四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

四川省泸县第一中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．，若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数的图象大致为 ‎ A．B．C．D．‎ ‎5．已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为 A． B． C． D．‎ ‎6．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设的内角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为 ‎ A．8 B．‎9 ‎C．16 D．21‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ‎ A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． ．‎ ‎14．设是两个向量，则“”是“”的__________条件.‎ ‎15．圆的切线与椭圆交于两点分别以为切点的的切线交于点，则点的轨迹方程为__________．‎ ‎16．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是______．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．(12分)已知正项等比数列的前项和为， ， ，数列满足，且．‎ ‎（I）求数列的通项公式； （II）求数列的前项和．‎ ‎18．(12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）若直线与平面所成角为，求二面角的大小.‎ 19． ‎(12分)在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成 绩统计如图所示.‎ ‎（I）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；‎ ‎（II）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？‎ ‎（III）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求.（精确到）‎ 附：①，；②，则，；③.‎ ‎20．(12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为.‎ ‎（I）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（II）过点的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究是否为定值？请说明理由.‎ ‎21．(12分)已知函数．‎ ‎（I）当时，求的单调区间；‎ ‎（II）若有两个极值点,且，求取值范围．（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线：(为参数)，曲线：（为参数）．‎ ‎(I)设与相交于两点，求；‎ ‎(II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点P是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知：，，且 ‎（I）若求x的取值范围；‎ ‎（II）恒成立，求m的取值范围.‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 ‎1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D ‎13． 14．充分必要 15． . 16．‎ ‎17．（Ⅰ）根据题意，设的公比为，所以解得 又，‎ 所以 ‎．‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以．‎ ‎18．（1）连接交于，连接，‎ 由题意可知，，，‎ 又在平面外，平面，所以平面.‎ 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 ‎，设，，则，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 由，得，取，‎ 又由直线与平面所成的角为，‎ 得，解得，‎ 同理可得平面的法向量，‎ 由向量的夹角公式，可得，‎ 又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.‎ ‎19．（1）由题意知：‎ 中间值 概率 ‎∴ ，‎ ‎∴名考生的竞赛平均成绩为分.‎ ‎（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.‎ ‎（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴ .‎ ‎20．（1）因为椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点关于直线对称，‎ 所以椭圆E的右焦点为，所以.‎ 又椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为，所以，又，‎ 所以椭圆E的标准方程为.‎ ‎（2）设直线l的方程为，，则点，设 则点，联立直线l与椭圆E的方程有，‎ 得，所以有，即 且，即直线BD的方程为 令，得点Q的横坐标为，‎ 代入得：，‎ 所以，所以为定值4.‎ ‎21.（1）的定义域为，，‎ 的单调递增区间为和，单调递减区间为. ‎ ‎（2∵，有两个极值点 ‎∴令，则的零点为，且.‎ ‎∴＞０, ∴ 或∵，∴.‎ 根据根的分布，则且g() <0 即 , .‎ ‎∴a的取值范围是 ‎22．（1）的普通方程为，的普通方程为，‎ 联立方程组，解得交点为,‎ 所以=； ‎ ‎（2）曲线：（为参数）．设所求的点为，‎ 则到直线的距离.‎ 当时，取得最大值．‎ ‎23．（1）把代入原不等式得，‎ 此不等式等价于或或 分别解得：或货，故原不等式解集为 ‎（2），当且仅当，时取等号，‎ ‎∴，故.‎