16.(东北区三省四市 2009 年第一次联合考试)过抛物线 的焦点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点，则 ＝　　　。 答案 1 三、解答题 17. （ 2009 届 山 东 省 实 验 中 学 高 三 年 级 第 四 次 综 合 测 试 ） 直 线 y ＝kx＋b 与 曲 线 交于 A、B 两点，记△AOB 的面积为 S（O 是坐标原点）． （1）求曲线的离心率； （2）求在 k＝0，0＜b＜1 的条件下，S 的最大值； 2 5 3 5=e 2 29 15 20 x y+ = 13 2 2 =− yx PFPA + 3226 − 2 2 2 2 )10( a y a x −+ 9 3100 )0(22 >−= ppxy 2 2 13 x y− = p xy 42 = BFAF 11 + 044 22 =−+ yx （3）当｜AB｜＝2，S＝1 时，求直线 AB 的方程． 解 （1）曲线的方程可化为： ， ∴此曲线为椭圆， ， ∴此椭圆的离心率 ． （2）设点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ， 由 ，解得 ， 所以 当且仅当 时， S 取到最大值 1． （3）由 得 ， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① ｜AB｜＝ ② 又因为 O 到 AB 的距离 ，所以 　 ③ ③代入②并整理，得 解得， ，代入①式检验，△＞0 ， 故直线 AB 的方程是 或 或 或 ． 1 8 . （ 2 0 0 9 年 抚 顺 市 普 通 高 中 应 届 毕 业 生 高 考 模 拟 考 试 ） 设 椭 圆 ： 的离心率为 ，点 （ ，0）， （0， ），原点 到直 14 2 2 =+ yx 3,314,2,4 22 ==−=== ccaa 2 3== a ce 1( , )x b 2( , )x b 2 2 14 x y+ = 2 1,2 2 1x b= ± − 2 2 2 1 2 1 | | 2 1 1 12S b x x b b b b= − = − ≤ + − = 2 2b = 2 2 14 y kx b x y = + + = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kbx b+ + + − = 2 216(4 1)k b∆ = − + 2 2 2 2 1 2 2 16(4 1)1 | | 1 24 1 k bk x x k k − ++ − = + =+ 2 | | 2 1| |1 b Sd ABk = = = + 2 2 1b k= + 4 24 4 1 0k k− + = 2 21 3,2 2k b= = 2 6 2 2y x= + 2 6 2 2y x= − 2 6 2 2y x= − + 2 6 2 2y x= − − M )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 A a B b− O 线 的 距 离 为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设点 为（ ，0），点 在椭圆 上（与 、 均不重合），点 在直线 上，若直线 的方程为 ，且 ，试求直线 的方程． 解 （Ⅰ）由 得 由点 （ ，0）， （0， ）知直线 的方程为 ， 于是可得直线 的方程为 因此 ，得 ， ， ， 所以椭圆 的方程为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 、 的坐标依次为（2，0）、 ， 因为直线 经过点 ，所以 ，得 ， 即得直线 的方程为 因为 ，所以 ，即 设 的坐标为 ，则 得 ，即直线 的斜率为 4 又点 的坐标为 ，因此直线 的方程为 19. （ 福 建 省 龙 岩 市 2009 年 普 通 高 中 毕 业 班 单 科 质 量 检 查 ） 已 知 抛 物 线 C: 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5. （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）设直线 与抛物线 C 交于两点 ， ，且 （ ，且 为常数）.过弦 AB 的中点 M 作平行于 轴的直线交抛物线于点 D，连结 AD、 BD 得到 . AB 2 3 3 M C a− P M A C E PC PA 4y kx= − 0CP BE⋅ =  BE 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 c a b be a a a −= = = − = 2a b= A a B b− AB 1x y a b + =− AB 2 2 0x y b− − = 2 2 | 0 0 2 | 2 2 3 331 ( 2) b b+ − = = + 2b = 2 2b = 2 4a = M 2 2 14 2 x y+ = A B (0, 2)− PA (2,0)A 0 2 4k= − 2k = PA 2 4y x= − 0CP BE⋅ =  1CP BEk k⋅ = − 1 BE CP k k = − P 0 0( , )x y 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 22 2 4 4 2 CP y y y kx x x ⋅ = = − = − =− + − 1 4 CPk − = BE B (0, 2)− BE 4 2y x= − )0(22 >= ppxy bkxy += ),( 11 yxA ),( 22 yxB ayy =− || 21 0>a a x ABD∆ （1）求证： ； （2）求证： 的面积为定值. )1(1622 kbka −= ABD∆