2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案

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文档介绍

2019届二轮复习(文)坐标系与参数方程(选修4-4)学案

第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4)‎ 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 ‎2018‎ Ⅰ卷 极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系·T22‎ ‎1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一,高考考查的重点主要有两个方面:一是简单曲线的极坐标方程;二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.‎ ‎2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现,难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用.‎ Ⅱ卷 曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义·T22‎ Ⅲ卷 参数方程与直角坐标方程的互化·T22‎ ‎2017‎ Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离·T22‎ Ⅱ卷 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题·T22‎ Ⅲ卷 直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法·T22‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23‎ Ⅱ卷 极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系·T23‎ Ⅲ卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23‎ 极坐标方程及应用 授课提示:对应学生用书第67页 ‎[悟通——方法结论]‎ ‎1.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.‎ 几个特殊位置的圆的极坐标方程:‎ ‎(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;‎ ‎(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;‎ ‎(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin θ.‎ ‎2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).‎ 几个特殊位置的直线的极坐标方程:‎ ‎(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;‎ ‎(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.‎ ‎[全练——快速解答]‎ ‎1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,点A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,点A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.‎ ‎2.(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α·|sin|‎ ‎=2|sin-|‎ ‎≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎3.(2018·长春二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;‎ ‎(2)设M,N的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ 解析:(1)∵ρcos=1,‎ ‎∴ρcos θ·cos +ρsin θ·sin=1.‎ 又∴x+y=1,‎ 即曲线C的直角坐标方程为x+y-2=0,‎ 令y=0,则x=2;令x=0,则y=.‎ ‎∴M(2,0),N.‎ ‎∴M的极坐标为(2,0),N的极坐标为.‎ ‎(2)∵M,N连线的中点P的直角坐标为,‎ ‎∴P的极角为θ=,‎ ‎∴直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.极坐标方程与普通方程互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎(2)巧借两角和差公式,转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.‎ ‎2.求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用.‎ ‎(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.‎ 参数方程 授课提示:对应学生用书第68页 ‎[悟通——方法结论]‎ 几种常见曲线的参数方程 ‎(1)圆 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.‎ 当圆心在(0,0)时,方程为其中α是参数.‎ ‎(2)椭圆 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.‎ ‎(3)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.‎ ‎[全练——快速解答]‎ ‎1.(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解析:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.‎ 当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,‎ 当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.‎ 又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.‎ ‎2.(2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ 解析:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为 d=.‎ 当a≥-4时,d的最大值为.‎ 由题设得=,解得a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为.‎ 由题设得=,‎ 解得a=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ ‎3.(2018·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.‎ 解析:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.‎ ‎∵x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则.‎ ‎∴|AB|=|t1-t2|===,‎ ‎∴4cos2α=2,cos α=±,α=或.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.有关参数方程问题的2个关键点 ‎(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点进行转化.‎ ‎(2)利用参数方程解决问题,关键是选准参数,理解参数的几何意义.‎ ‎2.利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎(1)t0=;‎ ‎(2)|PM|=|t0|=;‎ ‎(3)|AB|=|t2-t1|;‎ ‎(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.‎ 极坐标方程与参数方程的综合应用 授课提示:对应学生用书第69页 ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)(10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎[规范解答] (1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);‎ 消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).‎ ‎ (2分)‎ 设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). (4分)‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立 (6分)‎ 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).‎ 故tan θ=-,‎ 从而cos2θ=,sin2θ=. (8分)‎ 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,‎ 所以交点M的极径为. (10分)‎ ‎【类题通法】‎ 解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法 ‎(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.‎ ‎(2)对于一些运算比较复杂的问题,用参数方程计算会比较简捷.‎ ‎(3)利用极坐标方程解决问题时,要注意题目所给的限制条件及隐含条件.‎ ‎[练通——即学即用]‎ ‎1.(2018·惠州模拟)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1,F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线AF2的极坐标方程;‎ ‎(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M,N两点,求||MF1|-|NF1||的值.‎ 解析:(1)曲线C:可化为+=1,故曲线C为椭圆,‎ 则焦点F1(-1,0),F2(1,0).‎ 所以经过点A(0,)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x+=1,即x+y-=0,‎ 所以直线AF2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=.‎ ‎(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以直线l的斜率为,即倾斜角为30˚,所以直线l的参数方程为(t为参数),‎ 代入椭圆C的方程中,得13t2-12t-36=0.‎ 因为点M,N在点F1的两侧,所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=.‎ ‎2.(2018·长郡中学模拟)在直角坐标系中,已知曲线M的参数方程为(β为参数),在极坐标系中,直线l1的方程为α1=θ,直线l2的方程为α2=θ+.‎ ‎(1)写出曲线M的普通方程,并指出它是什么曲线;‎ ‎(2)设l1与曲线M交于A,C两点,l2与曲线M交于B,D两点,求四边形ABCD面积的取值范围.‎ 解析:(1)由(β为参数),消去参数β,得曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=8,‎ ‎∴曲线M是以(1,1)为圆心,2为半径的圆.‎ ‎(2)设|OA|=ρ1,|OC|=ρ2,‎ ‎∵O,A,C三点共线,则|AC|=|ρ1-ρ2|=(*),‎ 将曲线M的方程化成极坐标方程,‎ 得ρ2-2ρ(sin θ+cos θ)-6=0,‎ ‎∴代入(*)式得|AC|=.‎ 用θ+代替θ,得|BD|=,‎ 又l1⊥l2,∴S四边形ABCD=|AC|·|BD|,‎ ‎∴S四边形ABCD==2,‎ ‎∵sin22θ∈[0,1],∴S四边形ABCD∈[8,14].‎ 授课提示:对应学生用书第143页 ‎1.已知曲线C1的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin(θ+),直线l的直角坐标方程为y=x.‎ ‎(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A,B两点,若A,B的极径分别为ρ1,ρ2,求|ρ2-ρ1|的值.‎ 解析:(1)曲线C1的参数方程为(θ为参数),‎ 其普通方程为x2+(y-1)2=1,极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎∵直线l的直角坐标方程为y=x,‎ 故直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,‎ 直线l的极坐标方程为θ=,‎ 将θ=代入C1的极坐标方程得ρ1=1,‎ 将θ=代入C2的极坐标方程得ρ2=4,‎ ‎∴|ρ2-ρ1|=3.‎ ‎2.(2018·开封模拟)在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),圆C2:(x-2)2+y2=4,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点);‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为B(非坐标原点),求△OAB的最大面积.‎ 解析:(1)由(t为参数)得曲线C1的普通方程为y=xtan α,故曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-2)2+y2=4,得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ.故交点A的坐标为(4cos α,α).‎ ‎(2)由题意知,B的极坐标为(2,).‎ ‎∴S△OAB=|×2×4cos α×sin(-α)|=|2sin(2α-)-2|,‎ 故△OAB的最大面积是2+2.‎ ‎3.(2018·长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为(1,2),点C的极坐标为(3,),若直线l过点P,且倾斜角为,圆C以点C为圆心,3为半径.‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|·|PB|.‎ 解析:(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数),‎ 圆C的极坐标方程为ρ=6sin θ.‎ ‎(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9,‎ 把代入x2+(y-3)2=9,得t2+(-1)t-7=0,‎ 设点A,B对应的参数分别为t1,t2,∴t1t2=-7,‎ 又|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA|·|PB|=7.‎ ‎4.(2018·唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系的长度单位相同.已知圆C1的极坐标方程为ρ=4(cos θ+sin θ),P是C1上一动点,点Q在射线OP上且满足|OQ|=|OP|,点Q的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程;‎ ‎(2)已知直线l的参数方程为(t为参数,0≤φ<π),l与曲线C2有且只有一个公共点,求φ的值.‎ 解析:(1)设点P,Q的极坐标分别为(ρ0,θ),(ρ,θ),则 ρ=ρ0=·4(cos θ+sin θ)=2(cos θ+sin θ),‎ 点Q的轨迹C2的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ),‎ 两边同乘以ρ,得ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),‎ C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2.‎ ‎(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程,得 ‎(tcos φ+1)2+(tsin φ-1)2=2,即t2+2(cos φ-sin φ)t=0,t1=0,t2=2(sin φ-cos φ),‎ 由直线l与曲线C2有且只有一个公共点,得sin φ-cos φ=0,‎ 因为0≤φ<π,所以φ=.‎
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