高考数学(理)试题，精品资料，高分必备
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绝密★启用前
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)附参考答案和解析
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、
县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定
区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写
上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式：
如果事件 A,B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).
第Ⅰ卷（共 50 分）
一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1）若复数 z 满足 2 3 2i,z z 其中 i 为虚数单位，则 z=
（A）1+2i （B）1 2i （C） 1 2i （D） 1 2i
（2）设集合
2{ | 2 , }, { | 1 0},xA y y x B x x R 则 A B =
（A） ( 1,1) （B） (0,1) （C） ( 1, ) （D） (0, )
（3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单
位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，
其中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本数据分组
为
[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5), [27.5,30] .
根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不
少于 22.5 小时的人数是
（A）56 （B）60
（C）120 （D）140
（4）若变量 x，y 满足
2,
2 3 9,
0,
x y
x y
x
ì + £ïïïï - £íïïïî 则
2 2x y+ 的最大值是
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为
（A） 1 2
3 3
π（B） 1 2
3 3
π（C） 1 2
3 6
π（D） 21 6
π
（6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平
面β相交”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（7）函数 f（x）=（ 3 sinx+cosx）（ 3 cosx –sinx）的最小正周期是
（A）
2
π（B）π （C）
2
3π（D）2π
（8）已知非零向量 m，n 满足 4│m│=3│n│，cos
= 1
3 .若 n⊥（tm+n），则实数 t 的值
为
（A）4 （B）–4 （C） 9
4
（D）– 9
4
（9）已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， 3( ) 1f x x ；当 1 1x 时， ( ) ( )f x f x ；
当 1
2x 时， 1 1( ) ( )2 2f x f x .则 f(6)=
（A）−2（B）−1（C）0（D）2
（10）若函数 y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是
（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3
第Ⅱ卷（共 100 分）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值
为________.
(12)若（ax2+ 1
x
）3 的展开式中 x3 的系数是—80，则实数 a=_______.
（13）已知双曲线 E1：
2 2
2 2 1x y
a b
（a＞0，b＞0），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，
CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_______.
（14）在[ 1,1]- 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 2 2( 5) 9x y- + = 相交”发生的
概率为 .
（15）已知函数 2
| |,( )
2 4 ,
x x mf x
x mx m x m
其中 0m ，若存在实数 b，使得关于 x 的方程
f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。
（16）（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 tan tan2(tan tan ) .cos cos
A BA B B A
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求 cosC 的最小值.
17.在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆 O' 的直径，FB 是圆台的
一条母线.
（I）已知 G,H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH∥平面 ABC；
（II）已知 EF=FB= 1
2 AC= 2 3 AB=BC.求二面角 F BC A 的余弦值.
（18）（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和 Sn=3n2+8n， nb 是等差数列，且 1.n n na b b
（Ⅰ）求数列 nb 的通项公式；
（Ⅱ）另
1( 1) .( 2)
n
n
n n
n
ac b
求数列 nc 的前 n 项和 Tn.
（19）（本小题满分 12 分）
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，
如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人
都没猜对，则“星队”得 0 分。已知甲每轮猜对的概率是 3
4
，乙每轮猜对的概率是 2
3
；每
轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX
(20)(本小题满分 13 分)
已知 2
2 1( ) ln ,xf x a x x a Rx
.
（I）讨论 ( )f x 的单调性；
（II）当 1a 时，证明 3( ) ' 2f x f x ＞ 对于任意的 1,2x 成立
（21）本小题满分 14 分）
平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
＞ ＞ 的
离心率是 3
2
，抛物线 E： 2 2x y 的焦点 F 是 C 的一个顶点。
（I）求椭圆 C 的方程；
（II）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切
线l 与 C 交与不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线
交于点 M.
（i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 1S ， PDM 的面积为 2S ，求 1
2
S
S
的最大值
及取得最大值时点 P 的坐标.
2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)附参考答案和解析
理科数学
1-10 ：BDDCC,ABBDA,
11 ：3
12 ：-2
13:2
14：3/4
15：(3，+∞）
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）附参考答
案和解析
数学（理工类）
第 1 卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1．设集合 { | 2 2}A x x ，Z 为整数集，则 A Z 中元素的个数是
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
2．设 i 为虚数单位，则 6( i)x 的展开式中含 x4 的项为
（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4
3．为了得到函数 πsin(2 )3y x 的图象，只需把函数 sin 2y x 的图象上所有的点
（A）向左平行移动 π
3
个单位长度（B）向右平行移动 π
3
个单位长度
（C）向左平行移动 π
6
个单位长度（D）向右平行移动 π
6
个单位长度
4．用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A）24 （B）48 （C）60（D）72
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发
资金开始超过 200 万元的年份是
（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）
（A）2018 年 （B）2019 年 （C）2020 年（D）2021 年
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》
中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程
序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分
别为 3，2，判断出 v 的值为
（A）9 （B）18
（C）20 （D）35
7．设 p：实数 x，y 满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数 x，y 满足
1,
1 ,
1,
y x
y x
y
则 p
是 q 的
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
8．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 2 2 (p 0)y px 上任意一点，M 是线段 PF
上的点，且
PM =2 MF ,则直线 OM 的斜率的最大值为
（A） 3
3
（B） 2
3
（C） 2
2
（D）1
9．设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)=
ln ,0 1,
ln , 1,
x x
x x
图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相
交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)
10．在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA
= DB
= DC
, DA
﹒ DB
= DB
﹒ DC
= DC
﹒
DA
=-2，动点 P，M 满足 AP
=1， PM
= MC
，则 2BM
的最大值是
（A） 43
4
（B） 49
4
（C） 37 6 3
4
（D） 37 2 33
4
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．cos2 π
8 –sin2 π
8 =.
12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则
在 2 次试验中成功次数 X 的均值是.
13．已知三棱镜的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，
则该三棱锥的体积是。
14．已知函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）= ，
则 f（ ）+ f（1）=。15．在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义 P 的“伴
随点”为 '
2 2 2 2( , )y xP x y x y
；
当 P 是原点时，定义 P 的“伴随点“为它自身，平面曲线 C 上所有点的“伴随点”所
构成的曲线 'C 定义为曲线 C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点 A 的“伴随点”是点 'A ，则点 'A 的“伴随点”是点 A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线 C 关于 x 轴对称，则其“伴随曲线” 'C 关于 y 轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分 12 分）
我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用
水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x 的部
分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年
100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9
组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（I）求直方图中 a 的值；
（II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；
（III）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值，并说
明理由.
17．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 cos cos sinA B C
a b c
.
（I）证明：sin sin sinA B C ；
（II）若 2 2 2 6
5b c a bc ，求 tan B .
18.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AD∥BC，
ADC=
PAB=90
°，
BC=CD=
1
2
AD.E
为边
AD
的中点，异面直线
PA
与
CD
所成的角为
90
°
.
（
I
）在平面
PAB
内找一点
M
，使得直线
CM
∥平面
PBE
，并说明理由；
（
II
）若二面角
P-CD-A
的大小为
45
°，求直线
PA
与平面
PCE
所成角
的正弦值
.
19.（本小题满分 12 分）
已知数列{ na }的首项为 1， nS 为数列{ na }的前 n 项和， 1 1n nS qS ，其中 q>0， *n N .
（I）若 2 3 22 , , 2a a a 成等差数列，求 an 的通项公式；
（ii）设双曲线
2
2
2 1
n
yx a
的离心率为 ne ，且 2
5
3e ，证明： 1 2 1
4 3
3
n n
n ne e e
.
20．（本小题满分 13 分）
已知椭圆 E： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
顶点，直线 l:y=-x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.
（I）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；
（II）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT,与椭圆 E 交于不同的两点 A、B，且与直线 l 交于
点 P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.
21．（本小题满分 14 分）
设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中 a R.
（I）讨论 f(x)的单调性；
（II）确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)＞ -e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为
自然对数的底数).
2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）附参考答
案和解析
1-10：CADDB,BACAB
2016 年高考四川卷数学附参考答案和解析
文科数学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的。
1.设 i 为虚数单位，则复数(1+i)2=
(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i
2.设集合 A={x11≤x≤5},Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是
(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3
3.抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
4.为了得到函数 y=sin )3( x 的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点
(A)向左平行移动
3
个单位长度 (B) 向右平行移动
3
个单位长度
(C) 向上平行移动
3
个单位长度 (D) 向下平行移动
3
个单位长度
5.设 p:实数 x，y 满足 x>1 且 y>1，q: 实数 x，y 满足 x+y>2，则 p 是 q 的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
6.已知 a 函数 f(x)=x3-12x 的极小值点，则 a=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
7.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130
万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12％，则该公司全年投入的研发奖
金开始超过 200 万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) 学科&网
(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年
8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中
提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利
用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为
(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9
9.已知正三角形 ABC 的边长为 32 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 ，
则 的最大值是
(A)
4
43 (B)
4
49 (C)
4
3637 (D)
4
33237
10. 设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P2 处的切线，l1
与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B 则则△PAB 的面积的取值范围是
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
11、 0750sin = 。
12、已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。学科&网
13、从 2、3、8、9 任取两个不同的数值，分别记为 a、b，则 bloga
为整数的概率= 。
14、若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0
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