2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二上学期期中考试数学试题

‎2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二上学期期中考试数学 提示：本试卷的所有答案均涂、写在答题纸上 一、 选择题（每小题5分，共50分）‎ ‎1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 (　　)‎ A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ ‎2.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是 (　　)‎ A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝－16y D．x2＝－8y ‎3.在下列命题中，不是公理的是 (　　)‎ A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎4.如图,某简单几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是 (　　)‎ ‎5.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面的对角线,则在正方体中,l1与l2(　　)‎ A.互相平行 B.异面且互相垂直 C.异面且夹角为 D.相交且夹角为 ‎6.已知双曲线C：－＝1的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D． y＝±x ‎7.“m＞n＞‎0”‎是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的 (　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8.设F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎9.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎10.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．‎3 C. D. 一、 填空题（每空4分，共32分）‎ ‎11.若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝__________；准线方程为____________．‎ ‎12.给出下列命题：‎ ‎①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；‎ ‎③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确命题的序号是____________．‎ ‎13.长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为____________．‎ ‎14设a＞0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的______________条件.‎ ‎15.过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．‎ ‎16.P是曲线y2＝ax上一个动点，a≠0，Q和P关于点(1，1)对称，则点Q的轨迹方程为__________．‎ ‎17.在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为______________．‎ 三、解答题 ‎18.（本题满分14分）已知p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立；q：g(x)＝log(‎5m－2)x在(0，＋∞)内为单调增函数.当p，q有且仅有一个为真命题时，求m的取值范围.‎ ‎(答案写在答题纸上)‎ ‎19.（本题满分12分）如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点．‎ 求证：(1)PO∥面D1BQ；‎ ‎(2)平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎(答案写在答题纸上)‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底 面ABCD， OA＝2，M为OA的中点.‎ ‎(1)求四棱锥O－ABCD的体积；‎ ‎(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.‎ ‎ (答案写在答题纸上)‎ ‎21.（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹方程；‎ ‎(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．‎ ‎(答案写在答题纸上)‎ ‎22.（本题满分15分）椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；‎ ‎(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明＋为定值，并求出这个定值．‎ ‎ (答案写在答题纸上)‎ ‎ ‎ 高二期中考试数学试题答案 ‎1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)‎ A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ 解：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．故选D.‎ ‎2.准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝－16y D．x2＝－8y 解：由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵抛物线的准线方程为y＝＝4，∴p＝8.∴该抛物线的标准方程为x2＝－16y.故选C.‎ ‎3.解：公理是不需要证明的原始命题，而选项A是面面平行的性质定理，故选A.‎ ‎4.解：若该几何体的俯视图是选项A,则其体积为1,不满足题意;由正视图、侧视图可知俯视图不可能是B项;若该几何体的俯视图是选项C,则其体积为,不符合题意;若该几何体的俯视图是选项D,则其体积为,满足题意.‎ ‎5.解：将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.‎ 故l1与l2相交,连接AD,则△ABD为正三角形,‎ 所以l1与l2的夹角为.故选D.‎ ‎6.解：根据双曲线的性质可知e＝＝，c2＝a2＋b2，联立可得b2＝，即＝ ，故C的渐近线方程为y＝±x.故选C.‎ ‎7.解：将方程mx2＋ny2＝1变形为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足＞0，＞0，且＞，所以m＞n＞0.故选C.‎ ‎8.解法一：由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，P，∵PF1的中垂线过点F2，∴|F‎1F2|＝|F2P|，即‎2c＝，整理得y2＝‎3c2＋‎2a2－. ∵y2≥0，∴‎3c2＋‎2a2－≥0，‎ 即3e2－＋2≥0，解得e≥. ∴e的取值范围是.‎ 解法二：设直线x＝与x轴交于M点，则|F‎1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即‎2c≥－c，整理得≤e2<1，≤e<1.‎ ‎∴椭圆离心率的取值范围是.故选D.‎ ‎9.解：　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，‎ 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝·，‎ 当t＝0时，|AB|max＝.‎ ‎10.解：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∵·＝2，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝2.‎ 又y＝x1，y＝x2，‎ ‎∴y1y2＝－2.‎ 联立得y2－ny－m＝0，‎ ‎∴y1y2＝－m＝－2，‎ ‎∴m＝2，即点M (2,0)．‎ 又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO ‎＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1－y2，‎ S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，‎ ‎∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1‎ ‎＝y1＋≥2＝3，‎ 当且仅当y1＝时，等号成立．‎ 11. ‎ 4；x=-1‎ 12. 解：易知②③正确．故填②③.‎ ‎13.‎ 14. 充分不必要 解：由“函数f(x)＝ax在R上是减函数”知0＜a＜1；∵y＝x3在R上为增函数，2－a＞0，∴g(x)＝(2－a)x3在R上为增函数；反之，若a＜20＜a＜1.故填充分不必要．‎ ‎15.答案　3x＋4y－13＝0‎ 解析　设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，‎ 由于A、B两点均在椭圆上，‎ 故＋＝1，＋＝1，‎ 两式相减得 ＋＝0.‎ 又∵P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，‎ ‎∴kAB＝＝－.‎ ‎∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．‎ 即3x＋4y－13＝0.‎ ‎16.解：设P(x0，y0)，Q(x，y)，则由对称性质，得 ＝1，＝1，从而x0＝2－x，y0＝2－y，‎ 又∵P(x0，y0)在y2＝ax(a≠0)上，‎ ‎∴有(2－y)2＝a(2－x)(a≠0)．‎ 因此点Q的轨迹方程是(y－2)2＝－a(x－2)(a≠0)．故填(y－2)2＝－a(x－2)(a≠0)．‎ ‎17.答案　(－2,4)，(1,1)‎ 解析　设直线MN的方程为y＝－x＋b，‎ 代入y＝x2中，‎ 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0，‎ ‎∴b>－.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，‎ ＝－＋b＝＋b，‎ 由在直线y＝x＋3上，‎ 即＋b＝－＋3，解得b＝2，‎ 联立得 解得 ‎18.解：当p为真时，因为x∈R时，f(x)＝|x－2|＋|x|≥|(x－2)－x|＝2，所以m＜2.‎ 当q为真时，因为g(x)＝log(‎5m－2)x在(0，＋∞)内为单调增函数，所以，‎5m－2＞1解得m＞.从而 ‎(1)当p真q假时，有m≤；‎ ‎(2)当p假q真时，有m≥2.‎ 综合(1)(2)可得m的取值范围是∪[2，＋∞)．‎ ‎19.证明：(1)连接DB，在△D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则PO∥D1B，又PO⊄面D1BQ，D1B⊂面D1BQ，∴PO∥面D1BQ.‎ ‎(2)易证四边形APQB是平行四边形，∴PA∥BQ.又PA⊄面D1BQ，BQ⊂面D1BQ，∴PA∥面D1BQ.又由(1)知PO∥面D1BQ，PO∩PA＝P，PO，PA⊄平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.‎ ‎20.(1) (2)‎ ‎21.‎ 解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.‎ 由题意知有y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1为圆心P的轨迹方程．‎ ‎(2)设P(x0，y0)，由点到直线的距离公式得＝，即＝1.‎ 又点P在双曲线y2－x2＝1上，∴y－x＝1.‎ 联立解得或此时圆P的半径r＝.‎ ‎∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3或x2＋(y－1)2＝3.‎ ‎22.解　(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.[2分]‎ 由题意知＝1，即a＝2b2.‎ 又e＝＝，所以a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.[4分]‎ ‎(2)设P(x0，y0) (y0≠0)，‎ 又F1(－，0)，F2(，0)，‎ 所以直线PF1，PF2的方程分别为 ‎：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，‎ ‎：y0x－(x0－)y－y0＝0.‎ 由题意知＝ .[6分]‎ 由于点P在椭圆上，所以＋y＝1.‎ 所以＝.‎ 因为－

查看更多